第08課時直線與雙曲線的位置關(guān)系（解析版）

第8課時直線與雙曲線的位置關(guān)系編寫：廖云波【回歸教材】1.直線與雙曲線的位置關(guān)系將直線的方程與雙曲線的方程聯(lián)立成方程組，消元轉(zhuǎn)化為關(guān)于x或y的一元二次方程，其判別式為若即，直線與雙曲線漸近線平行，直線與雙曲線相交于一點；若即，①Δ＞0直線和雙曲線相交直線和雙曲線相交，有兩個交點；②Δ＝0直線和雙曲線相切直線和雙曲線相切，有一個公共點；③Δ＜0直線和雙曲線相離直線和雙曲線相離，無公共點．2.直線與雙曲線的相交弦設(shè)直線交雙曲線于點兩點，則=或3.雙曲線的中點弦問題遇到中點弦問題常用“韋達定理”或“點差法”求解.在雙曲線中，以為中點的弦所在直線的斜率；涉及弦長的中點問題，常用“點差法”設(shè)而不求，將弦所在直線的斜率、弦的中點坐標(biāo)聯(lián)系起來相互轉(zhuǎn)化【典例講練】題型一直線與雙曲線位置關(guān)系【例1-1】已知雙曲線x2－y2=4，直線l：y=k(x－1)，討論直線與雙曲線公共點個數(shù).【解析】聯(lián)立方程組消去y，并依x聚項整理得：(1－k2)·x2+2k2x－k2－4=0①(1)當(dāng)1－k2=0即k=±1時，方程①可化為2x=5，x=，方程組只有一組解，故直線與雙曲線只有一個公共點(實質(zhì)上是直線與漸近線平行時的兩種情況，相交但不相切).(2)當(dāng)1－k2≠0時，即k≠±1，此時有Δ=4·(4－3k2)若4－3k2>0(k2≠1)，則k∈，方程組有兩解，故直線與雙曲線有兩交點.(3)若4－3k2=0(k2≠1)，則k=±，方程組有解，故直線與雙曲線有一個公共點(相切的情況).(4)若4－3k2<0且k2≠1則k∈，方程組無解，故直線與雙曲線無交點.綜上所述，當(dāng)k=±1或k=±時，直線與雙曲線有一個公共點；當(dāng)k∈時，直線與雙曲線有兩個公共點；當(dāng)k∈時，直線與雙曲線無公共點.【例1-2】若過點的直線與雙曲線:的右支相交于不同兩點，則直線斜率的取值范圍為（）A．B．C．D．【答案】D【解析】【分析】由題意設(shè)直線的方程，與雙曲線方程聯(lián)立消得關(guān)于的方程，根據(jù)條件得方程有兩個不同的正根，結(jié)合韋達定理列不等式組，從而可求出的取值范圍【詳解】由題意可得直線斜率存在，設(shè)直線的方程為，設(shè)交點，聯(lián)立可得，由題意可得解得：，故選：D．歸納總結(jié)：【練習(xí)1-1】過且與雙曲線有且只有一個公共點的直線有（）A．1條B．2條C．3條D．4條【答案】D【解析】【分析】設(shè)出直線的方程，與雙曲線的方程聯(lián)立，結(jié)合方程解的情況進行求解.【詳解】當(dāng)斜率不存在時，過的直線與雙曲線沒有公共點；當(dāng)斜率存在時，設(shè)直線為，聯(lián)立，得①.當(dāng)，即時，①式只有一個解；當(dāng)時，則，解得；綜上可知過且與雙曲線有且只有一個公共點的直線有4條.故選：D.【練習(xí)1-2】直線與雙曲線沒有公共點，則斜率k的取值范圍是（）A．B．C．D．【答案】A【解析】【分析】聯(lián)立直線與雙曲線方程，消元，分和兩種情況討論，當(dāng)時只需，解得即可；【詳解】解：聯(lián)立直線和雙曲線：，消去得，當(dāng)，即時，此時方程為，解得，此時直線與雙曲線有且只有一個交點；當(dāng)，此時，解得或，所以時直線與雙曲線無交點；故選：A題型二雙曲線的弦長【例2-1】過雙曲線－＝1的焦點且與x軸垂直的弦的長度為________.【答案】【例2-2】求直線被雙曲線截得的弦長.【答案】【解析】【分析】聯(lián)立直線與雙曲線的方程消元得到關(guān)于的一元二次方程，求得兩根之和與兩根之積，代弦長公式即可求解【詳解】設(shè)直線與雙曲線交于，兩點由所以，所以即直線被雙曲線截得的弦長為歸納總結(jié)：【練習(xí)2-1】已知，是雙曲線的左右焦點，過的直線與曲線的右支交于兩點，則的周長的最小值為（）A．B．C．D．【答案】C【解析】【分析】根據(jù)雙曲線的定義和性質(zhì)，當(dāng)弦垂直于軸時，即可求出三角形的周長的最小值.【詳解】由雙曲線可知：的周長為.當(dāng)軸時,的周長最小值為故選：C【練習(xí)2-2】設(shè)?分別為雙曲線的左右焦點，且也為拋物線的的焦點，若點，，是等腰直角三角形的三個頂點.(1)雙曲線C的方程；(2)若直線l：與雙曲線C相交于A?B兩點，求.【答案】(1)(2)【解析】【分析】（1）首先求出拋物線的焦點坐標(biāo)，即可得到，再根據(jù)為等腰直角三角形，即可求出，最后根據(jù)，求出，即可求出雙曲線方程；（2）設(shè)，聯(lián)立直線與雙曲線方程，消元列出韋達定理，利用弦長公式計算可得；(1)解：拋物線的焦點為，所以，即，，又點，，是等腰直角三角形的三個頂點，所以，即，又，所以，所以雙曲線方程為.(2)解：依題意設(shè)，，由消去整理得，由，所以，，所以.題型三中點弦問題【例3-1】雙曲線：被斜率為的直線截得的弦的中點為則雙曲線的離心率為______.【答案】【解析】【分析】設(shè)，由條件可得，，由點差法可求出的值，從而得出離心率.【詳解】設(shè)，則，將兩點坐標(biāo)代入雙曲線方程得：；將上述兩式相減可得：即，也即所以，即故答案為：【例3-2】已知雙曲線的實軸長為2，一條漸近線方程為(1)求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)已知傾斜角為的直線與雙曲線交于兩點，且線段的中點的縱坐標(biāo)為4，求直線的方程．【答案】(1)(2)【解析】【分析】（1）由實軸長得到，由漸近線斜率得到，即可得到方程；（2）由傾斜角得到直線斜率，設(shè)直線方程，聯(lián)立雙曲線方程，消去，利用韋達定理即可表示線段的中點的縱坐標(biāo)，解出參數(shù)即可.(1)由題，，由得，，所以雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為：(2)直線斜率，設(shè)直線為，聯(lián)立得得，設(shè)兩點坐標(biāo)分別為、，線段的中點的縱坐標(biāo)為4，則，直線方程為.歸納總結(jié)：【練習(xí)3-1】已知雙曲線，(1)過點的直線交雙曲線于兩點，若為弦的中點，求直線的方程；(2)是否存在直線，使得為被該雙曲線所截弦的中點，若存在，求出直線的方程，若不存在，請說明理由.【答案】(1)(2)不存在，理由見解析【解析】【分析】（1）設(shè)，利用點差法求得直線AB的斜率，根據(jù)直線的點斜式方程結(jié)合驗證，即可求得答案；（2）同（1）利用點差法求得直線方程，把直線方程和雙曲線方程聯(lián)立，整理得到一元二次方程，其判別式小于0，說明符合題意的直線不存在.(1)設(shè)，則，兩式相減得，所以，又因為為弦的中點,故，所以，所以直線的方程為，即，由方程組得，其，說明所求直線存在，故直線的方程為.(2)假設(shè)存在直線，使得為被該雙曲線所截弦的中點，設(shè)該直線與雙曲線交于C,D兩點，設(shè)，則，兩式相減得，所以，又因為為弦的中點,故，所以，所以直線的方程為，即，由方程組,得，根據(jù)，說明所求直線不存在,故假設(shè)不成立，即不存在直線，使得為被該雙曲線所截弦的中點.題型四直線與雙曲線的綜合應(yīng)用【例4-1】直線l：與雙曲線C：交于不同的兩點A、B．(1)求實數(shù)k的取值范圍；(2)若雙曲線C的右焦點為F，是否存在實數(shù)k，使得AF⊥BF？若存在，求出k的值；若不存在，說明理由．【答案】(1);(2)存在，或.【解析】【分析】（1）聯(lián)立直線方程及雙曲線方程，消元得一元二次方程，利用判別式求解即可；（2）設(shè)A、B兩點的坐標(biāo)分別為,，假設(shè)存在，利用AF⊥BF的坐標(biāo)表示及根與系數(shù)的關(guān)系化簡即可得解.(1)將直線l的方程代入雙曲線C的方程，整理得①依題意，直線l與雙曲線C交于不同兩點，則解得k的取值范圍為．(2)設(shè)A、B兩點的坐標(biāo)分別為,，則由①得②．假設(shè)存在實數(shù)k，使得AF⊥BF，則，即：，整理得③．把②式及代入③式化簡得：，解得或，∴存在實數(shù)或，使得AF⊥BF．【例4-2】已知雙曲線，過點的直線l與該雙曲線兩支分別交于M，N兩點，設(shè)，．(1)若，點O為坐標(biāo)原點，當(dāng)時，求的值；(2)設(shè)直線l與y軸交于點E，，，證明：為定值．【答案】(1)(2)證明見解析【解析】【分析】（1）由題知，進而設(shè)直線l的方程為，與雙曲線方程聯(lián)立，結(jié)合韋達定理，向量數(shù)量積的坐標(biāo)表示求解即可；（2）設(shè)直線l的方程為，進而結(jié)合向量的坐標(biāo)表示得，，，，再結(jié)合M，N在雙曲線上得，是方程的兩根，進而得.(1)解：當(dāng)時，雙曲線，顯然直線l的斜率存在，設(shè)直線l的方程為，與C聯(lián)立得，所以，，由，可得，所以，所以．(2)證明：由題意可知直線l的斜率必存在，設(shè)直線l的方程為，則．由，得，所以，，，．又點M在雙曲線C上，所以，化簡得，同理．故，是方程的兩根，則，為定值．歸納總結(jié)：【練習(xí)4-1】設(shè)雙曲線，其虛軸長為，且離心率為．(1)求雙曲線的方程；(2)過點的動直線與雙曲線的左右兩支曲線分別交于點、，在線段上取點使得，證明：點落在某一定直線上．【答案】(1)(2)證明見解析【解析】【分析】（1）依題意可得，，再根據(jù)，即可求出，即可得解；（2）設(shè)點，A，的坐標(biāo)分別為，，，且，依題意可得，設(shè)直線的方程為，聯(lián)立直線與橢圓方程，消元、列出韋達定理，代入整理即可得解；(1)解：設(shè)雙曲線，其虛軸長為，且離心率為，∴，，∵，∴，，∴雙曲線的方程為．(2)解：設(shè)點，A，的坐標(biāo)分別為，，，且，∵，∴，即，①設(shè)直線的方程為，②將②代入中整理，得，∴，，代入①，整理可得，得，聯(lián)立②消得，∴點落在某一定直線上．【練習(xí)4-2】已知雙曲線C的方程為，離心率為，右頂點為(2，0)(1)求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)過的直線與雙曲線C的一支交于兩點，求的取值范圍．【答案】(1)(2)【解析】【分析】（1）依題意可得即可求出、，從而求出雙曲線方程；（2）設(shè)直線的方程為，設(shè)、，聯(lián)立直線與雙曲線方程，消元，依題意可得，即可求出的取值范圍，再根據(jù)向量數(shù)量積的坐標(biāo)表示得到，即可求出的范圍；(1)解：根據(jù)題意，由離心率，又，所以，又右頂點為，即，故雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為．(2)解：設(shè)直線的方程為，設(shè)、，則由，消去整理得到，∵直線與雙曲線一支交于、兩點，，解得．因此，∵，故，故．【完成課時作業(yè)（五十七）】【課時作業(yè)（五十七）】A組基礎(chǔ)題1．直線與雙曲線的位置關(guān)系是（）A．相切B．相交C．相離D．無法確定【答案】B【解析】【詳解】聯(lián)立直線方程和雙曲線方程消去y然后可解出x，從而得出直線和雙曲線位置關(guān)系，得出答案.【解答過程】由得整理得，；所以，故直線和雙曲線只有一個交點；又雙曲線的漸近線方程為：與雙曲線的一條漸近線平行且與雙曲線只有一個交點.所以直線和雙曲線的位置關(guān)系為相交．故選：B2．已知是雙曲線（，）的左焦點，點在雙曲線上，直線與軸垂直，且，那么雙曲線的離心率是（）A．B．C．2D．3【答案】A【解析】【分析】易得的坐標(biāo)為，設(shè)點坐標(biāo)為，求得，由可得，然后由a，b，c的關(guān)系求得，最后求得離心率即可.【詳解】的坐標(biāo)為，設(shè)點坐標(biāo)為，易得，解得，因為直線與軸垂直，且，所以可得，則，即，所以，離心率為．故選：A.3．過雙曲線：（，）的焦點且斜率不為0的直線交于A，兩點，為中點，若，則的離心率為（）A．B．2C．D．【答案】D【解析】【分析】先設(shè)出直線AB的方程，并與雙曲線的方程聯(lián)立，利用設(shè)而不求的方法及條件得到關(guān)于的關(guān)系，進而求得雙曲線的離心率【詳解】不妨設(shè)過雙曲線的焦點且斜率不為0的直線為，令由，整理得則，則，由，可得則有，即，則雙曲線的離心率故選：D4．已知，分別為雙曲線的左、右焦點，點P在雙曲線的右支上，且位于第一象限，若直線的斜率為，則的內(nèi)切圓的面積為（）A．B．C．D．【答案】B【解析】【分析】求出直線的方程，從而可求得點的坐標(biāo)，從而可求得，再利用等面積法即可求得內(nèi)切圓的半徑.，即可得解.【詳解】解：設(shè)，由題意知，直線的斜率為，則直線的方程為，∴，化簡整理得，即，∴或（舍去），則，即，∴，，設(shè)的內(nèi)切圓的圓心為Q，半徑為r，連接，，，則由，得，∴，得，（利用等面積法求內(nèi)切圓的半徑）故的內(nèi)切圓的面積為．故選：B．5．【多選題】已知雙曲線，則下列說法正確的（）A．雙曲線C的離心率等于半焦距的長B．雙曲線與雙曲線C有相同的漸近線C．直線被雙曲線C截得的弦長為D．直線與雙曲線C的公共點個數(shù)只可能為0，1，2【答案】AD【解析】【分析】利用雙曲線方程求解焦點坐標(biāo)，離心率，漸近線方程，結(jié)合直線與雙曲線的位置關(guān)系的判定和弦長，然后分析判斷選項的正誤，即可求解.【詳解】由雙曲線的焦點在軸上，且，則，其漸近線方程為，對于A中，由雙曲線C的離心率為，故A正確；對于B中，由雙曲線的漸近線方程為，與雙曲線C的漸近線不相同，所以B錯誤；對于C中，由代入雙曲線中，可得，即交點的坐標(biāo)為和，所以截得的弦長為，所以C錯誤；對于D中，當(dāng)時，此時直線與漸近線平行，且過原點，可得直線與雙曲線沒有公共點，即交點的個數(shù)為0個；當(dāng)時，此時直線與漸近線平行，且不過原點，可得直線與雙曲線只有一個公共點，即交點的個數(shù)為1個；當(dāng)時，此時直線與漸近線不平行，可得直線與雙曲線有2個公共點，即交點的個數(shù)為2個，綜上可得，直線與雙曲線C的公共點個數(shù)可能為0，1，2，所以D正確.故選：AD.6．已知雙曲線，過作直線與雙曲線交于A、兩點，且為弦的中點，則直線的方程為________________.【答案】【解析】【分析】中點弦問題，可以用點差法進行求解.【詳解】設(shè)，則，∵A、B在雙曲線上，∴，①－②得：，即即，∴：，即，由，∵，故與雙曲線有兩個交點滿足題意，故l方程為：.故答案為：.7．雙曲線C：(，)的焦點為、，P在雙曲線右支上，且，為C的漸近線方程，若的面積為，則雙曲線C的焦距長為______．【答案】【解析】【分析】根據(jù)雙曲線的漸近線可求c與a的關(guān)系，根據(jù)即雙曲線的定義可求，在焦點三角形中，利用余弦定理可求出cos∠，從而可求sin∠，根據(jù)即可求出a，從而可求2c．【詳解】∵C的漸近線方程是，∴C為等軸雙曲線，a=b，∴．設(shè)，則2a=3m-m=2m，即m=a，則，設(shè)∠=θ，在△中，由余弦定理得，，即，化簡可得，∴，∵，，，，，．故答案為：．8．已知雙曲線的焦點在軸上，對稱中心為坐標(biāo)原點，焦距為，且過點．（1）求的方程；（2）若斜率為2的直線與交于，兩點．且，求．【答案】（1）；（2）．【解析】【分析】（1）由焦距可以設(shè)出焦點坐標(biāo)，利用雙曲線的定義求出實軸的長度，進而可得雙曲線的方程；（2）聯(lián)立直線與雙曲線方程，消去，寫出韋達定理，由得出直線的縱截距，再利用弦長公式求解即可．【詳解】（1）由已知，設(shè)焦點坐標(biāo)為，則，又，解得，故雙曲線的方程為：；（2）設(shè)直線，與雙曲線的方程聯(lián)立可得：設(shè)，則，，，，，解得，因此．9．已知雙曲線的離心率為，右焦點F與點的連線與其一條漸近線平行.(1)求雙曲線C的方程；(2)經(jīng)過點F的直線l與雙曲線C的右支交于點A?B，試問是否存在一定點P，使恒成立，若存在，請求出點P的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由.【答案】(1)(2)存在，【解析】【分析】（1）根據(jù)題意列出關(guān)于a,b的等式，結(jié)合離心率即可求得a,b，可得雙曲線方程；（2）判斷出符合題意的點存在，并判斷其位于軸上；然后進行說明理由，設(shè)直線線方程，并聯(lián)立雙曲線方程，得到根與系數(shù)的關(guān)系，結(jié)合可得?的斜率之和為，列出等式并化簡即可求得參數(shù)的值，從而說明結(jié)論成立.(1)設(shè)，由條件知的斜率等于，即，又，,，，雙曲線的方程為：.(2)存在點滿足恒成立，且點在軸上.理由如下:設(shè)點，過點，設(shè)直線,由,消去得,,設(shè)，由韋達定理得，①,，②，?的斜率之和為，即，因為，，所以代入整理得：，③將①②代入③可得，即,④④式對任意實數(shù)都成立，，,即存在點滿足恒成立，且點在軸上.B組能力提升1．【多選題】已知雙曲線，的左右焦點分別為，，雙曲線C上兩點A，B關(guān)于坐標(biāo)原點對稱，點P為雙曲線C右支上上一動點，記直線PA，PB的斜率分別為，，若，，則下列說法正確的是（）A．B．C．的面積為D．的面積為1【答案】BD【解析】【分析】根據(jù)點差法，結(jié)合雙曲線的定義逐一判斷即可.【詳解】，，因為A，B關(guān)于坐標(biāo)原點對稱，則，曲已知得，，兩式相減得，所以，因為，所以，得，所以選項B正確A錯誤；因為P在右支上，記，則，因為，所以，解得或（舍去），所以的面積為．所以選項D正確C錯誤．故選：BD．【點睛】關(guān)鍵點睛：應(yīng)用點差法和雙曲線的定義是解題的關(guān)鍵.2．若雙曲線上存在兩個點關(guān)于直線：對稱，則實數(shù)的取值范圍為______．【答案】或【解析】【分析】設(shè)對稱的兩點為，，直線的方程為與雙曲線聯(lián)立可得利用根與系數(shù)的關(guān)系以及中點坐標(biāo)公式可求的中點，利用判別式以及在直線上即可求解.【詳解】設(shè)雙曲線存在關(guān)于直線對稱的兩點為，，根據(jù)對稱性可知線段被直線垂直平分，且的中點在直線上，且，故可設(shè)直線的方程為，聯(lián)立方程，整理可得，∴，，由，可得或，∴，，∵的中點在直線上，∴，可得，或.故答案為：或.【點睛】關(guān)鍵點點睛：本題的關(guān)鍵點是利用直線與直線垂直可得直線的斜率為，可設(shè)直線的方程為，代入雙曲線可得關(guān)于的一元二次方程，利用判別式，可以求出的范圍，利用韋達定理可得的中點再代入即可與的關(guān)系，即可求解.3．已知點在雙曲線上，直線l交C于P，Q兩點，直線的斜率之和為0．(1)求l的斜率；(2)若，求的面積．【答案】(1)；(2)．【解析】【分析】（1）由點在雙曲線上可求出，易知直線l的斜率存在，設(shè)，，再根據(jù)，即可解出l的斜率；（2）根據(jù)直線的斜率之和為0可知直線的傾斜角互補，再根據(jù)即可求出直線的斜率，再分別聯(lián)立直線與雙曲線方程求出點的坐標(biāo)，即可得到直線的方程以及的長，由點到直線的距離公式求出點A到直線的距離，即可得出的面積．(1)因為點在雙曲線上，所以，解得，即雙曲線易知直線l的斜率存在，設(shè)，，聯(lián)立可得，，所以，，且．所以由可得，，即，即，所以，化簡得，，即，所以或，當(dāng)時，直線過點，與題意不符，舍去，故．(2)不妨設(shè)直線的傾斜角為，因為，所以，由（1）知，，當(dāng)均在雙曲線左支時，，所以，即，解得（負值舍去）此時PA與雙曲線的漸近線平行，與雙曲線左支無交點，舍去；當(dāng)均在雙曲線右支時，因為，所以，即，即，解得（負值舍去），于是，直線，直線，聯(lián)立可得，，因為方程有一個根為，所以，，同理可得，，．所