2022-2023學年蘇教版高一數學新教材同步講義5.3 函數的單調性 解析

文檔來源網絡侵權刪除5.3函數的單調性【知識點梳理】知識點一、函數的單調性1、增函數、減函數的概念一般地，設函數的定義域為，區(qū)間如果對于內的任意兩個自變量的值，當時，都有，那么就說在區(qū)間上是增函數．如果對于內的任意兩個自變量的值，當時，都有，那么就說在區(qū)間上是減函數．知識點詮釋：（1）屬于定義域內某個區(qū)間上；（2）任意兩個自變量且；（3）都有；（4）圖象特征：在單調區(qū)間上增函數的圖象從左向右是上升的，減函數的圖象從左向右是下降的．上升趨勢下降趨勢2、單調性與單調區(qū)間（1）單調區(qū)間的定義如果函數在區(qū)間上是增函數或減函數，那么就說函數在區(qū)間上具有單調性，稱為函數的單調區(qū)間．函數的單調性是函數在某個區(qū)間上的性質．知識點詮釋：①單調區(qū)間與定義域的關系----單調區(qū)間可以是整個定義域，也可以是定義域的真子集；②單調性是通過函數值變化與自變量的變化方向是否一致來描述函數性質的；③不能隨意合并兩個單調區(qū)間，單調區(qū)間之間可用“，”分開，不能用“∪”，可以用“和”來表示；④有的函數不具有單調性；⑤遵循最簡原則，單調區(qū)間應盡可能大．3、證明函數單調性的步驟（1）取值．設是定義域內一個區(qū)間上的任意兩個量，且；（2）變形．作差變形（變形方法：因式分解、配方、有理化等）或作商變形；（3）定號．判斷差的正負或商與1的大小關系；（4）得出結論．4、函數單調性的判斷方法（1）定義法：根據增函數、減函數的定義，按照“取值—變形—判斷符號—下結論”進行判斷．（2）圖象法：就是畫出函數的圖象，根據圖象的上升或下降趨勢，判斷函數的單調性．（3）直接法：就是對我們所熟悉的函數，如一次函數、二次函數、反比例函數等，直接寫出它們的單調區(qū)間．（4）記住幾條常用的結論①若是增函數，則為減函數；若是減函數，則為增函數；②若和均為增（或減）函數，則在和的公共定義域上為增（或減）函數；③若且為增函數，則函數為增函數，為減函數；若且為減函數，則函數為減函數，為增函數．5、單調性定義的等價形式（1）函數在區(qū)間上是增函數：任取，且，；任取，且，；任取，且，；任取，且，．（2）函數在區(qū)間上是減函數：任取，且，；任取，且，；任取，且，；任取，且，．6、復合函數單調性的判斷討論復合函數的單調性時要注意：既要把握復合過程，又要掌握基本函數的單調性．一般需要先求定義域，再把復雜的函數正確地分解為兩個簡單的初等函數的復合，然后分別判斷它們的單調性，再用復合法則，復合法則如下：（1）若在所討論的區(qū)間上都是增函數或都是減函數，則為增函數；（2）若在所討論的區(qū)間上一個是增函數，另一個是減函數，則為減函數．列表如下：增增增增減減減增減減減增復合函數單調性可簡記為“同增異減”，即內外函數的單性相同時遞增；單性相異時遞減．因此判斷復合函數的單調性可按下列步驟操作：（1）將復合函數分解成基本初等函數：，；（2）分別確定各個函數的定義域；（3）分別確定分解成的兩個基本初等函數的單調區(qū)間．若兩個基本初等函數在對應的區(qū)間上的單調性是同增或同減，則為增函數；若為一增一減或一減一增，則為減函數．知識點詮釋：（1）單調區(qū)間必須在定義域內；（2）要確定內層函數的值域，否則就無法確定的單調性．（3）若，且在定義域上是增函數，則都是增函數．7、利用函數單調性求函數最值時應先判斷函數的單調性，再求最值．常用到下面的結論：（1）如果函數在區(qū)間上是增函數，在區(qū)間上是減函數，則函數在處有最大值．（2）如果函數在區(qū)間上是減函數，在區(qū)間上是增函數，則函數在處有最小值．若函數在上是嚴格單調函數，則函數在上一定有最大、最小值．（3）若函數在區(qū)間上是單調遞增函數，則的最大值是，最小值是．（4）若函數在區(qū)間上是單調遞減函數，則的最大值是，最小值是．8、利用函數單調性求參數的范圍若已知函數的單調性，求參數的取值范圍問題，可利用函數單調性，先列出關于參數的不等式，利用下面的結論求解．（1）在上恒成立在上的最大值．（2）在上恒成立在上的最小值．實際上將含參數問題轉化成為恒成立問題，進而轉化為求函數在其定義域上的最大值和最小值問題．知識點二、基本初等函數的單調性1、正比例函數當時，函數在定義域R是增函數；當k<0時，函數在定義域R是減函數．2、一次函數當時，函數在定義域R是增函數；當k<0時，函數在定義域R是減函數．3、反比例函數當時，函數的單調遞減區(qū)間是，不存在單調增區(qū)間；當時，函數的單調遞增區(qū)間是，不存在單調減區(qū)間．4、二次函數若，在區(qū)間，函數是減函數；在區(qū)間，函數是增函數；若，在區(qū)間，函數是增函數；在區(qū)間，函數是減函數．知識點三、函數的最大（?。┲?、最大值：對于函數，其定義域為，如果存在，，使得對于任意的，都有，那么，我們稱是函數的最大值，即當時，是函數的最大值，記作．2、最小值：對于函數，其定義域為，如果存在，，使得對于任意的，都有，那么，我們稱是函數的最小值，即當時，是函數的最小值，記作．3、幾何意義：一般地，函數最大值對應圖像中的最高點，最小值對應圖像中的最低點，它們不一定只有一個．【題型歸納目錄】題型一：單調性的概念題型二：函數的單調性的證明題型三：求函數的單調區(qū)間題型四：利用函數單調性求參數的取值范圍題型五：利用函數單調性的性質解不等式題型六：利用函數單調性的性質比較函數值的大小關系題型七：求函數的最值題型八：抽象函數單調性的證明題型九：二次函數在閉區(qū)間上的最值問題題型十：恒成立與能成立問題【典型例題】題型一：單調性的概念例1．（2022·全國·高一課時練習）已知定義在（0，）上的函數滿足：對任意正數a?b，都有，且當時，，則下列結論正確的是（

）A．是增函數，且 B．是増函數，且C．是減函數，且 D．是減函數，且【答案】D【解析】法一：取，滿足題干條件，則是減函數，且；法二：當時，.設，則，由已知，.所以，即，所以是減函數，故選：D.【方法技巧與總結】單調性定義的等價形式（1）函數在區(qū)間上是增函數：任取，且，；任取，且，；任取，且，；任取，且，．（2）函數在區(qū)間上是減函數：任取，且，；任取，且，；任取，且，；任取，且，．例2．（2022·全國·高一課時練習）若定義在R上的函數f(x)對任意兩個不相等的實數a，b，總有>0成立，則必有（

）A．f(x)在R上是增函數 B．f(x)在R上是減函數C．函數f(x)先增后減 D．函數f(x)先減后增【答案】A【解析】由>0知f(a)-f(b)與a-b同號，即當a<b時，f(a)<f(b)，或當a>b時，f(a)>f(b)，所以f(x)在R上是增函數.故選：A.例3．（2022·山東濟寧·高一期中）設函數的定義域為，已知為上的減函數，，，則是的（

）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件【答案】A【解析】若函數是R上的單調遞減函數，則，反之不成立，所以是的的充分不必要條件．故選：A變式1．（2022·全國·高一課時練習）下列有關函數單調性的說法，不正確的是（

）A．若為增函數，為增函數，則為增函數B．若為減函數，為減函數，則為減函數C．若為增函數，為減函數，則為增函數D．若為減函數，為增函數，則為減函數【答案】C【解析】根據不等量的關系，兩個相同單調性的函數相加單調性不變，選項A,B正確；選項D:為增函數，則為減函數，為減函數，為減函數，選項D正確；選選C:若為增函數，為減函數，則的增減性不確定.例如為上的增函數，當時，在上為增函數；當時，在上為減函數，故不能確定的單調性.故選:C變式2．（2022·全國·高一專題練習）如果函數f(x)在[a，b]上是增函數，那么對于任意的x1，x2∈[a，b](x1≠x2)，下列結論中不正確的是（

）A．>0B．(x1－x2)[f(x1)－f(x2)]>0C．若x1<x2，則f(a)<f(x1)<f(x2)<f(b)D．>0【答案】C【解析】因為f(x)在[a，b]上是增函數，對于任意的x1，x2∈[a，b](x1≠x2)，x1－x2與f(x1)－f(x2)的符號相同，故A，B，D都正確，而C中應為若x1<x2，則f(a)≤f(x1)<f(x2)≤f(b).故不正確的是：.故選：.變式3．（2022·全國·高一課時練習）若函數在上是增函數，對于任意的，（），則下列結論不正確的是（

）A． B．C． D．【答案】C【解析】由函數的單調性定義知，若函數在給定的區(qū)間上是增函數，則，與同號，由此可知，選項A，B，D都正確.若，則，故選項C不正確.故選：C.題型二：函數的單調性的證明例4．（2022·全國·高一課時練習）已知函數，．(1)證明：函數在上單調遞增；(2)設，若的定義域和值域都是，求的最大值．【解析】（1）證明：任取，且，則，因為，，所以，所以，故，所以，所以函數在上單調遞增．（2）由（1）可知函數在上單調遞增，因為的定義域和值域都是，所以，所以m，n為關于x的方程的兩個不相等的正實數根，化簡方程可得，則，解得，所以因為，所以，所以當，即時，取得最大值．最大值為．【方法技巧與總結】（1）證明函數單調性要求使用定義；（2）如何比較兩個量的大小？（作差）（3）如何判斷一個式子的符號？（對差適當變形）例5．（2022·山東·梁山縣第一中學高一階段練習）已知函數.(1)用單調性定義證明函數在上為減函數；(2)求函數在上的最大值.【解析】（1）設對任意的，則由題設可得，，，，即.故函數在上為減函數..（2）由（1）得在上為減函數，函數在上的最大值為.例6．（2022·云南師大附中高一期中）已知函數的定義域為.(1)根據單調性的定義，證明在上是增函數；(2)若函數是上的減函數，且不等式在上恒成立，求實數的取值范圍.【解析】（1），，且，則，由于，且，所以，，，所以，則有，即，所以在上是增函數；（2）由于函數是上的減函數，且，所以，又，所以，即在上恒成立，由（1）可知在上是增函數，所以，即的取值范圍為.變式4．（2022·廣東·惠州市惠陽區(qū)第一中學高中部高一階段練習）已知函數，.(1)判斷并證明在上的單調性；(2)解不等式.【解析】（1）在上單調遞減，理由如下：設滿足，∵，∴，，∴，∴，∴在上單調遞減.（2）∵，則令，解得或－3，∵，∴，故只有.∵在上單調遞減，且，∴，∴解得，即不等式解集為.變式5．（2022·福建·廈門雙十中學高一階段練習）已知函數滿足.(1)求函數的解析式；(2)判斷并證明函數在上的單調性.【解析】（1）因為滿足，所以，解得，所以.（2）在上單調遞增，證明如下：不妨設，且，因為，又因為，故，，，即，所以，即，所以在上單調遞增.變式6．（2022·新疆·和碩縣高級中學高一階段練習）已知函數滿足，且.(1)求和函數的解析式；(2)用定義法證明在其定義域的單調性.【解析】（1）由，則有，又由，則；所以.（2）證明：在其定義域為單調增函數.證明：，其定義域為，令，所以，所以，因為，，所以，所以在其定義域為單調增函數.變式7．（2022·全國·高一課時練習）已知函數，判斷并證明在區(qū)間上的單調性．【解析】在區(qū)間上單調遞增，理由如下：任取，，且，．因為，所以，，，所以所以，所以，即，所以函數在區(qū)間上單調遞增．題型三：求函數的單調區(qū)間例7．（2022·云南·昆明一中高一期中）函數的單調遞增區(qū)間是（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】函數的定義域需要滿足，解得定義域為，因為在上單調遞增，所以在上單調遞增，故選：D.【方法技巧與總結】（1）數形結合利用圖象判斷函數單調區(qū)間；（2）關于二次函數單調區(qū)間問題，單調性變化的點與對稱軸相關．（3）復合函數的單調性分析：先求函數的定義域；再將復合函數分解為內、外層函數；利用已知函數的單調性解決．關注：內外層函數同向變化復合函數為增函數；內外層函數反向變化復合函數為減函數．例8．（2022·全國·高一課時練習）函數的單調遞增區(qū)間是（

）A． B．C． D．【答案】B【解析】由知，函數為開口向上，對稱軸為的二次函數，則單調遞增區(qū)間是.故選：B.例9．（2022·全國·高一單元測試）定義在區(qū)間上的函數的圖象如圖所示，則的單調遞減區(qū)間為（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】由題圖知：在上的單調遞減，在上的單調遞增，所以的單調遞減區(qū)間為.故選：B變式8．（2022·湖南師大附中高一階段練習）函數的單調遞增區(qū)間是（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】當時，，開口向下，對稱軸為，故其遞增區(qū)間是；當時，，開口向上，對稱軸為，在時，單調遞減，綜上：的單調遞增區(qū)間是.故選：A.變式9．（2022·廣東·惠州市惠陽區(qū)第一中學高中部高一階段練習）已知函數在R上單調遞減，則函數的增區(qū)間為（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】由函數在上單調遞減可知，∴開口向下，對稱軸為，∴在上單調遞增.故選：C變式10．（2022·全國·高一專題練習）函數的單調遞增區(qū)間是（

）A． B．和C．和 D．和【答案】B【解析】如圖所示：函數的單調遞增區(qū)間是和．故選：B.題型四：利用函數單調性求參數的取值范圍例10．（2022·海南·瓊山中學高一階段練習）已知在上單調，則實數的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】因為的對稱軸為，所以在上單調需滿足或，即或，故選：D.【方法技巧與總結】（1）解答分類問題時，我們的基本方法和步驟是：首先要確定討論對象以及討論對象的范圍；其次要確定分類標準，即標準統(tǒng)一、不重不漏；再對所分類逐步進行討論，分級進行；最后進行歸納小結，綜合得出結論．（2）分離參數法，即把分離出來放到不等式的左邊，不等式的右邊是關于的函數，然后轉化成求函數的最值問題．例11．（2022·江蘇省新海高級中學高一期中）若二次函數在區(qū)間為增函數，則的取值范圍為（

）A． B．C． D．【答案】A【解析】當時，，解得：，所以，當時，不滿足條件，綜上可知：故選：A例12．（2022·黑龍江·牡丹江市第三高級中學高一階段練習）已知函數在區(qū)間上是減函數，則整數a的取值可以為（

）A． B． C．0 D．1【答案】A【解析】由題意可得，解得，∴整數a的取值可以為.故選：A變式11．（2022·江西省樂平中學高一階段練習）函數，在上，隨著的增大而減小，則實數范圍為（

）A． B．C． D．【答案】D【解析】的對稱軸為，故當時，滿足隨著的增大而減小，解得：，所以實數范圍為.故選：D變式12．（2022·黑龍江·雞西市第四中學高一階段練習）已知正比例函數，若隨增大而增大，則的取值范圍是（）A． B． C． D．【答案】D【解析】因為正比例函數中，隨增大而增大，所以，，解得.所以，的取值范圍是.故選：D變式13．（2022·福建省廈門第二中學高一階段練習）已知函數在區(qū)間上是單調函數，則的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】的圖像的對稱軸為，因為函數在區(qū)間上時單調函數，所以或，得或，即的取值范圍是，故選：D變式14．（2022·湖北武漢·高一期中）函數在上單調遞減，則實數的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】，故在上單調遞減，由題意得解得，故選：B變式15．（2022·全國·高一課時練習）已知函數在上單調遞減，則實數a的取值范圍是（

）A． B．C． D．【答案】A【解析】當a=0時，，不符合題意.當a>0時，設，則函數，因為在區(qū)間上單調遞減，要使函數在上單調遞減，則，解得.當a<0時，在區(qū)間上為增函數，要使函數在上單調遞減，則，解得a<0.綜上，a的取值范圍為.故B，C，D錯誤.故選：A.變式16．（2022·山西太原·高一階段練習）函數，若對任意，都有成立，則實數a的取值范圍為（

）A．(－∞，1] B．(1，5) C．[1，5) D．[1，4]【答案】D【解析】因為對任意，都有成立，所以是減函數，則，解得．故選：D．變式17．（2022·全國·高一）已知在為單調函數，則a的取值范圍為（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】在上單調遞減，在上單調遞增，故要想在為單調函數，需滿足，故選：D變式18．（2022·廣西·南寧市東盟中學高一期中）已知函數在區(qū)間上單調遞增，則實數的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】函數在區(qū)間上單調遞增，所以，所以故選：C題型五：利用函數單調性的性質解不等式例13．（2022·江蘇·高一）已知函數的定義域是，且滿足，，如果對于，都有，不等式的解集為

（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】由于，令則，即，則，由于，則，即有，由于對于，都有，則在上遞減，不等式即為．則原不等式即為，即有，即有，即解集為．故選：D．【方法技巧與總結】求字母取值范圍的題目，最終一定要變形成的形式，再依據函數的單調性把符號脫掉得到關于字母的不等式再求解．例14．（2022·全國·高一課時練習）定義在上的函數滿足，且，，則不等式的解集為（

）A． B．C． D．【答案】B【解析】，不妨設，故，即，令，則，故在上單調遞減，，不等式兩邊同除以得：，因為，所以，即，根據在上單調遞減，故，綜上：故選：B例15．（2022·甘肅慶陽·高一期末）若函數在上單調遞增，且，則實數的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】在上單調遞增，，，解得：，實數的取值范圍為.故選：C.變式19．（2022·全國·高一課時練習）已知在定義域上是減函數，且，則的取值范圍為（

）A．（0，1） B．（-2，1） C．（0，） D．（0，2）【答案】A【解析】因為在定義域上是減函數，所以由，故選：A變式20．（2022·全國·高一單元測試）已知定義在上的函數滿足：對任意的，，，都有，，則滿足不等式的x的解集是（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】可轉化為，不妨設，則，∴.令，由單調性定義可知，為上的增函數.∵，∴.∵，∴，∴，∴，∴，即x的取值范圍為.故選：B.變式21．（2022·全國·高一課時練習）已知函數，則不等式的解集為（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】根據題目所給的函數解析式，可知函數在上是減函數，所以，解得．故選：B變式22．（2022·全國·高一專題練習）已知函數，若則實數的取值范圍是____．【答案】【解析】由題意可知，函數在上單調遞增，則，即且，即且，解得且或，即故答案為：.題型六：利用函數單調性的性質比較函數值的大小關系例16．（2022·全國·高一課時練習）已知對定義域內的任意實數，且，恒成立，設，，，則（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】由可得函數在上是增函數，所以.故選：D.【方法技巧與總結】利用函數的單調性進行比較，數形結合．例17．（2022·福建省廈門第六中學高一階段練習）若函數在上是增函數，則與的大小關系是（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】函數在上是增函數，，解得：；則，故選：B.例18．（2022·遼寧·沈陽市第一二〇中學高一階段練習）已知，且在上是增函數，則，，的大小順序是（

）A． B．C． D．【答案】B【解析】因為，所以，，因為在上是增函數，且，所以，即，故選：B變式23．（2022·江蘇·高一單元測試）若函數在上是增函數，則與的大小關系是（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】依題意，即，由于在上單調遞增，所以.故選：B變式24．（2022·全國·高一課時練習）已知函數的定義域為R，滿足，且當時，恒成立，設，，（其中），則a，b，c的大小關系為（

）A． B．C． D．【答案】B【解析】因為，所以，因此，即，所以在上單調遞減，又因為，所以，又因為，所以，所以．故選：B．變式25．（2022·全國·高一單元測試）函數在上是減函數，且為實數，則有（

）A． B．C． D．【答案】C【解析】當時，ABD中不等式左右兩側均為，不等式不成立，ABD錯誤；對于恒成立，即恒成立，又為上的減函數，，C正確.故選：C.變式26．（2022·全國·高一單元測試）定義域為R的函數滿足:對任意的，有，則有（

）A． B．C． D．【答案】A【解析】定義域在上的函數滿足：對任意的，，有，可得函數是定義域在上的增函數，所以（1）（3）．故選：．題型七：求函數的最值例19．（2022·全國·高一課時練習）函數在區(qū)間上的最大值為（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】設，則問題轉化為求函數在區(qū)間上的最大值．根據對勾函數的性質，得函數在區(qū)間上單調遞減，在區(qū)間上單調遞增，所以．故選：B【方法技巧與總結】（1）如果函數在區(qū)間上是增函數，在區(qū)間上是減函數，則函數在處有最大值．（2）如果函數在區(qū)間上是減函數，在區(qū)間上是增函數，則函數在處有最小值．若函數在上是嚴格單調函數，則函數在上一定有最大、最小值．（3）若函數在區(qū)間上是單調遞增函數，則的最大值是，最小值是．（4）若函數在區(qū)間上是單調遞減函數，則的最大值是，最小值是．例20．（2022·湖南·高一課時練習）檢驗下列函數的增減性，并說明是否有最大最小值．如果有，指出最大最小值和最大最小值點．(1)；(2)；(3)；(4)．【答案】(1)見解析(2)見解析(3)見解析(4)見解析【解析】(1)任取，設則由，知所以在上為增函數，當時，取得最大值，且當時，取得最小值，且(2)任取，設，則當時，，則在上為減函數，當時，，則在上為增減函數，當時，取得最大值，且當時，取得最小值，且(3)任取，設，則由時，知，則在上為增函數，當時，取得最大值，且當時，取得最小值，且(4)任取，設，則由時，知，則在上為增函數，所以函數無最值.例21．（2022·陜西·榆林市第十中學高一階段練習）已知函數滿足下列3個條件：①函數的圖象關于原點對稱；②函數在上單調遞減；③函數過定點．(1)請猜測出一個滿足題意的函數，并寫出其解析式；(2)求（1）中所猜函數在上的最大值．【解析】（1）由的圖象關于原點對稱知為奇函數，又函數在上單調遞減，可猜想，，猜測一個滿足題意的函數為；（2）易知函數在上單調遞減，∴函數變式27．（2022·浙江·溫州市第二十二中學高一開學考試）已知函數，且，，則函數的值域是______.【答案】【解析】因為，，所以，即，解得：所以，設且，所以，因為且，所以，所以，即，所以，即在上單調遞減，所以，所以，函數的值域是故答案為：變式28．（2022·浙江·金華市云富高級中學高一階段練習）函數y=+的最大值為__________.【答案】【解析】由，解得，即函數的定義域為，，當時，取得最大值，即.故答案為：變式29．（2022·全國·高一課時練習）若函數在區(qū)間上的最大值與最小值的差為2，則實數a的值為（

）A．2 B．2或 C．3 D．3或【答案】B【解析】依題意，當時，，不符合題意；當時，在區(qū)間上單調遞增，所以，得；當時，在區(qū)間上單調遞減，所以，得．綜上，a的值為故選:B.變式30．（2022·全國·高一專題練習）設，若函數，當時，的范圍為，則的值為（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】在上單調遞減，，解得：.故選：B.變式31．（2022·全國·高一課時練習）已知函數，(1)證明：在上單調遞減，并求出其最大值與最小值：(2)若在上的最大值為，且，求的最小值.【解析】（1）設是區(qū)間上的任意兩個實數，且，則，因為且，所以，所以，即，所以函數在上單調遞減，所以，.（2）由（1）知在上的最大值為，所以，即所以，因為，所以，所以，當且僅當，即時等號成立，所以的最小值為.變式32．（2022·江蘇·高一單元測試）若函數的值域是，則函數的值域是（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】令，，則．當時，單調遞減，當時，單調遞增，又當時，，當時，，當時，，所以函數的值域為，故選：B．題型八：抽象函數單調性的證明例22．（2022·全國·高一課時練習）已知函數的定義域為，對任意正實數、都有，且當時，．求證：函數是上的增函數．【解析】證明：任取、，且，則．因為，所以，所以，即，所以函數是上的增函數．【方法技巧與總結】研究抽象函數的單調性是依據定義和題設來進行論證的．一般地，在高中數學中，主要有兩種類型的抽象函數，一是“”型[即給出所具有的性質，如本例，二是“”型．對于型的函數，只需構造，再利用題設條件將它用與表示出來，然后利用題設條件確定的范圍，從而確定與的大小關系；對型的函數，則只需構造即可．例23．（2022·全國·高一期中）已知函數的定義域為，且，，當且時恒成立．(1)判斷在上的單調性；(2)解不等式；(3)若對于所有，恒成立，求的取值范圍．【解析】（1），，則當時，，；當時，；當時，；在上單調遞增.（2）由（1）知：，解得：，的解集為.（3）由（1）知：，對于任意恒成立；令，當時，不成立，不合題意；當時，在上單調遞減，，解得：（舍）或；當時，在上單調遞增，，解得：或（舍）；綜上所述：的取值范圍為.例24．（2022·湖北黃岡·高一期中）定義在上的函數滿足下面三個條件：①對任意正數a，b，都有；②當x>1時，<0；③＝－1(1)求和的值；(2)試用單調性定義證明：函數在上是減函數；(3)求滿足的t的取值范圍.【解析】(1)令，可得，解得；令，可得令，可得，即有；(2)設且，可得，即有，則∴函數在上是減函數(3)由條件得，，又函數在上是減函數，則滿足，解得所以滿足的t的取值范圍為.變式33．（2022·安徽宿州·高一期中）已知函數對任意，總有，且對，都有.(1)判斷并用定義證明函數的單調性；(2)解關于的不等式.【解析】(1)函數是上的減函數，證明如下：由題意，令，有，解得，任取，不妨設，則，因為，則，所以，即，所以函數是上的減函數；(2)因為函數對任意，總有，所以不等式，即，也即，又由（1）可知函數為上的減函數，所以，解得，所以原不等式的解集為.變式34．（2022·四川巴中·高一期中）設函數對于任意，都有，且時，.(1)判斷的單調性，并用定義法證明；(2)解不等式.【解析】(1)在上為增函數，證明如下：任取，且，則，因為，所以，因為時，，所以，所以，所以在上為增函數，(2)由，得，即，因為在上為增函數，所以，解得或，所以不等式的解集為變式35．（2022·安徽·池州市第一中學高一階段練習）定義在上的函數對任意、都有，且對任意，恒有.(1)判斷單調性，并證明；(2)已知，若不等式對任意恒成立，求實數的取值范圍.【解析】(1)證明：函數在上單調遞增，理由如下：任取、，且，則，，即，所以函數在上單調遞增.(2)，則，原不等式可化為，即，由函數在上單調遞增可得對恒成立，即對恒成立.若，恒成立，符合題意；若，則，得.綜上可得.變式36．（2022·黑龍江·雞西市第一中學校高一期中）定義在R上的函數，滿足對任意的實數，總有，若時，且.(1)求的值；(2)求證在定義域R上單調遞減；(3)若時，求實數的取值范圍.【解析】(1)因為對任意的實數，總有，所以取，有，解得：.取，有，因為，解得：.(2)任取,

且，記，則.因為時，，所以，即，所以在定義域R上單調遞減.(3)因為對任意的實數，總有，所以取，有，解得：.所以可化為因為在定義域R上單調遞減.所以，解得.即不等式的解集為變式37．（2022·天津·靜海一中高一階段練習）已知函數的定義域為，對任意的實數均有，而且當時，有(1)用定義證明的單調性；(2)解不等式(3)若對任意，使得成立，求實數的取值范圍．【解析】（1）證明：，，所以，，所以，所以在上單調遞增（2）令，，所以，因為，所以，即，故，解得，綜上：不等式解集為，（3），，恒成立．又為上的單調增函數，故，，恒成立．設，，，故，解得．即實數的取值范圍是：，．變式38．（2022·全國·高一專題練習）定義在R上的函數滿足：對任意實數m，n總有，且當時，.(1)試求的值；(2)判斷的單調性并證明你的結論．【解析】(1)在中,令,得.因為,所以.(2)函數在上單調遞減.任取,且設.在已知條件中,若取,則已知條件可化為,由于,所以.在中,令,則得.當時,,所以,又,所以對于任意的均有，所以.所以函數在上單調遞減.題型九：二次函數在閉區(qū)間上的最值問題例25．（2022·全國·高一課時練習）已知二次函數滿足，且(1)求的解析式.(2)求在，的最小值，并寫出的函數的表達式.【解析】（1）設，，又，，由知，（2），對稱軸為：，故當時，在上單調遞增，故在處取得最小值，，當，即時，在上單調遞減，故在處取得最小值，，當時，在上單調遞減，在上單調遞增，故在處取得最小值，，所以【方法技巧與總結】二次函數在閉區(qū)間上的最值問題由它的單調性來確定，而它的單調性又由二次函數的開口方向和對稱軸的位置（在區(qū)間上，還是在區(qū)間左邊，還是在區(qū)間右邊）來確定，當開口方向和對稱軸的位置不確定時，則需要進行分類討論．例26．（2022·內蒙古·烏蘭浩特一中高一期中）1.已知二次函數滿足，且的最大值為．(1)求函數的解析式；(2)設，求在區(qū)間上的最大值．【解析】(1)設二次函數，因為，且的最大值為，所以，解得：，故二次函數(2)，對稱軸為，當，即時，在上單調遞減，故當，即時，在上單調遞增，在上單調遞減，故當，即時，在上單調遞增，故綜上：例27．（2022·吉林油田高級中學高一期中）已知是二次函數，且滿足，，．(1)求函數的解析式，并證明在上單調遞增；(2)設函數，，，求函數的最小值．【解析】(1)設，，，即，解得，，則.證明：任取，，且因為，則，所以，∴在上單調遞增．(2)令，則由（1）知，則，記，當時，；當時，；當時，．故．變式39．（2022·福建·廈門一中高一階段練習）已知二次函數對一切實數，都有成立，且，，.（1）求的解析式；（2）記函數在上的最大值為，最小值為，若，當時，求的最大值.【解析】（1）對一切實數，都有成立，則二次函數的對稱軸為直線，又，則二次函數圖象的頂點坐標為，設，則，因此，；（2），對稱軸為直線，，則.當時，即當時，函數在區(qū)間上單調遞增，則，，則，得，此時；當時，即當時，函數在區(qū)間上單調遞減，在區(qū)間上單調遞增，所以，，，，且，，則，整理得，解得，此時，.因此，，則實數的最大值為.題型十：恒成立與能成立問題例28．（2022·河北·滄州市一中高一階段練習）已知函數(1)解關于x的不等式；(2)已知，當時，若對任意的，總存在，使成立，求實數m的取值范圍.【解析】（1）由題設，當時，，故不等式解集為；當時，，故不等式解集為；當時，，故不等式解集為；（2）由題設，在上，要使任意的，總存在，使成立，所以是值域的子集，顯然時不滿足題設，或，可得或.【方法技巧與總結】1、利用參變量分離法求解函數不等式恒（能）成立，可根據以下原則進行求解：（1），；（2），；（3），；（4），.2、不等式的恒成立與有解問題，可按如下規(guī)則轉化：一般地，已知函數，，，.（1）若，，有成立，則；（2）若，，有成立，則；（3）若，，有成立，則；（4）若，，有成立，則的值域是的值域的子集.例29．（2022·福建省福州教育學院附屬中學高一階段練習）已知一次函數滿足，，(1)求解析式：(2)若函數，若恒成立，求實數的取值范圍.【解析】（1）設一次函數解析式為，由，得，即，所以；（2）由（1）可得，當時，恒成立，符合題意；當時，恒成立，需滿足，解得，綜合上述，實數的取值范圍為.例30．（2022·遼寧·鐵嶺市清河高級中學高一階段練習）已知，其中為常數．(1)若的解集為或，求的值；(2)使，求實數的取值范圍．【解析】（1）即為，因為的解集為或，所以，方程的實數根為，所以，根據韋達定理得，即所以.（2）因為使，所以，，因為時，，當且僅當時等號成立，由對勾函數的性質可得在上單調遞增，所以，所以，解得所以，實數的取值范圍為.變式40．（2022·河南·高一階段練習）已知二次函數的圖象與軸交于，兩點，頂點為，在中，邊上的高為，且．(1)求的值；(2)若對任意，總存在，使不等式成立，求的取值范圍．【解析】（1）令，得或，所以．因為，所以．由，得，得或，又，所以．（2）由（1）得，得，得．因為對任意，總存在，使不等式成立，所以，所以關于的不等式在上恒成立．令，圖象的對稱軸為直線．當，即時，，得，所以．當，即時，，所以.綜上所述，的取值范圍為．變式41．（2022·山西·晉城市第一中學校高一階段練習）已知函數，(1)判斷函數在區(qū)間上的單調性，并利用定義證明；(2)若對任意的時，恒成立，求實數的取值范圍.【解析】（1）在上單調遞減，在上單調遞增，理由如下：取，且，，因為，，故，，，所以，所以在上單調遞減；取，且，，因為，，故，，，所以，所以在上單調遞增；（2）若對任意的時，恒成立，時，無意義，舍去，當時，，此時無解，舍去，所以，只需求出的最大值，當時，單調遞減，當時，單調遞增，故，又因為，，故，故，所以，因為，故解得：或實數的取值范圍是.變式42．（2022·黑龍江·哈爾濱三中高一階段練習）已知定義域為R的函數滿足.(1)求函數的解析式；(2)若對任意的，都有恒成立，求實數x的取值范圍；(3)若使得，求實數a的取值范圍.【解析】（1），令，則，故，所以；（2）可看作關于的一次函數，要想對任意的，都有恒成立，只需要，解①得：，解②得：，則與求交集得，實數x的取值范圍是；（3）若使得，只需在上成立，的對稱軸為，當時，在上單調遞增，所以，，由，解得：，與取交集得：；當時，在上單調遞減，所以，，由，解得：，與取交集得：；當時，在上單調遞減，在上單調遞增，且，所以，，由，解得：或，或與取交集得：，當時，在上單調遞減，在上單調遞增，且，所以，，，解得：或，或與取交集得：，綜上：或實數a的取值范圍是變式43．（2022·北京·高一階段練習）設函數，已知不等式的解集為或.(1)求和的值；(2)若對任意恒成立，求的取值范圍.【解析】（1）有題意得是關于的方程的兩個根，所以解出，故；（2）方法一：二次函數實根分布法：由（1）可知對任意的恒成立.可化簡為對任意的恒成立.①，解得：；②，解得；綜上：的取值范圍是.方法二：分離參數法由（1）得，則對任意恒成立，即，對任意恒成立.又（當且僅當時等號成立），所以，所以c的取值范圍.變式44．（2022·四川·樹德中學高一階段練習）已知函數.(1)若對任意的，恒成立，求實數a的取值范圍；(2)若對任意的，恒成立，求x的取值范圍.【解析】（1）解法一：對任意的，恒成立，即恒成立，即對任意的恒成立.①當時，不等式為恒成立，此時；②當時，，∵，∴，∴，當且僅當時，即時取“=”，∴，綜上，a的取值范圍為；解法二：由題可得對任意成立，所以，對于二次函數，對稱軸為軸，當時，函數在上單調遞增，則，解得；當時，則，解得；當時，函數在上單調遞減，則，無解，綜上，a的取值范圍為；（2）由題可得，則當時，不等式恒成立，則，整理得：，解得：或，∴x的取值范圍為或.變式45．（2022·江蘇·南京師大附中高一階段練習）設k為實數，已知關于x的函數(1)若對于?x∈R，都有y≤0恒成立，求k的取值范圍；(2)若對于?m≥1，?x∈[1，4]，滿足y≤m成立，求k的取值范圍．【解析】（1）當時，恒成立，符合題意；當時，要想對于?x∈R恒成立，只需滿足下列條件：，綜上所述：k的取值范圍為；（2）當時，，顯然對于?m≥1，?x∈[1，4]，滿足y≤m成立，符合題意；當時，二次函數的對稱軸為：，且開口向上，當x∈[1，4]時，函數單調遞增，所以，因此要想對于?m≥1，?x∈[1，4]，滿足y≤m成立，只需，即；當時，二次函數的對稱軸為：，且開口向下，當x∈[1，4]時，函數單調遞減，所以，因此要想對于?m≥1，?x∈[1，4]，滿足y≤m成立，只需，即，綜上所述：k的取值范圍為.【同步練習】一、單選題1．（2022·云南·昆明一中高一期中）已知函數是R上的減函數，則實數a的取值范圍可以是（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】由題意得：函數是R上的減函數當時，函數要遞減，則有；當時，函數要遞減，則有；且解得：綜上所述：實數a的取值范圍可以是故選：D2．（2022·安徽淮南·高一階段練習）已知是定義在上的減函數，且對，，若，則的取值范圍為（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】因為，，令，易得．因為是定義在上的減函數，且，所以，解得．故選：A．3．（2022·河南·通許縣啟智高中高一階段練習）函數在區(qū)間上的最大值、最小值分別是（

）A．， B．，1 C．， D．1，【答案】D【解析】易知函數在區(qū)間是單調遞減函數，因此當時，函數的最大值為，當時，函數的最小值為.故選：D.4．（2022·河南·洛寧縣第一高級中學高一階段練習）下列函數的最小值為2的是（

）A． B．C． D．【答案】C【解析】對于A，當時，函數沒有最小值，故A錯誤；對于B，，因為，根據對勾函數的性質可得，故B錯誤；對于C，因為，，所以，當且僅當取等號，故C正確；對于D，，當且僅當取等號，又，故等號不成立，故D錯誤.故選：C.5．（2022·山西太原·高一階段練習）給出下列命題，其中錯誤的命題有（

）個①若函數的定義域為，則函數的定義域為；②函數，則③已知函數是定義域上減函數，若，則；④函數在定義域內是減函數A．1 B．2 C．3 D．4【答案】B【解析】①：由題意知，，對于函數，，解得，即函數的定義域為，故①錯誤；②：令，則，所以變形為，即，故②正確；③：因為函數是定義域上的減函數，且，所以，故③正確；④：由冪函數的性質知，函數在和上單調遞減，不是減函數，故④錯誤.故選：B.6．（2022·寧夏·吳忠中學高一階段練習）已知函數，若，則實數的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】因為開口向下的二次函數，對稱軸為，故函數在上單調遞減；為開口向上的二次函數，對稱軸為，故函數在上單調遞減，且，因此函數在R上單調遞減，則，即，解得或，所以實數的取值范圍是。故選：D7．（2022·四川·重慶第二外國語學校高一期中）給定函數，，．用表示，中的較小者，記為，則的最大值為（

）A． B．1 C．0 D．【答案】A【解析】令即，解得；令，解得或，所以當時，，當時，，則，綜上所述，．故選：A．8．（2022·福建·石獅市第八中學高一期中）已知函數，，，若存在，使得成立，則的取值范圍為（

）A． B．C．或 D．【答案】D【解析】設任意的，且，，所以，即，所以在上單調遞增，所以；因為，其對稱軸為，所以根據二次函數的性質可得在可得到最小值，若存在，使得成立，只需，所以，解得，因為，所以的取值范圍為，故選：D9．（2022·湖北黃石·高一期中）已知函數，若對任意，不等式恒成立，則實數的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】，因為在上單調遞增，在上單調遞增，所以在上單調遞增，因為，且，所以，所以，即在恒成立，所以即，解得，所以實數的取值范圍是，故選：B二、多選題10．（2022·浙江寧波·高一期中）已知在區(qū)間上的最小值為，則可能的取值為（

）A． B．3 C． D．1【答案】BC【解析】因為函數，函數的對稱軸為，開口向上，又在區(qū)間上的最小值為，所以當時，，解得（舍去）或；當，即時，，解得（舍去）或；當，即時，．綜上，的取值集合為．故選：BC．11．（2022·黑龍江·牡丹江市第三高級中學高一階段練習）定義在上的函數滿足：對于定義域上的任意，，當時，恒有,則稱為“理想函數”則下列函數中是“理想函數”的是（

）A． B．C． D．【答案】CD【解析】由，設，可得，，，所以函數在上單調遞增，對于A，，函數在為減函數，所以A不符合題意；對于B，，函數在上單調遞減，在上