新人教A坐標(biāo)系

第十二章知識點(diǎn)考綱下載考情上線坐標(biāo)系理解坐標(biāo)系的作用，了解在平面直角坐標(biāo)系伸縮變換作用下平面圖形的變化情況．2.了解極坐標(biāo)系；會在極坐標(biāo)系中

用極坐標(biāo)刻畫點(diǎn)的位置；會進(jìn)行

極坐標(biāo)和直角坐標(biāo)的互化．3.了解簡單圖形(過極點(diǎn)的直線、過

極點(diǎn)的圓、圓心在極點(diǎn)的圓)的極

坐標(biāo)方程.1.主要考查極坐標(biāo)方

程與直角坐標(biāo)方程

的互化，多在選擇

填空中考查．2.在解答題中涉及直

線、圓的參數(shù)方程

綜合考查.知識點(diǎn)考綱下載考情上線參數(shù)方程了解參數(shù)方程，了解參數(shù)的意義．2.能選擇適當(dāng)?shù)膮?shù)寫出直

線、圓和橢圓的參數(shù)方程.主要考查直線、圓、橢圓的參數(shù)方程與普通方程的轉(zhuǎn)化.第一節(jié)坐標(biāo)系一、極坐標(biāo)系的概念在平面內(nèi)取一個(gè)定點(diǎn)O，叫做極點(diǎn)；自極點(diǎn)O引一條射線Ox，叫做極軸；再選定一個(gè)

單位、一個(gè)

單位(通

常取弧度)及其

方向(通常取逆時(shí)針方向)，這樣就建立

了一個(gè)極坐標(biāo)系.設(shè)M是平面內(nèi)一點(diǎn)，極點(diǎn)O與點(diǎn)M的距離|OM|叫做點(diǎn)M的

極徑，記為ρ；以極軸Ox為始邊，射線OM為終邊的角xOM叫做點(diǎn)M的極角，記為θ.有序數(shù)對(ρ，θ)叫做點(diǎn)M的

極坐標(biāo)，記作(ρ，θ).長度角度正二、極坐標(biāo)和直角坐標(biāo)的互化設(shè)M是平面內(nèi)任意一點(diǎn)，它的直角坐標(biāo)是(x，y)，極坐標(biāo)

是(ρ，θ)，可以得出它們之間的關(guān)系：x＝

，y＝

.又可得到關(guān)系式：ρ2＝

，tanθ＝

(x≠0).這就是極坐標(biāo)與直角坐標(biāo)的互化公式.ρcosθρsinθx2＋y21.把極坐標(biāo)方程ρcos(θ－)＝1化為直角坐標(biāo)方程是().A.

＋y＋2＝0

B.

＋y－2＝0C.

＋y＝0D.－y－2＝0解析：ρcos(θ－)＝1可化為ρ即＋y－2＝0.答案：B2．極坐標(biāo)方程分別為ρ＝2cosθ和ρ＝sinθ的兩個(gè)圓的圓心

距為(

)答案：C

解析：設(shè)兩圓圓心分別為A，B.則兩圓圓心的直角坐標(biāo)分別為A(1,0)，B(0，3．兩直線

的位置關(guān)系是(

)A．垂直B．平行C．斜交D．以上都不正確解析：兩直線方程可化為x＋y＝2008，y－x＝2009，故兩直線垂直．答案：A

4．在極坐標(biāo)系中，以為圓心，為半徑的圓的

方程為________．解析：利用直角三角形的邊、角關(guān)系．答案：ρ＝asinθ5．在極坐標(biāo)系中，圓心在(，π)且過極點(diǎn)的圓的方程為________．解析：設(shè)圓上任一點(diǎn)的坐標(biāo)為(ρ，θ)．則ρ＝2·cos(π－θ)，即ρ＝－2cosθ.答案：ρ＝－2cosθ6．(2009·南通模擬)求以點(diǎn)A(2,0)為圓心，且過點(diǎn)的圓的極坐標(biāo)方程．解：由已知圓的半徑為AB＝又圓的圓心坐標(biāo)為A(2,0)，所以圓的普通方程為(x－2)2＋y2＝4.由得圓的極坐標(biāo)方程是ρ＝4cosθ.1．解決該類問題時(shí)，要注意變換時(shí)點(diǎn)的坐標(biāo)之間的對應(yīng)

關(guān)系．2．平面坐標(biāo)系中幾種常見變換(1)平移變換在平面直角坐標(biāo)系中，設(shè)圖形F上任意一點(diǎn)P的坐標(biāo)為(x，y)，

向量a＝(h，k)，平移后的對應(yīng)點(diǎn)為P′(x′，y′)，則有(x，y)＋(h，k)＝(x′，y′)，或表示為(2)伸縮變換一般地，由所確定的伸縮變換，是按伸

縮系數(shù)為k向著y軸的伸縮變換(當(dāng)k＞1時(shí)，表示伸長；當(dāng)0<k＜1時(shí)，表示壓縮)，即曲線上所有點(diǎn)的縱坐標(biāo)不變，

橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉淼膋倍(這里，P(x，y)是變換前的點(diǎn)，P′(x′，y′)是變換后的點(diǎn))．在平面直角坐標(biāo)系中，求下列方程所對應(yīng)的圖形經(jīng)過伸縮變換后的圖形．(1)2x＋3y＝0；(2)x2＋y2＝1.由伸縮變換解出然后代入原方程即可求解.解：由伸縮變換得到(1)將()代入2x＋3y＝0，得到經(jīng)過伸縮變換后的圖形方程是x′＋y′＝0.因此，經(jīng)過伸縮變換后，直線2x＋3y＝0變成直線x′＋y′＝0.*(2)將()代入x2＋y2＝1，得到經(jīng)過伸縮變換后的圖形的方程是因此，經(jīng)過伸縮變換后，圓x2＋y2＝1變成橢圓*1．在平面直角坐標(biāo)系下，圓x2＋y2＝4，經(jīng)過伸縮變換后的圖形分別是________.解析：由伸縮變換將其代入x2+y2=4得方程x′2+y′2=16，這是一個(gè)圓；同理由伸縮變換這是一個(gè)橢圓.答案：圓，橢圓極坐標(biāo)與直角坐標(biāo)的互化1．互化的前提條件：(1)極點(diǎn)與原點(diǎn)重合；(2)極軸與x軸正方向重合；(3)取相同的單位長度．2．若把直角坐標(biāo)化為極坐標(biāo)，求極角θ時(shí)，應(yīng)注意判斷點(diǎn)P

所在的象限(即角θ的終邊的位置)，以便正確地求出角θ.利

用兩種坐標(biāo)的互化，可以把不熟悉的問題轉(zhuǎn)化為熟悉的

問題．⊙O1和⊙O2的極坐標(biāo)方程分別為ρ＝4cosθ，ρ＝－4sinθ.(1)把⊙O1和⊙O2的極坐標(biāo)方程化為直角坐標(biāo)方程；(2)求經(jīng)過⊙O1、⊙O2交點(diǎn)的直線的直角坐標(biāo)方程．(1)利用極坐標(biāo)與直角坐標(biāo)的互化公式；(2)聯(lián)立兩圓方程求交點(diǎn)或兩圓方程相減均可求得直線方程．解：以極點(diǎn)為原點(diǎn)，極軸為x軸正半軸建立平面直角坐標(biāo)系，兩坐標(biāo)系中取相同的長度單位．(1)∵x＝ρcosθ，y＝ρsinθ，∴由ρ＝4cosθ得ρ2＝4ρcosθ，∴x2＋y2＝4x.即x2＋y2－4x＝0為⊙O1的直角坐標(biāo)方程．同理x2＋y2＋4y＝0為⊙O2的直角坐標(biāo)方程．(2)由解得即⊙O1、⊙O2交于點(diǎn)(0,0)和(2，－2)．過交點(diǎn)的直線的直角坐標(biāo)方程為y＝－x.2．已知圓的極坐標(biāo)方程為ρ＝5－5sinθ，求它的半徑

和圓心的極坐標(biāo)．

解：ρ＝5cosθ－5sinθ可表示為ρ2＝5ρcosθ－5ρsinθ，化為直角坐標(biāo)方程為x2＋y2－5x＋5y＝0，即因此該圓的半徑為5，圓心的直角坐標(biāo)為所以圓的半徑為5，圓心的極坐標(biāo)為1．圓的極坐標(biāo)方程(1)圓心在極點(diǎn)，半徑為R的圓的極坐標(biāo)方程為ρ＝R；(2)圓心在極軸上的點(diǎn)(a,0)處，且圓過極點(diǎn)O的圓的極坐標(biāo)

方程為ρ＝2acosθ；(3)圓心在點(diǎn)(a，)處且過極點(diǎn)的圓的極坐標(biāo)方程為ρ＝2asinθ

θ∈[0，π]．注：當(dāng)圓心不在直角坐標(biāo)系的坐標(biāo)軸上時(shí)，要建立圓的極

坐標(biāo)方程，通常把極點(diǎn)放置在圓心處，極軸與x軸同向，然

后運(yùn)用極坐標(biāo)與直角坐標(biāo)的變換公式．2．求曲線的極坐標(biāo)方程的基本步驟第一步建立適當(dāng)?shù)臉O坐標(biāo)系；第二步在曲線上任取一點(diǎn)P(ρ，θ)；第三步根據(jù)曲線上的點(diǎn)所滿足的條件寫出等式；第四步用極坐標(biāo)ρ，θ表示上述等式，并化簡得極坐標(biāo)方程；第五步證明所得的方程是曲線的極坐標(biāo)方程．設(shè)點(diǎn)P的極坐標(biāo)為(ρ1，θ1)，直線l過點(diǎn)P且與極軸所成的角為α，求直線l的極坐標(biāo)方程．

從直線l任取異于P的一點(diǎn)M(ρ,θ)→將ρ，θ與已知條件置于△MOP中→利用正弦定理求得.解：如圖所示，設(shè)M(ρ，θ)為直線l上除點(diǎn)P外的任意一點(diǎn)，連接OM，則|OM|＝ρ，∠xOM＝θ.由點(diǎn)P的極坐標(biāo)為(ρ1，θ1)，知|OP|＝ρ1，∠xOP＝θ1.設(shè)直線l與極軸交于點(diǎn)A，已知直線l與極軸成α角，于是∠xAM=α.在△MOP中，∠OMP=α-θ，∠OPM=π-(α-θ1)，由正弦定理，得即ρsin(α-θ)=ρ1sin(α-θ1)．①顯然，點(diǎn)P的坐標(biāo)(ρ1，θ1)是方程的解．因此，方程①為直線l的極坐標(biāo)方程．即3．在極坐標(biāo)系中，已知圓C的圓心為，半徑為3，Q點(diǎn)在圓周上運(yùn)動．(1)求圓C的極坐標(biāo)方程；(2)若P是OQ中點(diǎn)，求P的軌跡．解：(1)圓的極坐標(biāo)方程為ρ＝6cos(θ－)．(2)若P的極坐標(biāo)為(ρ，θ)，則Q點(diǎn)的極坐標(biāo)為(2ρ，θ)．∵2ρ＝6cos(θ－)，∴ρ＝3cos(θ－)，∴P的軌跡是圓．坐標(biāo)系這一內(nèi)容作為新增考點(diǎn)，在高考中常借助于直線與圓的極坐標(biāo)方程，考查直線、圓的位置關(guān)系主要是通過互化解決問題，不論是填空還是解答題，難度不大，如2009年遼寧高考就考查這一內(nèi)容.(2009·遼寧高考)在直角坐標(biāo)系xOy中，以O(shè)為極點(diǎn)，x軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，曲線C的極坐標(biāo)方程為ρcos(θ－)＝1，M、N分別為C與x軸、y軸的交點(diǎn)．(1)寫出C的直角坐標(biāo)方程，并求M、N的極坐標(biāo)；(2)設(shè)MN的中點(diǎn)為P，求直線OP的極坐標(biāo)方程．[解]

(1)由ρcos(θ－