湖北省武漢市2023屆高三4月模擬訓(xùn)練（武漢4調(diào)）數(shù)學(xué) 試題（學(xué)生版+解析版）

湖北省武漢市2023屆高三4月模擬訓(xùn)練(武漢4調(diào))數(shù)學(xué)試題武漢市教育科學(xué)研究院命制 2023.4.11

本試題卷共5頁，22題,全卷滿分150分.考試用時(shí)120分鐘.★祝考試順利★一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1.己知集合心中'IVO},B={R2x+3>0},則"8=(A.B.D.2.若復(fù)數(shù)祟是純虛數(shù)，則實(shí)數(shù)七＜A.D.3.已知sin[a+-|=-3丿5則sin(2tz+^j=(A.242524B.——A.B.D.2.若復(fù)數(shù)祟是純虛數(shù)，則實(shí)數(shù)七＜A.D.3.已知sin[a+-|=-3丿5則sin(2tz+^j=(A.242524B.——25egD.7254.正六邊形ABCDEF^,用AC和AE表示CD，則CD=(B.一好乒C.-AC+-AE3 3A,—ACH■—AE3 35.“中國剩余定理”乂稱“孫子定理”，1852年英國來華傳教士偉烈亞力將《孫子算經(jīng)》中“物不知數(shù)”D.問題解法傳至歐洲.1874年英國數(shù)學(xué)家馬西森指出此法符合1801年由高斯得出的關(guān)于同余式解法的一般性定理，因而西方稱之為“中國剩余定理”，“中國剩余定理”講的是一個(gè)關(guān)于同余的問題.現(xiàn)有這樣一個(gè)問題：將正整數(shù)中能被3除余1且被2除余1的數(shù)按由小到大的順序排成一列，構(gòu)成數(shù)列{%},則印)=A.55 B.49 C.43 D.37設(shè)拋物線y2=6x的焦點(diǎn)為F,準(zhǔn)線為Z,F是拋物線上位于第一象限內(nèi)的一點(diǎn)，過P作/的垂線，垂足為Q，若直線涉的傾斜角為120。，則|PF|=()A.3 B.6 C.9 D.12

閱讀下段文字：“巳知J5*為無理數(shù)，若（也*為有理數(shù)，則存在無理數(shù)〃=b=@使得為有理數(shù)；若（也）皿為無理數(shù)，則取無理數(shù)a=（皿聲,b=JI，此時(shí)"=（危聲）”=戒聲岌=統(tǒng)）2=2為有理數(shù)."依據(jù)這段文字可以證明的結(jié)論是（）A.（72）^是有理數(shù) B.（出'產(chǎn)是無理數(shù)C.存在無理數(shù)s。，使得〃”為有理數(shù) D.對(duì)任意無理數(shù)sb,都有々”為無理數(shù)已知直線y=kx+t與函數(shù)y=Asin（必+p）（A>0,刃>0）的圖象恰有兩個(gè)切點(diǎn)，設(shè)滿足條件的k所有可能取值中最大的兩個(gè)值分別為&和*2,且k\>k2，則（）k.7A，k.7A，5Mb?Lc5k23k.7D檢二、選擇題：本題共4小題,每小題5分，共20分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題二、選擇題：本題共4小題,每小題5分，共20分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.目要求.全部選對(duì)的得5分,部分選對(duì)的得2分，有選錯(cuò)的得（）分.9.某市2022年經(jīng)過招商引資后,9.某市2022年經(jīng)過招商引資后,入的變化情況，統(tǒng)計(jì)了該市招商引資前后的年經(jīng)濟(jì)收入構(gòu)成比例，得到如下扇形圖:轉(zhuǎn)移凈收入財(cái)產(chǎn)凈收入>"<工資凈收入3%經(jīng)營凈收入4%5%財(cái)產(chǎn)凈收入|28%轉(zhuǎn)移凈收入招商引資后經(jīng)濟(jì)收入構(gòu)成比例工資37%'凈收入經(jīng)營凈收入招商引瓷前經(jīng)濟(jì)收入構(gòu)成比例則下列結(jié)論中正確的是（A.招商引資后,工資性收入較前一年增加B.招商引資后,轉(zhuǎn)移凈收入財(cái)產(chǎn)凈收入>"<工資凈收入3%經(jīng)營凈收入4%5%財(cái)產(chǎn)凈收入|28%轉(zhuǎn)移凈收入招商引資后經(jīng)濟(jì)收入構(gòu)成比例工資37%'凈收入經(jīng)營凈收入招商引瓷前經(jīng)濟(jì)收入構(gòu)成比例則下列結(jié)論中正確的是（A.招商引資后,工資性收入較前一年增加B.招商引資后,轉(zhuǎn)移凈收入是前一年的1.25倍C.招商引資后,轉(zhuǎn)移凈收入與財(cái)產(chǎn)凈收入的總和超過了該年經(jīng)濟(jì)收入的:D.招商引資后,經(jīng)營凈收入較前一年增加了一倍橢圓號(hào)+匕=［（〃>/,>o）的一個(gè)焦點(diǎn)和一個(gè)頂點(diǎn)在圓J+y2_5x—4y+4=0上，則該橢圓的離心a~b~率的可能取值有（1B.-4

函數(shù)y=(^2+l)e'的圖像可能是()OO三棱錐P-ABC中，AB=2ji，BC=l,AB丄BC，直線網(wǎng)與平面ABC所成的角為30。，直線PB與平而ABC所成的角為60。，則下列說法中正確的有(A.三棱錐p_*際的最小值釁B.三棱錐p_*時(shí)的最大值為乎C.直線PC與平面A.三棱錐p_*際的最小值釁B.三棱錐p_*時(shí)的最大值為乎C.直線PC與平面ABC所成的角取到最小值時(shí),二面角P-BC—A的平面角為銳角D.直線PC與平面A8C所成的角取到最小值時(shí),二面角P-AB-C的平面角為鈍角三、填空題：本題共4小題，每小題5分,共20分.(x-l)(2x+l)6的展開式中含J項(xiàng)的系數(shù)為 .半正多面體亦稱“阿基米德體”，是以邊數(shù)不全相同的正多邊形為面的多面體.如圖，將正方體沿交于一頂點(diǎn)的三條棱的中點(diǎn)截去一個(gè)三棱錐，如此共可截去八個(gè)三棱錐，得到一個(gè)有十四個(gè)面的半正多面體,它的各棱長都相等，其中八個(gè)面為正三角形，六個(gè)面為正方形，稱這樣的半正多面體為二十四等邊體.直線4：y=2x和％：y=kx+\與x軸圍成的三角形是等腰三角形，寫出滿足條件的k的兩個(gè)可能取值： 和 .在同一平面直角坐標(biāo)系中，P.Q分別是函數(shù)/(x)=6Lvel-ln(or)和g")=丑些丄圖象上的動(dòng)點(diǎn)，X若對(duì)任意。>0,有\(zhòng)P^>m恒成立，則實(shí)數(shù)，”的最大值為 .四、解答題：本題共6小題，共70分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.記數(shù)列｛%｝的前〃項(xiàng)和為S“，對(duì)任意〃丘N"，有&=〃（％+〃一1）.（1）證明：｛《,｝是等差數(shù)列;（2）若當(dāng)且僅當(dāng)〃=7時(shí)，S〃取得最大值，求q的取值范圍.設(shè)的內(nèi)角A,B,C所對(duì)的邊分別為a,b，C,且有2sin（B+芝）=學(xué)（I）求角A；⑵若BC邊上的高小圭，求cosBcosC.如圖，在邊長為4正三角形A8C中，E,F分別為邊AB,AC的中點(diǎn).將沿EF翻折至^EF,得到四棱錐A-EFCB,p為A、C的中點(diǎn).（1） 證明：FP〃平面&BE；（2） 若平面AEF丄平面EFC&求直線A/與平面8FP所成的角的正弦值.中學(xué)階段，數(shù)學(xué)中的“對(duì)稱性”不僅體現(xiàn)在平面幾何、立體幾何、解析幾何和函數(shù)圖象中，還體現(xiàn)在概率問題中.例如，甲乙兩人進(jìn)行比賽，若甲每場比賽獲勝概率均為!，且每場比賽結(jié)果相互獨(dú)立，則由對(duì)稱性可知，在5場比賽后，甲獲勝次數(shù)不低于3場的概率為!.現(xiàn)甲乙兩人分別進(jìn)行獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)，每人拋擲一枚質(zhì)地均勻的硬幣.（1） 若兩人各拋擲3次，求拋擲結(jié)果中甲正面朝上次數(shù)大于乙正面朝上次數(shù)的概率：（2） 若甲拋擲（〃+1）次，乙拋擲〃次，neN\求拋擲結(jié)果中甲正而朝上次數(shù)大于乙正而朝上次數(shù)概率.過點(diǎn)(4,2)的動(dòng)直線/與雙曲線E:二-當(dāng)=1(〃＞0,。＞0)交于M,N兩點(diǎn)、,當(dāng)/與x軸平行時(shí),a~b~\MN\=4-Ji.當(dāng)/與y軸平行時(shí).I初V|=4j5.求雙曲線E的標(biāo)準(zhǔn)方程；點(diǎn)P是直線y=x+l±一定點(diǎn)，設(shè)直線的斜率分別為佑，處，若W為定值，求點(diǎn)p的坐標(biāo).己知函數(shù)f(x)=x\nx-—,其中k〉0.X證明：y(x)恒有唯一零點(diǎn)；記(1)中的零點(diǎn)為％,當(dāng)0時(shí)，證明：/'(*)圖像上存在關(guān)于點(diǎn)(氣,0)對(duì)稱的兩點(diǎn).D.D.D.D.湖北省武漢市2023屆高三4月模擬訓(xùn)練（武漢4調(diào)）數(shù)學(xué)試題武漢市教育科學(xué)研究院命制2023.4.11本試題卷共5頁，22題，全卷滿分150分.考試用時(shí)120分鐘.★?？荚図樌镒⒁馐马?xiàng)：答題前，先將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)填寫在試卷和答題卡上，并將準(zhǔn)考證號(hào)條形碼粘貼在答題卡上的指定位置.選擇題的作答：每小題選出答案后，用2B鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑.寫在試卷、草稿紙和答題卡上的非答題區(qū)域均無效.非選擇題的作答：用黑色簽字筆直接答在答題卡上對(duì)應(yīng)的答題區(qū)域內(nèi).寫在試卷、草稿紙和答題卡上的非答題區(qū)域均無效.考試結(jié)束后，請(qǐng)將本試卷和答題卡一并上交.一、選擇題：本題共8小題，每小題S分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.己知集合人={訴-a6<0},B={*2x+3>0},則（爪（一2成 B.（弘） C.（一訶【答案】C【解析】【分析】解出集合根據(jù)交集含義即可得到答案.【詳解】由題意得A=（—2,3）,3=：-：,+8）,則=（-故選：C.若復(fù)數(shù)，坨是純虛數(shù)，則實(shí)數(shù)〃=（）2+13A. 2【答案】A【解析】

【分析】利用除法運(yùn)算化簡復(fù)數(shù)，根據(jù)純虛數(shù)的特征，即可判斷.【詳解】"+3i-（〃+3i）（2-i）_2〃+3+（6-〃）i2+i故選：A瓦）3 71、3.己知sina+—=一，則sin3.己知sin3丿5I6丿D.725【答案】D【解析】【分析】根據(jù)角的變換,結(jié)合三角函數(shù)恒等變換，即可求解.詳解】sin(2a+京D.725【答案】D【解析】【分析】根據(jù)角的變換,結(jié)合三角函數(shù)恒等變換，即可求解.詳解】sin(2a+京2丸7t=sinl2a+—|=-cos|2a+—=2sin3a+—-3725故選：D正六邊形故選：D正六邊形ABCDEF中，用AC和AE表示CD，則CD=(2C.--AC+-AE2C.--AC+-AE3D.一件+擴(kuò)【曷B【解析】【分析】根據(jù)正六邊形的性質(zhì)，結(jié)合向量的線性運(yùn)算，即可求解.【詳解】設(shè)邊長為2,如圖，設(shè)AD,EC交于點(diǎn)0,有OD=1,AO=3,則耘成+而*品布傳(花+確故選：B“中國剩余定理”又稱“孫子定理”，1852年英國來華傳教士偉烈亞力將《孫子算經(jīng)》中“物不知數(shù)”問題的解法傳至歐洲.1874年英國數(shù)學(xué)家馬西森指出此法符合1801年由高斯得出的關(guān)于同余式解法的一般

性定理，因而西方稱之為''中國剩余定理”，“中國剩余定理”講的是一個(gè)關(guān)于同余的問題.現(xiàn)有這樣一個(gè)問題：將正整數(shù)中能被3除余1旦被2除余1的數(shù)按由小到大的順序排成一列，構(gòu)成數(shù)列{%},則％=（）A.55 B.49 C.43 D.37【答案】A【解析】【分析】由條件寫出通項(xiàng)公式，即可求解.【詳解】正整數(shù)中既能被3除余1且被2除余1的數(shù)，即被6除余1,那么q=l+（〃-l）x6=6〃-5,有％=55.故選：A設(shè)拋物線y2=6x的焦點(diǎn)為F,準(zhǔn)線為Z,P是拋物線上位于第一象限內(nèi)的一點(diǎn)，過P作/的垂線，垂足為0,若直線涉的傾斜角為120。，則|PF|=（）A3 B.6 C.9 D.12【答案】B【解析】【分析】根據(jù)幾何圖形，結(jié)合拋物線的定義的性質(zhì)，即可判斷.【詳解】依題意厶QFH=%,|HF|=3,|07|=3小，|涉|=6,又\PF\=\QF\, =；，則△PQP為等邊三角形，有|PF|=6,閱讀下段文字：“己知j反為無理數(shù)，若（、/云）忠為有理數(shù)，則存在無理數(shù)q=h=-J1，使得為有理數(shù)；若（近產(chǎn)為無理數(shù)，則取無理數(shù)〃=（。萬產(chǎn)，b=^2，此時(shí)扌=（（很）吋=（很舟=（店=2為有理數(shù).”依據(jù)這段文字可以證明的結(jié)論是（）A.q”是有理數(shù) B.（也）點(diǎn)是無理數(shù)c.存在無理數(shù)。，。，使得6?為有理數(shù)D.對(duì)任意無理數(shù)sb,都有/，為無理數(shù)【答案】C【解析】【分析】根據(jù)給定的條件.提取文字信息即可判斷作答?【詳解】這段文字中，沒有證明（也*是有理數(shù)條件，也沒有證明是無理數(shù)的條件，AB錯(cuò)誤：這段文字的兩句話中，都說明了結(jié)論“存在無理數(shù)s。，使得6?為有理數(shù)”，因此這段文字可以證明此結(jié)論，C正確；這段文字中只提及存在無理數(shù)。，b,不涉及對(duì)任意無理數(shù)。，代都成立的問題，D錯(cuò)誤.故選：C8.己知直線y=kx+t與函數(shù)y=Asin（g+p）（A>0,刃>0）的圖象恰有兩個(gè)切點(diǎn)，設(shè)滿足條件的上所有可能取值中最大的兩個(gè)值分別為&和*2,且3燈，則（）k.7k.77k.5°5<^<3k.7°公<；【答案】B【解析】【分析】根據(jù)結(jié)論恒成立可只考慮y=sinx的情況，假設(shè)切點(diǎn)坐標(biāo)，則只需考慮石+工=2冗，易+乂=4兀,n k. sinx2冗_(dá)羽其中--<x2<x.<0的情況'可將￡表示為蔵.*;構(gòu)造函數(shù)/(x)=tanx-x+n--<x<0|,A(x)=^-/(x)=tanx-x+n--<x<0|,A(x)=^-2丿 Tt-xit 兀)~2<X<~3)利用導(dǎo)數(shù)可求得/（x）,/?（x）的單調(diào)k,性，從而對(duì)vJ■進(jìn)行放縮即可求得所求范圍.k.【詳解】對(duì)于任意A>0，刃>0，9wR,廠的范圍恒定,k2..?只需考慮y=sinx的情況，設(shè)4對(duì)應(yīng)的切點(diǎn)為（石,si"］）,（X，sinx；）,,設(shè)*2對(duì)應(yīng)的切點(diǎn)為（/sin也），（乂,sin名），x2<x'2,(sinx)'=cosx，.??*]=cos為=cos],=cosx2=cosx^,「?只需考慮Xj+X=2k,x2+x^=4ti,其中一<Xj<<0的情況,2sinX]2兀-2xx（2?！也sinx；-sin^sin(2;t-xl2sinX]2兀-2xx（2?！也而一而

(4n-x2)-x2sin(4n-x2)-x2sin叫4兀一2工2_sinX|2n-x2k2sinx22it-2^sinxjn-x{2sinx. 2sinx?又 =cosx., 」=cosx.,27t-2X] 47T-2%! -714^/(x)=tanx-x+n <x<0,則廣⑴=上一'=祟蕓fnf。,\/(x)在H)=tan+』=±^>o,3 371 7t_? ?? _.-—<x2<x} ?Xsinx2<sinx!<0.cSinM,??0<―<1,

714^/(x)=tanx-x+n <x<0,則廣⑴=上一'=祟蕓fnf。,\/(x)在H)=tan+』=±^>o,3 371 7t_? ?? _.-—<x2<x} ?Xsinx2<sinx!<0.cSinM,??0<―<1,

sinx2.k、_sinXj2tz-x2^2n-x2<2丸+tk2sinx2n-xln-x}n71+—3令h(x)=^-Tl-Xn n一—<x<一—2 3,,,、(7r-x)cosx+sinx,則S(F令r(x)=(7t-x)cosx+sinxI2 3,則r(x)=-(7r-x)sinx>。，.?"(X)在上單調(diào)遞增，^=_2ECOS3丿3--+sin--即心＜0,.?./?(*)在上單調(diào)遞減，「?目"〈渋；sinx,sinx.it-x2k、_sinXj2k-jv2>兀一為2n-x2_2k-x2it n_5k2sinx27t-j]it-x2tc-x,n-x2 n-x2 丑3:~2綜上所述:<2故選：B.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題考査導(dǎo)數(shù)與三角函數(shù)綜合應(yīng)用問題，解題關(guān)鍵是能夠采用特殊值的方式，考慮不含變量的函數(shù)），=sinx的情況,二、選擇題；本題共不含變量的函數(shù)），=sinx的情況,二、選擇題；本題共4小題,目要求.全部選對(duì)的得5分,部分選對(duì)的得2分，有選錯(cuò)的得。分.釆用構(gòu)造函數(shù)的方式對(duì)所求式子進(jìn)行放縮，從而求得公的范圍.每小題5分，共20分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題9.某市2022年經(jīng)過招商引資后,9.某市2022年經(jīng)過招商引資后,入的變化情況，統(tǒng)計(jì)了該市招商引資前后的年經(jīng)濟(jì)收入構(gòu)成比例，得到如下扇形圖:轉(zhuǎn)移凈收入財(cái)產(chǎn)凈收入工資凈收入3%經(jīng)營凈收入4%5%財(cái)產(chǎn)凈收入|28%轉(zhuǎn)移凈收入招商引資后經(jīng)濟(jì)收入構(gòu)成比例工資37%'凈收入經(jīng)營凈收入招商引瓷前經(jīng)濟(jì)收入構(gòu)成比例則下列結(jié)論中正確的是（招商引資后,工資性收入較前一年增加B.招商引資后,轉(zhuǎn)移凈收入是前一年的轉(zhuǎn)移凈收入財(cái)產(chǎn)凈收入工資凈收入3%經(jīng)營凈收入4%5%財(cái)產(chǎn)凈收入|28%轉(zhuǎn)移凈收入招商引資后經(jīng)濟(jì)收入構(gòu)成比例工資37%'凈收入經(jīng)營凈收入招商引瓷前經(jīng)濟(jì)收入構(gòu)成比例則下列結(jié)論中正確的是（招商引資后,工資性收入較前一年增加B.招商引資后,轉(zhuǎn)移凈收入是前一年的1.25倍C.招商引資后,轉(zhuǎn)移凈收入與財(cái)產(chǎn)凈收入的總和超過了該年經(jīng)濟(jì)收入的;D.招商引資后,經(jīng)營凈收入較前一年增加了一倍【答案】AD【分析】根據(jù)己知條件及扇形圖特點(diǎn)即可求解.【詳解】設(shè)招商引資前經(jīng)濟(jì)收入為而招商引資后經(jīng)濟(jì)收入為2M，則對(duì)于A,招商引資前工資性收入為Mx60%=0.6M，而招商引資后的工資性收入為2Mx37%=0.74M，所以工資性收入增加了，故A正確;對(duì)于B,招商引資前轉(zhuǎn)移凈收入為Mx4%=0.04M，招商引資后轉(zhuǎn)移凈收入為2Mx5%=0.1M,所以招商引資后，轉(zhuǎn)移凈收入是前一年的2.5倍，故B錯(cuò)誤;對(duì)于C,招商引資后，轉(zhuǎn)移凈收入與財(cái)產(chǎn)凈收入的總和為0.1M+0.56M=0.66M<fx2M=0.8M,所以招商引資后，轉(zhuǎn)移凈收入與財(cái)產(chǎn)凈收入的總和低于該年經(jīng)濟(jì)收入的:，故C錯(cuò)誤；對(duì)于D,招商引資前經(jīng)營凈收入為必x3O%=O.3M,招商引資后轉(zhuǎn)移凈收入為2Mx30%=0,6M.所以招商引資后，經(jīng)營凈收入較前一年增加了一倍，故D正確.故選：AD.10.橢圓與+&■=［（〃>/,>0）的一個(gè)焦點(diǎn)和一個(gè)頂點(diǎn)在圓j+y2_5x_4y+4=0上,則該橢圓的離心arb~

率的可能取值有（1B.-1B.-4C.D.乎【答案】BCD【解析】【分析】首先求圓與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)坐標(biāo)，再分情況，求橢圓的離心率的取值.【詳解】^x-|j+（），_2）2=專，圓與尤軸的交點(diǎn)坐標(biāo)為（1,0）或（4,0）,與'軸的交點(diǎn)為（0,2）,而橢圓二+綽=13>2>0）的焦點(diǎn)在工軸，ab當(dāng)焦點(diǎn)是（1,0）,右頂點(diǎn)（4,0）,此時(shí)々=4,c=l,離心率e=i，當(dāng)焦點(diǎn)是（1,0）,上頂點(diǎn)（0,2）,此時(shí)b=2,c=l,那么a=y/5,離心率e=§當(dāng)焦點(diǎn)是（4,0）,上頂點(diǎn)（0,2）,此時(shí)b=2,c=4,那么。=2由，離心率°=孕【解析】【分析】分類討論函數(shù)的單調(diào)性及極值點(diǎn)判斷各個(gè)選項(xiàng)即可.【詳解】/■（對(duì)=（W+l）e，,當(dāng)上=0時(shí)，f（x）=e\K選項(xiàng)正確：/'0）=（奴2+2奴+1）藝，A=4jt2-4）t<0=>0<jt<b廣3）=（々2+2丘+1）W20,/（x）=（jtr2+l）evA>1時(shí)，r（x）=（M+2奴+l）e*=0有兩個(gè)根工|,毛，且石工2=?，工1+沔=一2時(shí)KX.<0,^<0,根據(jù)極值點(diǎn)判斷，故C選項(xiàng)正確,D選項(xiàng)錯(cuò)誤：當(dāng)A<0時(shí)，f\x）=（々2+2厶+l）e"=。有兩個(gè)根X]<工2，且X,x2= +尤2=-2,此時(shí)KX）<O,x2>0,故B選項(xiàng)正確.故選：ABC.三棱錐P-ABC中，AB=2&BC=1,AB丄BC,直線網(wǎng)與平面人8C所成的角為30。，直線PB與平面ABC所成的角為60。，則下列說法中正確的有（）三棱錐P-ABC體積的最小值為巫3三核錐P-ABC體積的最大值為匝2直線PC與平面A8C所成的角取到最小值時(shí)，二面角P-BC-A的平面角為銳角直線PC與平面ABC所成的角取到最小值時(shí)，二面角丄AB-C的平面角為鈍角【答案】ACD【解析】【分析】作PH丄平面ABC,由題意得到\AH\=3\BH\,建立直角坐標(biāo)系，設(shè)H（x,y）,,求得點(diǎn)〃的軌跡方程為（x-把）2+y2=9“+J為+寸，結(jié)合圓的性質(zhì)求得PHe]當(dāng),把，利用體積公式，可判\(zhòng)BHf定A正確，B錯(cuò)誤；再化簡得到~結(jié)合點(diǎn)與圓的位置關(guān)系，得到H在厶業(yè)。外部，可判定C、D正㈣2確.【詳解】如圖（1）所示，作0/丄平面ABC,連接AH,BH,CH,因?yàn)橹本€B4與平面ABC所成的角為30°，直線PB與平而ABC所成的角為60。，所以叫=^3■㈣=捋’即網(wǎng)伽=平冏1\AH\所以詰tan60°tan30°以AB所在的直線為、軸，以A8的垂直平分線為N軸，建立如圖（2）平而直角坐標(biāo)系,設(shè)H（x,y）,A（V2,0）,B（-V2,0）, 則（a71）2+y2=9[（x+>/2）2+y2],整理得F+y2+號(hào)X+2=o,可得圓心。［一手，°J，半徑r設(shè)點(diǎn)圓H與x軸的交點(diǎn)分別為M,N,可得|BM|=r—|BQ|=#s|8N|=r+|8Q|=ja，因?yàn)閨珈|《|8可《|的|,所以g,也則知=抻*￥V小=\當(dāng)屁斗,所以A1E確，B錯(cuò)誤; 因?yàn)?+嘩）2+^2=；,可設(shè)工=一咎+手cosay=^sin。，\PH\設(shè)PC與平面ABC所成角為a,且tana=上廿，\CH\PH_PH_~CH~\CH\且宀寸+孚工+2=0, ? ?+?+2>/2x+2_-（孚+2）+2扁2又由|BH『_ （1+心）2+），2 M_（、+妗+（1）2-宀聲2直-2），+3-_（字.+2）+2面*3 - -豆廠2），+1屈+4），-2屈蛙2 x >/2+4x—2X令厶y~2,根據(jù)斜率的結(jié)合意義，可得y~2表示圓H",y）與定點(diǎn)（0,4）連線的斜率,K 2又由厶—），+：=（）與圓H相切時(shí),可得.,5&1kx(--)+— .4 ?Jl+必4史甌,解得"孕或…孚即一芻n半當(dāng)&=孕時(shí)，此時(shí)嚴(yán)T取得最小值，即BH~CH最小時(shí)，此時(shí)H在MBC外部,如圖（3）所示，此時(shí)二面角P-BC-A的平面角為銳角，P-AB-C的平面角為鈍角，所以C、D正確.故選：ACD.三、填空題：本題共4小題，每小題S分，共20分.（x-l）（2x+l）6的展開式中含j項(xiàng)的系數(shù)為 .【答案】-48【解析】【分析】利用二項(xiàng)式定理即可求解.【詳解】（2x+1）6的通項(xiàng)公式為S=C；x（2x）6-fxlr=26-rxC：xx6'r,所以（x-l）（2x+l）6的展開式中含亍項(xiàng)為-C^?（2x）2+Cj（2x）?x=（12-6（））x2=-48x2,所以（x-l）（2x+l）6展開式中含項(xiàng)的系數(shù)為-48.故答案為：-48.半正多面體亦稱“阿基米徳體”，是以邊數(shù)不全相同的正多邊形為面的多面體.如圖，將正方體沿交于一頂點(diǎn)的三條棱的中點(diǎn)截去一個(gè)三棱錐，如此共可截去八個(gè)三棱錐，得到一個(gè)有十四個(gè)面的半正多面體,它的各棱長都相等，其中八個(gè)而為正三角形，六個(gè)而為正方形，稱這樣的半正多面體為二十四等邊體.則得到的二十四等邊體與原正方體的體積之比為 【答案】76【解析】【分析】利用棱柱及棱錐的體積公式即可求解.【詳解】設(shè)棱長為2,則所以原正方體的體積為V=23=8.所以二十四等邊體為V'=23—8x4x」xlxlxl=^,32 3V'205所以二十四等邊體與原正方體的體積之比為-=—=故答案為：（）直線4：y=2x和小y=kx+\與］軸圍成的三角形是等腰三角形，寫出滿足條件的*的兩個(gè)可能取值： 和 .【答案】 ①.-2 ②.姬二（答案不唯一）2【解析】【分析】根據(jù)給定條件，按等腰三角形底邊所在直線分類，結(jié)合斜率的意義及二倍角的正切求解作答.【詳解】令直線的傾斜角分別為a,0,則tana=2,tanQ=A,當(dāng)圍成的等腰三角形底邊在a?軸上時(shí)，0=7i-a./:=tan（7i-a）=-tan?=-2； 當(dāng)圍成的等腰三角形底邊在直統(tǒng)上時(shí)，。=2們。喝），即°=即2。=崙=苫=2,整理得d=o,而a>o,解得k=^丄2當(dāng)圍成的等腰三角形底邊在直線4上時(shí)，3=2。，A:=tan6/=tan2a=-2tanf=^-=--,1-tan-a1-22 3所以A的兩個(gè)可能取值-2,與故答案為：-2；在土2在同一平面直角坐標(biāo)系中,P,Q分別是函數(shù)/(x)=areA-ln(ezx)和g(x)=2'心」1)圖象上的動(dòng)點(diǎn)，X若對(duì)任意〃〉0,有|P0Z〃Z恒成立，則實(shí)數(shù)m的最大值為 .【答案】甌2【解析】【分析】利用同構(gòu)思想構(gòu)造w(x)=ev-x,得到其單調(diào)性，得到are'-ln(ar)-x>l,再構(gòu)造j(x)=x—'In：-1),工>],求導(dǎo)得到其單調(diào)性及其最小值，設(shè)設(shè)P(〃,奶e”-In(兩),Q嚴(yán)尸))利用基本不等式得到|PQ|2孕，求出答案.【詳解】axe"-ln(ar)-x=eA+lnrt,-(x+Inar),令w(x)=eA-x,xeR-則n/(x)=ex-l當(dāng)xg(0,48)時(shí)，討(x)>0,w(x)=ex-x單調(diào)遞增，當(dāng)xe(-oo,0)時(shí)，m/(x)<0,w(x)=er-x單調(diào)遞減，故w(x)=ex-x在x=0處取得極小值，也是最小值，故?v(x)>eo-O=l,故6uer-lnaa)-x=ex+lna'-(x+Inor)>l,當(dāng)且僅當(dāng)x+\nax=0時(shí)，等號(hào)成立，/、 21n(x-l)TOC\o"1-5"\h\z令j(x)=x ,工>1,or or則/(x)=l_rg'T)x—+21nd)令k(x)=x2-—+2ln(x-1),x-1、-2x—2—2x2 - 2 2 ? 、則k(x)=2x一一;―+袞二=2'+伝7孑+宿>0在(1,用)上恒成立,

c故k（x）=x2一一+2ln（x-l）在（1,七時(shí)上單調(diào)遞增,X—1又jt(2)=0.故當(dāng)工€(1,2)時(shí).燈x)vO.當(dāng)x€(2,*o)時(shí).燈x)>0.故xe（l,2）時(shí)，7（x）<0,丿⑴單調(diào)遞減，當(dāng)x€（2,mo）時(shí)，/（x）>0,丿⑴單調(diào)遞增,故j（x）=x-21n（X~1）在x=2處取得極小值，也時(shí)最小值，最小值為丿（2）=2,設(shè)P(〃,做e”—ln(tm)),Q^嚴(yán)“D由基本不等式得，|尸。「=（—〃）2+（一In（顔））_2In?T））21n(/-l)n.Yt +ane-inan-n .入f 丿、(2+1)2=9,__-2-~2當(dāng)且僅當(dāng)，一〃=（“〃e"-ln（o〃））一 ~,1=2,〃+ln”〃=0時(shí)，等號(hào)成立,故|PQ|2孕，則=孕故答案為：半【點(diǎn)睛】導(dǎo)函數(shù)求解取值范圍時(shí)，當(dāng)函數(shù)中同時(shí)出現(xiàn)e'與Inx,通常使用同構(gòu)來進(jìn)行求解，本題axex-ln(ax)-x變形得到ext,nflr-(x+lnax),從而構(gòu)造w(x)=ex-x進(jìn)行求解.四、解答題：本題共6小題，共70分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.記數(shù)列｛%｝的前〃項(xiàng)和為S“,對(duì)任意n€N\有§,=〃（％+〃一1）.（1）證明：｛%｝是等差數(shù)列;（2）若當(dāng)且僅當(dāng)n=l時(shí)，乩取得最大值，求％的取值范圍.【答案】（1）證明見解析(2)(12,14)【解析】【分析】（1）利用數(shù)列^=5n-sn_,（/7>2,/igN4）,結(jié)合等差數(shù)列的定義，即可證明;（2）由條件轉(zhuǎn)化為,再轉(zhuǎn)化為關(guān)于首項(xiàng)的不等式，即可求解.（2）由條件轉(zhuǎn)化為,再轉(zhuǎn)化為關(guān)于首項(xiàng)的不等式，即可求解.>‘8【小問1詳解】因?yàn)閟“=昭+〃（〃一1）①,則5?_!=（?-!）%_1+（〃T）（〃一2）②①一②可得％=nan一（〃一1）知］+2〃一2o（1-n）an=一（〃一 +2（〃一1）=%_知=-2,故｛%｝為等差數(shù)列.【小問2詳解】若當(dāng)且僅當(dāng)〃=7時(shí)，S.取得最大值,則有，得。7>0%<0則有，得。7>0%<0%-12>0%—14<0故％的取值范圍為（12,14）.設(shè)的內(nèi)角A,B,C所對(duì)的邊分別為a,b,C,且有2sin（B+￡|=?（1）求角故％的取值范圍為（12,14）.設(shè)的內(nèi)角A,B,C所對(duì)的邊分別為a,b,C,且有2sin（B+￡|=?（1）求角A；⑵若此邊上的"知，求BcosC.【答案】（1）A=：（2）cos5cosC=——8【解析】【分析】（1）利用三角形內(nèi)角和、正弦定理和三角恒等變換化簡可得.（2）利用三角形面積公式和正弦定理可得.【小問1詳解】⑴由題意得：2血.負(fù)=血爲(wèi)誠,則sin8+cos8）sinA=sin8+sinAcosB+sinBcosA,有g(shù)sinA=l+cosA,即2sin= 因?yàn)閱ⅲ?,冗）所以A=；.【小問2詳解】（2）由S.BC=撲=!國nA,則所以疽=2施,有sin有sin2A=2sinBsinC，則sinBsinC=-,8又cosA=-cos（B+C）=sin^sinC-cosBcosC=—,則cosBcosC=--2 8如圖，在邊長為4的正三角形A8C中，E,F分別為邊AB,AC的中點(diǎn).將歐沿EF翻折至^EF,得到四棱錐A-EFCB,P為AC的中點(diǎn).（1） 證明：FP〃平面ABE：（2） 若平面AEF丄平面身'CB,求直線AF與平面8FP所成的角的正弦值.【答案】（1）證明見解析⑵芽7【解析】【分析】（1）取AB的中點(diǎn)Q,可得四邊形EFPO為平行四邊形，則砰〃EQ,由直線與平面平行的判定定理證明即可；（2）取EF中點(diǎn)0,BC中點(diǎn)G,可得4。丄平面EFCB,O\OE,OG兩兩垂直，以。為原點(diǎn)，0E,0G,0A所在直線分別為x軸、y軸、z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，求出4戶與平面8FP的法向量〃的坐標(biāo)，利用向量夾角公式求解.【小問1詳解】取弓8的中點(diǎn)。，連接則有PQ//BC,且PQ=-BC,又EF〃BC,且EF=-BC,2 2敝PQ〃EF,且PQ=EF,則四邊形EFPQ為平行四邊形，則砰〃召Q(mào),又FP<T平面A.BE,印u平面ABE,故FP〃平面A.BE.取EF中點(diǎn)。，BC中點(diǎn)G,由平面4以丄平面EFC8,且交線為EF,故凡。丄平面EFCB,此時(shí),

O\,OE,OG兩兩垂直，以。為原點(diǎn)，OE,OG,O\所在直線分別為x軸、），軸、z軸，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則可得A（0,0,V3）.F（—1,0,0）,B（2,5/3,0）,C（-2,V3,0）,由P為&c中點(diǎn)，故-1,-^,^^則4戸=（一1,0,-右），F(xiàn)B=（3,73,0）,FP=設(shè)平面BFP的法向量〃=（x,y,z）,n-FP=0n-FB=03x+\[3y=073占nTy+Tz=0n-FP=0n-FB=03x+\[3y=0故所求角的正弦值為岡=尚=探=華,所以直線A.F與平面8FP所成的角的正弦值為手.中學(xué)階段，數(shù)學(xué)中的“對(duì)稱性”不僅體現(xiàn)在平面幾何、立體幾何、解析幾何和函數(shù)圖象中，還體現(xiàn)在概率問題中.例如，甲乙兩人進(jìn)行比賽，若甲每場比賽獲勝概率均為!，且每場比賽結(jié)果相互獨(dú)立，則由對(duì)稱性可知，在5場比賽后，甲獲勝次數(shù)不低于3場的概率為!.現(xiàn)甲乙兩人分別進(jìn)行獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)，每人拋擲一枚質(zhì)地均勻的硬幣.（1）若兩人各拋擲3次，求拋擲結(jié)果中甲正面朝上次數(shù)大于乙正面朝上次數(shù)的概率：（2）若甲拋擲（n+1）次，乙拋擲〃次，求拋擲結(jié)果中甲正面朝上次數(shù)大于乙正面朝上次數(shù)的概率.【答案】（1）苓【解析】【分析】（1）設(shè)甲正面朝上次數(shù)等于乙正面朝上次數(shù)的概率P”根據(jù)對(duì)稱性可知?jiǎng)t甲正面朝上次數(shù)大于乙正面朝上次數(shù)的概率和甲正面朝上次數(shù)小于乙正面朝上次數(shù)的概率相等可得答案；<2）分①出現(xiàn)甲正面朝上次數(shù)等于乙正面朝上次數(shù)；②出現(xiàn)甲正面朝上次數(shù)小于乙正面朝上次數(shù)；③出現(xiàn)甲正面朝上次數(shù)大于乙正面朝上次數(shù)，由對(duì)稱性可得答案.【小問I詳解】設(shè)甲正面朝上次數(shù)等于乙正面朝上次數(shù)的概率Pi，

c，c?+c；C+c；.c；+c；.c；_5P'~ 2^ 一&由對(duì)稱性可知?jiǎng)t甲正面朝上次數(shù)大于乙正面朝上次數(shù)的概率和甲正面朝上次數(shù)小于乙正面朝上次數(shù)的概1-p11率相等，故p=—L=2 32【小問2詳解】可以先考慮甲乙各拋賽n次的情形，如果出現(xiàn)甲正面朝上次數(shù)等于乙正面朝上次數(shù)，將該情形概率設(shè)為Pi，則第〃+1次甲必須再拋擲出證明朝上，才能使得最終甲正面朝上次數(shù)大于乙正面朝上次數(shù)；如果出現(xiàn)甲正面朝上次數(shù)小于乙正面朝上次數(shù)，則第〃+1次無論結(jié)果如何，甲正面朝上次數(shù)仍然不大于乙正而朝上次數(shù)，將該情形概率設(shè)為。2：如果出現(xiàn)甲正面朝上次數(shù)大于乙正面朝上次數(shù)，則第〃+1次無論結(jié)果如何，甲正面朝上次數(shù)仍然大于乙正面朝上次數(shù)，將該情形概率設(shè)為P3，由對(duì)稱性可知P2=P3,故P故Pn=~P\+P3'而由P/P3P|+P2+P3=l可得日5=*=%號(hào)|MN|=4《，當(dāng)/與y軸平行時(shí),（I）求雙曲線f的標(biāo)準(zhǔn)方程：過點(diǎn)（4,2）的動(dòng)直線，與雙曲線￡：號(hào)一#=1（〃＞0,人＞0）交于M,N|MN|=4《，當(dāng)/與y軸平行時(shí),（I）求雙曲線f的標(biāo)準(zhǔn)方程：（2）點(diǎn)戶是直線y=x+l上一定點(diǎn)，設(shè)直線的斜率分別為4,《，若4*2為定值，求點(diǎn)P的坐標(biāo).【答案】⑴H（2）P（3,4）【解析】【分析】（1）根據(jù)/與坐標(biāo)軸平行的情況可得雙曲線上的點(diǎn)的坐標(biāo)，代入雙曲線方程即可求得結(jié)果;（2）方法一：由三點(diǎn)共線可整理得到二I；：：*%代入雙曲線方程可整理得到扌=2f+蕓（2）方法一：由三點(diǎn)共線可整理得到""瓦力E,根據(jù)格為常力""瓦力E,根據(jù)格為常2-亨)+毛統(tǒng)-3)+4-2與結(jié)合兩點(diǎn)連線斜率公式可化簡得到2-亨)+毛統(tǒng)-3)+4-2與＞2

數(shù)可構(gòu)造方程求得易，進(jìn)而得到尸點(diǎn)坐標(biāo)，驗(yàn)證可知符合題意:方法二：設(shè)材N：n=&（x—4）+2（AhO）,與雙曲線方程聯(lián)立可得一元二次方程，根據(jù)該方程的根可化簡得到始一仏（Xo—4）+2]2—4=（1"2）（XoF）（Xo—X2） ，同理可得3。-2+仙）2-好就_4妃=（1“2）（允_凹）3。_力），由此可化簡得到由k由k也為常數(shù)可構(gòu)造方程求得P點(diǎn)坐標(biāo)，驗(yàn)證可知當(dāng)(一蚌+8毛一16)爐+(-4工0+16)4+蚌_8直線MN斜率為0和斜率不存在時(shí)依然滿足題意，由此可得結(jié)論.【小問I詳解】由題意可知:雙曲線E:若一分=1（。＞0,人＞0）過點(diǎn)（±2*2）,（4,±2囘,將其代入方程可得：＜1612.解得:a將其代入方程可得：＜1612.解得:a2=4屏=4雙曲線E的標(biāo)準(zhǔn)方程為：—-^-=1.44【小問2詳解】方法一：設(shè)M（西,叫）,'3，力），?點(diǎn)（4,2）與M,N三點(diǎn)共線，?.?號(hào)=壬xx—4=2(xj—4)

乂-2=彳力-2)(其中2gR.膈0),Jr〕+4(1-2)yI=2yxx—4=2(xj—4)

乂-2=彳力-2)(其中2gR.膈0),Jr〕+4(1-2)yI=2y2+2(l-A).?.[2^+4(1-/1)]2-[/1^+2(1-/1)]2=4,又工；一父=4,整理可得：（人一1）（2炕一；1力+4人一2）=0,當(dāng)4=1時(shí)，吒=工2，Ji=y2?不合題意;當(dāng)4=1時(shí)，由21x2-2y2+42-2=0W：扌=27+設(shè)戶（才。，*0），則為=沔+1，其一（吒+1），2一（工。+1）2力_2易+2—（2—易+亨）（吒+1）力一（"1）（4一3易+2力）一（2-七+學(xué)* 易F力卜""I）*?！?+］）虬2—3）+項(xiàng)，。一3）+4_2%沔_吒x一］-2xI__—用T若燈虹為定值，則根據(jù)約分可得：-^―=—11且？_工0一4_2%，解得：工。=3：1-xo七_(dá)~2kk=2易_6—-4當(dāng)用=3時(shí)，P（3,4）,此時(shí)鴨一丄、，_2x,-3■:2y2~.?.當(dāng)P（3,4）時(shí),**2=4為定值.方法二：設(shè)”3必）,"（工2，、2），「戻，％），直線MV：y=燈工一4）+2（宀0）,由'爲(wèi)二冷得：宀［"4間-4=0,?.?X"?為方程仕（工_4）+2了_4=0的兩根，由'/.x2一仏（工一4）+2丁-4=（l-f一內(nèi)）（工一式2）,則蚌-仕代-4）+2了_4=（1_必）（與-為）（％-*2），由y=《(x-4)+2得:y_2a由＜x=-——+4k可得:由＜x2-y2=4同理可得：(y°_2+4幻2_亍彳_4亍=(1_必)(月_乂)()，。_力)，則 kk、=(>-乂)(肉-夕2)= )=(坊-2+44)2-亍就_4妒' '2 (x-x,)(x-x2) (1-^2)(x-x.)(x-x2) x^-[^(x0-4)+2]2-4 (一工+12)必+(8光_16)k+虬_4月+4(-Xq+8x0-16)k2+(-4x0+16)+Xq-8，若k若k也為定值，則必有F+12一蚌+8%T68光一16二云一4肉+4-4易+16 峙一8解得：＜尤0=3>o=4或）‘。%普2吏'3又點(diǎn)P在直線y=x+i上，二點(diǎn)P坐標(biāo)為(3,4)；當(dāng)直線MN斜率為0時(shí)，M,N坐標(biāo)為(±2*2),若F(3,4