帶電粒子在電磁場中的多解問題

習題課三帶電粒子在磁場中運動的多解問題教學目標1.了解多解問題的常見成因，逐步熟悉處理多解問題的方法；2.強化“全圓”、“動圓”的概念，學會用好繪圖工具快解問題。教學過程：一．速度方向不變，大小改變【例題1】長為L,間距也為L的兩平行金屬板間有垂直向里的勻強磁場，如圖所示，磁感應強度為B,今有質量為m、帶電量為q的正離子從平行板左端兩班正中間以平行于金屬板的方向射入磁場。欲使離子不打在極板上，入射離子的速度大小應滿足的條件是( )A.vqBL5qBLB.v4m4mqBLC.vD.qBL5qBLvm4m4m—1 *1XXXBx1=pLXXXX1【解析】：于某值￡時粒子可以從極板右邊穿出，而半徑小于某值r2時粒子可從極板的左邊穿出，現在問題歸結為求粒子能在右邊穿出時r的最小值￡以及粒子在左邊穿出時r的最大值r2，由幾何知識得：粒子擦著板從右邊穿出時，圓心在O點，有：r]2=L2+(g-L/2)2得e=5L/4又由于氣二mv”q得V]=5BqL/4n，.??v〉5BqL/4n時粒子能從右邊穿由左手定則判得粒子在磁場中間向上偏，而作勻速圓周運動，很明顯，圓周運動的半徑大出。粒子擦著上板從左邊穿出時，圓心在0'點，有r2=L/4又由r2=mv/Bq=L/4得v2=BqL/4n???v2〈BqL/4n時粒子能從左邊穿出。答案：AB【解后小結】本題只問帶電粒子在洛倫茲力作用下飛出有界磁場時，由于粒子運動軌跡是圓弧狀，因此，它可能穿過去了，也可能轉過180o從入射界面這邊反向飛出，于是形成多解，在解題時一定要考慮周全?！纠}2】正離子從矩形磁場的D點沿DA方向、以各種不同的速率射入磁場，那么，這些正離子可能從矩形邊界的什么位置射出？已知AD=a，AB=1.5a。【解析】解后小結】二．速度大小不變，方向改變【例題3】（05河北高考）如圖，在一水平放置的平板MN的上方有勻強磁場，磁感應強度的大小為B,磁場方向垂直于紙面向里。許多質量為m帶電量為+q的粒子，以相同的速率v沿位于紙面內的各個方向，由小孔O射入磁場區(qū)域。不計重力，不計粒子間的相互影響。下列圖中陰影部分表示帶電粒子可能經過的區(qū)域，其中R二。哪個圖是正確的（A）BqMMNOB．O2RMI—2Rt|—2ROC．OMMNOB．O2RMI—2Rt|—2ROC．O2*~2RNNOA．解析】【解后小結】【例題4】如圖所示，真空室內有勻強磁場，磁場方向垂直于紙°「■■ 飛面向里，磁感應強度的大小B=0.60T，磁場內有一塊平行感光.■.!、_.、，、、?、板ab，板面與磁場方向平行，在距ab的距離l=16cm處，有一個點狀的?粒子發(fā)射源S,它向各個方向發(fā)射?粒子，u粒子的 ' '''速度都是v=3.0x106m/s.已知a粒子的電量與質量之比q/m=----*----5.0x107C/kg，現只考慮在紙平面中運動的a粒子，求ab上被a粒子打中的區(qū)域長度.【解析】洛倫茲力是a粒子作圓運動的向心力；計算出圓半徑后，確定圓心的位置就成為解題的關鍵,a粒子軌跡與ab相切，以及a粒子離S最遠的距離為2r是判定最遠點的條件.如圖11-3-2.a粒子帶正電，用左手定則判定a粒子在磁場中沿逆時針方向做勻速圓周運動，用r表示軌道半徑，有Bqv=m^，解得道半徑，有Bqv=m^，解得rv(—)Bm3x1065.0x107x0.6m=0.10m，可見2r>l>r.因向不同方向發(fā)射的a粒子的圓軌跡都過S,由此可知，某一圓軌跡在圖中N左側與ab相切，則此切點P1就是a粒子能打中的左側最遠點，為定出P］的位置，可作平行與ab的直線cd，cd到ab的距離為r=0.10m?以S為圓心，r為半徑，作弧交cd于Q點，過Q作ab的垂線，它與ab的交點即為P1?由圖中幾何關系得：INP=vr2—（l一r）2?1再考慮N的右側，任何a粒子在運動中離S的距離不可能超過2r，以2r為半徑，S為圓心作圓,交ab于N右側的P2點，P2即為a粒子在右側能達到的最遠點.由幾何關系得：NP八4r2-12.222所求長度為：P1P2=NP1+NP2=0.20m.【解后小結】中左右兩邊最遠點考慮方式不一樣，不少同學會利用左右對稱來解，這就失去了一半.錯誤的主要原因在于對于a粒子在空間飛行的軌跡不熟悉

例題5】核聚變反應需要幾百萬度以上的高溫，為把高溫條件下高速運動的離子約束在小范圍內，通常采用磁約束的方法．如圖所示，環(huán)狀勻強磁場圍成中空區(qū)域，中空區(qū)域中的帶電粒子只要速度不是很大，都不會穿出磁場的外邊緣而被約束在該區(qū)域內.設環(huán)狀磁場的內半徑R]=0.5m,外半徑R2=1.0m,磁場的磁感應強度B=1.0T.若被束縛帶電粒子的荷質比為q/mtdxlMc/kg.中空區(qū)域內帶電粒子具有各個方向的速度.試計算：（1） 粒子沿環(huán)狀的半徑方向射入磁場，不能穿越磁場的最大速度（2） 所有粒子不能穿越磁場的最大速度.【解析】答案（1）1.5x1Q7m/s；（2）1.0x107m/s解后小結】三．范圍型問題：【例題6】電量為q、質量為m的帶正電粒子在XOY平面內沿著Y=a的直線以速度v經Y軸上的P點射入XOY平面的第一象限。要求在第一象限內設置磁感應強度為B的一個圓形區(qū)域，使帶電粒子發(fā)生偏轉,最后經X軸上的M點（XM=2a）射出，且偏轉角0=60°，如右圖所示。試求能達到此目的的最小圓形磁場區(qū)域的半徑（粒子的重力不計）。解析】：依題意，磁場的方向垂直紙面向外。由于帶電粒子的速度和磁場都是確定的，所以帶電粒ay子作圓周運動的半徑r=mv/qB也是確定的。將X軸和Y軸上的兩個速度矢量（或反向）延長，與X、Y軸組成一個梯形，再畫一個半徑確定的圓（軌跡），并將此圓移至坐標中與兩速度矢量相切（如下右圖所示），過兩切點作軌跡圓的弦，則最小圓形磁場的區(qū)域的圓直徑就是此弦的長度。弦的長度AB可根據幾何關系求得，如上左圖所示，過兩速度的矢量與圓軌跡的切點A、B各作兩條垂線AO、BO相交于O點，ay則ZAOB=0=60°，過O作弦AB的垂線OD,貝I」ZDOB=0/2=30°, .?.弦AB=2rsin3Q°=r，故能達到此目的的最小圓形磁場區(qū)域的半徑R=r/2=mv/2qB。課堂作業(yè)】見后教后記】

1.如圖所示，真空室內有勻強磁場，磁場方向垂直于紙面向里，磁感應強度的大小B=0.60T，磁場內有一塊平行感光板ab,板面與磁場方向平行，在距ab的距離l=16cm處，有一個點狀的a粒子發(fā)射源S,它向各個方向發(fā)射a粒子，a粒子的速度都是v=3.0x106m/s.已知a粒子的電量與質量之比q/m=5.0x107C/kg,現只考慮在紙平面中運動的a粒子,求ab上被a粒子打中的區(qū)域長度.2核聚變反應需要幾百萬度以上的高溫，為把高溫條件下高速運動的離子約束在小范圍內，通常采用磁約束的方法.如圖所示，環(huán)狀勻強磁場圍成中空區(qū)域，中空區(qū)域中的帶電粒子只要速度不是很大，都不會穿出磁場的外邊緣而被約束在該區(qū)域內.設環(huán)狀磁場的內半徑Rl=0.5m，外半徑R2=1.0m,磁場的磁感應強度B=1.0T.若被束縛帶電粒子的荷質比為q/m=4x107c/kg.中空區(qū)域內帶電粒子具有各個方向的速度.試計算:（1） 粒子沿環(huán)狀的半徑方向射入磁場，不能穿越磁場的最大速度.（2） 所有粒子不能穿越磁場的最大速度.3?電量為q、質量為m的帶正電粒子在XOY平面內沿著Y=a的直線以速度v經Y軸上的P點射入XOY平面的第一象限。要求在第一象限內設置磁感應強度為B的一個圓形區(qū)域，使帶電粒子發(fā)生偏轉，最后經X軸上的M點（XM=2a）射出，且偏轉角6=60°如右圖所示。試求能達到此目的的最小圓形磁場區(qū)域的半徑（粒子的重力不計）。ayP-——Ia4.有一粒子源置于一平面直角坐標原點O處,如圖所示相同的速率vQ向第一象限平面內的不同方向發(fā)射電子，已知電子質量為m,電量為e。欲使這些電子穿過垂直于紙面、磁感應強度為B的勻強磁場后，都能平行于x軸沿+x方向運動，求該磁場方向和磁場區(qū)域的最小面積ayP-——Ia【1解析】洛倫茲力是?粒子作圓運動的向心力；計算出圓半徑后，確定圓心的位置就成為解題的關鍵，a粒子軌跡與ab相切，以及a粒子離S最遠的距離為2r是判定最遠點的條件.如圖11-3-2.a粒子帶正電，用左手定則判定a粒子在磁場中沿逆時針方向做勻速圓周運動，用r表示軌，可見2r>l>r.道半徑，有Bqv=m—，解得r=~-—= m，可見2r>l>r.r /q、q5.0x107x0.6(―)Bm因向不同方向發(fā)射的a粒子的圓軌跡都過S,由此可知，某一圓軌跡在圖中N左側與ab相切，則此切點P1就是a粒子能打中的左側最遠點，為定出P］的位置，可作平行與ab的直線cd,cd到ab的距離為r=0.10m.以S為圓心，r為半徑，作弧交cd于Q點，過Q作ab的垂線，它與ab的交點即為P,.由圖中幾何關系得：NP=fr2-(l-r)2.11以2r為半徑，S為圓心作圓,再考慮N的右側，任何a粒子在運動中離S的距離不可能超過2r，交ab于N右側的P2點，P2即為a粒子在右側能達到的最遠點.由幾何關系得：NP=V4r2-12.所求長度為：P1P2=NP1以2r為半徑，S為圓心作圓,【2解析】答案(1)1.5x107m/s；(2)1.0x107m/s【3解析】：依題意，磁場的方向垂直紙面向外。由于帶電粒子的速度和磁場都是確定的，所以帶電粒子作圓周運動的半徑r=mv/qB也是確定的。將X軸和Y軸上的兩個速度矢量(或反向)延長，與X、Y軸組成一個梯形，再畫一個半徑確定的圓(軌跡)，并將此圓移至坐標中與兩速度矢量相切【4解析】由于電子在磁場中作勻速圓周運動的半徑R=mv/Be是確定的，設磁場區(qū)域足夠大，作出0電子可能的運動軌道如圖所示，因為電子只能向第一象限平面內發(fā)射，所以電子運動的最上面一條軌跡必為圓0,它就是磁場的上邊界。其它各圓軌跡的圓心所連成的線必為以點0為圓心，以R為半徑1的圓弧000。由于要求所有電子均平行于x軸向右飛出磁場，故由幾何知識有電子的飛出點必為每12n條可能軌跡的最高點。如對圖中任一軌跡圓0而言，要使電子能平行于x軸2向右飛出磁場，過0作弦的垂線0A,則電子必將從點