測量與誤差分析

測量與誤差分析第一頁，共四十九頁，編輯于2023年，星期日2.1測量的基本概念

2.1.1測量的定義測量就是借助于專用的技術(shù)和工具，

通過實(shí)驗(yàn)的方法，

把被測量與同性質(zhì)的標(biāo)準(zhǔn)量進(jìn)行比較，

求取二者的比值，

從而得到被測量數(shù)值大小的過程。

其數(shù)學(xué)表達(dá)式為

x=Ax·Ae(2-1)式中，x為被測量；Ae為測量的單位；Ax為被測量的數(shù)值。

第二頁，共四十九頁，編輯于2023年，星期日2.1.2測量單位數(shù)值為1的某量，

稱為該量的測量單位或計(jì)量單位。

由于測量單位是人為定義的，

它帶有任意性，

地區(qū)性和習(xí)慣性。

因此，

單位的統(tǒng)一既是必要的又是艱巨的。

統(tǒng)一的單位將給人們的生活、

生產(chǎn)和科學(xué)技術(shù)的發(fā)展帶來極大的方便。

我國早在秦朝就有了“統(tǒng)一度量衡”的創(chuàng)舉。1984年2月27日國務(wù)院發(fā)布了《關(guān)于在我國統(tǒng)一實(shí)行法定計(jì)量單位的命令》，

并同時(shí)頒布了《中華人民共和國法定計(jì)量單位》，

它以國際單位為基礎(chǔ)并保留了一些暫時(shí)并用單位。

第三頁，共四十九頁，編輯于2023年，星期日國際(SI)單位制是1960年第十一屆國際計(jì)量大會(huì)通過的，它包括SI單位、SI詞頭和SI單位的十倍率倍數(shù)單位。其中SI單位包括基本單位、輔助單位和導(dǎo)出單位。

基本單位有七個(gè)：長度、

質(zhì)量、

時(shí)間、

電流、

熱力學(xué)溫度、

物質(zhì)的量和光強(qiáng)度，

它們都經(jīng)過嚴(yán)格的定義，

是SI單位制的基礎(chǔ)。

輔助單位有兩個(gè)：平面角和立體角，

是指尚未規(guī)定屬于基本單位還是導(dǎo)出單位，

可以用來構(gòu)成導(dǎo)出單位。

導(dǎo)出單位是由基本單位根據(jù)選定的、

聯(lián)系相應(yīng)量的代數(shù)式組合起來的單位。

此外，

還有具有專門名稱的單位(如牛頓)和用專門名稱導(dǎo)出的單位。

單位的符號(hào)用拉丁字母表示，

一般用小寫體，

但具有專門名稱的單位符號(hào)用大寫體，符號(hào)后面都不加標(biāo)點(diǎn)。

第四頁，共四十九頁，編輯于2023年，星期日2.1.3測量方法的分類1.按測量過程的特點(diǎn)分類

1)直接測量法直接測量是針對被測量選用專用儀表進(jìn)行測量，直接獲取被測量數(shù)值的過程。如用溫度表測溫度、電位差計(jì)測電動(dòng)勢等。按照所用儀表和比較過程特點(diǎn)可分為偏差法、零位法和微差法。(1)偏差法：用事先分度(標(biāo)定)好的測量儀表進(jìn)行測量，

根據(jù)被測量引起顯示器的偏移值直接讀取被測量的值。

它是工程上應(yīng)用最廣泛的測量方法。

第五頁，共四十九頁，編輯于2023年，星期日(2)零位法：將被測量x與某一已知標(biāo)準(zhǔn)量ｓ完全抵消，使作用到測量儀表上的效應(yīng)等于零，如天平、電位差計(jì)等。由此可知x＝s，測量精度主要取決于標(biāo)準(zhǔn)量的精度，與測量儀表的精度無關(guān)。因而測量精度很高，在計(jì)量工作中應(yīng)用很廣。(3)微差法：將零位法和偏差法結(jié)合起來，把被測量的大部分抵消，選用靈敏度較高的儀表測量剩余部分的數(shù)值，被測量便等于標(biāo)準(zhǔn)量和儀表偏差值之和。如天平上的游標(biāo)、電位差計(jì)上的毫伏表等。與偏差法相比，它可以得到較高的精度；與零位法相比，它可以省去微進(jìn)程的標(biāo)準(zhǔn)量。第六頁，共四十九頁，編輯于2023年，星期日

2)間接測量法用直接測量法測得與被測量有確切函數(shù)關(guān)系的一些物理量，然后通過計(jì)算求得被測量值的過程稱為間接測量。例如測量電壓U和電流I而求功率P＝UI的過程。第七頁，共四十九頁，編輯于2023年，星期日

2.按測量儀表特點(diǎn)分類按測量儀表特點(diǎn)進(jìn)行分類，可分為接觸測量法和非接觸測量法。1)接觸測量法傳感器直接與被測對象接觸，

承受被測參數(shù)的作用，感受其變化從而獲得信號(hào)，

并測量其信號(hào)大小的方法，稱為接觸測量法。

例如用體溫計(jì)測量體溫等。

第八頁，共四十九頁，編輯于2023年，星期日2)非接觸測量法傳感器不與被測對象直接接觸，

而是間接承受被測參數(shù)的作用，感受其變化從而獲得信號(hào)，

并測量其信號(hào)大小的方法，稱為非接觸測量法。例如用輻射式溫度計(jì)測量溫度，用光電轉(zhuǎn)速表測量轉(zhuǎn)速等。非接觸測量法不干擾被測對象，既可對局部點(diǎn)檢測，

又可對整體掃描。

特別是對于運(yùn)動(dòng)對象、

腐蝕性介質(zhì)及危險(xiǎn)場合的參數(shù)檢測，它更方便、安全和準(zhǔn)確。

第九頁，共四十九頁，編輯于2023年，星期日

3.按測量對象特點(diǎn)分類按測量對象特點(diǎn)進(jìn)行分類，可分為靜態(tài)測量法和動(dòng)態(tài)測量法。1)靜態(tài)測量法靜態(tài)測量是指被測對象處于穩(wěn)定情況下的測量。

此時(shí)被測參數(shù)不隨時(shí)間而變化，

故又稱穩(wěn)態(tài)測量。

第十頁，共四十九頁，編輯于2023年，星期日2)動(dòng)態(tài)測量法動(dòng)態(tài)測量是指在被測對象處于不穩(wěn)定的情況下進(jìn)行的測量。此時(shí)被測參數(shù)隨時(shí)間而變化。因此，這種測量必須瞬時(shí)完成，才能得到動(dòng)態(tài)參數(shù)的測量結(jié)果。運(yùn)動(dòng)是絕對的。被測參數(shù)多是隨時(shí)間變化的，因此過程檢測實(shí)際上是動(dòng)態(tài)測量。但如果被測參數(shù)隨時(shí)間變化很緩慢，而測量所需時(shí)間相對又很短時(shí)，可近似為穩(wěn)態(tài)測量。這種近似也是產(chǎn)生測量誤差的原因之一。第十一頁，共四十九頁，編輯于2023年，星期日2.2測量誤差的分析

2.2.1誤差的分類1.按誤差的表示方法分類1)絕對誤差某被測量的指示值A(chǔ)x與其真值A(chǔ)0之間的差值，稱為絕對誤差Δ，即

Δ＝Ax－A0

(2-2)第十二頁，共四十九頁，編輯于2023年，星期日當(dāng)Ax＞A0時(shí)，為正誤差；反之為負(fù)誤差。在計(jì)量工作和實(shí)驗(yàn)室測量中常用修正值C表示真值A(chǔ)0與示值A(chǔ)x之差，它等于絕對誤差的相反數(shù)(C=－Δ)，則A0＝Ax＋C

(2-3)一般，絕對誤差和修正值的量綱必須與示值的量綱相同。絕對誤差可表示測量值偏離實(shí)際值的程度，

但不能表示測量的準(zhǔn)確程度。

第十三頁，共四十九頁，編輯于2023年，星期日2)相對誤差相對誤差即為百分比誤差。(1)實(shí)際誤差：它等于絕對誤差與約定真值的百分比。用γA表示：

(2-4)(2)示值(標(biāo)稱)相對誤差：它等于絕對誤差與示值的百分比。用γx表示：(2-5)第十四頁，共四十九頁，編輯于2023年，星期日(3)滿度(引用)相對誤差：它等于絕對誤差與儀表滿量程值A(chǔ)F.S的百分比。用γn表示：(2-6)式中，AF.S為儀表刻度上限值A(chǔ)max和下限值A(chǔ)min之差。當(dāng)Δ為最大值Δmax時(shí)，稱為最大引用誤差。第十五頁，共四十九頁，編輯于2023年，星期日3)準(zhǔn)確度傳感器的誤差是以準(zhǔn)確度表示的。

準(zhǔn)確度常用最大引用誤差來定義，即

(2-7)式中，Δmax為傳感器在量程范圍內(nèi)和允許環(huán)境條件下所產(chǎn)生的最大測量誤差；S表示準(zhǔn)確度等級，

即表示傳感器的最大相對誤差為±S%。因此，傳感器在測量時(shí)的相對誤差計(jì)算公式為

(2-8)第十六頁，共四十九頁，編輯于2023年，星期日準(zhǔn)確度等級應(yīng)由國家統(tǒng)一制定標(biāo)準(zhǔn)，我國電工儀表的準(zhǔn)確度等級分別為0.1、0.2、0.5、1.0、1.5、2.5、5.0；然而我國傳感器尚無國家標(biāo)準(zhǔn)，一般執(zhí)行行業(yè)標(biāo)準(zhǔn)，如原航空部制定的壓力傳感器準(zhǔn)確度等級分別為0.05、0.1、0.2、0.3、0.5、1.0、1.5、2.0等。例如，某0.1級壓力傳感器的量程為100MPa，測量50MPa壓力時(shí)，傳感器引起的相對誤差為第十七頁，共四十九頁，編輯于2023年，星期日

2.按誤差的性質(zhì)分類1)系統(tǒng)誤差在相同測量條件下多次測量同一物理量，

其誤差大小和符號(hào)保持恒定或按某一確定規(guī)律變化，

此類誤差稱為系統(tǒng)誤差。

系統(tǒng)誤差表征測量的準(zhǔn)確度。

2)隨機(jī)誤差在相同測量條件下多次測量同一物理量，其誤差沒有固定的大小和符號(hào)，呈無規(guī)律的隨機(jī)性，此類誤差稱為隨機(jī)誤差。通常用精密度表征隨機(jī)誤差的大小。通常將準(zhǔn)確度和精密度合稱為精確度，

簡稱精度。

第十八頁，共四十九頁，編輯于2023年，星期日3)粗大誤差明顯偏離約定真值的誤差稱為粗大誤差。

它主要是由于測量人員的失誤所致，

如測錯(cuò)、讀錯(cuò)或記錯(cuò)等。含有粗大誤差的數(shù)值稱為壞值，應(yīng)予以剔除。在測量中，若誤差大于極限誤差Cσ，即為粗大誤差。

第十九頁，共四十九頁，編輯于2023年，星期日

3.按被測量與時(shí)間的關(guān)系分類1)靜態(tài)誤差被測量不隨時(shí)間變化時(shí)測得的誤差稱為靜態(tài)誤差。2)動(dòng)態(tài)誤差被測量在隨時(shí)間變化過程中測得的誤差稱為動(dòng)態(tài)誤差。

動(dòng)態(tài)誤差是由于檢測系統(tǒng)對輸入信號(hào)響應(yīng)滯后，

或?qū)斎胄盘?hào)中不同頻率成分產(chǎn)生不同的衰減和延遲所造成的。

動(dòng)態(tài)誤差值等于動(dòng)態(tài)測量和靜態(tài)測量所得誤差的差值。

第二十頁，共四十九頁，編輯于2023年，星期日2.2.2隨機(jī)誤差的處理1.隨機(jī)誤差的特性實(shí)踐中常見的隨機(jī)誤差分布是正態(tài)分布，如圖2-1所示，它有以下幾點(diǎn)特性：(1)對稱性：指絕對值相等的正誤差和負(fù)誤差出現(xiàn)的概率相等。(2)單峰性：

指只有一個(gè)峰值。

峰值就是概率密度的極大值，

峰值在隨機(jī)誤差的縱軸上。

該特性說明絕對值小的誤差出現(xiàn)的概率大，

而絕對值大的誤差出現(xiàn)的概率小。

第二十一頁，共四十九頁，編輯于2023年，星期日圖2-1正態(tài)分布曲線第二十二頁，共四十九頁，編輯于2023年，星期日(3)互抵性：指對一系列等精度的n次測量，當(dāng)n→∞時(shí)，各次測量的隨機(jī)誤差δi的代數(shù)和等于零。這是曲線對稱、正負(fù)誤差可以抵消的必然結(jié)果。(4)有界性：指絕對值很大的誤差出現(xiàn)的概率趨近于零，即誤差的絕對值實(shí)際上不會(huì)超過某個(gè)限值。根據(jù)正態(tài)分布的概率積分可得，當(dāng)一組測得值的標(biāo)準(zhǔn)誤差取σ的C倍時(shí)，其置信概率對應(yīng)值見表2-1。C稱為置信系數(shù)(Cσ稱為置信限，±Cσ稱為置信區(qū)間)；P稱為置信概率或置信度。第二十三頁，共四十九頁，編輯于2023年，星期日表2-1置信系數(shù)與置信度的關(guān)系

第二十四頁，共四十九頁，編輯于2023年，星期日由表2-1可以看出，對一組既無系差又無粗差的等精度測量，

當(dāng)置信區(qū)間取±2σ或±3σ時(shí)，

誤差值落在該區(qū)間外的可能僅有5%或0.3%。

因此，人們常把±2σ或±3σ值稱為極限誤差，又稱隨機(jī)不確定度，記為Δ=2σ或3σ，它隨置信概率取值的不同而不同。

第二十五頁，共四十九頁，編輯于2023年，星期日

2.標(biāo)準(zhǔn)誤差σ的計(jì)算方法國內(nèi)外廣泛采用標(biāo)準(zhǔn)誤差(均方根誤差)σ來評定測量列隨機(jī)誤差的大小。標(biāo)準(zhǔn)誤差的計(jì)算方法一般有標(biāo)準(zhǔn)法、絕對差法和極差法幾種。其中標(biāo)準(zhǔn)法精度高，應(yīng)用廣泛。下面介紹應(yīng)用標(biāo)準(zhǔn)法(貝塞爾公式)的計(jì)算過程。設(shè)n次等精度測量所測得的值為x1,x2,…，xn。

(1)計(jì)算測得值的算術(shù)平均值：

(2-9)第二十六頁，共四十九頁，編輯于2023年，星期日(2)計(jì)算各測得值xi的剩余誤差(殘差)vi：

(2-10)(3)計(jì)算標(biāo)準(zhǔn)誤差σ：

(2-11)(4)算術(shù)平均值的標(biāo)準(zhǔn)誤差σx：設(shè)有m組測量數(shù)據(jù)，每組有n次等精度測量，m組的算術(shù)平均值分別為x1,x2,…，xm，其標(biāo)準(zhǔn)誤差分別為σ1,σ2,…，σm，且有σ1＝σ2＝…＝σm＝σ，經(jīng)證明可得算術(shù)平均值的標(biāo)準(zhǔn)誤差σx為(2-12)第二十七頁，共四十九頁，編輯于2023年，星期日2.2.3系統(tǒng)誤差的處理1.系統(tǒng)誤差的分類及產(chǎn)生原因系統(tǒng)誤差的產(chǎn)生原因主要有：檢測時(shí)所用傳感器、儀表本身性能有限；檢測系統(tǒng)安裝、布置、調(diào)整不當(dāng)；測量者視覺等原因；測量環(huán)境條件(如溫度、壓力等)變化；測量方法不完善；測量依據(jù)的理論不完善等。按照系統(tǒng)誤差(簡稱系差)的性質(zhì)可分為已定系差和未定系差兩大類。1)已定系差已定系差是指在測量過程中誤差大小和符號(hào)都不變的系差。

第二十八頁，共四十九頁，編輯于2023年，星期日2)未定系差未定系差是指在測量過程中大小和符號(hào)變化不定，或按一定規(guī)律變化的系差。按其變化規(guī)律不同又可分為如下幾類：(1)線性變化(或累進(jìn)變化)系差：指在測量過程中隨著時(shí)間或測量次數(shù)的增加，按一定比例不斷增大或不斷減小的誤差。(2)周期性變化的系差：指數(shù)值和符號(hào)按周期性規(guī)律變化的系差。(3)復(fù)雜規(guī)律變化的系差：指不是簡單地按線性或周期性變化，

而是按較復(fù)雜的規(guī)律變化的系差。

第二十九頁，共四十九頁，編輯于2023年，星期日

2.系統(tǒng)誤差的發(fā)現(xiàn)1)恒定系差的檢驗(yàn)恒定系差不影響剩余誤差的計(jì)算，

即不影響測量結(jié)果的精密度，

在處理隨機(jī)誤差時(shí)不可能發(fā)現(xiàn)。因此，一般采用改變測量條件的多次測量結(jié)果進(jìn)行比較以確定其存在與否。

第三十頁，共四十九頁，編輯于2023年，星期日2)未定系差的發(fā)現(xiàn)(1)剩余誤差觀察法：觀察一系列等精度測量剩余誤差的數(shù)值和符號(hào)，若數(shù)值有規(guī)律地遞增或遞減，并在開始和末尾的符號(hào)相反，則判定有線性系差；若符號(hào)有規(guī)律地正負(fù)交替變化多次，則判定有周期性系差。第三十一頁，共四十九頁，編輯于2023年，星期日(2)馬利科夫判據(jù)：用于檢查線性系差，比較一系列等精度測量剩余誤差前后兩半部分剩余誤差的和，兩和的差M近似為零，則不含線性誤差；若M與vimax相當(dāng)或更大，則存在線性誤差。(n為偶數(shù)時(shí))(n為奇數(shù)時(shí))(2-13)(2-14)第三十二頁，共四十九頁，編輯于2023年，星期日(3)阿貝-赫梅特判據(jù)：

用于判斷周期性系差，設(shè)

(2-15)當(dāng)計(jì)算結(jié)果A滿足下式時(shí)，可判定有周期性系差，

即

(2-16)第三十三頁，共四十九頁，編輯于2023年，星期日

3.消除或減弱系統(tǒng)誤差的測量方法1)已定系差的消除方法(1)替代法：在測量未知量后，記下讀數(shù)，再測可調(diào)的已知量，使儀表指示與上次相同，此時(shí)未知量就等于已知量。(2)相消法及交校法：

適當(dāng)安排測量方法，

對同一量做兩次測量，

使恒定系差在兩次測量中方向相反，

取兩次讀數(shù)的算術(shù)平均值。

第三十四頁，共四十九頁，編輯于2023年，星期日2)未定系差的消除方法(1)對稱觀測法：又稱等距觀測法，用其可消除線性系差。(2)補(bǔ)償法：對于因某個(gè)條件變化或儀器的某個(gè)環(huán)節(jié)的非線性引起的變化系差，可采用補(bǔ)償法消除。(3)周期性變化系差的消除：只要讀取相隔半周期的兩次測量值，

取其算術(shù)平均值便可消除。

第三十五頁，共四十九頁，編輯于2023年，星期日2.3測量數(shù)據(jù)的處理

2.3.1有效數(shù)字的處理1.有效數(shù)字與測量誤差1)測量數(shù)據(jù)有效數(shù)字的規(guī)定在測量中既然不可避免地存在誤差，

因此數(shù)據(jù)只能是一個(gè)近似數(shù)。

當(dāng)我們用這個(gè)數(shù)表示一個(gè)量時(shí)，

通常規(guī)定誤差不得超過末位單位數(shù)字的一半，

即0.5誤差原則。

這種誤差不大于末位單位數(shù)字一半的數(shù)，

從它左邊第一個(gè)非零數(shù)字起，

直到右面最后一個(gè)數(shù)字為止，

都叫做有效數(shù)字。

有效數(shù)字位數(shù)越多，

精密度越高。

第三十六頁，共四十九頁，編輯于2023年，星期日2)已知有效數(shù)字求誤差例如，0.1080V表示有四位有效數(shù)字，

其測量誤差不超過±0.00005V，

即實(shí)際電壓可能是0.10795～0.10805V之間的任一值。

可見，如果知道一個(gè)量的有效數(shù)字，便可確定它的誤差大小。

第三十七頁，共四十九頁，編輯于2023年，星期日3)已知誤差求有效數(shù)字如果知道一個(gè)量的誤差大小，即可確定該量的有效數(shù)字。例如，fx＝10000Hz，已知γf=±0.5％，先求出Δf=10000×(±0.5%)=±50Hz，根據(jù)0.5誤差原則可確定有效數(shù)字在百位上。因此該頻率數(shù)據(jù)應(yīng)寫成1.00×104Hz或10.0kHz，而不能寫成10kHz或10000Hz等。舍去部分與數(shù)字大小有關(guān)，用10的冪表示。第三十八頁，共四十九頁，編輯于2023年，星期日

2.數(shù)字的舍入規(guī)則當(dāng)需要n位有效數(shù)字時(shí)，對超過n位的數(shù)字要根據(jù)舍入規(guī)則進(jìn)行處理。目前廣泛采用的是“小于5舍，大于5入，等于5取偶數(shù)”的規(guī)則。設(shè)保留n位有效數(shù)字，則觀察第n+1位的數(shù)字：小于5舍去；大于5進(jìn)1；等于5，若第n位為偶數(shù)或零時(shí)舍去，

為奇數(shù)時(shí)進(jìn)1。

第三十九頁，共四十九頁，編輯于2023年，星期日

3.參加中間運(yùn)算的有效數(shù)字的處理(1)加法運(yùn)算：運(yùn)算結(jié)果的有效數(shù)字位數(shù)，應(yīng)與參與運(yùn)算各數(shù)中小數(shù)點(diǎn)后面有效位數(shù)最少的相同。(2)乘除運(yùn)算：運(yùn)算結(jié)果的有效數(shù)字位數(shù)，應(yīng)與參與運(yùn)算各數(shù)中有效位數(shù)最少的相同。(3)乘方及開方運(yùn)算：運(yùn)算結(jié)果的有效數(shù)字比原數(shù)據(jù)多保留1位。(4)對數(shù)運(yùn)算：取對數(shù)前后有效數(shù)字位數(shù)應(yīng)相同。在運(yùn)算前可將各數(shù)先行刪減，

原則上可按結(jié)果有效位數(shù)多保留1～2位安全數(shù)字。

第四十頁，共四十九頁，編輯于2023年，星期日2.3.2誤差的傳遞1.一般公式設(shè)各直接測量參數(shù)為x1，x2，…，xm，間接測量值為y，二者間的函數(shù)關(guān)系式為

y=f(x1，x2，…，xm)若各直接測量參數(shù)的誤差為Δx1，Δx2，…，Δxm，間接測量值的誤差為Δy，則結(jié)果的相對誤差為

(2-18)(2-17)第四十一頁，共四十九頁，編輯于2023年，星期日2.幾種常見函數(shù)的誤差傳遞公式(1)加減運(yùn)算：設(shè)y=x1±x2±x3，則(2-19)(2)乘除運(yùn)算：設(shè)

則

(2-20)第四十二頁，共四十九頁，編輯于2023年，星期日(3)乘方運(yùn)算：設(shè)y=x2，則

γy=2γx

(2-21)(4)開方運(yùn)算：設(shè) ，則

(2-22)第四十三頁，共四十九頁，編輯于2023年，星期日2.3.3誤差的合成

1.隨機(jī)誤差的合成設(shè)有來自幾方面的、彼此獨(dú)立的隨機(jī)誤差因素，它們的標(biāo)準(zhǔn)誤差為σ1，σ2，…，σm，則按方和根法，可得其合成后的標(biāo)準(zhǔn)誤差為(2-23)如果各獨(dú)立的隨機(jī)誤差的隨機(jī)不確定度或極限誤差為Δ1，Δ2，…，Δm，則也可按方和根法合成之，

合成后總的隨機(jī)不確定度為

(2-24)第四十四頁，共四十九頁，編輯于2023年，星期日

2.系統(tǒng)