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文檔簡介
第二章各向異性彈性力學(xué)演示文稿當(dāng)前第1頁\共有59頁\編于星期三\9點各向異性與各向同性彈性力學(xué)的基本方程的差別差別在于:本構(gòu)方程其它平衡方程,幾何方程,協(xié)調(diào)方程,和邊界條件等則完全相同.即用各向異性胡克定律代替各向同性胡克定律,這一代換將使力學(xué)計算及反映的現(xiàn)象十分復(fù)雜.當(dāng)前第2頁\共有59頁\編于星期三\9點單元體應(yīng)力及正負號規(guī)定如果作用面的外法線指向坐標(biāo)系中相應(yīng)坐標(biāo)軸的正向,而應(yīng)力分量也指向?qū)?yīng)坐標(biāo)軸的正向,則應(yīng)力分量為正。當(dāng)兩個下標(biāo)中,只有一個指向坐標(biāo)軸的正向時,該應(yīng)力分量就為負.yx作用在y面上的正應(yīng)力作用在y面內(nèi)x方向的剪應(yīng)力z當(dāng)前第3頁\共有59頁\編于星期三\9點靜力平衡方程(3)X,Y,Z作用于微元體的體積力力要平衡!當(dāng)前第4頁\共有59頁\編于星期三\9點幾何關(guān)系(小變形)(6)變形要協(xié)調(diào)!三個獨立的位移場即可以完全確定變形,而應(yīng)變亦可以描述變形,它們之間滿足以下關(guān)系!當(dāng)前第5頁\共有59頁\編于星期三\9點本構(gòu)方程(6)反映出材料的性質(zhì)!與之間的關(guān)系當(dāng)前第6頁\共有59頁\編于星期三\9點各向異性彈性力學(xué)問題需滿足的基本方程與各向同性彈性力學(xué)一樣,各向異性彈性力學(xué)有15個未知量15個場方程靜力平衡方程(3)+幾何關(guān)系(6)+本構(gòu)方程(6)可以求解了嗎?當(dāng)前第7頁\共有59頁\編于星期三\9點給定力的邊界條件(3)定解還需邊界條件!當(dāng)前第8頁\共有59頁\編于星期三\9點給定位移的邊界條件(3)當(dāng)前第9頁\共有59頁\編于星期三\9點各向異性彈性力學(xué)問題需滿足的基本方程(另一組定解方程)與各向同性彈性力學(xué)一樣,各向異性彈性力學(xué)有12個未知量12個場方程靜力平衡方程(3)+幾何關(guān)系(6)+本構(gòu)方程(6)+變形協(xié)調(diào)方程(3)當(dāng)前第10頁\共有59頁\編于星期三\9點變形協(xié)調(diào)方程(3/6)只有三個是獨立的,為什么?當(dāng)前第11頁\共有59頁\編于星期三\9點以上的力學(xué),幾何,物理,以及邊界條件諸方面構(gòu)成各向異性彈性力學(xué)的基本方程,與各向同性彈性力學(xué)的區(qū)別在于物理方程.其它均相同當(dāng)前第12頁\共有59頁\編于星期三\9點
彈性介質(zhì)的本構(gòu)關(guān)系均質(zhì)彈性體的彈性性質(zhì)坐標(biāo)轉(zhuǎn)換(應(yīng)力應(yīng)變及彈性系數(shù)轉(zhuǎn)軸公式)彈性對稱性——本構(gòu)關(guān)系的簡化正交異性材料彈性常數(shù)的物理意義當(dāng)前第13頁\共有59頁\編于星期三\9點2.1彈性介質(zhì)的本構(gòu)關(guān)系
2.1.1彈性介質(zhì)的本構(gòu)關(guān)系
規(guī)定下標(biāo)i,j與一維指標(biāo)對應(yīng)如下次序:(2-1)則(2-1)
的兩式可以寫成矩陣乘法的形式,第一式可以寫作
當(dāng)前第14頁\共有59頁\編于星期三\9點記作
可以理解為張量等式,,理解為應(yīng)力張量和應(yīng)變張量,L理解為彈性剛度張量;也可以理解為矩陣等式,,理解為應(yīng)力列矢量和應(yīng)變列矢量,[L]理解為彈性剛度矩陣。L與M具有Voigt對稱性,因此矩陣L與M為9列9行的對稱矩陣。
(2-2)當(dāng)前第15頁\共有59頁\編于星期三\9點由于應(yīng)力張量與應(yīng)變張量都是對稱張量。(2-2)式中的列矢量與的第4行與第5行相同,第6行與第7行相同,第8行與第9行相同。彈性剛度矩陣與柔度矩陣第4行、列與第5行、列相同,第6行、列與第7行、列相同,第8行、列與第9行、列相同。利用這種對稱性,可以把應(yīng)力張量與應(yīng)變張量寫成6個元素的“列矢量”相應(yīng)的,L與M可寫成6行6列的對稱矩陣當(dāng)前第16頁\共有59頁\編于星期三\9點也就是說,各列除去重復(fù)的元素,但第1、2、3列的元素的數(shù)值不變,而第4、5、6列的元素則乘以2。此時,張量運算與矩陣運算仍然一樣,但失去了矩陣地對稱性。當(dāng)前第17頁\共有59頁\編于星期三\9點有的文獻中定義應(yīng)力“列矢量”為應(yīng)變“列矢量”為
注意:,,就是剪切角,,。
當(dāng)前第18頁\共有59頁\編于星期三\9點于是可以把彈性本構(gòu)關(guān)系寫成:
或
(2-3)(2-4)當(dāng)前第19頁\共有59頁\編于星期三\9點容易導(dǎo)出矩陣C,s與L,M之間的關(guān)系為
當(dāng)前第20頁\共有59頁\編于星期三\9點2.1.2彈性應(yīng)變能密度
固體變形時,加在它上面的外力要做功。完全彈性體在等溫條件下,當(dāng)緩慢卸載后可以完全恢復(fù)其初始狀態(tài)。因此,可以認為,外力功全部以能量的形式儲存在彈性體內(nèi)。這種能量稱為應(yīng)變能。通過對體微元的研究,可以得到彈性應(yīng)變能密度:其中
(Voigt對稱性)(Voigt對稱性)當(dāng)前第21頁\共有59頁\編于星期三\9點由線彈性可以得當(dāng)前第22頁\共有59頁\編于星期三\9點2.2均質(zhì)彈性體的彈性性質(zhì)
對于均質(zhì)彈性體,材料的性質(zhì)與位置坐標(biāo)無關(guān)。其應(yīng)變位能是應(yīng)變分量,,…,的函數(shù),而且只取決于應(yīng)變的最終值。從數(shù)學(xué)上說,是應(yīng)變狀態(tài)的單值函數(shù),而且與積分路徑無關(guān),必是對應(yīng)變分量的全微分,即:可得(2-5)當(dāng)前第23頁\共有59頁\編于星期三\9點為了便于以后的討論,給出的展開式(2-6)當(dāng)前第24頁\共有59頁\編于星期三\9點2.3坐標(biāo)轉(zhuǎn)換(應(yīng)力應(yīng)變及彈性系數(shù)轉(zhuǎn)軸公式)2.3.1斜面應(yīng)力為了討論過點A任意斜面的應(yīng)力,在點A附近取一個四面體微元ABCD(圖2-1)。
圖2-1當(dāng)前第25頁\共有59頁\編于星期三\9點斜面BCD的外法線為N,令N的方向余弦為:則有式中,、、、依次為三角形BCD、ACD、ABD、ABC的面積。令四面體微元的體積為dV,斜面BCD上應(yīng)力向量在坐標(biāo)方向上的分量為、、,則由四面體微元的的條件得到:(2-7)當(dāng)前第26頁\共有59頁\編于星期三\9點得到方程如下:寫成矩陣形式也就是說,若應(yīng)力張量為已知,則任一斜面上的應(yīng)力均可求出。因此,應(yīng)力張量完全決定了一點的應(yīng)力狀態(tài)。(2-8)當(dāng)前第27頁\共有59頁\編于星期三\9點2.3.2應(yīng)力應(yīng)變轉(zhuǎn)軸公式三維情況:圖2-2坐標(biāo)系如圖2-2所示,新坐標(biāo)與原坐標(biāo)的方向余弦列于表1
:其中當(dāng)前第28頁\共有59頁\編于星期三\9點
xyzx′l1m1n1y′l2m2n2z′l3m3n3表1
即
(2-9)當(dāng)前第29頁\共有59頁\編于星期三\9點將式(2-9)展開,并按一定次序排列應(yīng)力張量,可得應(yīng)力分量轉(zhuǎn)軸公式:(2-10)稱為應(yīng)力轉(zhuǎn)換矩陣當(dāng)前第30頁\共有59頁\編于星期三\9點同理可得,應(yīng)變分量轉(zhuǎn)軸公式(2-11)稱為應(yīng)力轉(zhuǎn)換矩陣當(dāng)前第31頁\共有59頁\編于星期三\9點二維情況:二維情況的坐標(biāo)建立如下兩圖:圖2-3圖2-4當(dāng)前第32頁\共有59頁\編于星期三\9點
同理:(2-12)(2-13)(2-14)當(dāng)前第33頁\共有59頁\編于星期三\9點2.3.3彈性系數(shù)的轉(zhuǎn)軸公式各向異性體的彈性特性隨方向不同而異,即各向異性體的彈性系數(shù)是方向的函數(shù),它們與坐標(biāo)的取向有關(guān),只有在各向同性情況下,彈性系數(shù)在任意正交坐標(biāo)系是不變的。
已知
求逆
又因為
所以可得當(dāng)前第34頁\共有59頁\編于星期三\9點通過單位體積應(yīng)變能函數(shù)U0可以證明:從而可以得到:所以其中為新坐標(biāo)系中的柔度矩陣
為新坐標(biāo)系中的剛度矩陣
以上即為彈性系數(shù)轉(zhuǎn)軸公式的矩陣形式。
(2-15)當(dāng)前第35頁\共有59頁\編于星期三\9點2.4彈性對稱性——本構(gòu)關(guān)系的簡化
大多數(shù)工程材料內(nèi)部結(jié)構(gòu)具有對稱性,這決定了材料的彈性特性也具有對稱性。均質(zhì)彈性體中,若過每一點的不同方向的彈性特征不同,稱為一般均質(zhì)各向異性體,它具有36個非零的彈性系數(shù),但其中21個獨立的彈性系數(shù)。若物體中的每一點出現(xiàn)有對稱的方向,這些方向上的彈性特征相同,它就具有彈性對稱。具有彈性對稱的物體,廣義虎可定律的方程和能量函數(shù)的表達式都可以簡化,在彈性系數(shù)之間出現(xiàn)依賴關(guān)系。
Voigt對稱性:可證明張量L對雙指標(biāo)ij和kl具有對稱性。當(dāng)前第36頁\共有59頁\編于星期三\9點2.4.1一個彈性對稱面
彈性對稱面就是指經(jīng)過物體內(nèi)的每一點都有這樣的平面,在這個平面的對稱方向上彈性特性是相同的。取xy坐標(biāo)面與彈性對稱面平行,z軸與彈性對稱面垂直(如圖),現(xiàn)研究體微元ABCDE的彈性對稱問題。
由彈性對稱面的定義知,當(dāng)?shù)怪脄軸時,在坐標(biāo)系(x、y、z)和(x、y、)中,體微元具有相同的應(yīng)力、應(yīng)變關(guān)系。換言之,彈性系數(shù)、不因倒置z軸而發(fā)生變化。
圖2-5當(dāng)前第37頁\共有59頁\編于星期三\9點彈性體單位體積的應(yīng)變能是應(yīng)變狀態(tài)的單位函數(shù),而且能量是標(biāo)量,不因坐標(biāo)的選擇不同而改變其量值。但是當(dāng)z軸變成軸時,有些物理量將變號。用u,v,w和u,v,w’分別表示兩坐標(biāo)中的位移分量,存在著下述關(guān)系:與有關(guān)的剪應(yīng)變分別為:所以可得:
也就是說,z軸倒置時,與z方向有關(guān)的剪應(yīng)變分量變號。
(2-16)(2-17)當(dāng)前第38頁\共有59頁\編于星期三\9點由的表達式不難看出,除非含和的一次項的剛度系數(shù)等于零,否則不能保證的量值不變。于是,有剛度系數(shù)減少了8個,剩下13個。同樣可以證明,柔度系數(shù)也剩下13個。于是,當(dāng)z軸垂直彈性對稱面時,應(yīng)力、應(yīng)變關(guān)系為:
(2-18)垂直于彈性對稱面的方向為彈性主方向,坐標(biāo)軸在彈性主方向時稱為彈性主軸。上述的z軸即為彈性主軸。
當(dāng)前第39頁\共有59頁\編于星期三\9點只有13個(21-8)彈性常數(shù)當(dāng)前第40頁\共有59頁\編于星期三\9點如果其他應(yīng)力分量為0,當(dāng)沿彈性主軸拉伸時,除縱向伸長,橫向收縮外,還會引起與主軸垂直的面(彈性對稱面)內(nèi)的剪應(yīng)變,且彈性主軸方向不變當(dāng)前第41頁\共有59頁\編于星期三\9點2.4.2三個彈性對稱面——正交異性
若經(jīng)過均質(zhì)彈性體的每一點都有三個互相垂直的彈性對稱面,則稱之為正交異性彈性體。
取坐標(biāo)x,y,z方向為彈性主方向。沿用前面的方法,將y軸轉(zhuǎn)1800成y’軸,因為和變號,必須有:
新增加的等于零的剛度系數(shù)是后四個。再轉(zhuǎn)動x軸不能增加新的等于零的剛度系數(shù)。將z軸轉(zhuǎn)1800成z’軸同樣可以得出,新增加的等于零的柔度系數(shù)為四個。獨立的彈性系數(shù)剩下9個。從而得到應(yīng)力應(yīng)變關(guān)系為:當(dāng)前第42頁\共有59頁\編于星期三\9點設(shè)僅有作用,其余應(yīng)力分量為0,這時應(yīng)變能對于上述兩種坐標(biāo)系計算時,變號,為了使W保持不變,必須使同理利用彈性主軸改變,彈性能不變的原理證明:當(dāng)前第43頁\共有59頁\編于星期三\9點(2-19)從上可以看出,對于正交異性體,若坐標(biāo)方向為彈性主方向,則正應(yīng)力不引起剪應(yīng)變,剪應(yīng)力不引起線應(yīng)變,反之亦然。
當(dāng)前第44頁\共有59頁\編于星期三\9點沒有拉壓剪切耦合現(xiàn)象沒有不同平面內(nèi)的剪切耦合現(xiàn)象當(dāng)前第45頁\共有59頁\編于星期三\9點2.4.3一個各向同性面——橫觀各向同性
在平面內(nèi)一切方向的彈性特性均相同的平面稱為各向同性面.如果過材料的每一點都有一個相互平行的各向同性面,就稱為橫觀各向同性材料。
取oxy面為各向同性面,z軸垂直于該面.顯然當(dāng)涉及x或y方向時,剛度系數(shù)的下標(biāo)可以不加區(qū)別,即,,而且可以證明。因此,獨立的彈性常數(shù)減少為5個,應(yīng)力應(yīng)變關(guān)系簡化為:
當(dāng)前第46頁\共有59頁\編于星期三\9點(2-20)當(dāng)前第47頁\共有59頁\編于星期三\9點2.4.4完全對稱——各向同性
若經(jīng)過均質(zhì)體內(nèi)每一點的任意方向上彈性特性均相同,即任意方向都是彈性主方向,則稱之為各向同性體。顯然,彈性系數(shù)之間存在下述關(guān)系:
對于各向同性材料,彈性系數(shù)與方向無關(guān)。應(yīng)力應(yīng)變關(guān)系為(顯然只有兩個獨立的彈性常數(shù)了):(2-21)當(dāng)前第48頁\共有59頁\編于星期三\9點2.4.5小結(jié)
表2當(dāng)前第49頁\共有59頁\編于星期三\9點2.5正交異性材料彈性常數(shù)的物理意義
在本構(gòu)關(guān)系式中,剛度矩陣和柔度矩陣雖然是聯(lián)系應(yīng)力和應(yīng)變的數(shù)學(xué)符號,但是也有其物理意義。通過簡單的拉伸試驗和剪切試驗,可以導(dǎo)出各分量與材料機械性能之間的關(guān)系,稱為用工程常數(shù)表示。
首先:研究沿彈性主方向1簡單拉伸情況(如圖2-6
)
(圖2-6)當(dāng)前第50頁\共有59頁\編于星期三\9點其應(yīng)力和應(yīng)變張量為:根據(jù)正交異性材料的本構(gòu)關(guān)系,可得到:由此可得:同理,根據(jù)2和3方向的簡單拉伸,可得:
當(dāng)前第51頁\共有59頁\編于星期三\9點式中和即為人們所熟悉的工程彈性常數(shù),是i方向的彈性模量,是i方向正應(yīng)力引起j方向橫向應(yīng)變的泊松比。
其次:研究一個純剪切試驗,這時應(yīng)力和應(yīng)變張量為:同樣根據(jù)本構(gòu)關(guān)系可寫出:于是得到:當(dāng)前第52頁\共有59頁\編于星期三\9點類似的有:由此得到用工程常數(shù)表達的正交異性材料柔度矩陣為(剛度系數(shù)的表示可由剛度系數(shù)與柔度系數(shù)的關(guān)系得到):當(dāng)前第53頁\共有59頁\編于星期三\9點2.5.1正交異性體的彈性系數(shù)(由物理意義可求)1.剛度系數(shù)和柔度系數(shù)的關(guān)系
因為剛度矩陣和柔度矩陣是互逆的:,所以根據(jù)求逆法則,可得到相互關(guān)系:其中
在用剛度系數(shù)表示柔度系數(shù)時,只要將式中的C與
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