【第一方案一輪復(fù)習(xí)】函數(shù)的單調(diào)性與最大(小)值

第三節(jié)函數(shù)的單調(diào)性與最大(小)值點(diǎn)擊考綱1.理解函數(shù)的單調(diào)性、最大值、最小值及其幾何意義．2.會(huì)運(yùn)用函數(shù)圖象理解和研究函數(shù)的單調(diào)性、最值.關(guān)注熱點(diǎn)1.函數(shù)的單調(diào)性與最值是函數(shù)最重要的兩個(gè)性質(zhì)，在每年高考中均有重要體現(xiàn)．2.求單調(diào)區(qū)間、判斷單調(diào)性、求最值及利用它們求參數(shù)的取值范圍是熱點(diǎn).1．函數(shù)的單調(diào)性(1)單調(diào)函數(shù)的定義增函數(shù)減函數(shù)定義一般地，設(shè)函數(shù)f(x)的定義域?yàn)镮.如果對(duì)于定義域I內(nèi)某個(gè)區(qū)間D上的任意兩個(gè)自變量x1，x2，當(dāng)x1<x2時(shí)，都有

，那么就說(shuō)函數(shù)f(x)在區(qū)間D上是增函數(shù)當(dāng)x1<x2時(shí)，都有

，那么就說(shuō)函數(shù)f(x)在區(qū)間D上是減函數(shù)圖象描述自左向右看圖象是

.自左向右看圖象是

.f(x1)<f(x2)f(x1)>f(x2)上升的下降的(2)單調(diào)性與單調(diào)區(qū)間如果函數(shù)y＝f(x)在區(qū)間D上是增函數(shù)或減函數(shù)，那么就說(shuō)y＝f(x)在這一區(qū)間上具有

，區(qū)間D叫做y＝f(x)的

．(3)若函數(shù)y＝f(x)在某個(gè)區(qū)間內(nèi)可導(dǎo)，當(dāng)

時(shí)，f(x)為增函數(shù)；當(dāng)

時(shí)，f(x)為減函數(shù)．單調(diào)性區(qū)間單調(diào)f′(x)>0f′(x)<02．函數(shù)的最值前提設(shè)函數(shù)y＝f(x)的定義域?yàn)镮，如果存在實(shí)數(shù)M滿足條件①對(duì)于任意x∈I，都有

；②存在x0∈I，使得

.①對(duì)于任意x∈I，都有

；②存在x0∈I，使得

.結(jié)論M為最大值M為最小值f(x)≤Mf(x)≥Mf(x0)＝Mf(x0)＝M定義在閉區(qū)間上的單調(diào)函數(shù)必有

值．設(shè)f(x)是定義在[m，n]上的單調(diào)增函數(shù)，則它的最大值是

，最小值是

．最大(小)f(n)f(m)1．函數(shù)的單調(diào)區(qū)間與函數(shù)的定義域有何關(guān)系？函數(shù)的最值與值域有何關(guān)系？提示：函數(shù)的單調(diào)區(qū)間是定義域的子區(qū)間．函數(shù)的最大值與最小值分別是函數(shù)值域中的最大元素與最小元素；任何一個(gè)函數(shù)，其值域必定存在，但其最值不一定存在．2．如果函數(shù)f(x)有極大值和極小值，那么f(x)一定有最大(小)值，這種說(shuō)法是否正確？提示：是錯(cuò)誤的，極值是局部概念，最值是反映函數(shù)的整體性質(zhì)．有極值不一定有最值，反過(guò)來(lái)函數(shù)有最值，也不一定有極值．答案：D

答案：B解析：∵f(x)在[a，b]上為增函數(shù)，∴x1－x2與f(x1)－f(x2)的符號(hào)相同．∴①②④均正確．又∵不知道x1，x2的大小，∴無(wú)法比較f(x1)與f(x2)的大小，故③錯(cuò)誤．答案：①②④4．已知函數(shù)f(x)＝2ax2＋4(a－3)x＋5在區(qū)間(－∞，3)上是減函數(shù)，則a的取值范圍是________．【思路導(dǎo)引】

可根據(jù)定義，先設(shè)－1<x1<x2<1，然后作差、變形、定號(hào)、判斷；也可以求f(x)的導(dǎo)函數(shù)，然后判斷f′(x)與零的大小關(guān)系．因此，當(dāng)a>0時(shí)，f(x1)－f(x2)>0，即f(x1)>f(x2)，此時(shí)函數(shù)為減函數(shù)；當(dāng)a<0時(shí)，f(x1)－f(x2)<0，即f(x1)<f(x2)，此時(shí)函數(shù)為增函數(shù)．【方法探究】

函數(shù)的單調(diào)性用以揭示隨著自變量的增大，函數(shù)值的增大與減小的規(guī)律．判斷單調(diào)性常用方法有定義法、圖象法，利用已知函數(shù)性質(zhì)或利用導(dǎo)數(shù)．運(yùn)用定義判斷單調(diào)性是在定義區(qū)間上任取x1，x2，且x1<x2的條件下，判斷或證明f(x1)<f(x2)或f(x1)>f(x2)，這一過(guò)程就是實(shí)施不等式的變換過(guò)程．1．若將本例中x∈(－1,1)改x∈R且x≠±1，a≠0改為a>0，你能求出函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間嗎？【方法探究】

求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間與確定單調(diào)性的方法一致．(1)利用已知函數(shù)的單調(diào)性，即轉(zhuǎn)化為已知函數(shù)的和、差或復(fù)合函數(shù)，求單調(diào)區(qū)間．(2)定義法：先求定義域，再利用單調(diào)性定義．(3)圖象法：如果f(x)是以圖象形式給出的，或者f(x)的圖象易作出，可由圖象的直觀性寫(xiě)出它的單調(diào)區(qū)間．(4)導(dǎo)數(shù)法：利用導(dǎo)數(shù)取值的正負(fù)確定函數(shù)的單調(diào)區(qū)間．提醒：①必須在定義域內(nèi)研究．②對(duì)于同增(減)的不連續(xù)的單調(diào)區(qū)間不能寫(xiě)成并集，只能分開(kāi)寫(xiě)．得：x≥3或x≤－3(舍去)，∴單調(diào)遞增區(qū)間為[3，＋∞)．令y′<0即(x－3)(x＋3)<0，又x>0，得：0<x<3，∴單調(diào)遞減區(qū)間為(0,3).

函數(shù)f(x)對(duì)任意的a、b∈R，都有f(a＋b)＝f(a)＋f(b)－1，并且當(dāng)x>0時(shí)，f(x)>1.(1)求證：f(x)是R上的增函數(shù)；(2)若f(4)＝5，解不等式f(3m2－m－2)<3.【思路導(dǎo)引】

問(wèn)題(1)是抽象函數(shù)單調(diào)性的證明，所以要用單調(diào)性的定義．問(wèn)題(2)將函數(shù)不等式中抽象的函數(shù)符號(hào)“f”運(yùn)用單調(diào)性“去掉”，為此需將右邊常數(shù)3看成某個(gè)變量的函數(shù)值．(1)【證明】

設(shè)x1，x2∈R，且x1<x2，則x2－x1>0，∴f(x2－x1)>1.f(x2)－f(x1)＝f((x2－x1)＋x1)－f(x1)＝f(x2－x1)＋f(x1)－1－f(x1)＝f(x2－x1)－1>0.∴f(x2)>f(x1)．即f(x)是R上的增函數(shù)．【方法探究】

f(x)在定義域上(或某一單調(diào)區(qū)間上)具有單調(diào)性，則f(x1)<f(x2)?f(x1)－f(x2)<0，若函數(shù)是增函數(shù)，則f(x1)<f(x2)?x1<x2，函數(shù)不等式(或方程)的求解，總是想方設(shè)法去掉抽象函數(shù)的符號(hào)，化為一般不等式(或方程)求解，但無(wú)論如何都必須在定義域內(nèi)或給定的范圍內(nèi)進(jìn)行．【答案】

C【答案】

A【考向分析】從近兩年的高考試題來(lái)看，函數(shù)單調(diào)性的判斷和應(yīng)用以及函數(shù)的最值問(wèn)題是高考的熱點(diǎn)，題型既有選擇題、填空題，又有解答題，難度中等偏高；客觀題主要考查函數(shù)的單調(diào)性、最值的靈活確定與簡(jiǎn)單應(yīng)用，主觀題在考查基本概念、重要方法的基礎(chǔ)上，又注重考查函數(shù)方程、等價(jià)轉(zhuǎn)化、數(shù)形結(jié)合、分類討論的思想方法．預(yù)測(cè)2012年高考仍將以利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，研究單調(diào)性及利用單調(diào)性求最值或求參數(shù)的取值范圍為主要考點(diǎn)，重點(diǎn)考查轉(zhuǎn)化與化歸思想及邏輯推理能力．

答案：C答案：A3．函數(shù)y＝x2＋2x－3(x>0)的單調(diào)增區(qū)間是(

)A．(0，＋∞) B．(1，＋∞)C．(－∞，－1) D．(－∞，－3]解析：二次函數(shù)的對(duì)稱軸為x＝－1，又因?yàn)槎雾?xiàng)系數(shù)為正數(shù)，拋物線開(kāi)口向上，對(duì)稱軸在定義域的左側(cè)，所以其單調(diào)增區(qū)間為(0，＋∞)．答案：A4．已知函數(shù)f(x)＝x2－2x＋3在閉區(qū)間[0,2]上最大值為m，最小值為n，則m＋n等于________．解析：∵f(x)＝x2－2x＋3＝(x－1)2＋2，∴f(x)min＝f(1)＝2，f(x)max＝f(0)＝f(2)＝3