理論力學哈密頓理論在物理學中的應用

理論力學哈密頓理論在物理學中的應用第一頁，共三十六頁，編輯于2023年，星期日第二頁，共三十六頁，編輯于2023年，星期日第三頁，共三十六頁，編輯于2023年，星期日第四頁，共三十六頁，編輯于2023年，星期日第五頁，共三十六頁，編輯于2023年，星期日第六頁，共三十六頁，編輯于2023年，星期日§8.2電磁場的拉格朗日方程第七頁，共三十六頁，編輯于2023年，星期日第八頁，共三十六頁，編輯于2023年，星期日第九頁，共三十六頁，編輯于2023年，星期日第十頁，共三十六頁，編輯于2023年，星期日§8.3薛定諤波動力學方程的建立采用經(jīng)典力學的哈密頓理論，加上電子具有波粒二象性的假設，以氫原子為例，建立定態(tài)波動力學方程。氫原子哈密頓函數(shù)為第十一頁，共三十六頁，編輯于2023年，星期日第十二頁，共三十六頁，編輯于2023年，星期日第十三頁，共三十六頁，編輯于2023年，星期日第十四頁，共三十六頁，編輯于2023年，星期日第十五頁，共三十六頁，編輯于2023年，星期日第十六頁，共三十六頁，編輯于2023年，星期日第十七頁，共三十六頁，編輯于2023年，星期日§8.4劉維爾定理相空間中統(tǒng)計系綜的分布密度在運動過程中不變。證明：統(tǒng)計系綜的一個“樣本”：力學體系有N個相同的粒子，每個粒子的坐標和動量為q、p。統(tǒng)計系綜是由與這個力學體系的組成完全相同，但初始條件不同的許多個“樣本”組成。單個粒子相空間(6維空間)：

3個坐標分量q，3個動量分量p。N個粒子構成空間(6維空間).t時刻，每個“樣本”的q、p確定，因此

空間中的每一個點表示一個“樣本”在某一時刻的狀態(tài)，這樣的點稱為“代表點”。因此統(tǒng)計系綜就是空間中的一群代表點。第十八頁，共三十六頁，編輯于2023年，星期日這群代表點在空間中的分布一般是不均勻的，因此可引入代表點密度的概念。這是因為代表點的相軌跡是不會相交的。若相交，則表明相同力學體系在相同初始條件下有不同的運動規(guī)律，這和經(jīng)典力學的基本假設相矛盾。設在d1內(nèi)，代表點的數(shù)目為dN1，則=dN1/d1

就代表點在d1

區(qū)域中的密度。經(jīng)過時間t后，原來在d1中的代表點運動到空間的d2的位置，如圖所示，這兩個體積元代表點的數(shù)目是相同的，即dN1=dN2。pqd1d2第十九頁，共三十六頁，編輯于2023年，星期日劉維爾定理：相空間中統(tǒng)計系綜的分布密度在運動過程中不變，即=dN1/d1=dN2/d2=常數(shù)。因為dN1=dN2，所以要證明上式，只要證明d1=

d2。分兩步證明：1、證明一個粒子的一對正則變量q、p從t到t+dt的變化可看成是一種正則變換。證：只要找到一個適當?shù)哪负瘮?shù)，使變換后的新正則變量Q、P為Q=q+dq，P=p+dp，=1,2,…,N(1)若取第二類正則變換母函數(shù)F2(q,P)=qP(2)則:這是全同正則變換。第二十頁，共三十六頁，編輯于2023年，星期日Q=q+dq，P=p+dp，=1,2,…,N(1)

F2(q,P)=qP(2)比較(1)和(2)式,兩者只相差無窮小量 dq和dp,因此認為要得(1)式，可在(2)式的母函數(shù)中再加上一個無窮小量，即可取

F2(q,P)=qP+G(q,P,t)

(4)為無窮小量，G為任意函數(shù)。忽略二階小量，(4)式近似為：F2(q,P)qP+G(q,p,t)

(5)(5)式正則變換稱為無窮小正則變換。第二十一頁，共三十六頁，編輯于2023年，星期日F2(q,P)qP+G(q,p,t)

(5)令=dt，G(q,p,t)

=H(q,p,t)

，代入(5)式，得F2(q,P)qP+H(q,p,t)dt(6)利用此母函數(shù)即得：上式即為(1)式，即證明了相空間體積從d1變換為d2是一種正則變換.第二十二頁，共三十六頁，編輯于2023年，星期日2、證明相空間體積在正則變換下保持不變，即

P=…dq1…dq3Ndp1…dp3N=…dQ1…dQ3NdP1…dP3N當積分自變量從q、p變到Q、P時，體積元的變換為：…dQ1…dQsdP1…dPs=

…Ddq1…dqsdp1…dps(7)式中D為雅可比行列式：只要證明:D=1第二十三頁，共三十六頁，編輯于2023年，星期日第二十四頁，共三十六頁，編輯于2023年，星期日

在證得了s=1時，D=1，再利用雅可比行列式的一些性質，就可證明當s=3N時也成立。由于運算比較繁瑣，這里從略。

綜合以上所得，劉維定理成立。代表點密度為=(q、p、t)，其運動方程為第二十五頁，共三十六頁，編輯于2023年，星期日§8.5經(jīng)典微擾理論1、微擾論的基本思想：非線性方程中的線性部分是嚴格可解，而非線性部分相對線性部分來說只是一個小的擾動。第二十六頁，共三十六頁，編輯于2023年，星期日第二十七頁，共三十六頁，編輯于2023年，星期日第二十八頁，共三十六頁，編輯于2023年，星期日第二十九頁，共三十六頁，編輯于2023年，星期日第三十頁，共三十六頁，編輯于2023年，星期日第三十一頁，共三十六頁，編輯于202