結(jié)構(gòu)力學(xué)靜定結(jié)構(gòu)位移計算

（優(yōu)選）結(jié)構(gòu)力學(xué)靜定結(jié)構(gòu)位移計算目前一頁\總數(shù)七十七頁\編于八點第一節(jié)位移計算概述1、結(jié)構(gòu)的位移桿系結(jié)構(gòu)在外界因素作用下會產(chǎn)生變形和位移。變形是指結(jié)構(gòu)原有形狀和尺寸的改變；位移是指結(jié)構(gòu)上各點位置產(chǎn)生的變化線位移（位置移動）角位移（截面轉(zhuǎn)動）。思考：變形與位移的差別？兩者之間的關(guān)系：有變形必有位移；有位移不一定有變形。目前二頁\總數(shù)七十七頁\編于八點第一節(jié)位移計算概述形狀的改變稱變形；位置的改變稱位移AyAxAAABAxBxAB=Ax+BxA’A’B’無論是線位移還是角位移，無論絕對位移還是相對位移統(tǒng)稱廣義位移絕對位移相對位移FP目前三頁\總數(shù)七十七頁\編于八點第一節(jié)位移計算概述2、結(jié)構(gòu)位移計算的目的(1)結(jié)構(gòu)剛度驗算的要求。吊車梁允許的撓度<1/600跨度；高層建筑的最大位移<1/1000高度。最大層間位移<1/800層高(3)為分析超靜定結(jié)構(gòu)計算、動力計算和穩(wěn)定計算打基礎(chǔ).(2)施工要求：結(jié)構(gòu)的制作、架設(shè)、養(yǎng)護過程中往往需要預(yù)先知道結(jié)構(gòu)的變形情況，以便采取施工措施;目前四頁\總數(shù)七十七頁\編于八點第一節(jié)位移計算概述如屋架在豎向荷載作用下，下弦各結(jié)點產(chǎn)生虛線所示位移。將各下弦桿做得比實際長度短些，拼裝后下弦向上起拱。在屋蓋自重作用下，下弦各桿位于原設(shè)計的水平位置。建筑起拱目前五頁\總數(shù)七十七頁\編于八點第一節(jié)位移計算概述3、產(chǎn)生位移的主要原因各種因素對靜定結(jié)構(gòu)的影響

內(nèi)力變形位移荷載√√√溫度改變或材料脹縮

×√√支座移動或制造誤差

××√產(chǎn)生位移的主要原因主要三種：①荷載作用、②溫度改變和材料脹縮、③支座移動和制造誤差。目前六頁\總數(shù)七十七頁\編于八點4體系特征假定(3)理想聯(lián)結(jié)疊加原理適用(1)線彈性(2)小變形可以利用虛功概念計算結(jié)構(gòu)的位移目前七頁\總數(shù)七十七頁\編于八點第二節(jié)變形體虛功原理1、功的概念功：是能量變化的度量。用定量形式表述了力在其作用點的運動路程上對物體作用的效果。功=力×力作用點沿力方向上的位移

理解為廣義力廣義力與廣義位移的乘積具有功的量綱。目前八頁\總數(shù)七十七頁\編于八點第二節(jié)變形體虛功原理實功：力在自身所產(chǎn)生的位移上所作的功。(1)常力作功SFP(2)變力作功FP（力與位移有因果關(guān)系）O目前九頁\總數(shù)七十七頁\編于八點第二節(jié)變形體虛功原理虛功：力在非自身所產(chǎn)生的位移上所作的功。（力與位移相互獨立）FP1FP2（此過程力保持為常量）虛功具體有兩種情況：

1作功雙方其一是虛設(shè)的；

2作功雙方均是實際存在的，但彼此無關(guān)。目前十頁\總數(shù)七十七頁\編于八點第二節(jié)變形體虛功原理注意：定義“功”時對產(chǎn)生位移的原因沒有給予限制，作功的兩個要素中，若力在其自身引起的位移上作功，則稱實功；若力在由其他原因引起的位移上作功，則稱虛功；為便于功的計算，引入廣義力和廣義位移的概念：凡與力相關(guān)的因子均稱廣義力（如集中力、分布力，力偶等）凡與位移相關(guān)的因子均稱廣義位移（如線位移、角位移等）目前十一頁\總數(shù)七十七頁\編于八點：結(jié)構(gòu)產(chǎn)生的各種位移，包括截面的線位移、角位移、相對線位移、相對角位移或者是一組位移等等都可泛稱為廣義位移。廣義位移

：與廣義位移對應(yīng)的就是廣義力，可以是一個集中力，集中力偶或一對大小相等方向相反的力或力偶，也可以是一組力系。

注意：廣義位移與廣義力的對應(yīng)關(guān)系，能夠在某一組廣義位移上做功的力系，才稱為與這組廣義位移對應(yīng)的廣義力。

廣義力目前十二頁\總數(shù)七十七頁\編于八點第二節(jié)變形體虛功原理作功的廣義力可以是單個力，也可以是一組力；未必發(fā)生但能滿足物體連續(xù)變化和約束條件的微小變形稱虛變形。虛變形是合理的，但不一定是真實的。虛變形各種各樣，但在某一原因作用下的真實變形卻是確定的，真實變形是虛變形中的一個。廣義力和廣義位移均可有不同的量綱，但其乘積必須具有功的量綱。目前十三頁\總數(shù)七十七頁\編于八點回顧（1）質(zhì)點系的虛功原理

具有理想約束的質(zhì)點系，在某一位置處于平衡的必要和充分條件是：Σfiδri=0→→.

對于任何可能的虛位移，作用于質(zhì)點系的主動力所做虛功之和為零。也即目前十四頁\總數(shù)七十七頁\編于八點（2）剛體系的虛功原理

去掉約束而代以相應(yīng)的反力，該反力便可看成外力。則有：剛體系處于平衡的必要和充分條件是：

對于任何可能的虛位移，作用于剛體系的所有外力所做虛功之和為零。FPΔPΔB-FPΔP+FB

ΔB=0目前十五頁\總數(shù)七十七頁\編于八點第二節(jié)變形體虛功原理2虛功原理（1）剛體系的虛功原理剛體系處于平衡的必要和充分條件是：對于任何可能的虛位移，作用于剛體系的所有外力所做虛功之和為零。（2）變形體的虛功原理任何一個處于平衡狀態(tài)的變形體，當(dāng)發(fā)生任意一個虛位移時，變形體所受外力在虛位移上所作的總虛功We恒等于變形體各微段外力在微段變形上作的虛功之和Wi。也即恒有如下虛功方程成立：

We=Wi目前十六頁\總數(shù)七十七頁\編于八點變形體虛功原理的必要性證明:FNM+dMMq剛體位移變形力狀態(tài)（滿足平衡條件）位移狀態(tài)（滿足約束條件）FN

＋dFNFSFS

＋dFS第二節(jié)變形體虛功原理目前十七頁\總數(shù)七十七頁\編于八點

按外力虛功和內(nèi)力虛功計算微段虛功總和=微段外力虛功+微段內(nèi)力虛功所以由于變形連續(xù)及相鄰截面內(nèi)力是作用力和反作用力的關(guān)系dWz=dWe+dWiWz=We+WiWz=WeWi=0第二節(jié)變形體虛功原理目前十八頁\總數(shù)七十七頁\編于八點

按剛體虛功和變形虛功計算微段虛功總和=微段剛體虛功+微段變形虛功所以基于平衡狀態(tài)的剛體虛功原理dWz=dWg+dWidWZ

=

dWidWg

=

0Wz

=

Wi故有Wz=We＝Wi第二節(jié)變形體虛功原理目前十九頁\總數(shù)七十七頁\編于八點對于直桿體系，由于變形互不耦連，有:虛功方程內(nèi)力總虛功外力總虛功目前二十頁\總數(shù)七十七頁\編于八點力狀態(tài)的外力和內(nèi)力都是不變的常力；“虛”僅僅表明作功雙方是相互獨立的。當(dāng)一方是真實的時候，另一方即可按要求假設(shè)。當(dāng)體系沒有變形時Wi=0,即

We=0。說明剛體虛功原理是變形體虛功原理的特例;原理說明：第二節(jié)變形體虛功原理目前二十一頁\總數(shù)七十七頁\編于八點從變形類型看：即可以考慮彎曲變形，也可考慮拉伸和剪切變形；虛功原理的結(jié)論具有普遍性。表現(xiàn)在：

從變形因素看：即可以考慮荷載作用引起的位移，也可考慮溫度改變和支座移動引起的位移；從結(jié)構(gòu)類型看：即可用于靜定結(jié)構(gòu)，又可用于超靜定結(jié)構(gòu)；從材料性質(zhì)看：即可用于線彈性結(jié)構(gòu)，又可用于非彈性結(jié)構(gòu)。第二節(jié)變形體虛功原理目前二十二頁\總數(shù)七十七頁\編于八點由于作功雙方地位平等，所以可虛擬任何一方，由此原理可有兩個方面的應(yīng)用：虛功方程同時應(yīng)用了平衡條件和變形連續(xù)條件，因此方程是即可用來代替幾何方程，又可代替平衡方程的綜合方程。

實際待分析的協(xié)調(diào)位移狀態(tài)，虛設(shè)的平衡力狀態(tài)，將位移分析化為平衡問題來求解。

——虛力原理

實際待分析的平衡力狀態(tài)，虛設(shè)的協(xié)調(diào)位移狀態(tài)，將平衡問題化為幾何問題來求解。

——虛位移原理第二節(jié)變形體虛功原理目前二十三頁\總數(shù)七十七頁\編于八點第三節(jié)位移計算公式單位荷載法

(Dummy-UnitLoadMethod)

是Maxwell,1864和Mohr,1874提出，故也稱為Maxwell-MohrMethod。

用虛功原理，位移狀態(tài)即實際狀態(tài)，另虛設(shè)一個力狀態(tài)（稱力虛設(shè)狀態(tài)），要使虛擬力的虛功正好等于所求位移，故稱為單位荷載法。1、一般位移計算公式目前二十四頁\總數(shù)七十七頁\編于八點協(xié)調(diào)的位移狀態(tài)平衡的力狀態(tài)ABkc1c2kkFPq(x)AB考察同一結(jié)構(gòu)的兩個狀態(tài)，欲求k點位移k實際狀態(tài)虛設(shè)狀態(tài)目前二十五頁\總數(shù)七十七頁\編于八點外力虛功內(nèi)力虛功由虛功方程此式即為平面結(jié)構(gòu)位移計算一般公式。若結(jié)果為正，表明的實際位移方向與虛設(shè)力的方向相同。若結(jié)果為負，表明的實際位移方向與虛設(shè)力的方向相反目前二十六頁\總數(shù)七十七頁\編于八點(1)在擬求位移點沿位移方向虛設(shè)相應(yīng)單位荷載；(2)在單位荷載作用下，由平衡條件求虛內(nèi)力和虛反力；(3)由位移計算公式求相應(yīng)位移。位移計算的一般步驟位移計算的關(guān)鍵在于虛設(shè)恰當(dāng)?shù)牧顟B(tài)第三節(jié)位移計算公式目前二十七頁\總數(shù)七十七頁\編于八點求1點豎向線位移求1點絕對角位移求1、2點的相對線位移廣義力與廣義位移對應(yīng)關(guān)系：1112第三節(jié)位移計算公式目前二十八頁\總數(shù)七十七頁\編于八點求1、2兩截面的相對角位移求12桿件的轉(zhuǎn)角位移廣義力與廣義位移對應(yīng)關(guān)系：1212a第三節(jié)位移計算公式目前二十九頁\總數(shù)七十七頁\編于八點線彈性、小變形假設(shè)下，荷載作用引起的位移：真實變形虛擬內(nèi)力2、荷載作用下的位移計算公式第三節(jié)位移計算公式目前三十頁\總數(shù)七十七頁\編于八點例題：求結(jié)構(gòu)A點豎向位移ABCABCAB段內(nèi)力函數(shù)BC段內(nèi)力函數(shù)第三節(jié)位移計算公式目前三十一頁\總數(shù)七十七頁\編于八點設(shè)桿件截面形狀為矩形：則：土木工程中桿件一般：可見對以彎曲為主的細長桿結(jié)構(gòu)的位移計算可忽略軸向變形和剪切變形的影響第三節(jié)位移計算公式目前三十二頁\總數(shù)七十七頁\編于八點各類結(jié)構(gòu)的位移計算公式1、梁和剛架：2、桁架：3、組合結(jié)構(gòu)：4、拱結(jié)構(gòu)：拱內(nèi)彎矩較小時：拱內(nèi)彎矩較大時：荷載引起的位移與桿件的絕對剛度值有關(guān)第三節(jié)位移計算公式目前三十三頁\總數(shù)七十七頁\編于八點

例6-1圖示剛架，已知各桿的彈性模量E和截面慣性矩I均為常數(shù)，試求B點的豎向位移△BV，水平位移△BH,和位移△B

。

解:(1)作出荷載作用下的彎矩圖，寫出各桿的彎矩方程。橫梁BC

豎柱CA

目前三十四頁\總數(shù)七十七頁\編于八點(2)求B點的豎向位移△BV

寫出各桿單位力作用下的彎矩方程式，畫出彎矩圖橫梁BC

豎柱CA

目前三十五頁\總數(shù)七十七頁\編于八點(3)求B點的水平位移△BH

在B點加單位水平力。畫出彎矩圖并寫出各桿的彎矩方程橫梁BC

豎柱CA

注意：負號表示位移的方向與假設(shè)的單位力的方向相反。（4）求B點的線位移ΔB

目前三十六頁\總數(shù)七十七頁\編于八點

在桿件數(shù)量多或荷載較復(fù)雜的情況下，不方便。下面尋求一種簡單的計算位移的法。受彎為主的構(gòu)件位移計算常遇到積分公式：利用圖形的靜矩原理將圖形積分變?yōu)閳D形相乘稱莫爾積分第四節(jié)圖乘法及其應(yīng)用目前三十七頁\總數(shù)七十七頁\編于八點對于直桿對直線彎矩圖對于等剛度桿xcxycxyCABMPM第四節(jié)圖乘法及其應(yīng)用目前三十八頁\總數(shù)七十七頁\編于八點

方法使用條件注意事項1、等剛直桿2、至少有一直線圖

和yc為代數(shù)量，若它們在桿軸線同側(cè)，則乘積為正；反之為負；

拱、曲桿結(jié)構(gòu)和連續(xù)變截面的結(jié)構(gòu)只能通過積分的方式求解；

應(yīng)用圖乘法首先熟練掌握常用圖形面積及形心位置。這也是圖乘法的亮點3、yc應(yīng)取自直線圖中第四節(jié)圖乘法及其應(yīng)用目前三十九頁\總數(shù)七十七頁\編于八點常見圖形面積和形心矩形三角形拋物形第四節(jié)圖乘法及其應(yīng)用目前四十頁\總數(shù)七十七頁\編于八點當(dāng)圖形的面積或形心位置不便確定時，可把它們分解為幾個簡單圖形的疊加（分解方法不唯一）i，yi是代數(shù)量第四節(jié)圖乘法及其應(yīng)用目前四十一頁\總數(shù)七十七頁\編于八點目前四十二頁\總數(shù)七十七頁\編于八點第四節(jié)圖乘法例題.已知EI

為常數(shù)，求B點的轉(zhuǎn)角位移l/2ABl/2EIFPABMP圖圖目前四十三頁\總數(shù)七十七頁\編于八點第四節(jié)圖乘法ql2/2

例題：求梁B點豎向位移。3l/4解題步驟：①虛擬力狀態(tài)；②分別作荷載彎矩圖和單位彎矩圖； ③計算位移?！齦qABMP圖P=1l

圖目前四十四頁\總數(shù)七十七頁\編于八點ql↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓lEIB1ql2/83ql2/2MPl求B點豎向位移。目前四十五頁\總數(shù)七十七頁\編于八點第四節(jié)圖乘法PPaaa例題：求圖示梁中點的撓度。PaPaP=1a/2a/2？兩個圖形均非直線性MP圖圖目前四十六頁\總數(shù)七十七頁\編于八點例題：求圖示梁C點的撓度。l/2l/6l6EIPl123=PlEIC212=DEIPl4853=Pl65×??llEIyC22210?è?××==Dw5Pl/6？豎標(biāo)不是取在直線圖形中Pl/2l/2CPlMP圖CP=1圖目前四十七頁\總數(shù)七十七頁\編于八點第四節(jié)圖乘法

對折線段要分成直線段做。

對剛度不同的區(qū)段要分段做目前四十八頁\總數(shù)七十七頁\編于八點第四節(jié)圖乘法

取

yc的圖形必須是直線，不能是曲線或折線。

不同的圖乘方式，其難易程度不同。當(dāng)兩個圖形均為直線圖形時，取那個圖形的面積均可。目前四十九頁\總數(shù)七十七頁\編于八點第四節(jié)圖乘法練習(xí).已知EI

為常數(shù)，求中點C點的豎向位移l/2ABEICql/2目前五十頁\總數(shù)七十七頁\編于八點第四節(jié)圖乘法練習(xí).

已知EI

為常數(shù)，求距右支座l/3處C點的豎向位移。2l/3ABEICql/3

分幾段？

各段面積的形心怎樣確定？

各段的yc怎樣確定?MP圖圖目前五十一頁\總數(shù)七十七頁\編于八點第四節(jié)圖乘法求C截面豎向位移CMP圖圖目前五十二頁\總數(shù)七十七頁\編于八點1.圖乘法的應(yīng)用條件：（1）等剛度直桿；（2）兩個內(nèi)力圖中應(yīng)有一個是直線；（3）yc應(yīng)取自直線圖中。2.若與yc在桿件的同側(cè)，yc

取正值；反之，取負值。3.如圖形較復(fù)雜，可分解為簡單圖形.圖乘法小結(jié)目前五十三頁\總數(shù)七十七頁\編于八點練習(xí).

已知EI

為常數(shù)，求A、B兩點的相對位移ABlhABCDq目前五十四頁\總數(shù)七十七頁\編于八點求AB兩點的相對水平位移。36189MPP=1P=163)()??=EI-756??×××+3322318?è?××××-+EI643636311??+×××-2639632(?è?×+×-××+××-=DEI61833631826362661↑↑↑↑↑↑↑↑↑↑↑↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓6kN2kN/m2kN/m6m3m3mABEI=常數(shù)9999999目前五十五頁\總數(shù)七十七頁\編于八點練習(xí).

已知EI

為常數(shù),求C鉸兩側(cè)相對轉(zhuǎn)角位移qlllABDC目前五十六頁\總數(shù)七十七頁\編于八點第四節(jié)圖乘法練習(xí).

已知EA

為常數(shù),求D點水平位移D以及EC桿的轉(zhuǎn)角位移ECABCDEFFP2aa只需求出都為非零桿內(nèi)力目前五十七頁\總數(shù)七十七頁\編于八點第四節(jié)圖乘法練習(xí).

已知EI

為常數(shù)，試問當(dāng)FP為何值時，B點豎向位移B＝0.ABlqFP目前五十八頁\總數(shù)七十七頁\編于八點彈性支座處理：方法1.將彈簧看成是結(jié)構(gòu)中的一個可變形的構(gòu)件（拉壓桿）方法2.將彈簧支座的變形看成是主體結(jié)構(gòu)的支座位移。FPlaABCEI第四節(jié)圖乘法目前五十九頁\總數(shù)七十七頁\編于八點第五節(jié)非荷載因素作用下位移計算1、溫度的改變雖不產(chǎn)生內(nèi)力，但產(chǎn)生位移溫度改變引起的微段變形中性軸目前六十頁\總數(shù)七十七頁\編于八點當(dāng)溫度變形與虛內(nèi)力變形方向一致時，乘積為正溫度改變不產(chǎn)生剪切變形ABC單位彎矩圖面積單位軸力圖面積第五節(jié)非荷載因素作用下位移計算目前六十一頁\總數(shù)七十七頁\編于八點由溫度變化引起的位移與剛度系數(shù)無關(guān)，所以不能通過增加剛度的方法控制位移。溫度改變引起的軸向變形已不能忽略。注：第五節(jié)非荷載因素作用下位移計算目前六十二頁\總數(shù)七十七頁\編于八點2．下料誤差處理將桿件加長看成桿件變形。只須求出下料有誤的桿件內(nèi)力例題.

桁架上弦桿每桿按設(shè)計長出0.02米，求由此引起的C點豎向位移C？ABCDEF26m6m第五節(jié)非荷載因素作用下位移計算目前六十三頁\總數(shù)七十七頁\編于八點3．支座移動引起的位移利用剛體虛功原理例題.

由于固端支座發(fā)生偏轉(zhuǎn)，求引起k點的豎向位移。M=lkl/2ll/2第五節(jié)非荷載因素作用下位移計算目前六十四頁\總數(shù)七十七頁\編于八點第五節(jié)其它因素產(chǎn)生的位移例題：求圖示結(jié)構(gòu)由于支座移動產(chǎn)生的位移。abl/2l/2h110=AY1=BhX0=BY=1AhX解：虛擬單位荷載，由平衡條件，求支座反力。代入公式求位移。目前六十五頁\總數(shù)七十七頁\編于八點第五節(jié)其它因素產(chǎn)生的位移例題：求圖示剛架C點的豎向位移。各桿截面為矩形。aa0+10+10CP=1P=1－1aFN圖M

圖目前六十六頁\總數(shù)七十七頁\編于八點材料滿足線彈性，小變形的假設(shè)ABFPq<狀態(tài)2>ABMq<狀態(tài)1>考察同一結(jié)構(gòu)的兩種受力和變形狀態(tài)。兩種狀態(tài)均滿足受力平衡和變形協(xié)調(diào)。第六節(jié)線彈性體系的互等定理1功的互等定理目前六十七頁\總數(shù)七十七頁\編于八點功的互等定理：處于平衡且滿足協(xié)調(diào)的兩個狀態(tài)1、2，狀態(tài)1的外力在狀態(tài)2的位移上所作的總虛功等于狀態(tài)2的外力在狀態(tài)1的位移上所作的總虛功。第六節(jié)線彈性體系的互等定理目前六十八頁\總數(shù)七十七頁\編于八點2位移互等定理1221ABFP2<狀態(tài)2>ABFP1<狀態(tài)1>第六節(jié)線彈性體系的互等定理目前六十九頁\總數(shù)七十七頁\編于八點位移互等定理：同一結(jié)構(gòu)，在位置1作用單位力引起位置2處的位移，等于在位置2作用單位力引起位置1處的位移。ij

是廣義位移與產(chǎn)生該位移的力的比值，它乘以力后得位移，故應(yīng)