高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)第八章第二節(jié)第2課時系統(tǒng)題型-圓的方程直線與圓及圓與圓的位置關(guān)系講義含解析

kk第2時系題—圓方直線圓圓圓位關(guān)系圓的方程求法[典例](2018·全國卷)設(shè)物線C：＝焦點(diǎn)為F，過F且率為kk＞的直線l與交，兩，AB＝8.(1)求的程；(2)求過點(diǎn)AB且與的線相切的圓的方程．[解](1)由意得F(1,0)，的程為y＝k(x－1)(＞0)．設(shè)(，)，B(x)，x－由

，

得(2k＋＋＝Δ＝16

2＋＋＞，x＝所以||＝AF|＋||4＋＝＋1)＋＋＝.4＋由題設(shè)知＝，解得＝1或＝－1()．因此的程為y＝－1.(2)由(1)得AB的中坐標(biāo)為(3,2)，所以AB的直平分線方程為2＝－x－，即＝－＋5.設(shè)所求圓的圓心坐標(biāo)(，y)x＋，則x＝

y＋2

＋16.解得

或因此所求圓的方程為3)＋y－＝或(x－11)＋y6)＝144.[方法技巧1．確定圓的方程必須有3個立條件不論是圓的標(biāo)準(zhǔn)方程還是一般方程，都有三個字ab或DEF)的值需要定，因此需要三個獨(dú)立的條件．利用待定系數(shù)法得到關(guān)于，，r或，)三個方程組成1

－＋－－＋－b＋122的方程組，解之得到待定字母系數(shù)的值，從而確定圓的方程．2．幾何法在圓中的應(yīng)用在一些問題中借助平面幾何中關(guān)于圓的知識可以簡化計算，如已知一個圓經(jīng)過兩點(diǎn)時，其圓心一定在這兩點(diǎn)連線的垂直平分線上，解題時要注意平面幾何知識的應(yīng)用．[針對訓(xùn)練1．(2019·湖北名校摸)過點(diǎn)(1，1)B(－1,1)且圓心在直＋－＝上的圓的方程是)A．(x－＋y＋＝C．(x－＋y－＝

B．(x＋＋1)4D．(x＋＋1)4解析：選C由知直線的垂直平分線為y，直線yx與＋－＝0的點(diǎn)是(1,1)，以圓的圓心(1,1)，以圓的半徑為2故圓的方程是－1)＋－＝4.2．(2019·黑龍江伊春三校聯(lián))知圓(＋1)＋y－＝，C圓關(guān)于直線－－＝0對稱則圓C的方程()A．(x＋＋y－＝C．(x＋＋y＋＝

B．(x－＋2)1D．(x－＋2)1解析：選B圓：＋1)＋(－1)＝，圓心C為(－1,1)，徑為易點(diǎn)－＝1，1,1)關(guān)直線－－＝稱的點(diǎn)為，C(，)，則－－＝，

得

所以(22)，所以圓C的圓心為C(2，2)，徑為1，所以圓C方程為x－＋y＋2)＝故選B.直線與圓位置關(guān)系的判斷[典例感悟]1(2019·西安模)直線＋1)x＋－1)y＋20(∈與x＋－2＋－＝的位置關(guān)系()A．相切C．相離

B．相交D．不確定解析：選B法：＋－x2y－＝化為圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為(－1)＋＋＝，故圓心坐標(biāo)為1，－1)，半徑＝，圓心到直線的距離d＝

a＋－－＋|a＋＋a

＝2

|2a＋2|4＋a＋47－＋7.再根據(jù)r－＝9－＝.而7a2＋a2＋

－a＋7＝的判式＝16196＝－180＜，有r＞，即＜，故直線與圓相交．法二：由(a＋＋a－1)＋＝0(a∈R)整理－＋xy＋2)＝，則由，

解得＝－，＝－1，即直線a＋＋(－1)＋2a＝0(∈過定點(diǎn)－1)(－＋－－2×(－1)＋2×(－－＝－5＜，點(diǎn)－，－在圓x＋2＋y－＝的部，故直線(a＋＋(－1)y＋a＝∈與圓＋－x＋－7＝交．2湖北市聯(lián))將直＋y－＝繞(沿時方向旋轉(zhuǎn)15°到直線，則直線l與圓(x＋3)＋＝的位關(guān)系是)A．相交C．相離

B．相切D．相交或相切解析B依意得線的傾斜角為150°以線l的程是y－＝

33

|－3－(－1)，即x＋3－1＝，圓(－3,0)到線l的距離d＝＝，3＋1直線l與圓相切．3．直線y＝－圍是()A．(3，

33

＋與x＋y＝在一象限內(nèi)有兩個不同的交點(diǎn)，則的值范B．(3，3)C.

32，3

2D.3解析：選當(dāng)線經(jīng)過(0,1)，直線與圓有兩個不同的交點(diǎn)，此時m＝；當(dāng)直線與圓相切時有圓心到直線的距離＝

||31＋

23＝，得＝(切點(diǎn)在第一象)，所323以要使直線與圓在第一象限內(nèi)有兩個不同的交點(diǎn)，則1＜＜.3[方法技巧]直線與圓位置關(guān)系問題的求解策略(1)判斷直線與圓的位置關(guān)系時若兩方程已知或圓心到直線的距離易表達(dá)，則用幾何法；若方程中含有參數(shù)，或圓心到直線的距離的表達(dá)式較繁瑣，則用代數(shù)法．能用幾何法，盡量不用代數(shù)法．3

kk(2)已知直線與圓的位置關(guān)系求數(shù)的取值范圍時，可根據(jù)數(shù)形結(jié)合思想利用直線與圓的位置關(guān)系的判斷條件建立不等式進(jìn)行解切線問題[典例]已點(diǎn)P(2＋－2)，M(3,1)，C：－1)＋y－2)＝(1)求過點(diǎn)P的圓C的切線方程；(2)求過點(diǎn)M的圓C的切線方程，并求出切線長．[解](1)由意得圓心(1,2)半徑長＝2.因?yàn)?2＋－1)＋(2－2－＝，所以點(diǎn)P在C．2－2－1又＝＝1，所以切的斜率k－＝2＋1－所以過點(diǎn)P的圓的線方程是y－－2)＝1×[－2＋x－＋－2＝0.(2)因?yàn)?－＋－2)＝＞，所以點(diǎn)M在C部．當(dāng)過點(diǎn)M的線斜率不存在時，直線方程為x3，又點(diǎn)(1,2)直線x－＝的離＝3－＝＝，即此時滿足題意，所以直線＝3是圓的切線．當(dāng)切線的斜率存在時，設(shè)切線方程為1＝k(－3)即kx＋－k＝，則圓心C到線的距離＝

|－＋－3k＝＝，＋33解得＝所以切線方程為－1＝(－，44即3－－5＝0.綜上可得，過點(diǎn)M的圓C的切方程為x33－y－＝因?yàn)閨|＝－

＋－

＝5，所以過點(diǎn)M的圓的線長為||－＝541.[方法技巧]求過圓外一(，y的圓的切線方程2方4

幾何法代數(shù)法

當(dāng)斜率存在時設(shè)則切線方程為－＝(即kx－＋－0.由圓心到直線的距離等于半徑，即可求出k的值進(jìn)而寫出切線方程當(dāng)斜率存在時設(shè)則線方程為y(，即＝－＋，入圓的方程，得到一個關(guān)于x的一元二次方程，由＝，得，切線方程即可求出[提醒]當(dāng)(，y在圓外時，一定要注意斜率不存在的情況[針對訓(xùn)練1陜西高三質(zhì))已知＋4x－y－＝M(－2,0)是圓C外一，則過點(diǎn)M的圓切線方程()A．＋＝0,7－＋14＝B．＋＝0,7＋＋14＝C．＋＝0,7＋＋14＝D．＋＝0,7－＋14＝解析選C將C的程轉(zhuǎn)化(－＋y3)＝則圓心為半為，顯然x＋2＝是滿足條件的一切線，又圓心(2,3)直線7＋24＋＝0的距＝14＋＋＝，以選項(xiàng)C滿足，故選C.49＋242．(2019·沈陽市高三質(zhì)量監(jiān)測已知直線l＝k(x＋3)和圓C：＋－＝，若直線l與圓C相，則k＝()A．0B.3C.

33

或0D.3或0|－1＋3|解析選D因直線圓C相切所以圓心到線的離＝＝，1＋|－＋3|＝1＋，解得k＝或＝，故D.弦長問題[典例]如，在平面直角坐標(biāo)系xOy中已知圓：＋

－＝及－1,0)，B(1，．(1)若直線l平行，與圓相于M，點(diǎn)|MN＝|，求直線l的方；(2)在圓C上是否存在點(diǎn)P，使PA＋||＝12？若存在，求點(diǎn)P的數(shù)；若不存在，說明理由．[解](1)圓C的準(zhǔn)方程(x－＋＝，所以圓心C(2,0)，半徑為2.5

2－0因?yàn)椤蜛B－，(1,2)所以直線的率為1－－設(shè)直線l的程為－＋m＝，|2－0＋||2＋|則圓心C到線l的離＝＝.22因?yàn)閨|＝AB|＝2＋＝2

＝，||＝

＋4＝2

＋m2

＋，解得＝0或＝－4故直線l的程為－＝x－－＝0.(2)假設(shè)圓C上存點(diǎn)，設(shè)(，y)，則x－＋4，PA|＋PB＝x＋1)＋y－＋－1)＋y－2)＝12，即2y－3＝0，即＋－1)＝，因?yàn)閨－2|＜

－

＋

－

＜＋，所以圓x－＋4圓

＋y－＝相，所以存在點(diǎn)P使得||＋|＝12，點(diǎn)的數(shù)為2.[方法技巧解決圓弦長問題的常用方法及結(jié)論幾何法如圖所示，設(shè)直線被圓截的弦為，圓的半徑為r，圓心到直線的距離為，則有關(guān)系式|AB＝2r－若斜率為k的直線與圓相于A(x，y)B(y點(diǎn)則AB|＝ABB代數(shù)法1＋k·

x＋x

－x＝B

11＋·|－|(中≠0)．特別地，當(dāng)kAB＝時，||＝x－|；斜不存在時||＝－yB[針對訓(xùn)練1．(2019·麗水模)若圓心在x軸，半徑為5的C位于y軸側(cè)，且被直線＋2y＝截得的弦為，圓的程()A．(x－5)＋y

＝

B．(x＋5)＋＝C．(x－＋＝

D．(x＋＋＝|＋2×0|解析B設(shè)心(a,＜0)截得的弦長為4以弦心距為11＋6

22＝，a－5，所以所求圓的方程(＋5)＋

＝2．(2016·全國卷)設(shè)直線＝＋與C：＋－－＝0交于，兩，若|＝23，則圓C的面積________．解析：圓Cx＋2ay2＝為標(biāo)準(zhǔn)方程為x＋a＝＋，所以圓心C(0a)，半徑r＝a

＋，因|＝2，點(diǎn)C到線y＝＋，即－|0－＋|a|3＋a＝的離d＝＝，勾股定2，解得a＝，222所以＝，所以圓C的面為π×2＝π.答案：π圓與圓的位置關(guān)系[典例感悟]1．(2019·內(nèi)蒙古赤峰模)圓O：y－x0和＋y－y＝的位關(guān)系是)A．相交C．相離

B．外切D．內(nèi)切解析：選A圓心坐標(biāo)為(1,0)，徑r＝1，圓O圓坐標(biāo)為，半徑＝，圓心距|＝－

＋－

＝5，因?yàn)?－＜5＜＋，r－＜|O|＜＋，以圓O與圓O相交，故選2．若圓x＋＝與＋y＋ay6＝＞0)的公共弦長為23，a＝________.1解析：方程xy＋ay－＝與＋y＝4.兩相減得＝，y＝.a由題意知，2－

3

1＝，得a＝a答案：3．已知是A：＋－＝0與圓Bx＋＋－0的共點(diǎn)，BMN的面積為________．解析：由題意可知，聯(lián)立

x＋－＝0，x＋＋－4＝，

可得直線的程為－＝0，所|－1－2|32以(－1,2)到直線MN的距離為＝段的度22

5

2－2

＝13232，以△的面積為××