方向向量與法向量

3.2.1立體幾何中的向量方法——方向向量與法向量2021/5/91lAP１．直線的方向向量直線ｌ的向量式方程換句話說,直線上的非零向量叫做直線的方向向量一、方向向量與法向量2021/5/921．直線的方向向量直線的方向向量是指和這條直線

的向量．平行或共線2021/5/93例1:已知長方體ABCD—A’B’C’D’的棱長AB=2,AD=4,AA’=3.建系如圖,求下列直線的一個方向向量:(1)AA’;(2)B’C;(3)A’C;(4)DB’.A’B’C’D’ABCD解:A(4,0,3),B(4,2,3),C(0,2,3),xyz243D(0,0,3),A’(4,0,0),B’(4,2,0),C’(0,2,0),D’(0,0,0).2021/5/942021/5/952021/5/962021/5/97例2:已知所有棱長為的正三棱錐A-BCD,試建立空間直角坐標(biāo)系,確定各棱所在直線的方向向量.ABCDEFxyz(O)解:建系如圖,則B(0,0,0)、2021/5/98BEFxyz(O)2021/5/992、平面的法向量AlP平面α的向量式方程換句話說,與平面垂直的非零向量叫做平面的法向量2021/5/9102．平面的法向量直線l⊥α，取直線l的

a，則a叫做平面α的法向量.

方向向量2021/5/911oxyzABCO1A1B1C1例1.如圖所示,正方體的棱長為1直線OA的一個方向向量坐標(biāo)為___________平面OABC的一個法向量坐標(biāo)為___________平面AB1C的一個法向量坐標(biāo)為___________(-1,-1,1)(0,0,1)(1,0,0)2021/5/912如何刻畫平面的方向？二、平面的法向量：例3：長方體中，求下列平面的一個法向量：（1）平面ABCD;(2)平面ACC’A’;(3)平面ACD’.xyzABCDA’B’C’D’2342021/5/913xyzABCDA’B’C’D’2342021/5/914xyzABCDA’B’C’D’2342021/5/9152021/5/9162021/5/9172021/5/9182021/5/9192021/5/9202021/5/9212021/5/9222021/5/923求平面向量的法向量

2021/5/9242021/5/9252021/5/9262021/5/9272021/5/9282021/5/929

因為方向向量與法向量可以確定直線和平面的位置，所以我們可以利用直線的方向向量與平面的法向量表示空間直線、平面間的平行、垂直、夾角、距離等位置關(guān)系.用向量方法解決立體問題2021/5/930二、立體幾何中的向量方法——證明平行與垂直2021/5/931ml（一）.平行關(guān)系：2021/5/932α2021/5/933αβ2021/5/934（二）、垂直關(guān)系：lm2021/5/935lABC2021/5/936αβ2021/5/937四、平行關(guān)系：2021/5/938五、垂直關(guān)系：2021/5/939例1四棱錐P-ABCD中，底面ABCD是正方形,PD⊥底面ABCD，PD=DC=6,E是PB的中點，DF:FB=CG:GP=1:2

.求證：AE//FG.ABCDPGXYZFEA(6,0,0),F(2,2,0),E(3,3,3),G(0,4,2),AE//FG證：如圖所示,建立空間直角坐標(biāo)系.//幾何法呢？2021/5/940例3四棱錐P-ABCD中，底面ABCD是正方形，PD⊥底面ABCD，PD=DC,E是PC的中點，(1)求證：PA//平面EDB.ABCDPEXYZG法1幾何法2021/5/941ABCDPEXYZG法2：如圖所示建立空間直角坐標(biāo)系，點D為坐標(biāo)原點，設(shè)DC=1(1)證明：連結(jié)AC,AC交BD于點G,連結(jié)EG2021/5/942ABCDPEXYZ法3：如圖所示建立空間直角坐標(biāo)系，點D為坐標(biāo)原點，設(shè)DC=1(1)證明：設(shè)平面EDB的法向量為2021/5/943XYZABCDPE法4：如圖所示建立空間直角坐標(biāo)系，點D為坐標(biāo)原點，設(shè)DC=1(1)證明：解得x＝－２,ｙ＝１2021/5/944A1xD1B1ADBCC1yzEF是BB1,，CD中點，求證：D1F例2正方體中，E、F分別平面ADE.

證明：設(shè)正方體棱長為1，為單位正交基底，建立如圖所示坐標(biāo)系D-xyz，所以2021/5/945A1xD1B1ADBCC1yzEF2021/5/946,E是AA1中點，例3正方體平面C1BD.

證明：E求證：平面EBD設(shè)正方體棱長為2,建立如圖所示坐標(biāo)系平面C1BD的一個法向量是E(0,0,1)D(0,2,0)B(2,0,0)設(shè)平面EBD的一個法向量是平面C1BD.

平面EBDxyz2021/5/947期中22．如圖，四棱錐S—ABCD的底面是正方形，每條側(cè)棱的長都是底面邊長的