截長補(bǔ)短類輔助線作法

-.z.截長補(bǔ)短類輔助線作法"截長〞就是將三條線段中最長的那條線段一分為二，使其中的一條線段等于的兩條較短線段中的一條，然后證明其中的另一段與的另一條線段的數(shù)量關(guān)系；"補(bǔ)短〞就是將三條線段中一條的較短的線段延長至與另一條的較短的長度相等，然后證明延長后的線段與最長的線段的數(shù)量關(guān)系．注：1、截長補(bǔ)短類輔助線解決的一般是三條線段之間的數(shù)量關(guān)系問題，特別要注意線段前系數(shù)不是"1〞的時(shí)候，一般會(huì)涉及到含特殊角的直角三角形

2、具體在利用截長或者補(bǔ)短構(gòu)造輔助線時(shí)要結(jié)合題目條件選擇恰當(dāng)?shù)姆椒?，并不是所有題目截長和補(bǔ)短都可以例題精講1、如下圖，是邊長為的正三角形，是頂角為的等腰三角形，以為頂點(diǎn)作一個(gè)的，點(diǎn)、分別在、上，求的周長．2、：如圖，△ABC中，，BD平分∠ABC，BC上有動(dòng)點(diǎn)P．〔1〕DP⊥BC時(shí)〔如圖1〕，求證：；〔2〕DP平分∠BDC時(shí)〔如圖2〕，BD、CD、CP三者有何數(shù)量關(guān)系？3、中，，、分別平分和，、交于點(diǎn)，試判斷、、的數(shù)量關(guān)系，并加以證明．4、〔2014初二上期末昌平區(qū)〕如圖，AD是△ABC的角平分線，點(diǎn)F，E分別在邊AC，AB上，且．〔1〕求證：；〔2〕如果，探究線段AE，AF，F(xiàn)D之間滿足的等量關(guān)系，并證明．5、如下圖，是邊長為的正三角形，是頂角為的等腰三角形，以為頂點(diǎn)作一個(gè)的，點(diǎn)、分別在、上，求的周長．6、如下圖，正方形ABCD中，M為CD的中點(diǎn)，E為MC上一點(diǎn)，且．求證：．7、五邊形ABCDE中，，，，求證：AD平分∠CDE．8、如圖，在△ABC中，，D是三角形外一點(diǎn)，且，．求證：9、(2012初二上期中中關(guān)村中學(xué))如圖1所示：，AE、DE分別平分和，并交于E點(diǎn).過點(diǎn)E的直線分別交AM、DN于B、C.

〔1〕如圖2，當(dāng)點(diǎn)B、C分別位于點(diǎn)AD的同側(cè)時(shí)，猜測AD、AB、CD之間的存在的數(shù)量關(guān)系：_________.〔2〕試證明你的猜測.〔3〕假設(shè)點(diǎn)B、C分別位于點(diǎn)AD的兩側(cè)時(shí)，試寫出AD、AB、CD之間的關(guān)系，并選擇一個(gè)寫出證明過程.10、〔2012初二上期中北達(dá)資源中學(xué)〕〔1〕如圖，四邊形ABPC中，，，，求證：．〔2〕如圖，四邊形ABCD中，，，P為四邊形ABCD一點(diǎn)，且，求證：．11、〔2009中考〕數(shù)學(xué)課上，教師出示了問題：如圖1，四邊形ABCD是正方形，點(diǎn)E是邊BC的中點(diǎn)．∠AEF=90°，且EF交正方形外角∠DCG的平分線CF于點(diǎn)F，求證：AE=EF．經(jīng)過思考，小明展示了一種正確的解題思路：取AB的中點(diǎn)M，連接ME，則AM=EC，易證△AME≌△ECF，所以AE=EF．在此根底上，同學(xué)們作了進(jìn)一步的研究：〔1〕小穎提出：如圖2，如果把"點(diǎn)E是邊BC的中點(diǎn)〞改為"點(diǎn)E是邊BC上〔除B，C外〕的任意一點(diǎn)〞，其它條件不變，則結(jié)論"AE=EF〞仍然成立，你認(rèn)為小穎的觀點(diǎn)正確嗎？如果正確，寫出證明過程；如果不正確，請說明理由；〔2〕小華提出：如圖3，點(diǎn)E是BC的延長線上〔除C點(diǎn)外〕的任意一點(diǎn)，其他條件不變，結(jié)論"AE=EF〞仍然成立．你認(rèn)為小華的觀點(diǎn)正確嗎？如果正確，寫出證明過程；如果不正確，請說明理由．12、〔2013中考二模〕在平行四邊形ABCD中，E是AD上一點(diǎn)，，過點(diǎn)E作直線EF，在EF上取一點(diǎn)G，使得，連接AG．〔1〕如圖1，當(dāng)EF與AB相交時(shí)，假設(shè)，求證：；〔2〕如圖2，當(dāng)EF與AB相交時(shí)，假設(shè)，請你直接寫出線段EG、AG、BG之間的數(shù)量關(guān)系〔用含α的式子表示〕；〔3〕如圖3，當(dāng)EF與CD相交時(shí)，且，請你寫出線段EG、AG、BG之間的數(shù)量關(guān)系，并證明你的結(jié)論．13、〔2015初二上期末昌平區(qū)〕為等腰直角三角形,

,點(diǎn)在邊上〔不與點(diǎn)、重合〕，以為腰作等腰直角，〔1〕如圖1，作于，求證：；〔2〕在圖1中，連接交于，求的值；〔3〕如圖2，過點(diǎn)作交的延長線于點(diǎn)，過點(diǎn)作，交于點(diǎn)，連接.當(dāng)點(diǎn)在邊上運(yùn)動(dòng)時(shí)，式子的值會(huì)發(fā)生變化嗎？假設(shè)不變，求出該值；假設(shè)變化請說明理由.隨堂練習(xí)1、等腰，，的平分線交于，則．2、：如圖，是正方形，，求證：．3、〔2015中考順義一?！橙鐖D，△ABC中，，點(diǎn)P是三角形右外一點(diǎn)，且．〔1〕如圖1，假設(shè)，點(diǎn)P恰巧在∠ABC的平分線上，，求PB的長；〔2〕如圖2，假設(shè)，探究PA，PB，PC的數(shù)量關(guān)系，并證明；〔3〕如圖3，假設(shè)，請直接寫出PA，PB，PC的數(shù)量關(guān)系．課后作業(yè)1、如圖，四邊形ABCD中，AB∥DC，BE、CE分別平分∠ABC、∠BCD，且點(diǎn)E在AD上．求證：．2、〔2013龍東地區(qū)中考〕正方形ABCD的頂點(diǎn)A在直線MN上，點(diǎn)O是對角線AC、BD的交點(diǎn)，過點(diǎn)O作OE⊥MN于點(diǎn)E，過點(diǎn)B作BF⊥MN于點(diǎn)F．〔1〕如圖1，當(dāng)O、B兩點(diǎn)均在直線MN上方時(shí)，易證：AF+BF=2OE〔不需證明〕〔2〕當(dāng)正方形ABCD繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)至圖2、圖3的位置時(shí)，線段AF、BF、OE之間又有怎樣的關(guān)系？請直接寫出你的猜測，并選擇一種情況給予證明．3、〔2015中考海淀一模〕在菱形中，，點(diǎn)是對角線上一點(diǎn)，連接，，將線段繞點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)并延長得到射線，交的延長線于點(diǎn)．〔1〕

依題意補(bǔ)全圖形；〔2〕求證：；〔3〕用等式表示線段，，之間的數(shù)量關(guān)系：_____________________________．4、〔2014、大興安嶺、中考〕在等腰直角三角形ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，直線MN過點(diǎn)A且MN∥BC，過點(diǎn)B為一銳角頂點(diǎn)作Rt△BDE，∠BDE=90°，且點(diǎn)D在直線MN上〔不與點(diǎn)A重合〕，如圖1，DE與A