導(dǎo)數(shù)與微分在經(jīng)濟(jì)學(xué)中的應(yīng)用

第4章微分中值定理與導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用

§4.1微分中值定理目錄目錄下一頁退出§4.2泰勒公式§4.3洛必達(dá)法則與不定式的極限§4.4函數(shù)的單調(diào)性與凹凸性§4.5函數(shù)的極值與最值§4.6導(dǎo)數(shù)與微分在經(jīng)濟(jì)學(xué)中的應(yīng)用.實(shí)際問題求最值應(yīng)注意:(1)建立目標(biāo)函數(shù);(2)求最值;§4.6導(dǎo)數(shù)與微分在經(jīng)濟(jì)學(xué)中的應(yīng)用一、最值問題例１設(shè)某產(chǎn)品日產(chǎn)量為件時(shí)，總成本為（元）（２）最低平均成本及相應(yīng)的產(chǎn)量？上一頁目錄下一頁退出解（１）日產(chǎn)量為500件的總成本為（１）求日產(chǎn)量為500件的總成本和平均成本（元）平均成本為（元）即當(dāng)日產(chǎn)量為400件時(shí)，平均成本最低，最低平均成本為上一頁目錄下一頁退出（2）求日產(chǎn)量為件的平均成本（元）例2

某物業(yè)公司策劃出租100間寫字樓,經(jīng)過市場(chǎng)調(diào)查，當(dāng)每間寫字樓租金定為每月5000元時(shí),可以全部出租；當(dāng)租金每月增加100元時(shí),就有一間寫字樓租不出去.已知每租出去一間寫字樓，物業(yè)公司每月需為其支付300元的物業(yè)管理費(fèi).為使收入最大，租金應(yīng)定為多少才合適?

解設(shè)房租為每月元，租出去的房子有套，每月總收入為（唯一駐點(diǎn)）故每月每套租金為9400元時(shí)收入最高.最大收入為二、邊際分析定義1導(dǎo)數(shù)稱為在點(diǎn)處的邊際函數(shù)值

上一頁目錄下一頁退出(1)成本函數(shù)的邊際成本函數(shù)為.邊際成本值的意義是：當(dāng)產(chǎn)量達(dá)到時(shí)，再多生產(chǎn)一個(gè)單位產(chǎn)品所添加的成本.(2)收入函數(shù)的邊際收入函數(shù)為.邊際收入值的意義是：當(dāng)銷售達(dá)到時(shí)，再多銷售一個(gè)單位商品所增加的收入.上一頁目錄下一頁退出(3)利潤(rùn)函數(shù)的邊際利潤(rùn)函數(shù)為.邊際利潤(rùn)值的意義是：當(dāng)銷售達(dá)到時(shí)，再多銷售一個(gè)單位商品所增加的利潤(rùn).(4)需求函數(shù)的邊際需求函數(shù)為.邊際需求值的意義是：當(dāng)價(jià)格達(dá)到時(shí)，再上漲(或下降)一個(gè)單位所減少(或增加)的需求量..例3求例1中日產(chǎn)量為500件的邊際成本，解釋其經(jīng)濟(jì)意義.并求最低平均成本時(shí)相應(yīng)產(chǎn)量的邊際成本.上一頁目錄下一頁退出解因成本函數(shù)為因此日產(chǎn)量為500件的邊際成本為故邊際成本函數(shù)為（元）其經(jīng)濟(jì)意義是：當(dāng)日產(chǎn)量為500件時(shí)，每增產(chǎn)(或減產(chǎn))1件產(chǎn)品，將增加(或減少)成本30元在例1中，已經(jīng)求得當(dāng)日產(chǎn)量為400件時(shí)，平均成本最低，故相應(yīng)產(chǎn)量的邊際成本為上一頁目錄下一頁退出（元）例4設(shè)某產(chǎn)品的需求函數(shù)為(價(jià)格P的單位：萬元),成本函數(shù)為(噸)（２）試求邊際利潤(rùn)函數(shù),并分別求需求量為300噸，350噸和400噸的邊際利潤(rùn)，從所得結(jié)果說明什么問題？上一頁目錄下一頁退出解（１）邊際需求函數(shù)為（１）求邊際需求函數(shù)，解釋其經(jīng)濟(jì)意義；（元）其經(jīng)濟(jì)意義是：若價(jià)格上漲(或下降)1萬元，則需求量將減少(或增加)10噸.（２）上一頁目錄下一頁退出于是，故收入函數(shù)為因此，利潤(rùn)函數(shù)為故邊際利潤(rùn)函數(shù)為結(jié)果表明：當(dāng)需求量為300噸時(shí)，每增加1噸，利潤(rùn)將增加10萬元；當(dāng)需求量為350噸時(shí)，再增加1噸，利潤(rùn)不變；當(dāng)需求量400噸時(shí)，每增加1噸，利潤(rùn)反而減少10萬元.這也說明了需求量并非越大利潤(rùn)越高.定義2

設(shè)函數(shù)在可導(dǎo)，與自變量的相對(duì)改變量之比稱為從到兩點(diǎn)間的彈性(或平均相對(duì)變化率).上一頁目錄下一頁退出三、彈性分析函數(shù)的相對(duì)改變量而極限稱為函數(shù)在點(diǎn)的彈性.記為即對(duì)于任意，是的函數(shù)，稱為的彈性函數(shù).彈性的意義：反映隨變化時(shí)，函數(shù)值變化的幅度的大?。畬?duì)實(shí)際問題而言，函數(shù)的彈性表示對(duì)的變化的反應(yīng)的強(qiáng)烈程度或靈敏度．即在處產(chǎn)上一頁目錄下一頁退出生１％的改變時(shí)，相應(yīng)產(chǎn)生近似于％．

例5某體育用品店中籃球的價(jià)格80元，乒乓球的價(jià)格2元，月銷量分別為2000個(gè)和8000個(gè)，當(dāng)兩種球都提價(jià)1元時(shí)，月銷量分別為1980個(gè)和2000個(gè)，請(qǐng)考察其收入變化情況.已知籃球的價(jià)格，銷量解上一頁目錄下一頁退出乒乓球的價(jià)格，銷量提價(jià)即籃球的銷量下降了1%.即乒乓球的銷量下降了75%.從而它們的需求對(duì)價(jià)格的彈性分別為由于是低彈性，因此籃球提價(jià)可使收入增加；由于是高彈性，因此乒乓球的提價(jià)使收入減少.例6設(shè)某品牌的電腦價(jià)格為P(元)，需求量為Q，其需求函數(shù)為：(1)求時(shí)的邊際需求,并說明其經(jīng)濟(jì)意義.解上一頁目錄下一頁退出(2)求時(shí)的需求彈性,并說明其經(jīng)濟(jì)意義.(3)求時(shí),若價(jià)格上漲1%,總收益將如何變化?是增加還是減少?(4)求時(shí),若價(jià)格上漲1%,總收益的變化又如何?是增加還是減少?需求彈性為(1)時(shí)的邊際需求為上一頁目錄下一頁退出其經(jīng)濟(jì)意義是當(dāng)價(jià)格元時(shí),若漲價(jià)1元，則需求量下降20臺(tái).(2)時(shí)，其經(jīng)濟(jì)意義是當(dāng)價(jià)格元時(shí),價(jià)格上漲1%,

需求減少0.667%.需求彈性