剛體和流體的運動

剛體和流體的運動第一頁，共五十八頁，編輯于2023年，星期五既考慮物體的質量，又考慮形狀和大小，但忽略其形變的物體模型。一、剛體剛體（rigidbody）：剛體可看作是質量連續(xù)分布的且任意兩質量元之間相對距離保持不變的質點系?！?-1剛體模型及其運動第二頁，共五十八頁，編輯于2023年，星期五二、平動和轉動當剛體運動時，如果剛體內任何一條給定的直線，在運動中始終保持它的方向不變，這種運動叫平動（translation）?？梢杂觅|點動力學的方法來處理剛體的平動問題。平動時，剛體內各質點在任一時刻具有相同的速度和加速度。剛體內任何一個質點的運動，都可代表整個剛體的運動，如質心。1、平動第三頁，共五十八頁，編輯于2023年，星期五如果剛體的各個質點在運動中都繞同一直線作圓周運動，這種運動就叫做轉動（rotation），這一直線就叫做轉軸。如果轉軸是固定不動的，就叫做定軸轉動（fixed-axisrotation）?？梢宰C明，剛體的一般運動可看作是平動和轉動的疊加。如：門、窗的轉動等。如：車輪的滾動。2、轉動第四頁，共五十八頁，編輯于2023年，星期五3、剛體的定軸轉動定軸轉動時，剛體上各點都繞同一固定轉軸作不同半徑的圓周運動。在同一時間內，各點轉過的圓弧長度不同，但在相同時間內轉過的角度相同，稱為角位移，它可以用來描述整個剛體的轉動。作定軸轉動時，剛體內各點具有相同的角量，包括角位移、角速度和角加速度。但不同位置的質點具有不同的線量，包括位移、速度和加速度。第五頁，共五十八頁，編輯于2023年，星期五線量與角量的關系：角位移角速度角加速度角量：對于勻角加速轉動，則有：勻加速直線運動：第六頁，共五十八頁，編輯于2023年，星期五作直線運動的質點：1個自由度作平面運動的質點：2個自由度作空間運動的質點：3個自由度質點：(x,y,z)i=3三、自由度

所謂自由度就是決定系統(tǒng)在空間的位置所需要的獨立坐標的數(shù)目。C(x,y,z)物體有幾個自由度，他的運動定律就歸結為幾個獨立的方程。第七頁，共五十八頁，編輯于2023年，星期五i=3個平動自由度+2個轉動自由度=5個自由度剛性細棒：運動剛體：自由剛體有6個自由度：隨質心的平動+繞過質心軸的轉動確定質心位置3個平動自由度(x,y,z)確定過質心軸位置2個轉動自由度(，)確定定軸轉動角位置1個轉動自由度()第八頁，共五十八頁，編輯于2023年，星期五1、只有垂直轉軸的外力分量才產(chǎn)生沿轉軸方向的力矩Mz，而平行于轉軸的外力分量產(chǎn)生的力矩Mxy

則被軸承上支承力的力矩所抵消。對O點的力矩：一、力矩大?。赫f明§3-2力矩轉動慣量定軸轉動定律第九頁，共五十八頁，編輯于2023年，星期五

是轉軸到力作用線的距離，稱為力臂。2、3、在轉軸方向確定后，力對轉軸的力矩方向可用正負號表示。剛體所受的關于定軸的合力矩：第十頁，共五十八頁，編輯于2023年，星期五二、角速度矢量角速度的方向：與剛體轉動方向呈右手螺旋關系。在定軸轉動中，角速度的方向沿轉軸方向。因此，計算中可用正負表示角速度的方向。線速度和角速度之間的矢量關系：第十一頁，共五十八頁，編輯于2023年，星期五三、定軸轉動定律應用牛頓第二定律，可得：對剛體中任一質量元受外力和內力采用自然坐標系，上式切向分量式為：第十二頁，共五十八頁，編輯于2023年，星期五對剛體內各個質點的相應式子，相加得：對于成對的內力，對同一轉軸的力矩之和為零，則：稱為剛體對轉軸的轉動慣量。第十三頁，共五十八頁，編輯于2023年，星期五剛體在作定軸轉動時，剛體的角加速度與它所受到的合外力矩成正比，與剛體的轉動慣量成反比。剛體定軸轉動定律：與平動定律比較：第十四頁，共五十八頁，編輯于2023年，星期五四、轉動慣量定義：剛體為質量連續(xù)體時：單位(SI)：轉動慣量是剛體轉動慣性大小的量度。轉動慣量取決于剛體本身的性質，即剛體的形狀、大小、質量分布以及轉軸的位置。（r為質元dm到轉軸的距離）第十五頁，共五十八頁，編輯于2023年，星期五例3-1求均質細棒(m，l)的轉動慣量：(1)轉軸通過中心C與棒垂直，(2)轉軸通過棒的一端O與棒垂直。解：(1)(2)CxOxdxdmdxdm可見，轉動慣量因轉軸位置而變，故必須指明是關于某軸的轉動慣量。第十六頁，共五十八頁，編輯于2023年，星期五平行軸定理（parallelaxistheorem）通過任一轉軸A的轉動慣量：CxdxdmAh（取C為坐標原點）剛體對任一轉軸的轉動慣量J等于對通過質心的平行轉軸的轉動慣量JC加上剛體質量m乘以兩平行轉軸間距離h的平方。第十七頁，共五十八頁，編輯于2023年，星期五例3-2求質量m半徑R的(1)均質圓環(huán)，(2)均質圓盤對通過直徑的轉軸的轉動慣量。解：(1)圓環(huán)：dm第十八頁，共五十八頁，編輯于2023年，星期五odm(2)圓盤：可見，轉動慣量與剛體的質量分布有關。第十九頁，共五十八頁，編輯于2023年，星期五例3-3物體：m1，m2(>m1)，

定滑輪：m，r，受摩擦阻力矩為Mr。輕繩不能伸長，無相對滑動。求物體的加速度和繩的張力。解：由于考慮滑輪的質量和所受的摩擦阻力矩，問題中包括平動和轉動。輪不打滑：聯(lián)立方程，可解得T1，T2，a，。

此裝置稱阿特伍德機——可用于測量重力加速度g

r第二十頁，共五十八頁，編輯于2023年，星期五例3-4一半徑為R，質量為m勻質圓盤，平放在粗糙的水平桌面上。設盤與桌面間摩擦系數(shù)為，令圓盤最初以角速度0繞通過中心且垂直盤面的軸旋轉，問它經(jīng)過多少時間才停止轉動？rRdrde把圓盤分成許多環(huán)形質元，每個質元的質量dm=rddre，e是盤的厚度，質元所受到的阻力矩為rdmg。解：

圓盤所受阻力矩為：第二十一頁，共五十八頁，編輯于2023年，星期五m=eR2由定軸轉動定律：第二十二頁，共五十八頁，編輯于2023年，星期五一、力矩的功1.平行于定軸的外力對質元不做功。2.由于剛體內兩質元的相對距離不變，內力做功之和為零。說明§3-3定軸轉動中的功能關系第二十三頁，共五十八頁，編輯于2023年，星期五合外力對剛體做的元功：力矩的功：設作用在質元Dmi上的外力位于轉動平面內。第二十四頁，共五十八頁，編輯于2023年，星期五二、剛體的轉動動能剛體的轉動動能第二十五頁，共五十八頁，編輯于2023年，星期五剛體定軸轉動的動能定理：總外力矩對剛體所做的功等于剛體轉動動能的增量。三、定軸轉動的動能定理由定軸轉動定律，若J不變，則物體在dt時間內轉過角位移d時，外力矩所做元功為：第二十六頁，共五十八頁，編輯于2023年，星期五四、剛體的重力勢能以地面為勢能零點，剛體和地球系統(tǒng)的重力勢能：zOi第二十七頁，共五十八頁，編輯于2023年，星期五例3-5

一質量為m

，長為l

的均質細桿，轉軸在O點，距A端l/3。今使棒從靜止開始由水平位置繞O點轉動，求(1)水平位置的角速度和角加速度。(2)垂直位置時的角速度和角加速度。解：(1)水平位置方向：

cOBA第二十八頁，共五十八頁，編輯于2023年，星期五cOBA(2)垂直位置第二十九頁，共五十八頁，編輯于2023年，星期五一、剛體的角動量因，所以的大小為質元對O點的角動量為：剛體關于O的角動量：§3-4定軸轉動剛體的角動量定理和角動量守恒定律第三十頁，共五十八頁，編輯于2023年，星期五對于定軸轉動，對沿定軸的分量為：稱剛體繞定軸轉動的角動量。剛體轉動慣量：剛體繞定軸的角動量：第三十一頁，共五十八頁，編輯于2023年，星期五稱為角動量定理的微分形式。二、定軸轉動剛體的角動量定理由定軸轉動定律，若J不變，為時間內力矩M對給定軸的沖量矩。角動量定理的積分形式：第三十二頁，共五十八頁，編輯于2023年，星期五且系統(tǒng)滿足角動量定理角動量定理比轉動定律的適用范圍更廣，適用于剛體，非剛體和物體系。

對幾個物體組成的系統(tǒng)，如果它們對同一給定軸的角動量分別為、、…，系統(tǒng)對該軸的角動量為：第三十三頁，共五十八頁，編輯于2023年，星期五三、定軸轉動剛體的角動量守恒定律定軸轉動角動量定理：定軸轉動角動量守恒定律：物體在定軸轉動中，當對轉軸的合外力矩為零時，物體對轉軸的角動量保持不變。當時，有即(常量)適用于剛體，非剛體和物體系。第三十四頁，共五十八頁，編輯于2023年，星期五1、剛體(J不變)的角動量守恒若M=0，則J=常量，而剛體的J不變，故的大小，方向保持不變。此時，即使撤去軸承的支撐作用，剛體仍將作定軸轉動——定向回轉儀——

可以作定向裝置。如：直立旋轉陀螺不倒。o

第三十五頁，共五十八頁，編輯于2023年，星期五2、非剛體(J可變)的角動量守恒當J增大，w就減小，當J減小，w就增大。如：芭蕾舞、花樣滑冰、跳水中的轉動，恒星塌縮(R0，0)(R，)中子星的形成等。第三十六頁，共五十八頁，編輯于2023年，星期五3、物體系的角動量守恒若系統(tǒng)由幾個物體組成，當系統(tǒng)受到的外力對軸的力矩的矢量和為零，則系統(tǒng)的總角動量守恒：如：直升機機尾加側向旋葉，是為防止機身的反轉。第三十七頁，共五十八頁，編輯于2023年，星期五例3-6

摩擦離合器飛輪1：J1、

w1摩擦輪2：

J2、靜止，兩輪沿軸向結合，求結合后兩輪達到的共同角速度。兩輪對共同轉軸的角動量守恒解：在嚙合過程中，摩擦力矩作功，所以機械能不守恒，部分機械能將轉化為熱能。2121第三十八頁，共五十八頁，編輯于2023年，星期五例3-7勻質細棒：l、m，可繞通過端點O的水平軸轉動。棒從水平位置自由釋放后，在豎直位置與放在地面的物體m相撞。該物體與地面的摩擦系數(shù)為，撞后物體沿地面滑行一距離s而停止。求撞后棒的質心C離地面的最大高度h，并說明棒在碰撞后將向左擺或向右擺的條件。分三個階段進行分析。解：第一階段：棒自由擺落的過程，機械能守恒。第三十九頁，共五十八頁，編輯于2023年，星期五第二階段：碰撞過程。系統(tǒng)的對O軸的角動量守恒。第三階段：碰撞后物體的滑行過程與棒的上升過程。物體作勻減速直線運動。聯(lián)合求解，即得碰撞后棒的角速度：第四十頁，共五十八頁，編輯于2023年，星期五’取正值，表示碰后棒向左擺；反之，表示向右擺。棒向左擺的條件為：棒向右擺的條件為：棒的質心C上升的最大高度，也可由機械能守恒定律求得：第四十一頁，共五十八頁，編輯于2023年，星期五

例3-8恒星晚期在一定條件下，會發(fā)生超新星爆發(fā)，這時星體中有大量物質噴入星際空間，同時星的內核卻向內坍縮，成為體積很小的中子星。設某恒星繞自轉軸每45天轉一周，它的內核半徑R02107m，坍縮成半徑R6103m的中子星。試求中子星的角速度。坍縮前后的星體內核均看作是勻質圓球。內核在坍縮前后的角動量守恒。解：

第四十二頁，共五十八頁，編輯于2023年，星期五進動（preccesion）：物體繞自轉軸高速旋轉的同時，其自轉軸還繞另一個軸轉動的現(xiàn)象。又稱回轉效應。如：傾倒陀螺的進動§3-5進動第四十三頁，共五十八頁，編輯于2023年，星期五設陀螺質量為m，以角速度自轉。重力對固定點o的力矩：繞自身軸轉動的角動量：由角動量定理的微分式：顯然，時刻改變方向而大小不變——進動。陀螺的進動

mgo第四十四頁，共五十八頁，編輯于2023年，星期五進動角速度：do由圖可知：由角動量定理：陀螺第四十五頁，共五十八頁，編輯于2023年，星期五陀螺的進動角速度：2.進動軸通過定點且與外力平行。1.ωp

與ω有關，與θ無關。3.進動方向決定于外力矩和自轉角速度的方向。4.較小時，

有周期性變化，稱為章動。說明do回轉效應的應用：炮筒內的旋轉式來復線等。第四十六頁，共五十八頁，編輯于2023年，星期五改變方向，情況如何？

mgo第四十七頁，共五十八頁，編輯于2023年，星期五一、理想流體模型理想流體(idealfluid)：絕對不可壓縮且完全沒有黏性的流體。也叫無粘流體。理想流體動壓強的特性與靜水壓強的特性完全一樣，即壓力總是垂直于作用面的。流體在流動時內部的壓強，稱為流體動壓強。液體和氣體都具有流動性，統(tǒng)稱為流體（fluid）。還具有另外兩種性質：一是可壓縮性，二是黏性。§3-6理想流體模型定常流動伯努利方程第四十八頁，共五十八頁，編輯于2023年，星期五二、定常流動定常流動（steadyflow）：即流場中速度與壓力只是空間點的位置的函數(shù)，而與時間無關，則稱流場中的流動為定常流動。在流體中作一系列曲線，使曲線上任一點的切線方向與該點處流體質元的流速方向一致，這類曲線稱為流線。由流線圍成的管狀區(qū)域，稱為流管。第四十九頁，共五十八頁，編輯于2023年，星期五流管內的流體不能流出管外，管外的流體也不能流入管內，流管的作用與形狀相同的管道一樣，流管就是一種無形的管道。在定常流動中，空間各點的流速雖然不同，但它們都不隨時間變化，所以流體中流線和流管的形狀也不隨時間變化。在定常流動中，任何兩條流線都不能相交。第五十頁，共五十八頁，編輯于2023年，星期五三、伯努利方程伯努利（D.Bernoulli）方程是流體動力學的基本定律，它說明了理想流體在管道中作穩(wěn)定流動時，流體中某點的壓強p、流速v和高度h三個量之間的關系。在流體中取一流管，研究流管中一段流體的運動。設在某一時刻，這段流體在a1a2位置，經(jīng)過極短時間t后，這段流體達到b1b2位置。假設為理想流體，流動過程中，除了重力之外，只有在它前后的流體對它作功。第五十一頁，共五十八頁，編輯于2023年，星期五后面的流體推它前進，作正功；前面的流體阻礙它前進，作負功。設p1、S1、v1和p2、S2、v2分別是a1b1與a2b2處流體的壓強、截面積和流速。后面流體的作用力是p1S1，位移是v1

t，所作的正功是p1S1v1

t，前面流體作用力作的負功是-p2S2v2

t，外力的總功是：第五十二頁，共五十八頁，編輯于2023年，星期五流體不可壓縮：由功能原理：這就是伯努利方程（Bernoulliequation），它表明在同一管道中任何一點處，流體每單位體積的動能和勢能以及該處壓強之和是個常量。第五十三頁，共五十八頁，編輯于2023年，星期五一、線性科學和非線性科學線性是指量與量之間成正比關系。在線性系統(tǒng)中，部分之和等于整體，描述線性系統(tǒng)的方程遵從疊加原理，即方程的不同解相加仍然是個解。非線性則指整體不等于部分之和，疊加原理失效，非線性方程兩個解之和不再是方程的解。牛頓的經(jīng)典力學屬于線性科學范疇。自然界大量存在的相互作用是非線性的，線性作用只不過是非線性作用在一定條件下的近似?；煦缡欠蔷€性科學中最引人注目的一類現(xiàn)象?！?-7牛頓力學的內在隨機性混沌第五十四頁，共五十八頁，編輯于2023年，星期五第二，線性系統(tǒng)往往表現(xiàn)為對外界的影響成比例地變化；而非線性系統(tǒng)中參量的極微小變化，在一些關節(jié)點上，可引起系統(tǒng)運動形式的決定性改變。第三，反映在連續(xù)介質中的波動上，線性行為表現(xiàn)為色散引起波包的彌散，導致結構的消失，而非線性作用卻可促使空間規(guī)整性結構的形成和維持。線性和非線性物理現(xiàn)象的區(qū)分一般有三個特征：第一，線性現(xiàn)象一般表現(xiàn)為時空中的平滑運動，并可用性能良好的函數(shù)表示；而非線性現(xiàn)象則表現(xiàn)為從規(guī)則運動向不規(guī)則運動的轉化和躍變。第五十五頁，共五十八頁，編輯于2023