第01講集合的含義與表示（4大考點(diǎn)12種解題方法）-2022-2023學(xué)年高一數(shù)學(xué)考試滿分全攻略（滬教版2020必修一）（解析版）

第01講集合的含義與表示（4大考點(diǎn)12種解題方法）考點(diǎn)考點(diǎn)考向一、集合的概念：集合中元素特征，確定性，互異性，無(wú)序性；集合的分類：按元素個(gè)數(shù)分：有限集，無(wú)限集；②按元素特征分；數(shù)集，點(diǎn)集。如數(shù)集{y|y=x2}，表示非負(fù)實(shí)數(shù)集，點(diǎn)集{(x，y)|y=x2}表示開(kāi)口向上，以y軸為對(duì)稱軸的拋物線；二、集合的表示法：①列舉法：用來(lái)表示有限集或具有顯著規(guī)律的無(wú)限集，如N+={0，1，2，3，…}；②描述法。③區(qū)間?？键c(diǎn)精講考點(diǎn)精講考點(diǎn)一：集合的概念題型一：判斷元素能否構(gòu)成集合一、單選題1．（2021·上?！じ咭粚ｎ}練習(xí)）下列四組對(duì)象，能構(gòu)成集合的是A．某班所有高個(gè)子的學(xué)生 B．著名的藝術(shù)家C．一切很大的書 D．倒數(shù)等于它自身的實(shí)數(shù)【答案】D【分析】根據(jù)集合的含義分別分析四個(gè)選項(xiàng)，A，B，C都不滿足函數(shù)的確定性故排除，D確定.【詳解】A：某班所有高個(gè)子的學(xué)生，因?yàn)楦邆€(gè)子學(xué)生不確定，所以不滿足集合的確定性，排除；B：著名的藝術(shù)家，因?yàn)橹乃囆g(shù)家不確定，所以不滿足集合的確定性，排除；C：一切很大的書，因?yàn)楹艽蟮臅淮_定，所以不滿足集合的確定性，排除；D：倒數(shù)等于它自身的實(shí)數(shù)為1與，∴滿足集合的定義，故正確．故選D．【點(diǎn)睛】本題考查集合的含義．通過(guò)對(duì)集合元素三個(gè)性質(zhì)：確定性，無(wú)序性，互異性進(jìn)行考查，屬于基礎(chǔ)題．2．（2020·上?！じ咭粚ｎ}練習(xí)）下列各對(duì)象可以組成集合的是（

）A．與1非常接近的全體實(shí)數(shù)B．某校2015-2016學(xué)年度笫一學(xué)期全體高一學(xué)生C．高一年級(jí)視力比較好的同學(xué)D．與無(wú)理數(shù)相差很小的全體實(shí)數(shù)【答案】B【分析】根據(jù)集合定義與性質(zhì)一一判斷即可.【詳解】A中對(duì)象不確定，故錯(cuò)；B中對(duì)象可以組成集合；C中視力比較好的對(duì)象不確定，故錯(cuò)；D中相差很小的對(duì)象不確定，故錯(cuò).故選：B3．（2020·上海市奉賢區(qū)曙光中學(xué)高一階段練習(xí)）下列語(yǔ)言敘述中，能表示集合的是（

）A．?dāng)?shù)軸上離原點(diǎn)距離很近的所有點(diǎn)；B．太陽(yáng)系內(nèi)的所有行星C．某高一年級(jí)全體視力差的學(xué)生；D．與大小相仿的所有三角形【答案】B【分析】根據(jù)集合的確定性逐個(gè)判斷即可【詳解】對(duì)A，數(shù)軸上離原點(diǎn)距離很近的所有點(diǎn)不滿足確定性，故A錯(cuò)誤；對(duì)B，太陽(yáng)系內(nèi)的所有行星滿足集合的性質(zhì)，故B正確；對(duì)C，某高一年級(jí)全體視力差的學(xué)生不滿足確定性，故C錯(cuò)誤；對(duì)D，與大小相仿的所有三角形不滿足確定性，故D錯(cuò)誤故選：B【點(diǎn)睛】本題主要考查了集合的確定性，屬于基礎(chǔ)題4．（2020·上?！じ咭徽n時(shí)練習(xí)）下列幾組對(duì)象可以構(gòu)成集合的是A．充分接近的實(shí)數(shù)全體B．善良的人C．某校高一所有聰明的學(xué)生D．某單位所有身高在1.7m以上的人【答案】D【詳解】由集合中元素的確定性知滿足，故選5．（2021·上?！じ咭粚ｎ}練習(xí)）現(xiàn)有以下說(shuō)法，其中正確的是①接近于0的數(shù)的全體構(gòu)成一個(gè)集合；②正方體的全體構(gòu)成一個(gè)集合；③未來(lái)世界的高科技產(chǎn)品構(gòu)成一個(gè)集合；④不大于3的所有自然數(shù)構(gòu)成一個(gè)集合．A．①② B．②③ C．③④ D．②④【答案】D【分析】由集合元素特征三要素中的“確定性”可以判斷正誤．【詳解】在①中，接近于0的標(biāo)準(zhǔn)不明確，不滿足集合中元素的確定性，不能構(gòu)成一個(gè)集合，故①錯(cuò)誤；在②中，正方體的全體能構(gòu)成一個(gè)集合，故②正確；在③中，未來(lái)世界的高科技產(chǎn)品不能構(gòu)成一個(gè)集合，高科技的標(biāo)準(zhǔn)不明確，不滿足集合中元素的確定性，故③錯(cuò)誤；在④中，不大于3的所有自然數(shù)能構(gòu)成一個(gè)集合，故④正確．故選D．【點(diǎn)睛】集合元素的三要素是：確定性、互異性和無(wú)序性.確定性是指集合中的元素是明確的，要么屬于這個(gè)集合，要么不屬于這個(gè)集合，兩者只能取其一．互異性是指集合中不能有相同元素．無(wú)序性指集合中的元素沒(méi)有順序．二、填空題6．（2021·上海市桃浦中學(xué)高一階段練習(xí)）下列對(duì)象能組成集合的是___________①桃浦中學(xué)一部分學(xué)生②倒數(shù)等于自身的實(shí)數(shù)③超過(guò)100頁(yè)的書④世界知名藝術(shù)家⑤方程的全體解【答案】②③⑤.【分析】根據(jù)集合元素的三要素，確定性、互異性和無(wú)序性可判斷.【詳解】①桃浦中學(xué)一部分學(xué)生不符合確定性，不能構(gòu)成集合；②倒數(shù)等于自身的實(shí)數(shù)有和1，可構(gòu)成集合；③超過(guò)100頁(yè)的書符合集合元素的特征，可以構(gòu)成集合；④世界知名藝術(shù)家，“知名”沒(méi)有確定性，不能構(gòu)成集合；⑤方程無(wú)解，可構(gòu)成空集.因此，能構(gòu)成集合的為②③⑤.故答案為：②③⑤.7．（2020·上海市新場(chǎng)中學(xué)高一階段練習(xí)）下列各對(duì)象的全體，可以構(gòu)成集合的是___（填序號(hào)）①高一數(shù)學(xué)課本中的難題；

②與1非常接近的全體實(shí)數(shù)；②高一年級(jí)視力比較好的同學(xué)；④高一年級(jí)中身高超過(guò)1.70米的同學(xué)【答案】④【解析】根據(jù)集合的概念判斷即可.【詳解】因?yàn)棰佗冖鬯硎镜难芯繉?duì)象不能確定，所以不能構(gòu)成集合，而④符合集合的概念.故答案為：④【點(diǎn)睛】本題考查集合的概念及判斷，屬于基礎(chǔ)題.8．（2020·上?！じ咭徽n時(shí)練習(xí)）由下列對(duì)象組成的集體屬于集合的是________(填序號(hào)).①不超過(guò)π的正整數(shù)；②高一數(shù)學(xué)課本中所有的難題；③中國(guó)的大城市；④平方后等于自身的數(shù)；⑤某校高一（2）班中考成績(jī)?cè)?00分以上的學(xué)生.【答案】①④⑤【分析】直接由集合中元素的確定性逐一核對(duì)五個(gè)命題得答案．【詳解】解：①不超過(guò)的正整數(shù)的全體是確定的，能構(gòu)成集合，選項(xiàng)①正確；②高一數(shù)學(xué)課本中的所有難題是不確定的，構(gòu)不成集合，選項(xiàng)②不正確；③中國(guó)的大城市是不確定的，選項(xiàng)③不正確；④平方后等于自身的實(shí)數(shù)是0和1，確定，選項(xiàng)④正確；⑤高一（2）班中考500分以上的學(xué)生的全體是確定的，能構(gòu)成集合，選項(xiàng)⑤正確．故答案為：①④⑤．【點(diǎn)睛】本題考查了命題的真假判斷與應(yīng)用，考查了集合中元素的特性，屬于基礎(chǔ)題．9．（2020·上?！じ咭徽n時(shí)練習(xí)）集合中元素的三大特征是________．【答案】確定性、互異性、無(wú)序性【解析】根據(jù)集合的定義作答．【詳解】一定范圍內(nèi)，確定的、不同的對(duì)象組成的全體，稱為一個(gè)集合，組成集合的這些對(duì)象就是集合的元素，它具有確定性、互異性、無(wú)序性．故答案為：確定性、互異性、無(wú)序性．【點(diǎn)睛】本題考查集合中元素的特性，掌握集合的概念是解題關(guān)鍵．題型二：判斷是否是同一集合一、單選題1．（2021·上海市實(shí)驗(yàn)學(xué)校高一期末）設(shè)是有理數(shù)，集合，在下列集合中；（1）；（2）；（3）；（4）；與相同的集合有（

）A．4個(gè) B．3個(gè) C．2個(gè) D．1個(gè)【答案】B【解析】將分別代入（1）、（2）、（3）中，化簡(jiǎn)并判斷與是否一一對(duì)應(yīng)，再舉反例判斷（4）.【詳解】對(duì)于（1），由，得，一一對(duì)應(yīng)，則對(duì)于（2），由，得，一一對(duì)應(yīng)，則對(duì)于（3），由，得，一一對(duì)應(yīng)，則對(duì)于（4），，但方程無(wú)解，則與不相同故選：B2．（2021·上?！じ咭粚ｎ}練習(xí)）下列選項(xiàng)中，表示同一集合的是A．A={0，1}，B={（0，1）} B．A={2，3}，B={3，2}C．A={x|–1<x≤1，x∈N}，B={1} D．A=?，【答案】B【分析】利用集合相等的定義直接求解．【詳解】在A中，A={0，1}是數(shù)集，B={（0，1）}是點(diǎn)集，二者不表示同一集合，故A錯(cuò)誤；在B中，A={2，3}，B={3，2}，集合中的元素具有無(wú)序性，所以兩個(gè)集合相等，表示同一集合，故B正確；在C中，A={x|–1<x≤1，x∈N}={0，1}，B={1}，二者不相等，不表示同一集合，故C錯(cuò)誤；在D中，A=?，={0}，二者不相等，不表示同一集合，故D錯(cuò)誤．故選B．【點(diǎn)睛】本題考查集合相等的判斷，考查集合相等的定義等基礎(chǔ)知識(shí)，考查運(yùn)算求解能力，考查函數(shù)與方程思想，是基礎(chǔ)題．二、填空題3．（2020·上海·高一單元測(cè)試）下列集合中，不同于另外三個(gè)集合的序號(hào)是________.①；②；③；④.【答案】③【解析】利用集合的定義即可得到答案.【詳解】由集合的含義知：，而集合表示由方程組成的集合，故填③.故答案：③【點(diǎn)睛】本題主要考查集合的定義，屬于簡(jiǎn)單題.4．（2017·上海建峰職業(yè)技術(shù)學(xué)院附屬高級(jí)中學(xué)高一階段練習(xí)）已知，集合，集合，用推出關(guān)系表示的關(guān)系_________【答案】【分析】對(duì)兩邊平方后,變形可得答案.【詳解】因?yàn)榈葍r(jià)于,等價(jià)于等價(jià)于,等價(jià)于,所以.故答案為:.【點(diǎn)睛】本題考查了等價(jià)轉(zhuǎn)化思想,考查了絕對(duì)值的意義,考查了集合的相等,屬于基礎(chǔ)題.三、解答題5．（2020·上?！じ咭徽n時(shí)練習(xí)）有下列三個(gè)集合：①{x|y＝x2+1，y≥1，y∈R}；②{y|y＝x2+1，x∈R}；③{（x，y）|y＝x2+1}；（1）它們是不是相同的集合？（2）它們的各自含義是什么？【答案】（1）不是；（2）答案見(jiàn)解析.【解析】（1）由各個(gè)集合的特征進(jìn)行判斷；（2）由用描述法表示集合的方法進(jìn)行判斷【詳解】解：（1）①{x|y＝x2+1，y≥1，y∈R}＝[0，+∞）；②{y|y＝x2+1，x∈R}＝[1，+∞）；③{（x，y）|y＝x2+1}是點(diǎn)集，它們不是相同的集合；（2）①{x|y＝x2+1，y≥1，y∈R}表示函數(shù)的定義域；②{y|y＝x2+1，x∈R}，表示函數(shù)的值域；③{（x，y）|y＝x2+1}表示點(diǎn)的集合.題型三：根據(jù)集合相等關(guān)系進(jìn)行計(jì)算一、單選題1．（2020·上海市嘉定區(qū)第一中學(xué)高一階段練習(xí)）已知集合，，若，則的值為（

）A．0 B． C．1 D．【答案】B【解析】按照和分類討論求解可得結(jié)果.【詳解】根據(jù)集合中元素的互異性可知，因?yàn)?，所以或，?dāng)時(shí)，，此時(shí)；當(dāng)時(shí)，則，因?yàn)?，所以，此時(shí).故選：B【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：按照和分類討論求解是解題關(guān)鍵.二、雙空題2．（2017·上海市淞浦中學(xué)高一階段練習(xí)）確定整數(shù)使，則=_____，=_______【答案】

【分析】根據(jù)集合相等關(guān)系可構(gòu)造方程組，解方程組求得整數(shù)解即為所求結(jié)果.【詳解】由得：或，解得：或都是整數(shù)

，故答案為：；【點(diǎn)睛】本題考查根據(jù)集合的相等關(guān)系求解參數(shù)值的問(wèn)題，屬于基礎(chǔ)題.三、填空題3．（2017·上海市建平中學(xué)高一期中）設(shè)集合，，若，則實(shí)數(shù)________【答案】【分析】根據(jù)集合相等定義，即可求解.【詳解】，解得，此時(shí).故答案為:【點(diǎn)睛】本題考查有關(guān)集合相等的運(yùn)算，屬于基礎(chǔ)題.4．（2015·上海市金山中學(xué)高一期中）設(shè)集合，若，則__________.【答案】11【分析】根據(jù)兩個(gè)集合相等的知識(shí)列方程組，解方程組求得的值，進(jìn)而求得的值.【詳解】由于，所以，解得，故.故答案為.【點(diǎn)睛】本小題主要考查兩個(gè)集合相等的概念，屬于基礎(chǔ)題.考點(diǎn)二：元素與集合題型四：判斷元素與集合的關(guān)系一、單選題1．（2020·上海·高一專題練習(xí)）下面有四個(gè)命題：（1）集合中最小的數(shù)是；（2）若不屬于，則屬于；（3）若則的最小值為；（4）的解可表示為；其中正確命題的個(gè)數(shù)為A．個(gè) B．個(gè) C．個(gè) D．個(gè)【答案】A【詳解】（1）最小的數(shù)應(yīng)該是，（2）反例：，但，（3）當(dāng),（4）元素的互異性2．（2020·上?！じ咭粚ｎ}練習(xí)）已知集合A中元素滿足，且，則必有（

）A．－1∈A B．0∈AC．∈A D．1∈A【答案】D【分析】利用列舉法求解即可.【詳解】因?yàn)椋?，所以的可能取?故選：D.【點(diǎn)睛】本題主要考查了列舉法.屬于容易題.3．（2021·上?！じ咭粚ｎ}練習(xí)）已知集合A僅含有三個(gè)元素2，4，6，且當(dāng)a∈A時(shí)，6-a∈A，那么a的值為（

）A．2 B．2或4 C．4 D．6【答案】B【分析】對(duì)a=2，4，6，分類討論即可.【詳解】若a=2，則6-2=4，4∈A;若a=4，則6-4=2，2∈A;若a=6，則6-6=0，0?A.因此a=2或a=4.故選：B.4．（2021·上?！じ咭粚ｎ}練習(xí)）給出下列4個(gè)關(guān)系式:∈R，0.3?Q，0∈N*，0∈{0}.其中正確的個(gè)數(shù)是（

）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】B【分析】對(duì)四個(gè)選項(xiàng)一一驗(yàn)證即可.【詳解】∈R正確，0.3?Q錯(cuò)誤，0∈N*錯(cuò)誤，0∈{0}正確，正確的有2個(gè)，故選B.二、填空題5．（2018·上海市比樂(lè)中學(xué)高一期中）已知集合，則2_______.【答案】【分析】用列舉法表示出集合，即可判斷.【詳解】因?yàn)?，所以故答案為【點(diǎn)睛】本題主要考查元素與集合的關(guān)系，屬于基礎(chǔ)題.6．（2017·上海市寶山區(qū)海濱中學(xué)高一期中）用或填空：0______.【答案】【分析】空集中沒(méi)有任何元素．【詳解】由于空集不含任何元素，∴．故答案為．【點(diǎn)睛】本題考查元素與集合的關(guān)系，關(guān)鍵是掌握空集的概念．7．（2020·上海奉賢區(qū)致遠(yuǎn)高級(jí)中學(xué)高一階段練習(xí)）滿足，且的集合M為_(kāi)_____．（只需要寫出一個(gè)滿足條件的集合即可）【答案】.【解析】由交集的結(jié)果可知，結(jié)合已知條件即可的集合M.【詳解】由題意知：，又，∴當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，.∴集合M為可以為或.故答案為：.【點(diǎn)睛】本題考查了元素與集合的關(guān)系，由交集的結(jié)果判斷元素與集合關(guān)系確定集合，屬于簡(jiǎn)單題.8．（2020·上?！じ咭粏卧獪y(cè)試）用或填空：0________【答案】【解析】可知0是自然數(shù)，即可得出.【詳解】0是自然數(shù)，.故答案為：.題型五：根據(jù)元素與集合的關(guān)系求參數(shù)一、填空題1．（2021·上?！ど贤飧街懈咭黄谥校┘现兴性刂蜑?，則實(shí)數(shù)________．【答案】【分析】由得，即可求解參數(shù)．【詳解】由得或所以或依題意得，得故答案為：．2．（2021·上海市張堰中學(xué)高一期中）若，則實(shí)數(shù)____________.【答案】【分析】4是集合中的元素，所以只能是，求出a的值即可【詳解】由題意得：，解得：故答案為：3．（2021·上海·華東師范大學(xué)第三附屬中學(xué)高一期中）已知集合，若，則實(shí)數(shù)a的值為_(kāi)__________.【答案】2【分析】根據(jù)集合元素的性質(zhì)可求實(shí)數(shù)a的值.【詳解】因?yàn)?，故或，若，則，與元素的互異性矛盾，舍；若，則或（舍），而時(shí)，符合元素的互異性，故實(shí)數(shù)a的值為2，故答案為：2.4．（2021·上海市行知中學(xué)高一階段練習(xí)）若，則實(shí)數(shù)_________.【答案】或##或【分析】由，可得或，分三種情況討論即可求解.【詳解】解：因?yàn)?，所以或，即或，?dāng)時(shí)，與集合中元素的互異性相矛盾，舍去；當(dāng)時(shí)，符合題意；當(dāng)時(shí)，符合題意.故答案為：或.5．（2021·上?！じ裰轮袑W(xué)高一階段練習(xí)）已知集合A＝{x|6x+a0}，若1?A，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是____________．【答案】【分析】由已知中集合，若，則將代入應(yīng)該恒不成立，即恒成立，解不等式即可求出滿足條件的實(shí)數(shù)的取值范圍．【詳解】解：集合，若，則恒成立故故實(shí)數(shù)的取值范圍是，故答案為：，6．（2020·上海市奉賢中學(xué)高一階段練習(xí)）若，則___________.【答案】【分析】根據(jù)集合元素的互異性得且，再結(jié)合題意得，解方程即可得答案.【詳解】解：根據(jù)集合元素的互異性可知，即且，因?yàn)?，所以，解得（?fù)舍）所以故答案為：7．（2021·上?！の挥袑W(xué)高一階段練習(xí)）設(shè)為實(shí)數(shù)，關(guān)于的不等式組的解集為A，若，則的取值范圍是_____________【答案】【分析】根據(jù)，建立不等式求解即可求解.【詳解】由題意，，則或解得或.故答案為：8．（2020·上?！じ咭粏卧獪y(cè)試）已知集合A=，若，則實(shí)數(shù)的值是____________.【答案】【分析】根據(jù)題意，可得或，然后根據(jù)結(jié)果進(jìn)行驗(yàn)證即可．【詳解】由題可知：集合，所以或，則或當(dāng)時(shí)，，不符合集合元素的互異性，當(dāng)時(shí)，，符合題意所以故答案為：二、解答題9．（2019·上海市亭林中學(xué)高一期中）若集合，且，求的值【答案】【分析】根據(jù)題意轉(zhuǎn)化為是方程的根，代入即可求解.【詳解】由題意，集合，且，即是方程的根，所以，解得.所以的值為.題型六：根據(jù)集合中元素的個(gè)數(shù)求參數(shù)一、填空題1．（2021·上海市奉賢區(qū)奉城高級(jí)中學(xué)高一階段練習(xí)）已知集合，A中至少有一個(gè)元素，則的取值范圍是_____________.【答案】【分析】A中至少有一個(gè)元素，轉(zhuǎn)化為方程至少有一個(gè)根，進(jìn)行求解.【詳解】（1）當(dāng)時(shí)，符合題意，（2）當(dāng)時(shí)，A中至少有一個(gè)元素，則至少有一個(gè)根，所以，解得且，綜上，的取值范圍是故答案為：2．（2021·上?！じ裰轮袑W(xué)高一期中）若集合中有且只有一個(gè)元素，則正實(shí)數(shù)的取值范圍是___________【答案】【分析】把不等式轉(zhuǎn)化為，轉(zhuǎn)化為，結(jié)合二次函數(shù)與一次函數(shù)的圖象，列出不等式組，即可求解.【詳解】由題意，不等式且，即，令，所以，所以是一個(gè)二次函數(shù)，圖象是確定的一條拋物線，而一次函數(shù)，圖象是過(guò)一定點(diǎn)的動(dòng)直線，作出函數(shù)和的圖象，如圖所示，其中，又因?yàn)椋Y(jié)合圖象，要使得集合中有且只有一個(gè)元素，可得，即，解得.即正實(shí)數(shù)的取值范圍是.故答案為：.3．（2021·上海·位育中學(xué)高一期中）若關(guān)于的不等式組有且僅有兩個(gè)整數(shù)解，則實(shí)數(shù)的取值范圍是____________.【答案】【分析】先求出不等式、的解，根據(jù)不等式組中有且僅有兩個(gè)整數(shù)，列不等式求實(shí)數(shù)a的取值范圍.【詳解】由可得，由可得，又不等式組有且僅有兩個(gè)整數(shù)解，∴，∴，∴實(shí)數(shù)的取值范圍是.4．（2020·上?！じ咭粚ｎ}練習(xí)）集合是單元素集合，則實(shí)數(shù)________【答案】0，2或18【分析】集合是單元素集合，即方程只有一個(gè)根，分和兩種情況，求出實(shí)數(shù)即可．【詳解】當(dāng)時(shí)，，符合題意；當(dāng)時(shí)，令，即，解得或故答案為：0，2或18二、解答題5．（2021·上?！じ咭粏卧獪y(cè)試）已知集合A={x|ax23x4=0，x∈R}.（1）當(dāng)A中有且只有一個(gè)元素時(shí)，求a的值，并求此元素；（2）當(dāng)A中有兩個(gè)元素時(shí)，求a滿足的條件；（3）當(dāng)A中至少有一個(gè)元素時(shí)，求a滿足的條件.【答案】（1）答案見(jiàn)解析；（2）a>且a≠0；（3）a≥.【分析】（1）分a=0和a≠0兩種情況討論即可，（2）由A中有兩個(gè)元素可知方程為二次方程，且判別式大于零，從而可求出的范圍，（3）A中至少有一個(gè)元素包括（1）、（2）的情況，所以的范圍是（1）（2）所求的的范圍的并集【詳解】解:（1）①當(dāng)a=0時(shí)，方程3x4=0的根為x=.故A={}.②當(dāng)a≠0時(shí)，由Δ=(3)24a·(4)=0，得a=，此時(shí)方程的兩個(gè)相等的根為x1=x2=.綜上，當(dāng)a=0時(shí)，集合A中的元素為；當(dāng)a=時(shí)，集合A中的元素為.（2）集合A中有兩個(gè)元素，即方程ax23x4=0有兩個(gè)不相等的實(shí)根.所以解得a>且a≠0.（3）集合A中有一個(gè)元素或兩個(gè)元素.當(dāng)集合A中有兩個(gè)元素時(shí)，由（2）得a>且a≠0；當(dāng)集合A中有一個(gè)元素時(shí)，由（1）得a=0或a=.綜上，當(dāng)A中至少有一個(gè)元素時(shí)，a滿足的條件是a≥.6．（2019·上海市亭林中學(xué)高一期中）已知集合，(1)若是空集，求的取值范圍；(2)若中至多有一個(gè)元素，求的值，并寫出此時(shí)的集合；(3)若中至少有一個(gè)元素，求的取值范圍.【答案】(1)(2)當(dāng)時(shí)，；當(dāng)，；當(dāng)，(3)【分析】（1）利用判別式研究方程根的個(gè)數(shù)即可；（2）當(dāng)時(shí)，符合，當(dāng)時(shí)，利用判別式研究方程根的個(gè)數(shù)即可；（3）當(dāng)時(shí)，符合，當(dāng)時(shí)，利用判別式研究方程根的個(gè)數(shù)即可；(1)若是空集，則，解得；(2)若中至多有一個(gè)元素當(dāng)時(shí)，，符合當(dāng)時(shí)，若，解得，此時(shí)若，得，此時(shí).綜合得：當(dāng)時(shí)，；當(dāng)，；當(dāng)，.(3)若中至少有一個(gè)元素當(dāng)時(shí)，，符合當(dāng)時(shí)，若，解得且綜合得.7．（2020·上海市張堰中學(xué)高一階段練習(xí)）已知集合（1）當(dāng)A只有一個(gè)元素時(shí)，求的值，并寫出這個(gè)元素；（2）當(dāng)A至多含有一個(gè)元素時(shí)，求的取值范圍.【答案】（1），，或，；（2）或【分析】（1）中只有一個(gè)元素，說(shuō)明方程有唯一解，根據(jù)是否為零分類討論求解即可；（2）中至多有一個(gè)元素，則說(shuō)明方程有一個(gè)解或無(wú)解，根據(jù)是否為零分類討論求解即可．【詳解】（1）當(dāng)時(shí)，原方程變?yōu)?，此時(shí)，符合題意．當(dāng)時(shí)，，解得，此時(shí)原方程為，即．綜上可知：，，或，；（2）由（1）知當(dāng)時(shí)，中只有一個(gè)元素．當(dāng)時(shí)，若中至多含有一個(gè)元素，則一元二次方程有一個(gè)解或無(wú)解，即解得，此時(shí)方程至多有一個(gè)解．綜上可知，的取值范圍是或．考點(diǎn)三：集合中元素的特征題型七：利用集合元素的互異性求參數(shù)一、填空題1．（2021·上海市奉賢中學(xué)高一階段練習(xí)）若，則構(gòu)成集合中的的取值范圍是___________.【答案】【分析】根據(jù)集合互異性，即可得答案.【詳解】根據(jù)集合的互異性可得，所以，即的取值范圍是故答案為：2．（2020·上?！つ涎笾袑W(xué)高一期中）已知集合A={1,2,3}，B={1,m}，若3-m，則實(shí)數(shù)m=______________【答案】0或2【分析】由已知集合A的元素，分類討論求參數(shù)m值，再根據(jù)集合的性質(zhì)確定m的值.【詳解】當(dāng)時(shí)，得；當(dāng)時(shí)，得；當(dāng)時(shí)，得；∵3-m，B={1,m}，∴或.故答案為：0或23．（2021·上海奉賢區(qū)致遠(yuǎn)高級(jí)中學(xué)高一階段練習(xí)）若，則實(shí)數(shù)________________.【答案】【分析】利用集合的互異性，根據(jù)元素與集合的關(guān)系求參數(shù)a即可.【詳解】由題設(shè)，當(dāng)時(shí)，，不符合集合的互異性，排除；∴a≠0，則，解得.綜上，.故答案為：4．（2019·上海市吳淞中學(xué)高一階段練習(xí)）若，則________．【答案】【分析】根據(jù)元素與集合的關(guān)系分情況求得的值，然后利用集合的元素的互異性檢驗(yàn).【詳解】由題意知，或.①當(dāng)時(shí)，.把代入，得集合的三個(gè)元素為，不滿足集合中元素的互異性；②當(dāng)時(shí)，或(舍去)，當(dāng)時(shí)，集合的三個(gè)元素為，滿足集合中元素的互異性.由①②知.故答案為：.5．（2021·上?！じ咭粚ｎ}練習(xí)）已知實(shí)數(shù)集合，，若，則________．【答案】-1【分析】【詳解】根據(jù)集合中元素的互異性，在集合B中，由元素的互異性，可得：x+y≠|(zhì)x|≠0，解得x≠0，x≠-y，因?yàn)锳=B，所以集合A中只能=0，即y=0.此時(shí)A={x，0，1}，B={|x|，x，0}，則有|x|=1，且|x|≠x，所以x=-1.所以-1-0=-1.故答案為：-1.二、解答題6．（2021·上海中學(xué)高一期中）若實(shí)數(shù)滿足集合與集合相等，求的值．【答案】【分析】集合相等，即元素相同，先用真數(shù)大于0得到，從而，再分兩種情況討論，求得最終的值.【詳解】有可知，，故，，故，所以若，顯然與中都有兩個(gè)1，舍去若，此時(shí)，，符合要求所以的值均為-17．（2021·上海·高一專題練習(xí)）已知集合與集合{a2，a+b，0}是兩個(gè)相等的集合，求a2020+b2020的值.【答案】a2020+b2020=1先由集合相等及集合中元素的互異性求出a、b，代入求值即可.【詳解】1和a2，a，0，因此a2＝1，解得a＝－1(a＝1不滿足集合中元素的互異性，舍去)，因此a＝－1，且b＝0，所以a2020＋b2020＝(－1)2020＋0＝1.8．（2021·上?！じ咭粚ｎ}練習(xí)）已知集合，若，求實(shí)數(shù)的值.【答案】實(shí)數(shù)a的值為－1或0.【分析】分三種情況討論即可.【詳解①若，則a＝－2，此時(shí)A＝{1，1，2}，不符合集合中元素的互異性，舍去.②若，則a＝0或a＝－2.當(dāng)a＝0時(shí)，A＝{3，1，2}，滿足題意；當(dāng)a＝－2時(shí)，由①知不符合條件，故舍去.③若，則a＝－1，此時(shí)A＝{2，0，1}，滿足題意.綜上所述，實(shí)數(shù)a的值為－1或0.【點(diǎn)睛】本題考查的是集合的基本知識(shí)，較簡(jiǎn)單.題型八：利用集合中元素的性質(zhì)求集合元素的個(gè)數(shù)一、單選題1．（2021·上海市行知中學(xué)高一階段練習(xí)）直角坐標(biāo)平面中除去兩點(diǎn)?可用集合表示為（

）A．B．或C．D．【答案】C【解析】直角坐標(biāo)平面中除去兩點(diǎn)?，其余的點(diǎn)全部在集合中，逐一排除法．【詳解】直角坐標(biāo)平面中除去兩點(diǎn)、，其余的點(diǎn)全部在集合中，選項(xiàng)中除去的是四條線；選項(xiàng)中除去的是或除去或者同時(shí)除去兩個(gè)點(diǎn)，共有三種情況，不符合題意；選項(xiàng)，則且，即除去兩點(diǎn)?，符合題意；選項(xiàng)，則任意點(diǎn)都不能，即不能同時(shí)排除，兩點(diǎn)．故選：C【點(diǎn)睛】本題考查了集合的基本概念，考查學(xué)生對(duì)集合的識(shí)別，屬于中檔題．2．（2017·上海市奉賢中學(xué)高一階段練習(xí)）若集合，則集合的元素個(gè)數(shù)為A．4038 B．4036 C． D．【答案】B【解析】首先由題意方程變形為兩個(gè)數(shù)相乘，即，依次討論為奇數(shù)或偶數(shù)，得到滿足條件的，從而得到集合的元素個(gè)數(shù).【詳解】由題意可知即，當(dāng)是偶數(shù)時(shí)，是奇數(shù)，當(dāng)，此時(shí)，解得，滿足條件，依次類推，，，......，共2018個(gè)，每一個(gè)對(duì)應(yīng)唯一的，當(dāng)時(shí)奇數(shù)時(shí)，是偶數(shù)，此時(shí)，，…..共2018個(gè)，綜上可知滿足條件的有4036個(gè)數(shù)，每一個(gè)對(duì)應(yīng)唯一的，所有集合的元素個(gè)數(shù)為4036個(gè).故選：B【點(diǎn)睛】本題考查由方程的整數(shù)解，確定集合的元素個(gè)數(shù)，意在考查分析問(wèn)題和解決問(wèn)題的能力，本題的關(guān)鍵是根據(jù)條件變形為，從而討論是奇數(shù)或偶數(shù)，將分成不同的兩個(gè)數(shù)相乘，從而確定的個(gè)數(shù)即元素個(gè)數(shù).二、填空題3．（2020·上海市張堰中學(xué)高一階段練習(xí)）設(shè)是非零實(shí)數(shù)，那么可能取的值組成集合是______________；【答案】【分析】討論中正負(fù)數(shù)的個(gè)數(shù)，求的可能取值集合.【詳解】都是正數(shù)，則，當(dāng)中有2個(gè)正數(shù)，1個(gè)負(fù)數(shù)時(shí)，則，當(dāng)中有1個(gè)正數(shù)，2個(gè)負(fù)數(shù)時(shí)，則，當(dāng)都是負(fù)數(shù)，則.所以可能取的值組成集合.故答案為：4．（2017·上海市奉賢中學(xué)高一階段練習(xí)）已知，均不為0，則的值組成的集合是______；【答案】【分析】分，，，四種情況討論求取值集合.【詳解】當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，.則的值組成的集合是.故答案為：【點(diǎn)睛】本題考查集合與元素，意在考查分類討論，和計(jì)算能力，屬于簡(jiǎn)單題型.三、解答題5．（2020·上?！じ咭徽n時(shí)練習(xí)）已知非空集合P滿足①，②若，則，符合上述條件的集合P有多少個(gè)？【答案】7【分析】根據(jù)條件確定元素與元素之間的關(guān)系，即可得到滿足條件的集合；根據(jù)分類討論，確定滿足條件的集合個(gè)數(shù)即可.【詳解】由題意得：若，則，若，則，若，則，若，則，若，則，即對(duì)應(yīng)的元素在集合中必須同時(shí)出現(xiàn)；由對(duì)應(yīng)的元素在集合中必須同時(shí)出現(xiàn)，故滿足條件的集合為三個(gè)集合選1個(gè)，選2個(gè)，選3個(gè)構(gòu)成的集合，即選一個(gè)組成的集合為：；選2個(gè)組成的集合為：，選3個(gè)組成的集合為：，所以滿足條件的集合個(gè)數(shù)為7個(gè).【點(diǎn)睛】本題主要考查了元素和集合關(guān)系的判斷和推理，根據(jù)條件確定集合元素之間的關(guān)系是解決本題的關(guān)鍵.屬于較易題.6．（2021·上?！じ咭粚ｎ}練習(xí)）設(shè)非空集合具有如下性質(zhì)：①元素都是正整數(shù)；②若則．（1）請(qǐng)你寫出符合條件，且分別含有一個(gè)、二個(gè)、三個(gè)元素的集合各一個(gè)；（2）是否存在恰有6個(gè)元素的集合？若存在，寫出所有的集合；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由；（3）滿足條件的集合S總共有多少個(gè)？【答案】（1）答案見(jiàn)詳解；（2）存在，且共有個(gè)，答案見(jiàn)詳解；（3）個(gè).【解析】（1）當(dāng)集合中只有一個(gè)元素，則，得出集合即可；有兩個(gè)元素時(shí)，只需兩個(gè)元素之和為即可；當(dāng)有三個(gè)元素時(shí)，只需其中兩個(gè)元素之和為，另外一個(gè)元素為；（2）只需選對(duì)和為的正整數(shù)即可；（3）集合中元素的個(gè)數(shù)可以為，，，，，，，，個(gè)，先計(jì)算出當(dāng)集合的元素個(gè)數(shù)為偶數(shù)時(shí)的個(gè)數(shù)，同理可得中元素個(gè)數(shù)為奇數(shù)的個(gè)數(shù)，然后則可得出符合條件的的總個(gè)數(shù).【詳解】解：（1）若集合中只有一個(gè)元素，則只需滿足，故，則；若集合中有兩個(gè)元素，則符合條件；若集合中有三個(gè)元素，則符合條件.（2）存在，一共有四個(gè)：或或或.（3）由題意可知，集合中元素的個(gè)數(shù)可以為，，，，，，，，個(gè)，當(dāng)集合中元素的個(gè)數(shù)為偶數(shù)時(shí)：含有個(gè)元素時(shí)，只需在，，，這四對(duì)中任選一對(duì)，則共有個(gè)；含有個(gè)元素時(shí)，只需，，，這四對(duì)中任選兩對(duì)，則共有6個(gè)；含有個(gè)元素時(shí)，只需，，，這四對(duì)中任選三對(duì)，則共有個(gè)；含有個(gè)元素時(shí)，則共有個(gè)，所以當(dāng)集合中元素的個(gè)數(shù)為偶數(shù)時(shí)，滿足條件的集合共有個(gè)，同理可知，當(dāng)中元素個(gè)數(shù)分別為時(shí)，符合條件的集合也為個(gè)；由（1）可知，當(dāng)中只有一個(gè)元素時(shí)，只有一個(gè)，綜上所述，符合條件的共有個(gè).【點(diǎn)睛】本題考查集合的新定義問(wèn)題，考查學(xué)生獲取新知識(shí)、應(yīng)用新知識(shí)的能力，理解題意是關(guān)鍵.題型九：集合元素互異性的應(yīng)用一、單選題1．（2021·上?！じ裰轮袑W(xué)高一期中）若集合中的元素是△ABC的三邊長(zhǎng)，則△ABC一定不是（

）A．銳角三角形 B．直角三角形 C．鈍角三角形 D．等腰三角形【答案】D【分析】根據(jù)集合元素的互異性即可判斷.【詳解】由題可知，集合中的元素是的三邊長(zhǎng)，則，所以一定不是等腰三角形．故選：D．2．（2019·上海市楊浦高級(jí)中學(xué)高一階段練習(xí)）由實(shí)數(shù)所組成的集合中，最多含有元素的個(gè)數(shù)為（

）A．2 B．3 C．4 D．5【答案】A【分析】從集合中元素的互異性出發(fā)，按照、、分類，即可得解.【詳解】由于，，因此當(dāng)時(shí)，這幾個(gè)實(shí)數(shù)均為0，集合含有1個(gè)元素；當(dāng)時(shí)，它們分別是，集合有2個(gè)元素；當(dāng)時(shí)，它們分別是，集合有2個(gè)元素；所以集合中最多含有元素的個(gè)數(shù)為2.故選：A.3．（2020·上?！じ咭徽n時(shí)練習(xí)）由a2，2﹣a，4組成一個(gè)集合A，A中含有3個(gè)元素，則實(shí)數(shù)a的取值可以是A．1 B．﹣2 C．6 D．2【答案】C【詳解】試題分析：通過(guò)選項(xiàng)a的值回代驗(yàn)證，判斷集合中有3個(gè)元素即可．解：當(dāng)a=1時(shí)，由a2=1，2﹣a=1，4組成一個(gè)集合A，A中含有2個(gè)元素，當(dāng)a=﹣2時(shí)，由a2=4，2﹣a=4，4組成一個(gè)集合A，A中含有1個(gè)元素，當(dāng)a=6時(shí)，由a2=36，2﹣a=﹣4，4組成一個(gè)集合A，A中含有3個(gè)元素，當(dāng)a=2時(shí)，由a2=4，2﹣a=0，4組成一個(gè)集合A，A中含有2個(gè)元素，故選C．點(diǎn)評(píng)：本題考查元素與集合的關(guān)系，基本知識(shí)的考查．二、填空題4．（2019·上海師范大學(xué)附屬嘉定高級(jí)中學(xué)高一階段練習(xí)）非零實(shí)數(shù)，構(gòu)成的數(shù)能組成的集合是________________.【答案】【分析】分別討論，的符號(hào)，分四種情況討論，計(jì)算的值結(jié)合元素的互異性即可求解.【詳解】當(dāng)時(shí)，，，當(dāng)時(shí)，，，當(dāng)時(shí)，，，當(dāng)時(shí)，，，由元素的互異性可知數(shù)能組成的集合是，故答案為：.5．（2021·上海·高一專題練習(xí)）下面四個(gè)說(shuō)法錯(cuò)誤的有________（1）10以內(nèi)的質(zhì)數(shù)組成的集合是{2，3，5，7}（2）由1，2，3組成的集合可表示為{1，2，3}或{3，1，2}（3）方程x2-2x+1=0的解集是{1，1}（4）0與{0}表示同一個(gè)集合【答案】（3）（4）【分析】利用集合的基本概念對(duì)四個(gè)命題一一驗(yàn)證即可判斷.【詳解】10以內(nèi)的質(zhì)數(shù)組成的集合是{2，3，5，7}，故（1）說(shuō)法正確;由集合中元素的無(wú)序性知{1，2，3}和{3，1，2}相等，且都可以表示由1，2，3組成的集合，故（2）說(shuō)法正確;方程x2-2x+1=0的解集應(yīng)為{1}，故（3）說(shuō)法錯(cuò)誤;由集合的表示方法知“0”不是集合，故（4）說(shuō)法錯(cuò)誤.故答案為：（3）（4）.6．（2021·上海·高一專題練習(xí)）已知集合，且，則實(shí)數(shù)的值為_(kāi)__________.【答案】3【分析】由集合的元素，以及，分類討論，結(jié)合集合元素互異性，即可得出實(shí)數(shù)的值.【詳解】由題可得，若，則，不滿足集合元素的互異性，舍去；若，解得或，其中不滿足集合元素的互異性，舍去，所以.故答案為：3.【點(diǎn)睛】本題考查集合元素的互異性，結(jié)合元素與集合關(guān)系以及通過(guò)對(duì)集合中元素構(gòu)成的特點(diǎn)求參數(shù)值.三、解答題7．（2019·上海市金山中學(xué)高一期中）設(shè)數(shù)集由實(shí)數(shù)構(gòu)成，且滿足：若（且），則．（1）若，則中至少還有幾個(gè)元素？（2）集合是否為雙元素集合？請(qǐng)說(shuō)明理由．（3）若中元素個(gè)數(shù)不超過(guò)，所有元素的和為，且中有一個(gè)元素的平方等于所有元素的積，求集合．【答案】（1）中至少還有兩個(gè)元素；（2）不是雙元素集合，答案見(jiàn)解析；（3）．【解析】（1）由（且），則，結(jié)合可計(jì)算得出集合中的元素；（2）由，逐項(xiàng)可推導(dǎo)出，，結(jié)合集合元素滿足互異性可得出結(jié)論；（3）由（2）中有三個(gè)元素為、、（且），設(shè)中還有一個(gè)元素，可得出，，由已知條件列方程求出、的值，即可求得集合中的所有元素.【詳解】（1），．，．，．中至少還有兩個(gè)元素為，；（2）不是雙元素集合．理由如下：，，，由于且，，則，則，可得，由，即，可得，故集合中至少有個(gè)元素，所以，集合不是雙元素集合．（3）由（2）知中有三個(gè)元素為、、（且），且，設(shè)中有一個(gè)元素為，則，，且，所以，，且集合中所有元素之積為.由于中有一個(gè)元素的平方等于所有元素的積，設(shè)或，解得（舍去）或或．此時(shí)，，，，由題意得，整理得，即，解得或或，所以，．【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題考查集合中元素相關(guān)的問(wèn)題，解題時(shí)要結(jié)合題中集合滿足的定義推導(dǎo)出其它的元素，以及結(jié)合已知條件列方程求解，同時(shí)注意集合中元素滿足互異性.8．（2020·上?！じ咭粏卧獪y(cè)試）已知集合滿足條件：若，則．若，試把集合中的所有元素都求出來(lái)．【答案】【分析】由條件“若，則”可進(jìn)行一步步推導(dǎo)，根據(jù)所得值循環(huán)出現(xiàn)可得答案．【詳解】∵，∴，從而，則，∴，出現(xiàn)循環(huán)，根據(jù)集合中元素的互異性可得集合中的所有元素為．【點(diǎn)睛】本題考查了集合中元素的互異性，屬于基礎(chǔ)題.9．（2020·上?！じ咭徽n時(shí)練習(xí)）已知集合且．定義集合，求集合．【答案】【分析】先用列舉法表示集合，從而得出的取值情況，然后依次討論的值，求出的值，進(jìn)而得出集合．【詳解】根據(jù)題意可知，由，可知，．當(dāng)，時(shí)，；當(dāng)，時(shí)，；當(dāng)，時(shí)，．根據(jù)集合中元素的互異性，得．【點(diǎn)睛】本題主要考查了集合描述法的應(yīng)用，考查了集合元素的互異性，難度不大.考點(diǎn)四：集合的表示方法題型十：描述法表示集合一、單選題1．（2021·上海市張堰中學(xué)高一期中）定義集合運(yùn)算，若，，則所有元素之和為（

）A．48 B．54 C．40 D．36【答案】C【分析】根據(jù)題意，先算出，進(jìn)而將元素求和即可.【詳解】由題意，，則所有元素和為：2+3+6+9+8+12=40.故選：C.二、填空題2．（2021·上海市通河中學(xué)高一階段練習(xí)）用描述法表示下圖中的陰影部分可以是________．【答案】【分析】首先注意是點(diǎn)集，利用與的范圍來(lái)限定.【詳解】可以用來(lái)表示圖中陰影部分.故答案為：3．（2021·上海市張堰中學(xué)高一期中）若用描述法表示所有偶數(shù)構(gòu)成的集合，則___________.【答案】【分析】偶數(shù)是能被2整除的數(shù)，故可以用式子2k，來(lái)表示【詳解】偶數(shù)可以用2k，來(lái)進(jìn)行表示，所以故答案為：4．（2021·上海中學(xué)高一期中）用描述法表示所有十進(jìn)制下個(gè)位為9的正整數(shù)__________________．【答案】是十進(jìn)制下個(gè)位為9的正整數(shù)【分析】由描述法的定義求解即可【詳解】由題意可知，集合用描述法可表示為：是十進(jìn)制下個(gè)位為9的正整數(shù)故答案為：是十進(jìn)制下個(gè)位為9的正整數(shù)5．（2021·上海市新場(chǎng)中學(xué)高一階段練習(xí)）用描述法表示被整除的整數(shù)組成的集合__________________________．【答案】【分析】被整除的整數(shù)即為且，用描述法寫成集合的形式即可.【詳解】被整除的整數(shù)組成的集合為，故答案為：6．（2021·上海市延安中學(xué)高一階段練習(xí)）所有平行四邊形組成的集合可以表示為_(kāi)__________.【答案】為平行四邊形【分析】利用集合的描述法可得結(jié)果.【詳解】由題意可知，所有平行四邊形組成的集合可以表示為為平行四邊形.故答案為：為平行四邊形.7．（2021·上?！の挥袑W(xué)高一階段練習(xí)）平面直角坐標(biāo)系中坐標(biāo)軸上所有點(diǎn)的坐標(biāo)組成的幾何可以用描述法表示______________【答案】或【分析】根據(jù)坐標(biāo)軸上點(diǎn)的特點(diǎn)橫坐標(biāo)或縱坐標(biāo)為0求解即可.【詳解】因?yàn)檩S上點(diǎn)的坐標(biāo)的縱坐標(biāo)為0，軸上點(diǎn)的坐標(biāo)的橫坐標(biāo)為0，所以坐標(biāo)軸上點(diǎn)的集合為：或.故答案為：或題型十一：列舉法表示集合一、填空題1．（2021·上海師大附中高一階段練習(xí)）集合用列舉法可以表示為_(kāi)__________.【答案】【分析】根據(jù)集合中的元素所滿足的條件，結(jié)合列舉法可得結(jié)果.【詳解】.故答案為：.2．（2021·上海市復(fù)興高級(jí)中學(xué)高一期中）用列舉法表示集合__________．【答案】【分析】找到6的正的約數(shù)即為答案【詳解】因?yàn)?，，?的正的約數(shù)有1，2，3，6，所以用列舉法表示該集合為：故答案為：3．（2020·上?！ね瑵?jì)大學(xué)第二附屬中學(xué)高一期中）用列舉法表示方程組的解集___．【答案】【分析】解方程組，并用列舉法表示點(diǎn)的集合．【詳解】解方程組得，故方程組解的集合為：．故答案為：4．（2019·上海市亭林中學(xué)高一期中）用列舉法表示方程的解組成的集合___________【答案】##【解析】解出二次方程，用集合表示即可.【詳解】,則或故用列舉法表示方程的解組成的集合為故答案為：5．（2019·上海市亭林中學(xué)高一期中）寫出絕對(duì)值小于的所有整數(shù)構(gòu)成的集合_____________.【答案】【分析】根據(jù)數(shù)集的概念及集合的表示方法，即可求解.【詳解】由題意，絕對(duì)值小于的所有整數(shù)，分別為，所以構(gòu)成的集合為.故答案為：6．（2019·上海市亭林中學(xué)高一期中）直線與直線的交點(diǎn)組成的集合用列舉法可以表示為_(kāi)___________.【答案】【分析】直接聯(lián)立解方程即可.【詳解】聯(lián)立方程，解得即直線與直線的交點(diǎn)組成的集合用列舉法可以表示為故答案為：7．（2022·上海·曹楊二中高一期末）已知集合，則集合=______．（用列舉法表示）【答案】【分析】根據(jù)給定條件直接計(jì)算作答.【詳解】因，而，所以.故答案為：8．（2021·上海市延安中學(xué)高一期中）已知集合，集合，則集合的所有元素之和為_(kāi)__________.【答案】28【分析】根據(jù)集合描述法，列舉集合中的元素求解即可.【詳解】,,,集合的所有元素之和為28,故答案為：28題型十二：列舉法求集合中元素的個(gè)數(shù)一、單選題1．（2021·上?！じ咭粚ｎ}練習(xí)）設(shè)，，定義，則中元素的個(gè)數(shù)為（

）A．4 B．5 C．19 D．20【答案】C【分析】采用列舉法，分別列舉、、、時(shí)，集合中的元素，即可求解.【詳解】當(dāng)時(shí)，集合中元素為，，，，共個(gè)，當(dāng)時(shí)，集合中元素為，，，，共個(gè)，當(dāng)時(shí)，集合中元素為，，，，共個(gè)，當(dāng)時(shí)，集合中元素為，，，共個(gè)，所以集合中共有個(gè)，故選：C.2．（2020·上海·華東師范大學(xué)附屬周浦中學(xué)高一階段練習(xí)）已知集合，，定義集合，則中元素的個(gè)數(shù)為（

）．A．77 B．49 C．45 D．30【答案】C【分析】根據(jù)題意作出圖示表示集合A、B所表示的點(diǎn)，由數(shù)形結(jié)合思想可得出表示的點(diǎn)集的橫坐標(biāo)和縱坐標(biāo)的范圍，從而可得出中元素的個(gè)數(shù).【詳解】集合中有5個(gè)元素，即5個(gè)點(diǎn)，如下圖中黑點(diǎn)所示．集合中有25個(gè)元素（即25個(gè)點(diǎn)），即下圖中正方形內(nèi)部及正方形邊上的整點(diǎn)．所以或或或或或或，共7個(gè)值；所以或或或或或或，共7個(gè)值，所以集合中的元素可看作下圖中正方形內(nèi)部及正方形邊上除去四個(gè)頂點(diǎn)外的整點(diǎn)，共（個(gè)）．故選C.【點(diǎn)睛】本題考查集合中的元素所表示的具體含義，關(guān)鍵在于理解新定義的集合中元素的構(gòu)成，準(zhǔn)確求出集合和集合所表示的點(diǎn)，借助平面直角坐標(biāo)系更清楚地看出集合中元素的構(gòu)成是解決此類問(wèn)題的常用方法，屬于難度題．3．（2020·上海·曹楊二中高一期末）已知集合，若且對(duì)任意的，均有，則中元素個(gè)數(shù)的最大值為（

）A．10 B．19 C．30 D．39【答案】D【解析】根據(jù)，轉(zhuǎn)化為任意兩點(diǎn)連線的斜率不存在或小于等于零，分析要使這樣的點(diǎn)最多，點(diǎn)的分布情況，即可得解.【詳解】由題：集合，若且對(duì)任意的，均有，作如下等價(jià)轉(zhuǎn)化：考慮，是平面內(nèi)的滿足題目條件的任意兩點(diǎn)，“”等價(jià)于“或”，即這個(gè)集合中的任意兩個(gè)點(diǎn)連線的斜率不存在或斜率小于等于零，要使集合中這樣的點(diǎn)最多，就是直線兩條直線上的整數(shù)點(diǎn)，共39個(gè)，（當(dāng)然也可考慮直線兩條直線上的整數(shù)點(diǎn)，共39個(gè)）故選：D【點(diǎn)睛】此題以元素與集合關(guān)系為背景，考查根據(jù)題目條件求集合中元素個(gè)數(shù)問(wèn)題，關(guān)鍵在于對(duì)不等關(guān)系進(jìn)行等價(jià)轉(zhuǎn)化，找出便于理解的處理方式，當(dāng)然此題解法不唯一，可以討論極限情況，可以分類列舉觀察規(guī)律.二、填空題4．（2021·上?！じ裰轮袑W(xué)高一階段練習(xí)）已知集合A＝{1，2，3，4，5，6}，B＝{（x，y）|x∈A，y∈A，x﹣y∈A}，則B中所含元素的個(gè)數(shù)為_(kāi)________．【答案】15【分析】列舉法表示出集合B，進(jìn)而可以求出結(jié)果.【詳解】因?yàn)椋?所以，因此B中所含元素的個(gè)數(shù)為15，故答案為：15.5．（2020·上?！じ咭徽n時(shí)練習(xí)）已知集合，則集合中元素的個(gè)數(shù)為_(kāi)_______．【答案】9【分析】根據(jù)條件求出集合B中的元素，即可得出答案．【詳解】解：集合B中元素有(1,1)，(1,2)，(1,4)，(2,1)，(2,2)，(2,4)，(4,1)，(4,2)，(4,4)，共9個(gè).故答案為：9.6．（2020·上?！じ咭粏卧獪y(cè)試）若集合，則集合中的元素個(gè)數(shù)為_(kāi)___________．【答案】3【解析】根據(jù)集合的元素關(guān)系確定集合即可．【詳解】解：A＝{﹣1，1}，B＝{0，2}，∵x∈A，y∈B，∴x＝1或x＝﹣1，y＝0或y＝2，則z＝x+y＝﹣1，1，3，即為{﹣1，1，3}．故答案為：3．【點(diǎn)睛】本題主要考查集合元素個(gè)數(shù)的確定，利用條件確定集合的元素即可，比較基礎(chǔ)．7．（2021·上海·華東師范大學(xué)第三附屬中學(xué)高一期中）設(shè)集合，，集合，則中元素的個(gè)數(shù)為_(kāi)__________.【答案】46【分析】分，列舉出集合對(duì)應(yīng)的元素，除去重復(fù)的計(jì)算即得解【詳解】由題意，集合當(dāng)時(shí)，，故對(duì)應(yīng)，有7個(gè)數(shù)；當(dāng)時(shí)，，故對(duì)應(yīng)，有7個(gè)數(shù)；當(dāng)時(shí)，，故對(duì)應(yīng)，有7個(gè)數(shù)；當(dāng)時(shí)，，對(duì)應(yīng)，其中有3個(gè)數(shù)1，2，3與時(shí)重復(fù)；當(dāng)時(shí)，，故對(duì)應(yīng)，有7個(gè)數(shù)；當(dāng)時(shí)，，故對(duì)應(yīng)，有7個(gè)數(shù)；當(dāng)時(shí)，，故對(duì)應(yīng)，有7個(gè)數(shù)；故中元素的個(gè)數(shù)為故答案為：46三、解答題8．（2021·上海·高一專題練習(xí)）方程ax=b是關(guān)于x的方程.當(dāng)a、b滿足什么條件時(shí)，該方程的解集是有限集？當(dāng)a、b滿足什么條件時(shí)，該方程的解集是無(wú)限集？【答案】當(dāng)a≠0時(shí)，或a=0且b≠0時(shí)，解集是有限集；當(dāng)a=b=0時(shí)，解集是無(wú)限集.【分析】解方程ax=b，對(duì)a、b直接分類討論即可.【詳解】當(dāng)a≠0時(shí)，方程的解為，有一個(gè)解，有限集；當(dāng)a=0且b≠0時(shí)，方程無(wú)解，解集為空集，有限集；當(dāng)a=b=0時(shí)，方程有無(wú)數(shù)個(gè)解，則解集為無(wú)限集.鞏固鞏固提升一、單選題1．（2022·上海市建平中學(xué)高一期末）已知函數(shù)，記集合，集合，若，且都不是空集，則的取值范圍（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】設(shè)，代入集合得到，討論和兩種情況，得到無(wú)解，計(jì)算得到答案.【詳解】都不是空集，設(shè)，則；，則，即.，當(dāng)時(shí)，方程的解為此時(shí)，滿足；當(dāng)時(shí)：的解為或，則或，則無(wú)解，，綜上所述：，故選：B2．（2020·上海市大同中學(xué)高一階段練習(xí)）若?分別為集合?的元素個(gè)數(shù)，定義，若，且.設(shè)實(shí)數(shù)所有可能構(gòu)成集合，則（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】由題設(shè)可得或，分類討論研究集合T中方程解的情況，即可確定實(shí)數(shù)所有可能，進(jìn)而可得.【詳解】由題意，，，及方程的解.由，，∴或；當(dāng)時(shí)，只能為，則；當(dāng)時(shí)，分三種情況討論：或是方程的其中一個(gè)解，方程還有另外一解，把?代入驗(yàn)證，不符合題意；當(dāng)方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根時(shí)，即，解得，符合題意.綜上所述，??.故選：C3．（2021·上海市延安中學(xué)高一階段練習(xí)）設(shè)全集，給出條件：①；②若，則；③若，則.那么同時(shí)滿足三個(gè)條件的集合的個(gè)數(shù)為（

）A．個(gè) B．個(gè) C．個(gè) D．個(gè)【答案】C【分析】集合中各元素的放置，由此可得出結(jié)論.【詳解】由題意可知，若，則，，；若，則，，.此時(shí)，、、、的放置有種；若，則；若，則，此時(shí)、的放置有種；若，則；若，則，此時(shí)，、的放置有種.、的放置沒(méi)有限制，各有種.綜上所述，滿足條件的集合的個(gè)數(shù)為.故選：C.二、填空題4．（2022·上海·華師大二附中高一期末）已知a∈R，不等式的解集為P，且-1∈P，則a的取值范圍是____________.【答案】【分析】把代入不等式即可求解.【詳解】因?yàn)?，故，解得：，所以a的取值范圍是.故答案為：5．（2022·上海虹口·高一期末）已知集合，，則______．【答案】【分析】根據(jù)給定條件求出集合B，再利用并集的定義直接計(jì)算作答.【詳解】解方程得：或，則，而，所以.故答案為：6．（2021·上海市奉賢中學(xué)高一期中）用表示非空集合A中元素的個(gè)數(shù)：定義，若，，且，設(shè)實(shí)數(shù)a的所有可能取值構(gòu)成集合S，__________；【答案】【分析】根據(jù)新定義得出集合中元素個(gè)數(shù)，再由方程根的個(gè)數(shù)分析求解．【詳解】由已知，而，則或3，顯然的一個(gè)解是，若，則，滿足題意；若，則，方程已有兩個(gè)根和，有兩個(gè)相等的實(shí)根且不為0和，，，時(shí)，的解為．時(shí)，的解為．均滿足題意．綜上．故答案為：．7．（2021·上海市奉賢中學(xué)高一期中）若，則實(shí)數(shù)__________；【答案】##-2或2##2或-2【分析】結(jié)合已知條件，利用元素與集合的關(guān)系即可求解.【詳解】因?yàn)?，所以，解?故答案為：.8．（2021·上海市延安中學(xué)高一期中）設(shè)集合為實(shí)數(shù)集的非空子集，若對(duì)任意，，都有，，，則稱集合為“完美集合”.給出下列命題：①若為“完美集合”，則一定有；②“完美集合”一定是無(wú)限集；③集合為“完美集合”；④若為“完美集合”，則滿足的任意集合也是“完美集合”.其中真命題是___________.（寫出所有正確命題的序號(hào)）【答案】①③##③①【分析】對(duì)于①③，可以利用完美集合的定義分析判斷，對(duì)于②④可以舉反例分析判斷.【詳解】因?yàn)?，是集合中任意的元素，所以與可以是同一個(gè)元素，故0一定在完美集合中，故①正確；完美集合不一定是無(wú)限集，例如，故②錯(cuò)誤；集合，在集合中任意取兩個(gè)元素，，其中，，，為整數(shù)，則，，，均為整數(shù)加上的整數(shù)倍的形式，故③正確；，，，也滿足④，但是集合不是一個(gè)完美集合，故④不正確.故答案為：①③9．（2020·上?！とA東師范大學(xué)附屬周浦中學(xué)高一階段練習(xí)）若集合中只有一個(gè)元素，則實(shí)數(shù)的值為_(kāi)__________.【答案】或【分析】分、兩種情況討論，結(jié)合集合只有一個(gè)元素可得出關(guān)于的等式，綜合可求得實(shí)數(shù)的值.【詳解】當(dāng)時(shí)，，合乎題意；當(dāng)時(shí)，則關(guān)于的二次方程只有一解，則，解得.綜上所述，或.故答案為：或.10．（2021·上海市張堰中學(xué)高一期中）用表示非空集合中元素的個(gè)數(shù)，定義，若，，，則實(shí)數(shù)的所有可能取值構(gòu)成集合，則______.（請(qǐng)用列舉法表示）【答案】【分析】根據(jù)，，可知要么是單元素集合，要么是三元素集合，然后對(duì)方程的個(gè)數(shù)進(jìn)行討論，即可求得的所有可能取值.【詳解】由于，等價(jià)于①或②又，，可知要么是單元素集合，要么是三元素集合，（1）當(dāng)是單元素集合，則方程①有兩個(gè)相等的實(shí)根，方程②無(wú)實(shí)根，此時(shí)；（2）當(dāng)是三元素集合，則方程①有兩個(gè)不相等的實(shí)根，方程②有兩個(gè)相等的實(shí)根，此時(shí)，解得實(shí)數(shù)的所有可能取值構(gòu)成集合故答案為：【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題考查元素與集合的判斷，解題的關(guān)鍵是對(duì)新定義的理解，考查學(xué)生的分析審題能力與分類討論思想，屬于中檔題.11．（2020·上海市奉賢中學(xué)高一階段練習(xí)）已知??均不為，則的所有可能的值組成的集合是___________.【答案】##【分析】就的符號(hào)分類討論后可得所求的集合.【詳解】符號(hào)情況只有如下4種：（1）全正，則均為正數(shù)，此時(shí)；（2）全負(fù)，則均為正數(shù)