高中數(shù)學北師大版五學案：第三章 不等式 4.3　簡單線性規(guī)劃的應用 含答案

學必求其心得，業(yè)必貴于專精學必求其心得，業(yè)必貴于專精學必求其心得，業(yè)必貴于專精4。3簡單線性規(guī)劃的應用［學習目標]1.加深對二元一次不等式組及其幾何意義的了解。2.能熟練地用平面區(qū)域表示二元一次不等式組.3。準確利用線性規(guī)劃知識求解目標函數(shù)的最值.4。會求一些簡單的非線性函數(shù)的最值．知識點一圖解法解線性規(guī)劃問題的步驟用圖解法解線性規(guī)劃問題的步驟:(1）確定線性約束條件;(2）確定線性目標函數(shù);(3)畫出可行域;（4)利用線性目標函數(shù)（直線)求出最優(yōu)解．知識點二簡單線性規(guī)劃問題的實際應用1．線性規(guī)劃的實際問題的類型（1）給定一定數(shù)量的人力、物力資源，問怎樣運用這些資源，使完成的任務量最大，收到的效益最大；(2）給定一項任務，問怎樣統(tǒng)籌安排，使完成這項任務耗費的人力、物力資源量最?。Ｒ妴栴}有：①物資調(diào)動問題例如，已知兩煤礦每年的產(chǎn)量,煤需經(jīng)兩個車站運往外地，兩個車站的運輸能力是有限的，且已知兩煤礦運往兩個車站的運輸價格，煤礦應怎樣編制調(diào)動方案，才能使總運費最?。竣诋a(chǎn)品安排問題例如，某工廠生產(chǎn)甲、乙兩種產(chǎn)品，每生產(chǎn)一個單位的甲種或乙種產(chǎn)品需要的A、B、C三種材料的數(shù)量，此廠每月所能提供的三種材料的限額都是已知的，這個工廠在每個月中應如何安排這兩種產(chǎn)品的生產(chǎn)，才能使每月獲得的總利潤最大？③下料問題例如,要把一批長鋼管截成兩種規(guī)格的鋼管，應怎樣下料能使損耗最小？2．解答線性規(guī)劃實際應用題的步驟（1）模型建立:正確理解題意，將一般文字語言轉(zhuǎn)化為數(shù)學語言,進而建立數(shù)學模型，這需要在學習有關(guān)例題解答時,仔細體會范例給出的模型建立方法．（2）模型求解：畫出可行域，并結(jié)合所建立的目標函數(shù)的特點，選定可行域中的特殊點作為最優(yōu)解．（3）模型應用：將求解出來的結(jié)論反饋到具體的實例中，設計出最佳的方案．題型一與最大值有關(guān)的實際問題例1某化肥廠生產(chǎn)甲、乙兩種混合肥料,需要A，B，C三種主要原料．生產(chǎn)1車皮甲種肥料和生產(chǎn)1車皮乙種肥料所需三種原料的噸數(shù)如下表所示:原料肥料ABC甲483乙5510現(xiàn)有A種原料200噸，B種原料360噸，C種原料300噸．在此基礎上生產(chǎn)甲、乙兩種肥料．已知生產(chǎn)1車皮甲種肥料,產(chǎn)生的利潤為2萬元；生產(chǎn)1車皮乙種肥料，產(chǎn)生的利潤為3萬元．分別用x，y表示計劃生產(chǎn)甲、乙兩種肥料的車皮數(shù)．(1）用x，y列出滿足生產(chǎn)條件的數(shù)學關(guān)系式，并畫出相應的平面區(qū)域；（2)問分別生產(chǎn)甲、乙兩種肥料各多少車皮，能夠產(chǎn)生最大的利潤？并求出此最大利潤．解(1)由已知，x，y滿足的數(shù)學關(guān)系式為eq\b\lc\｛(\a\vs4\al\co1(4x＋5y≤200，,8x＋5y≤360，，3x＋10y≤300，，x≥0，,y≥0.））該二元一次不等式組所表示的平面區(qū)域為圖①中的陰影部分．①②（2)設利潤為z萬元,則目標函數(shù)為z＝2x＋3y.考慮z＝2x＋3y,將它變形為y＝－eq\f（2,3）x＋eq\f（z,3），它的圖象是斜率為－eq\f(2，3），隨z變化的一簇平行直線，eq\f（z,3）為直線在y軸上的截距,當eq\f（z,3）取最大值時，z的值最大．根據(jù)x,y滿足的約束條件,由圖②可知，當直線z＝2x＋3y經(jīng)過可行域上的點M時，截距eq\f（z,3）最大,即z最大．解方程組eq\b\lc\｛(\a\vs4\al\co1(4x＋5y＝200，，3x＋10y＝300，）)得點M的坐標為（20,24)，所以zmax＝2×20＋3×24＝112。答：生產(chǎn)甲種肥料20車皮，乙種肥料24車皮時利潤最大，且最大利潤為112萬元．反思與感悟解線性規(guī)劃應用題時,先轉(zhuǎn)化為簡單的線性規(guī)劃問題,再按如下步驟完成：（1)作圖——畫出約束條件所確定的平面區(qū)域和目標函數(shù)所表示的平行直線系中的一條直線l；(2）平移-—將l平行移動，以確定最優(yōu)解的對應點A的位置；(3）求值—-解有關(guān)方程組求出A點坐標（即最優(yōu)解)，代入目標函數(shù)，即可求出最值．跟蹤訓練1某糖果廠生產(chǎn)A,B兩種糖果，A種糖果每箱獲利潤40元，B種糖果每箱獲利潤50元，其生產(chǎn)過程分為混合、烹調(diào)、包裝三道工序，下表為每箱糖果生產(chǎn)過程中所需平均時間(單位：分鐘）：混合烹調(diào)包裝A153B241在每種糖果的生產(chǎn)過程中,混合的設備至多能用12小時，烹調(diào)的設備至多能用30小時,包裝的設備至多能用15小時，試求每種糖果各生產(chǎn)多少箱可獲得最大利潤？解設生產(chǎn)A種糖果x箱,B種糖果y箱，可獲得利潤z元，則問題轉(zhuǎn)化為:在約束條件eq\b\lc\{\rc\（\a\vs4\al\co1（x＋2y≤720,，5x＋4y≤1800，,3x＋y≤900，，x≥0,,y≥0))下，求目標函數(shù)z＝40x＋50y的最大值，作出可行域如圖，其邊界OA：y＝0，AB：3x＋y－900＝0，BC：5x＋4y－1800＝0，CD：x＋2y－720＝0，DO:x＝0。由z＝40x＋50y,得y＝－eq\f(4，5）x＋eq\f(z,50），它表示斜率為－eq\f(4，5)，截距為eq\f（z，50）的平行直線系，eq\f（z,50）越大，z越大,從而可知過C點時截距最大，z取得了最大值．解方程組eq\b\lc\{\rc\（\a\vs4\al\co1(x＋2y＝720,,5x＋4y＝1800）)?C（120,300)．∴zmax＝40×120＋50×300＝19800，即生產(chǎn)A種糖果120箱，生產(chǎn)B種糖果300箱，可得最大利潤19800元．題型二與最小值有關(guān)的實際問題例2醫(yī)院用甲、乙兩種原料為手術(shù)后的病人配營養(yǎng)餐．甲種原料每10g含5單位蛋白質(zhì)和10單位鐵質(zhì)，售價3元；乙種原料每10g含7單位蛋白質(zhì)和4單位鐵質(zhì)，售價2元．若病人每餐至少需要35單位蛋白質(zhì)和40單位鐵質(zhì)．試問：應如何使用甲、乙原料,才能既滿足營養(yǎng)，又使費用最省?解將已知數(shù)據(jù)列成下表：原料/10g蛋白質(zhì)/單位鐵質(zhì)/單位甲510乙74費用32設甲、乙兩種原料分別用10xg和10yg，總費用為z,那么eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(5x＋7y≥35,,10x＋4y≥40,,x≥0，y≥0,)）目標函數(shù)為z＝3x＋2y，作出可行域如圖所示：把z＝3x＋2y變形為y＝－eq\f(3，2)x＋eq\f(z，2)，得到斜率為－eq\f（3，2），在y軸上的截距為eq\f（z，2)，隨z變化的一簇平行直線．由圖可知，當直線y＝－eq\f（3,2）x＋eq\f（z,2)經(jīng)過可行域上的點A時，截距eq\f（z,2)最小，即z最小．由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(10x＋4y＝40，,5x＋7y＝35，))得A（eq\f（14，5)，3),∴zmin＝3×eq\f（14,5）＋2×3＝14。4?！嗉追N原料eq\f（14,5）×10＝28（g），乙種原料3×10＝30（g)，費用最省．反思與感悟解決線性規(guī)劃問題應在切實認真審題的基礎上，將約束條件全部羅列出來，最后要檢查能否取等號，未知量是否為正整數(shù)或有其他范圍的限制．跟蹤訓練2某旅行社租用A、B兩種型號的客車安排900名客人旅行，A、B兩種車輛的載客量分別為36人和60人，租金分別為1600元/輛和2400元/輛,旅行社要求租車總數(shù)不超過21輛,且B型車不多于A型車7輛，則租金最少為多少?解設需A型車x輛，B型車y輛，則eq\b\lc\｛\rc\（\a\vs4\al\co1(y－x≤7,,x＋y≤21，，36x＋60y≥900，,x，y∈N＋）)?eq\b\lc\｛\rc\(\a\vs4\al\co1（y－x≤7，，x＋y≤21，,3x＋5y≥75,，x，y∈N＋）)由目標函數(shù)z＝1600x＋2400y，得y＝－eq\f(2，3)x＋eq\f(z，2400)，eq\f(z，2400)表示直線在y軸上的截距，要z最小，則直線在y軸上的截距最小，畫出可行域(如圖），平移直線l：y＝－eq\f（2,3)x到l0過點A（5,12)時，zmin＝5×1600＋2400×12＝36800.故租金最少為36800元．題型三實際問題中的整數(shù)解問題例3某公司生產(chǎn)甲、乙兩種桶裝產(chǎn)品．已知生產(chǎn)甲產(chǎn)品1桶需耗A原料1千克、B原料2千克；生產(chǎn)乙產(chǎn)品1桶需耗A原料2千克、B原料1千克．每桶甲產(chǎn)品的利潤是300元，每桶乙產(chǎn)品的利潤是400元．公司在生產(chǎn)這兩種產(chǎn)品的計劃中，要求每天消耗A,B原料都不超過12千克．通過合理安排生產(chǎn)計劃，從每天生產(chǎn)的甲、乙兩種產(chǎn)品中，公司共可獲得的最大利潤是多少？解設每天分別生產(chǎn)甲產(chǎn)品x桶，乙產(chǎn)品y桶，相應的利潤為z元，于是有eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＋2y≤12,,2x＋y≤12，，x≥0，y≥0，,x∈N，y∈N，)）z＝300x＋400y，在坐標平面內(nèi)畫出該不等式組表示的平面區(qū)域及直線300x＋400y＝0,平移該直線，當平移到經(jīng)過該平面區(qū)域內(nèi)的點(4,4)時,相應直線在y軸上的截距達到最大，此時z＝300x＋400y取得最大值，最大值是z＝300×4＋400×4＝2800，即該公司可獲得的最大利潤是2800元．反思與感悟線性規(guī)劃解決實際問題的步驟:①分析并根據(jù)已知數(shù)據(jù)列出表格；②確定線性約束條件；③確定線性目標函數(shù)；④畫出可行域；⑤利用線性目標函數(shù)(直線)求出最優(yōu)解；⑥實際問題需要整數(shù)解時，應適當調(diào)整，以確定最優(yōu)解．跟蹤訓練3預算用2000元購買單價為50元的桌子和20元的椅子，希望使桌子和椅子的總數(shù)盡可能的多，但椅子數(shù)不少于桌子數(shù),且不多于桌子數(shù)的1.5倍,問桌子、椅子各買多少才行？解設桌子、椅子分別買x張、y把,目標函數(shù)z＝x＋y，把所給的條件表示成不等式組，即約束條件為eq\b\lc\｛\rc\(\a\vs4\al\co1(50x＋20y≤2000，，y≥x，，y≤1.5x，,x≥0，x∈N*，,y≥0，y∈N*。)）由eq\b\lc\｛\rc\(\a\vs4\al\co1（50x＋20y＝2000，,y＝x,）)解得eq\b\lc\｛\rc\(\a\vs4\al\co1（x＝\f(200，7），,y＝\f（200，7)，))所以A點的坐標為eq\b\lc\(\rc\)（\a\vs4\al\co1（\f(200,7），\f（200，7)))。由eq\b\lc\｛\rc\(\a\vs4\al\co1(50x＋20y＝2000，,y＝1.5x，)）解得eq\b\lc\｛\rc\（\a\vs4\al\co1（x＝25,，y＝\f(75,2)，)）所以B點的坐標為eq\b\lc\（\rc\)(\a\vs4\al\co1（25，\f（75，2))）。所以滿足條件的可行域是以Aeq\b\lc\（\rc\)（\a\vs4\al\co1(\f（200,7)，\f（200,7））)，Beq\b\lc\（\rc\)（\a\vs4\al\co1（25,\f(75，2)）），O(0,0）為頂點的三角形區(qū)域(如圖)．由圖形可知，目標函數(shù)z＝x＋y在可行域內(nèi)的最優(yōu)解為Beq\b\lc\（\rc\)(\a\vs4\al\co1（25，\f(75,2）)），但注意到x∈N*,y∈N＊，故取eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝25，，y＝37.)）故買桌子25張，椅子37把是最好的選擇．1．某學校用800元購買A、B兩種教學用品,A種用品每件100元，B種用品每件160元，兩種用品至少各買一件,要使剩下的錢最少，A、B兩種用品應各買的件數(shù)為(）A．2件，4件 B．3件，3件C．4件，2件 D．不確定答案B解析設買A種用品x件，B種用品y件，剩下的錢為z元，則eq\b\lc\{\rc\（\a\vs4\al\co1(x≥1,，y≥1，，100x＋160y≤800,））求z＝800－100x－160y取得最小值時的整數(shù)解（x,y)，用圖解法求得整數(shù)解為（3,3)．2．某公司招收男職員x名，女職員y名，x和y需滿足約束條件eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1（5x－11y≥－22，,2x＋3y≥9,,2x≤11，,x∈N*，y∈N＊,)）則z＝10x＋10y的最大值是（）A．80 B．85C．90 D．95答案C解析該不等式組表示的平面區(qū)域為如圖所示的陰影部分．由于x,y∈N*,計算區(qū)域內(nèi)與eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1（\f（11，2),\f(9,2)）)最近的點為(5,4），故當x＝5，y＝4時，z取得最大值為90。3．某運輸公司有12名駕駛員和19名工人，有8輛載重量為10噸的甲型卡車和7輛載重量為6噸的乙型卡車．某天需送往A地至少72噸的貨物,派用的每輛車需滿載且只運送一次,派用的每輛甲型卡車需配2名工人，運送一次可得利潤450元；派用的每輛乙型卡車需配1名工人，運送一次可得利潤350元．該公司應怎樣合理計劃當天派用兩類卡車的車輛數(shù)，可得最大利潤z＝________元．（)A．4650B．4700C．4900D．5000答案C解析設該公司合理計劃當天派用甲、乙卡車的車輛數(shù)分別為x，y，則根據(jù)條件x，y滿足的約束條件為eq\b\lc\｛\rc\（\a\vs4\al\co1（x＋y≤12，，2x＋y≤19，,10x＋6y≥72，，x≤8，y≤7,，x∈N＋,y∈N＋。））目標函數(shù)z＝450x＋350y.作出約束條件所示的平面區(qū)域，如圖陰影部分所示．然后平移目標函數(shù)對應的直線450x＋350y－z＝0知，當直線經(jīng)過直線x＋y＝12與2x＋y＝19的交點A（7，5）時，目標函數(shù)取得最大值，即zmax＝450×7＋350×5＝4900元．4．制造甲、乙兩種煙花,甲種煙花每枚含A藥品3g、B藥品4g、C藥品4g，乙種煙花每枚含A藥品2g、B藥品11g、C藥品6g．已知每天原料的使用