建模訓(xùn)練第一講概論初等模型

建模訓(xùn)練第一講概論初等模型第一頁，共四十三頁，編輯于2023年，星期六課程的作用課程的目的課程的特點課程安排第二頁，共四十三頁，編輯于2023年，星期六課程的作用數(shù)學(xué)建模是利用數(shù)學(xué)工具解決實際問題的主要手段，促進計算機和數(shù)學(xué)軟件在實際問題中的應(yīng)用，成為本科生、碩士生和博士生的必須掌握的基本技能。在設(shè)計研究單位和工業(yè)部門，數(shù)學(xué)建模已被廣泛地用于研究和解決各種具體的工程問題。可以預(yù)見，數(shù)學(xué)建模將在我國科學(xué)研究和工程應(yīng)用中發(fā)揮越來越大的作用。第三頁，共四十三頁，編輯于2023年，星期六通過本課程的學(xué)習(xí)，了解、熟悉、掌握數(shù)學(xué)建模的基本方法熟練使用MATLAB的基本編程方法，并具有初步的利用計算機處理、解決實際問題的能力，為進一步學(xué)習(xí)后續(xù)的專業(yè)課程做好準(zhǔn)備。本課程的目的本課程的特點（FeaturesofThisCourse

）

交叉性課程，是計算機技術(shù)、數(shù)學(xué)理論知識以及諸多工程理論知識的綜合。實踐性課程。內(nèi)容多，課時少，要求同學(xué)上課認(rèn)真聽講，要充分利用上機實踐消化、理解、掌握課上講解內(nèi)容。參加數(shù)學(xué)建模競賽。中國數(shù)學(xué)建模競賽，每年9月進行，用時3天。美國數(shù)學(xué)建模競賽，每年2月進行，用時4天。去年舉行了首屆全校數(shù)學(xué)建模競賽。數(shù)學(xué)建模競賽3人一組，進行分工合作，最后以論文的形式上交結(jié)果。

公共信箱：jianmoshiyanke@126.com文件中心卓越建模訓(xùn)練密碼：math2013第四頁，共四十三頁，編輯于2023年，星期六課程安排課堂教學(xué)：（18周周四下午；周五下午；周六上午；周日上午；19周周一下午）上機試驗：（19周周五下午2點開始；20周周一全天；周二全天；周三全天下午4：00。地點：物理實驗樓十樓數(shù)學(xué)建模實驗室）學(xué)習(xí)成績：

1)上機實驗平時紀(jì)律占10%

2)考勤10%

3)大作業(yè)80%（嚴(yán)禁抄襲）主要參考書《精通MATLAB6.5》張志涌等編著，北航出版，2003年《數(shù)學(xué)模型》姜啟源等著，高等教育出版社，2004年《數(shù)學(xué)模型與數(shù)學(xué)建模》劉來福主編，北京師范大學(xué)出版社，2009《數(shù)學(xué)建模算法與程序》司守奎主編，（電子版）第五頁，共四十三頁，編輯于2023年，星期六第一講數(shù)學(xué)模型概論及初等模型1.數(shù)學(xué)模型與數(shù)學(xué)建模2.數(shù)學(xué)建模的一般步驟3.數(shù)學(xué)模型的分類4.初等模型第六頁，共四十三頁，編輯于2023年，星期六數(shù)學(xué)是什么？數(shù)學(xué)有沒有用？數(shù)學(xué)不是沒有用，而是不夠用現(xiàn)有的數(shù)學(xué)方法不能解決所有實際問題在專業(yè)研究中遇到很多數(shù)學(xué)問題而受阻怎么用？解決實際問題數(shù)學(xué)模型

第七頁，共四十三頁，編輯于2023年，星期六1.數(shù)學(xué)模型與數(shù)學(xué)建模數(shù)學(xué)模型（MathematicalModel）是用數(shù)學(xué)符號、數(shù)學(xué)公式、程序、圖形等對實際問題本質(zhì)屬性的抽象而又簡潔的刻劃，它或能解釋某些客觀現(xiàn)象，或能預(yù)測未來的發(fā)展規(guī)律，或能為控制某一現(xiàn)象的發(fā)展提供某種意義下的最優(yōu)策略或較好策略數(shù)學(xué)建模（MathematicalModeling）應(yīng)用知識從實際問題中抽象、提煉出數(shù)學(xué)模型的過程

第八頁，共四十三頁，編輯于2023年，星期六數(shù)學(xué)模型早就知應(yīng)用題甲乙兩地相距750公里，船從甲到乙順?biāo)叫行?0小時，從乙地到甲逆水航行需50小時，問航速，水速各多少？物理題

從平靜湖面的小船上仍一塊石頭至水中，湖面是上漲還是下降？

第九頁，共四十三頁，編輯于2023年，星期六你碰到過的數(shù)學(xué)模型——“航行問題”用x

表示船速，y表示水速，列出方程：答：船速每小時20千米.甲乙兩地相距750公里，船從甲到乙順?biāo)叫行?0小時，從乙到甲逆水航行需50小時，問船的速度是多少?x=20y=5求解第十頁，共四十三頁，編輯于2023年，星期六航行問題建立數(shù)學(xué)模型的基本步驟作出簡化假設(shè)（船速、水速為常數(shù)）；用符號表示有關(guān)量（x,y表示船速和水速）；用物理定律（勻速運動的距離等于速度乘以時間）列出數(shù)學(xué)式子（二元一次方程）；求解得到數(shù)學(xué)解答（x=20,y=5）；回答原問題（船速每小時20千米）.第十一頁，共四十三頁，編輯于2023年，星期六數(shù)學(xué)模型無處不在

分析與設(shè)計

預(yù)報與決策

控制與優(yōu)化

規(guī)劃與管理數(shù)學(xué)建模計算機技術(shù)知識經(jīng)濟如虎添翼第十二頁，共四十三頁，編輯于2023年，星期六（1）打水問題

每天下午5:00至5:30之間開水房的擁塞想必讓每個人都深有感觸，偏偏這個時候還有一些人喜歡一個人還占幾個龍頭，不等不讓人怒火中燒，對每個人來講，最好的方法當(dāng)然是在不違反排隊順序的前提喜愛盡可能早地接觸龍頭。事實上大家也基本上是這樣做的。在高峰時期，霸占多個龍頭的人就算不遭到語言的譴責(zé)也會遭到目光的譴責(zé)。第十三頁，共四十三頁，編輯于2023年，星期六打水問題（事實如我們所想嗎？）

假設(shè)現(xiàn)在有2個水龍頭，10個人來打水，每個人拎著兩個壺，每打一壺要1分鐘。方法A：經(jīng)驗方法。這樣，當(dāng)有兩人等待時，兩個人各用一個龍頭，為將10個人打滿，總共的等待時間是：2*(2+4+6+8+10)=60分鐘方法B：每次分配水龍頭時都優(yōu)先滿足最前面的人。這樣，當(dāng)有兩人等待時，第一個人先用兩個龍頭，等他打完了第二個人再用。這種方法下總的等待時間是：1+2+3+4+5+6+7+8+9+10=55分鐘

推廣：相同任務(wù)量的并行隊列第十四頁，共四十三頁，編輯于2023年，星期六（2）歌德斯堡七橋問題

18世紀(jì)，德國東普魯士的首府哥德斯堡是一座景色迷人的城市，普萊格爾河橫貫城區(qū)，使這座城市錦上添花，顯得更加風(fēng)光旖旋。這條河有兩條支流，在城中心匯成大河，在河的中央有一座美麗的小島。河上有七座各具特色的橋把島和河岸連接起來。能不能既不重復(fù)又不遺漏地一次相繼走遍這七座橋？第十五頁，共四十三頁，編輯于2023年，星期六

2.數(shù)學(xué)建模的一般步驟模型準(zhǔn)備模型假設(shè)模型建立模型求解模型分析模型檢驗?zāi)Ｐ蛻?yīng)用模型準(zhǔn)備了解實際背景明確建模目的搜集有關(guān)信息掌握對象特征形成一個比較清晰的‘問題’第十六頁，共四十三頁，編輯于2023年，星期六模型假設(shè)針對問題特點和建模目的作出合理的、簡化的假設(shè)在合理與簡化之間作出折中模型建立用數(shù)學(xué)的語言、符號描述問題發(fā)揮想像力使用類比法盡量采用簡單的數(shù)學(xué)工具數(shù)學(xué)建模的一般步驟第十七頁，共四十三頁，編輯于2023年，星期六模型求解各種數(shù)學(xué)方法、軟件和計算機技術(shù)如結(jié)果的誤差分析、統(tǒng)計分析、模型對數(shù)據(jù)的穩(wěn)定性分析模型分析模型檢驗與實際現(xiàn)象、數(shù)據(jù)比較，檢驗?zāi)Ｐ偷暮侠硇?、適用性模型應(yīng)用數(shù)學(xué)建模的一般步驟第十八頁，共四十三頁，編輯于2023年，星期六例1包湯圓（餃子）問題

通常，1公斤面，1公斤餡，包100個湯圓（餃子）今天，1公斤面不變，餡多于1公斤，問多包幾個（小一點），還是少包幾個（大一些）？問題：圓面積為S的一個皮，包成體積為V的湯圓，若分成n個皮，每個圓面積為s，包成的體積為v第十九頁，共四十三頁，編輯于2023年，星期六包湯圓（餃子）問題第二十頁，共四十三頁，編輯于2023年，星期六背景年1625183019301960197419871999人口(億)5102030405060世界人口增長概況中國人口增長概況年19081933195319641982199019952000人口(億)3.04.76.07.210.311.312.013.0研究人口變化規(guī)律控制人口過快增長例2如何預(yù)報人口的增長第二十一頁，共四十三頁，編輯于2023年，星期六指數(shù)增長模型——馬爾薩斯提出(1798)常用的計算公式x(t)~時刻t的人口基本假設(shè)

:人口(相對)增長率r

是常數(shù)今年人口x0,年增長率rk年后人口隨著時間增加，人口按指數(shù)規(guī)律無限增長與常用公式的一致第二十二頁，共四十三頁，編輯于2023年，星期六指數(shù)增長模型的應(yīng)用及局限性與19世紀(jì)以前歐洲一些地區(qū)人口統(tǒng)計數(shù)據(jù)吻合.適用于19世紀(jì)后遷往加拿大的歐洲移民后代.可用于短期人口增長預(yù)測.不符合19世紀(jì)后多數(shù)地區(qū)人口增長規(guī)律.不能預(yù)測較長期的人口增長過程.19世紀(jì)后人口數(shù)據(jù)人口增長率r不是常數(shù)(逐漸下降)第二十三頁，共四十三頁，編輯于2023年，星期六阻滯增長模型(Logistic模型)人口增長到一定數(shù)量后，增長率下降的原因：資源、環(huán)境等因素對人口增長的阻滯作用,且阻滯作用隨人口數(shù)量增加而變大假設(shè)r~固有增長率(x很小時)xm~人口容量（資源、環(huán)境能容納的最大數(shù)量）r是x的減函數(shù)第二十四頁，共四十三頁，編輯于2023年，星期六dx/dtx0xmxm/2xmtx0x(t)~S形曲線,x增加先快后慢x0xm/2阻滯增長模型(Logistic模型)第二十五頁，共四十三頁，編輯于2023年，星期六參數(shù)估計用指數(shù)增長模型或阻滯增長模型作人口預(yù)報，必須先估計模型參數(shù)r或r,xm.根據(jù)統(tǒng)計數(shù)據(jù)利用線性最小二乘法作擬合阻滯增長模型(Logistic模型)例：美國人口數(shù)據(jù)(百萬)

186018701880……1960197019801990200031.438.650.2……179.3204.0226.5251.4281.4tx數(shù)據(jù)(t,x)數(shù)據(jù)(x,y)用最小二乘法估計r,sr,xm第二十六頁，共四十三頁，編輯于2023年，星期六模型檢驗用模型計算2000年美國人口誤差不到3%阻滯增長模型(Logistic模型)r=0.2557,xm=392.1用美國1860~1990年數(shù)據(jù)(去掉個別異常數(shù)據(jù))與實際數(shù)據(jù)(2000年為281.4)比較1790年為零點=274.5第二十七頁，共四十三頁，編輯于2023年，星期六Logistic模型的應(yīng)用模型應(yīng)用加入2000年人口數(shù)據(jù)后重新估計模型參數(shù)r=0.2490,xm=434.0x(2010)=306.0預(yù)報美國2010年的人口經(jīng)濟領(lǐng)域中的增長規(guī)律(耐用消費品的售量).種群數(shù)量模型(魚塘中的魚群,森林中的樹木).預(yù)報人口的增長指數(shù)增長模型阻滯增長模型參數(shù)估計和模型檢驗是建模的重要步驟.線性最小二乘法是參數(shù)估計的基本方法.修改假設(shè)第二十八頁，共四十三頁，編輯于2023年，星期六3.數(shù)學(xué)模型分類第二十九頁，共四十三頁，編輯于2023年，星期六4.課程目標(biāo)與知識準(zhǔn)備能力的培養(yǎng)觀察能力，分析能力，歸納能力和數(shù)據(jù)處理能力在盡可能短的時間內(nèi)查到并學(xué)會你想要用的知識的本領(lǐng)（百度，圖書館）學(xué)有所用，增強興趣和信心學(xué)習(xí)方法：多思考分析，多實踐，上機實習(xí)禁止游戲

數(shù)學(xué)知識數(shù)學(xué)分析，代數(shù)，幾何，概率統(tǒng)計，優(yōu)化等軟件使用matlab，lingo，c++等第三十頁，共四十三頁，編輯于2023年，星期六第二部分初等模型研究對象的機理比較簡單，一般用靜態(tài)、線性、確定性模型描述就能達到建模的目的錄像機計數(shù)器的用途汽車剎車距離

第三十一頁，共四十三頁，編輯于2023年，星期六問題在一次使用中錄像帶已經(jīng)轉(zhuǎn)過大半，計數(shù)器讀數(shù)為4450，問剩下的一段還能否錄下1小時的節(jié)目？要求不僅回答問題，而且建立計數(shù)器讀數(shù)與錄像帶轉(zhuǎn)過時間的關(guān)系.思考計數(shù)器讀數(shù)是均勻增長的嗎？

錄像機計數(shù)器的用途經(jīng)試驗，一盤標(biāo)明180分鐘的錄像帶從頭走到尾，時間用了184分，計數(shù)器讀數(shù)從0000變到6061.觀察計數(shù)器讀數(shù)增長越來越慢！第三十二頁，共四十三頁，編輯于2023年，星期六錄像機計數(shù)器的工作原理主動輪壓輪0000左輪盤右輪盤磁頭計數(shù)器錄像帶錄像帶運動方向主動輪勻速轉(zhuǎn)動右輪盤半徑增大計數(shù)器讀數(shù)增長變慢錄像帶速度是常數(shù)問題分析右輪轉(zhuǎn)速越來越慢第三十三頁，共四十三頁，編輯于2023年，星期六模型假設(shè)錄象帶的運動速度是常數(shù)v

；計數(shù)器讀數(shù)n與右輪轉(zhuǎn)數(shù)m成正比，記m=kn；錄象帶厚度（加兩圈間空隙）為常數(shù)w；空右輪盤半徑記作r

；時間

t=0時讀數(shù)n=0.建模目的建立時間t與讀數(shù)n之間的數(shù)量關(guān)系.（設(shè)v,k,w,r為已知參數(shù)）第三十四頁，共四十三頁，編輯于2023年，星期六模型建立建立t與n的函數(shù)關(guān)系有多種方法1.右輪盤轉(zhuǎn)第

i圈的半徑為r+wi,

m圈的總長度等于錄象帶在時間t內(nèi)移動的長度vt,即第三十五頁，共四十三頁，編輯于2023年，星期六2.考察右輪盤面積的變化，等于錄象帶厚度乘以轉(zhuǎn)過的長度，即模型建立3.考察t到t+dt錄象帶運動的長度，等于在右輪盤上纏繞的一段圓弧，即第三十六頁，共四十三頁，編輯于2023年，星期六

3種建模方法得到同一結(jié)果模型中有待定參數(shù)一種確定參數(shù)的辦法是測量或調(diào)查，請設(shè)計測量方法.模型建立第三十七頁，共四十三頁，編輯于2023年，星期六參數(shù)估計另一種確定參數(shù)的方法——測試分析將模型改記作只需估計a,b.理論上，已知t=184,n=6061,

再有一組(t,n)數(shù)據(jù)即可.實際上，由于測試有誤差，最好用足夠多的數(shù)據(jù)作擬合.現(xiàn)有一批測試數(shù)據(jù)：

t020406080n00001141201927603413

t

100120140160184n40044545505155256061用最小二乘法可得第三十八頁，共四十三頁，編輯于2023年，星期六模型檢驗應(yīng)該另外測試一批數(shù)據(jù)檢驗?zāi)Ｐ停耗Ｐ蛻?yīng)用回答提出的問題：由模型算得n=4450時t=116.4分，剩下的錄象帶能錄184-116.4=67.6分鐘的節(jié)目.揭示了“t

與n之間呈二次函數(shù)關(guān)系”這一普遍規(guī)律，當(dāng)錄象帶的狀態(tài)改變時，只需重新估計a,b

即可.第三十九頁，共四十三頁，編輯于2023年，星期六錄像機計數(shù)器的用途日常生活中的問題(錄制節(jié)目)數(shù)學(xué)建模全過程的典型示例觀察現(xiàn)象(讀數(shù)增長越來越慢)建模準(zhǔn)備