立體幾何知識(shí)點(diǎn)

立體幾何知識(shí)點(diǎn)第1講空間幾何體結(jié)構(gòu)及其三視圖和直觀圖1．多面體結(jié)構(gòu)特征(1)棱柱側(cè)棱都平行且相等，上下底面是全等且平行多邊形．(2)棱錐底面是任意多邊形，側(cè)面是有一個(gè)公共頂點(diǎn)三角形．(3)棱臺(tái)可由平行于底面平面截棱錐得到，其上下底面是相同多邊形．2．旋轉(zhuǎn)體結(jié)構(gòu)特征(1)圓錐能夠由直角三角形繞其任一直角邊旋轉(zhuǎn)得到．(2)圓臺(tái)能夠由直角梯形繞直角腰或等腰梯形繞上下底中點(diǎn)連線旋轉(zhuǎn)得到，也可由平行于圓錐底面平面截圓錐得到．(3)球能夠由半圓面或圓面繞直徑旋轉(zhuǎn)得到．3．空間幾何體三視圖空間幾何體三視圖是用正投影得到，這種投影下與投影面平行平面圖形留下影子與平面圖形形狀和大小是完全相同，三視圖包含正視圖、側(cè)視圖、俯視圖．4．空間幾何體直觀圖空間幾何體直觀圖慣用斜二測(cè)畫(huà)法來(lái)畫(huà)，其規(guī)則是：(1)原圖形中x軸、y軸、z軸兩兩垂直，直觀圖中，x′軸、y′軸夾角為45°(或135°)，z′軸與x′軸、y′軸所在平面垂直．(2)原圖形中平行于坐標(biāo)軸線段，直觀圖中仍分別平行于坐標(biāo)軸．平行于x軸和z軸線段在直觀圖中保持原長(zhǎng)度不變，平行于y軸線段長(zhǎng)度在直觀圖中變?yōu)樵瓉?lái)二分之一．第2講空間幾何體表面積與體積1．柱、錐、臺(tái)和球側(cè)面積和體積面積體積圓柱S側(cè)＝2πrhV＝Sh＝πr2h圓錐S側(cè)＝πrlV＝eq\f(1,3)Sh＝eq\f(1,3)πr2h＝eq\f(1,3)πr2eq\r(l2－r2)圓臺(tái)S側(cè)＝π(r1＋r2)lV＝eq\f(1,3)(S上＋S下＋eq\r(S上S下))h＝eq\f(1,3)π(req\o\al(2,1)＋req\o\al(2,2)＋r1r2)h直棱柱S側(cè)＝ChV＝Sh正棱錐S側(cè)＝eq\f(1,2)Ch′V＝eq\f(1,3)Sh正棱臺(tái)S側(cè)＝eq\f(1,2)(C＋C′)h′V＝eq\f(1,3)(S上＋S下＋eq\r(S上S下))h球S球面＝4πR2V＝eq\f(4,3)πR32.幾何體表面積(1)棱柱、棱錐、棱臺(tái)表面積就是各面面積之和．(2)圓柱、圓錐、圓臺(tái)側(cè)面展開(kāi)圖分別是矩形、扇形、扇環(huán)形；它們表面積等于側(cè)面積與底面面積之和．第3講空間點(diǎn)、直線、平面之間位置關(guān)系1．平面基本性質(zhì)(1)公理1：假如一條直線上兩點(diǎn)在一個(gè)平面內(nèi)，那么這條直線在此平面內(nèi)．(2)公理2：過(guò)不在一條直線上三點(diǎn)，有且只有一個(gè)平面．(3)公理3：假如兩個(gè)不重合平面有一個(gè)公共點(diǎn)，那么它們有且只有一條過(guò)該點(diǎn)公共直線．(4)公理2三個(gè)推論推論1：經(jīng)過(guò)一條直線和這條直線外一點(diǎn)有且只有一個(gè)平面；推論2：經(jīng)過(guò)兩條相交直線有且只有一個(gè)平面；推論3：經(jīng)過(guò)兩條平行直線有且只有一個(gè)平面．2．空間中兩直線位置關(guān)系(1)空間兩直線位置關(guān)系eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(共面直線\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(平行,相交)),異面直線：不一樣在任何一個(gè)平面內(nèi)))(2)異面直線所成角①定義：設(shè)a，b是兩條異面直線，經(jīng)過(guò)空間任一點(diǎn)O作直線a′∥a，b′∥b，把a(bǔ)′與b′所成銳角(或直角)叫做異面直線a與b所成角(或夾角)．②范圍：eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2))).(3)平行公理和等角定理①平行公理：平行于同一條直線兩條直線相互平行．②等角定理：空間中假如兩個(gè)角兩邊分別對(duì)應(yīng)平行，那么這兩個(gè)角相等或互補(bǔ)．3．空間直線與平面、平面與平面位置關(guān)系(1)直線與平面位置關(guān)系有相交、平行、在平面內(nèi)三種情況．(2)平面與平面位置關(guān)系有平行、相交兩種情況．第4講直線、平面平行判定與性質(zhì)1．直線與平面平行判定與性質(zhì)判定性質(zhì)定義定理圖形條件a∩α＝?a?α，b?α，a∥ba∥αa∥α，a?β，α∩β＝b結(jié)論a∥αb∥αa∩α＝?a∥b2.面面平行判定與性質(zhì)判定性質(zhì)定義定理圖形條件α∩β＝?a?β，b?β，a∩b＝P，a∥α，b∥αα∥β，α∩γ＝a，β∩γ＝bα∥β，a?β結(jié)論α∥βα∥βa∥ba∥α1．平行關(guān)系轉(zhuǎn)化方向如圖所表示：2．在處理線面、面面平行判定時(shí)，通常遵照從“低維”到“高維”轉(zhuǎn)化，即從“線線平行”到“線面平行”，再到“面面平行”；而在應(yīng)用性質(zhì)定理時(shí)，其次序恰好相反，但也要注意，轉(zhuǎn)化方向總是由題目標(biāo)詳細(xì)條件而定，決不可過(guò)于“模式化”．第5講直線、平面垂直判定與性質(zhì)1．直線與平面垂直(1)定義：若直線l與平面α內(nèi)任意一條直線都垂直，則直線l與平面α垂直．(2)判定定理：一條直線與一個(gè)平面內(nèi)兩條相交直線都垂直，則該直線與此平面垂直(線線垂直?線面垂直)．即：a?α，b?α，l⊥a，l⊥b，a∩b＝P?l⊥α.(3)性質(zhì)定理：垂直于同一個(gè)平面兩條直線平行．即：a⊥α，b⊥α?a∥b.2．平面與平面垂直(1)定義：兩個(gè)平面相交，假如它們所成二面角是直二面角，就說(shuō)這兩個(gè)平面相互垂直．(2)判定定理：一個(gè)平面過(guò)另一個(gè)平面垂線，則這兩個(gè)平面垂直．即：a?α，a⊥β?α⊥β.(3)性質(zhì)定理：兩個(gè)平面垂直，則一個(gè)平面內(nèi)垂直于交線直線與另一個(gè)平面垂直．即：α⊥β，a?α，α∩β＝b，a⊥b?a⊥β.3．直線與平面所成角(1)定義：平面一條斜線和它在平面上射影所成銳角，叫做這條斜線和這個(gè)平面所成角．(2)線面角θ范圍：θ∈eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2))).4．二面角關(guān)于概念(1)二面角：從一條直線出發(fā)兩個(gè)半平面所組成圖形叫做二面角．(2)二面角平面角：二面角棱上一點(diǎn)，在兩個(gè)半平面內(nèi)分別作與棱垂直射線，則兩射線所成角叫做二面角平面角．1．轉(zhuǎn)化思想：垂直關(guān)系轉(zhuǎn)化在證實(shí)兩平面垂直時(shí)通常先從現(xiàn)有直線中尋找平面垂線，若這么直線圖中不存在，則可經(jīng)過(guò)作輔助線來(lái)處理．如有平面垂直時(shí)，通常要用性質(zhì)定理，在一個(gè)平面內(nèi)作交線垂線，使之轉(zhuǎn)化為線面垂直，然后深入轉(zhuǎn)化為線線垂直．故熟練掌握“線線垂直”、“面面垂直”間轉(zhuǎn)化條件是處理這類問(wèn)題關(guān)鍵．第6講空間向量及其運(yùn)算1．空間向量在空間中，具備大小和方向量叫做空間向量，其大小叫做向量長(zhǎng)度或模．2．空間向量中關(guān)于定理(1)共線向量定理：對(duì)空間任意兩個(gè)向量a，b(b≠0)，a∥b?存在λ∈R，使a＝λb.(2)共面向量定理：若兩個(gè)向量a，b不共線，則向量p與向量a，b共面?存在唯一有序?qū)崝?shù)對(duì)(x，y)，使p＝xa＋yb.(3)空間向量基本定理：假如三個(gè)向量a，b，c不共面，那么對(duì)空間任一向量p，存在一個(gè)唯一有序?qū)崝?shù)組{x，y，z}使得p＝xa＋yb＋zc.3．兩個(gè)向量數(shù)量積(1)非零向量a，b數(shù)量積a·b＝|a||b|cos<a，b>.(2)空間向量數(shù)量積運(yùn)算律①結(jié)合律：(λa)·b＝λ(a·b)．②交換律：a·b＝b·a.③分配律：a·(b＋c)＝a·b＋a·c.4．空間向量坐標(biāo)表示及其應(yīng)用設(shè)a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3).向量表示坐標(biāo)表示數(shù)量積a·ba1b1＋a2b2＋a3b3共線a＝λb(b≠0)a1＝λb1，a2＝λb2，a3＝λb3垂直a·b＝0(a≠0，b≠0)a1b1＋a2b2＋a3b3＝0模|a|eq\r(a\o\al(2,1)＋a\o\al(2,2)＋a\o\al(2,3))夾角<a，b>(a≠0，b≠0)cos<a，b>＝eq\f(a1b1＋a2b2＋a3b3,\r(a\o\al(2,1)＋a\o\al(2,2)＋a\o\al(2,3))·\r(b\o\al(2,1)＋b\o\al(2,2)＋b\o\al(2,3)))第7講立體幾何中向量方法(一)——證實(shí)平行與垂直1．直線方向向量與平面法向量確實(shí)定(1)直線方向向量：l是空間一直線，A，B是直線l上任意兩點(diǎn)，則稱eq\o(AB,\s\up12(→))為直線l方向向量，與eq\o(AB,\s\up12(→))平行任意非零向量也是直線l方向向量．(2)平面法向量可利用方程組求出：設(shè)a，b是平面α內(nèi)兩不共線向量，n為平面α法向量，則求法向量方程組為eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(n·a＝0，,n·b＝0.))2．空間位置關(guān)系向量表示位置關(guān)系向量表示直線l1，l2方向向量分別為n1，n2.l1∥l2n1∥n2?n1＝λn2l1⊥l2n1⊥n2?n1·n2＝0直線l方向向量為n，平面α法向量為ml∥αn⊥m?m·n＝0l⊥αn∥m?n＝λm平面α，β法向量分別為n，m.α∥βn∥m?n＝λmα⊥βn⊥m?n·m＝0第8講立體幾何中向量方法(二)——求空間角與距離1．兩條異面直線所成角求法設(shè)a，b分別是兩異面直線l1，l2方向向量，則l1與l2所成角θa與b夾角β范圍eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2)))[0，π]求法cosθ＝eq\f(|a·b|,|a||b|)cosβ＝eq\f(a·b,|a||b|)2.直線與平面所成角求法設(shè)直線l方向向量為a，平面α法向量為n，直線l與平面α所成角為θ，a與n夾角為β.則sinθ＝|cosβ|＝eq\f(|a·n|,|a||n|).3．求二面角大小(1)如圖①，AB，CD是二面角α－l－β兩個(gè)面內(nèi)與棱l垂直直線，則二面角大小θ＝<eq\o(AB,\s\up12(→))，eq\o(CD,\s\up12(→))>.

(2)如圖②③，n1，n2分別是二面角α－l－β兩個(gè)半平面α，β法向量，則二面角大小θ滿足|cosθ|＝|cos<n1，n2>|，二面角平面角大小是向量n1與n2夾角(或其補(bǔ)角)．4．利用空間向量求