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文檔簡(jiǎn)介
狀態(tài)估計(jì)卡爾曼濾波第一頁,共六十七頁,編輯于2023年,星期日智能信息處理技術(shù)2狀態(tài)估計(jì)的主要內(nèi)容
應(yīng)用:通過數(shù)學(xué)方法尋求與觀測(cè)數(shù)據(jù)最佳擬合的狀態(tài)向量。1、確定運(yùn)動(dòng)目標(biāo)的當(dāng)前位置與速度;2、確定運(yùn)動(dòng)目標(biāo)的未來位置與速度;3、確定運(yùn)動(dòng)目標(biāo)的固有特征或特征參數(shù)。狀態(tài)估計(jì)主要內(nèi)容:位置與速度估計(jì)位置估計(jì):距離、方位和高度或仰角的估計(jì)速度估計(jì):速度、加速度估計(jì)第二頁,共六十七頁,編輯于2023年,星期日智能信息處理技術(shù)31、α-β濾波2、α-β-γ濾波3、卡爾曼濾波這些方法針對(duì)勻速或勻加速目標(biāo)提出,如目標(biāo)真實(shí)運(yùn)動(dòng)與采用的目標(biāo)模型不致,濾波器發(fā)散。狀態(tài)估計(jì)的主要方法::算法的改進(jìn)及適應(yīng)性狀態(tài)估計(jì)難點(diǎn):機(jī)動(dòng)目標(biāo)的跟蹤1、自適應(yīng)α-β濾波和自適應(yīng)Kalman濾波均改善對(duì)機(jī)動(dòng)目標(biāo)的跟蹤能力。2、擴(kuò)展Kalman濾波應(yīng)用于時(shí)間非線性的動(dòng)態(tài)系統(tǒng)。第三頁,共六十七頁,編輯于2023年,星期日智能信息處理技術(shù)4卡爾曼濾波器卡爾曼濾波器的應(yīng)用:通信、雷達(dá)、導(dǎo)航、自動(dòng)控制等領(lǐng)域航天器的軌道計(jì)算、雷達(dá)目標(biāo)跟蹤、生產(chǎn)過程的自動(dòng)控制等:卡爾曼濾波器的應(yīng)用特點(diǎn)對(duì)機(jī)動(dòng)目標(biāo)跟蹤中具有良好的性能為最佳估計(jì)并能夠進(jìn)行遞歸計(jì)算只需當(dāng)前的一個(gè)測(cè)量值和前一個(gè)采樣周期的預(yù)測(cè)值就能進(jìn)行狀態(tài)估計(jì)卡爾曼濾波器的局限性:卡爾曼濾波器解決運(yùn)動(dòng)目標(biāo)或?qū)嶓w的狀態(tài)估計(jì)問題時(shí),動(dòng)態(tài)方程和測(cè)量方程均為線性。第四頁,共六十七頁,編輯于2023年,星期日智能信息處理技術(shù)5一、數(shù)字濾波器作估值器
1、非遞歸估值器2、遞歸估值器第五頁,共六十七頁,編輯于2023年,星期日智能信息處理技術(shù)61、非遞歸估值器
采樣平均估值器:采用時(shí)域分析方法在摻雜有噪聲的測(cè)量信號(hào)中估計(jì)信號(hào)x。第六頁,共六十七頁,編輯于2023年,星期日智能信息處理技術(shù)7根據(jù)數(shù)字信號(hào)處理技術(shù),所謂非遞歸數(shù)字濾波器是一種只有前饋而沒有反饋的濾波器。
zk=x+nk
式中:x—恒定信號(hào)或稱被估參量
nk—觀測(cè)噪聲采樣假定,E(x)=x0,D(x)=σ2x,E(nk)=0,E(n2k)=σ2n。假定用zk表示觀測(cè)值第七頁,共六十七頁,編輯于2023年,星期日智能信息處理技術(shù)8h1,h2,…,hm是濾波器的脈沖響應(yīng)hj的采樣,或稱濾波器的加權(quán)系數(shù)。濾波器的輸出h1=h2=…=hm=1/m
該式表明,估計(jì)是用m個(gè)采樣值的平均值作為被估參量x的近似值的,故稱其為采樣平均估值器。第八頁,共六十七頁,編輯于2023年,星期日智能信息處理技術(shù)9均方誤差估計(jì)第九頁,共六十七頁,編輯于2023年,星期日①估計(jì)值是用m個(gè)采樣值的平均值作為被估參量x的近似值;智能信息處理技術(shù)10結(jié)論②估值器的均方誤差隨著m的增加而減少;③該估值器是一個(gè)無偏估值器第十頁,共六十七頁,編輯于2023年,星期日智能信息處理技術(shù)112、遞歸估值器一階遞歸估值器:
a為濾波器的加權(quán)系數(shù),a<1。一階遞歸濾波器輸入輸出信號(hào)關(guān)系式中,zk與非遞歸情況相同;a是一個(gè)小于1的濾波器加權(quán)系數(shù),如果它大于或等于1,該濾波器就不穩(wěn)定了。
第十一頁,共六十七頁,編輯于2023年,星期日智能信息處理技術(shù)12k時(shí)刻的輸出:yk=ak-1z1+ak-2z2+…+azk-1+zk
將zk中的信號(hào)和噪聲分開,并代入,有輸出由于│a│<1,故隨著k值的增加,yk趨近于x/(1-a)。這樣,如果以(1-a)yk作為x的估計(jì)值,則第十二頁,共六十七頁,編輯于2023年,星期日智能信息處理技術(shù)13當(dāng)k值較大時(shí),估值的均方誤差而一次取樣的均方誤差故這一結(jié)果的均方誤差約為一次采樣的(1-a)/(1+a)倍。第十三頁,共六十七頁,編輯于2023年,星期日智能信息處理技術(shù)14二、線性均方估計(jì)1、最優(yōu)非遞歸估計(jì)2、遞歸估計(jì)第十四頁,共六十七頁,編輯于2023年,星期日智能信息處理技術(shù)15
1.最優(yōu)非遞歸估計(jì)
非遞歸濾波器的估計(jì)值及其估計(jì)誤差可分別表示為m個(gè)參數(shù)逐一求導(dǎo),令等于零均值為零的白噪聲b=σ2n/σ2x在b<<m時(shí)最優(yōu)非遞歸估計(jì)近似于采樣平均在噪聲方差σ2n較大時(shí)性能明顯優(yōu)于非最佳情況這種最小均方誤差準(zhǔn)則下的線性濾波,通常稱作標(biāo)量維納濾波。第十五頁,共六十七頁,編輯于2023年,星期日智能信息處理技術(shù)16
2、由最優(yōu)非遞歸估計(jì)導(dǎo)出遞歸估計(jì)由前可知,非遞歸估值器可以表示為k+1次取樣誤差估計(jì)誤差估計(jì)第十六頁,共六十七頁,編輯于2023年,星期日智能信息處理技術(shù)17b=σ2n/σ2x及hi(k)=1/(k+b)第十七頁,共六十七頁,編輯于2023年,星期日智能信息處理技術(shù)18分成二項(xiàng)
第一項(xiàng)同時(shí)乘、除一個(gè)bkOR第十八頁,共六十七頁,編輯于2023年,星期日智能信息處理技術(shù)19最優(yōu)遞歸估計(jì)器遞歸公式第十九頁,共六十七頁,編輯于2023年,星期日智能信息處理技術(shù)20最優(yōu)遞歸估計(jì)器遞歸公式第二十頁,共六十七頁,編輯于2023年,星期日為使最佳,遞推初始條件智能信息處理技術(shù)21若E(x)=0從零開始遞推應(yīng)用時(shí)要注意初始條件,即遞推開始時(shí)的初始值第二十一頁,共六十七頁,編輯于2023年,星期日智能信息處理技術(shù)22三、標(biāo)量卡爾曼濾波器
主要作用:對(duì)摻雜有噪聲的隨機(jī)信號(hào)進(jìn)行線性估計(jì)。第二十二頁,共六十七頁,編輯于2023年,星期日智能信息處理技術(shù)231、模型
x(k)=ax(k-1)+w(k-1)
如果令x(0)=0,E[w(k)]=0,則1)信號(hào)模型設(shè)要估計(jì)的隨機(jī)信號(hào)為由均值為0,方差為σ2w的白噪聲激勵(lì)的一個(gè)一階遞歸過程,即信號(hào)對(duì)時(shí)間變化滿足動(dòng)態(tài)方程:式中,a——系統(tǒng)參數(shù)
w(k-1)——白噪聲采樣。第二十三頁,共六十七頁,編輯于2023年,星期日智能信息處理技術(shù)24x(k)的均值和方差分別為:自相關(guān)函數(shù)第二十四頁,共六十七頁,編輯于2023年,星期日智能信息處理技術(shù)25觀測(cè)模型由下式給出:z(k)=cx(k)+v(k)式中:c——測(cè)量因子;
v(k)——E(·)=0,
D(·)=σ2n的白噪聲。2)觀測(cè)模型第二十五頁,共六十七頁,編輯于2023年,星期日智能信息處理技術(shù)262、標(biāo)量卡爾曼濾波器
均方誤差分別對(duì)a(k)和b(k)求導(dǎo),并令其等于0,求其最佳估計(jì),得出a(k)與b(k)的關(guān)系?a(k)=a[1-cb(k)]最后有遞歸估值器:由前將遞歸估計(jì)的形式寫成:第二十六頁,共六十七頁,編輯于2023年,星期日智能信息處理技術(shù)27濾波器增益b(k)?均方誤差對(duì)于給定的信號(hào)模型和觀測(cè)模型,上述一組方程便稱為一維標(biāo)量卡爾曼濾波器,其結(jié)構(gòu)如圖所示。第二十七頁,共六十七頁,編輯于2023年,星期日智能信息處理技術(shù)28標(biāo)量卡爾曼濾波器結(jié)構(gòu)
第二十八頁,共六十七頁,編輯于2023年,星期日標(biāo)量卡爾曼濾波是對(duì)摻雜有噪聲的隨機(jī)信號(hào)進(jìn)行線性估計(jì)。但經(jīng)常要對(duì)信號(hào)的未來值進(jìn)行預(yù)測(cè),特別是在控制系統(tǒng)中。根據(jù)預(yù)測(cè)提前時(shí)間的多少,把預(yù)測(cè)分成1步、2步、…、m步預(yù)測(cè),通常把1步預(yù)測(cè)記作。預(yù)測(cè)的步數(shù)越多,誤差越大。這里討論1步預(yù)測(cè)問題。智能信息處理技術(shù)29
3、標(biāo)量卡爾曼預(yù)測(cè)器
信號(hào)模型和觀測(cè)模型同前:第二十九頁,共六十七頁,編輯于2023年,星期日智能信息處理技術(shù)30根據(jù)前一節(jié),有一步線性預(yù)測(cè)遞推公式:其中,α(k)和β(k)可以通過使預(yù)測(cè)均方誤差最小來確定。預(yù)測(cè)的均方誤差可表示為將預(yù)測(cè)方程代入該式,并求導(dǎo),就會(huì)得到一組正交方程:第三十頁,共六十七頁,編輯于2023年,星期日a(k)=?智能信息處理技術(shù)31解之,得a(k)=a-cβ(k)將其代入預(yù)測(cè)方程,有進(jìn)一步可求出:由以上表達(dá)式可以看出,可根據(jù)預(yù)測(cè)均方誤差Pε(k/k-1)計(jì)算β(k),然后再給出Pε(k+1/k)的預(yù)測(cè)均方誤差。第三十一頁,共六十七頁,編輯于2023年,星期日智能信息處理技術(shù)32最優(yōu)一步預(yù)測(cè)器第三十二頁,共六十七頁,編輯于2023年,星期日智能信息處理技術(shù)33最優(yōu)一步預(yù)測(cè)及濾波器第三十三頁,共六十七頁,編輯于2023年,星期日智能信息處理技術(shù)34
四、向量卡爾曼濾波器
每個(gè)wα過程都是白的,零均值的,與其它過程的采樣是獨(dú)立的。于是把q個(gè)信號(hào)與q個(gè)白噪聲組成的q維向量分別表示成1、信號(hào)向量和數(shù)據(jù)向量如果要求對(duì)q個(gè)信號(hào)進(jìn)行同時(shí)估計(jì),這q個(gè)信號(hào)在k時(shí)刻的采樣值記作x1(k)、x2(k)、…、xq(k)。假設(shè)每個(gè)信號(hào)都是由一階自回歸過程產(chǎn)生的,即第α個(gè)信號(hào)在時(shí)刻k的采樣值為:xα(k)=aαxα(k-1)+wα(k-1)α=1,2,…,q
第三十四頁,共六十七頁,編輯于2023年,星期日智能信息處理技術(shù)35顯然X(k)=AX(k-1)+W(k-1)如果信號(hào)不滿足一階遞歸差分方程,而滿足二階遞歸差分方程,即x(k)=ax(k-1)+bx(k-2)+w(k-1)
q維向量qq第三十五頁,共六十七頁,編輯于2023年,星期日智能信息處理技術(shù)36定義兩個(gè)分量x1(k)=x(k)x2(k)=x1(k-1)=x(k-1)X(k)=AX(k-1)+W(k-1)結(jié)果把一個(gè)二階差分方程變成了一個(gè)一階二維向量方程,該方程用起來更簡(jiǎn)單方便。第三十六頁,共六十七頁,編輯于2023年,星期日智能信息處理技術(shù)37用R(k)表示k時(shí)刻的距離,R(k)表示k時(shí)刻的速度,U(k)表示k時(shí)刻的加速度,T表示采樣周期,則寫成一般形式:.第三十七頁,共六十七頁,編輯于2023年,星期日智能信息處理技術(shù)38寫成向量形式:在對(duì)信號(hào)向量進(jìn)行估計(jì)的過程中,同時(shí)產(chǎn)生r個(gè)含有噪聲的測(cè)量值,記作z1(k),
z2(k),…,zr(k)。則得到一組觀測(cè)方程:一階向量形式第三十八頁,共六十七頁,編輯于2023年,星期日智能信息處理技術(shù)39Z(k)=CX(k)+V(k)
C即是觀測(cè)矩陣。rq維向量r×q階矩陣第i個(gè)測(cè)量參數(shù)ifr==q附加噪聲第三十九頁,共六十七頁,編輯于2023年,星期日智能信息處理技術(shù)40
2、向量問題的表示
采用標(biāo)量運(yùn)算和矩陣運(yùn)算的等價(jià)關(guān)系,推廣到多維情況:根據(jù)前面的討論,我們完全可以把前面的信號(hào)模型動(dòng)態(tài)方程和觀測(cè)方程寫成如下形式:第四十頁,共六十七頁,編輯于2023年,星期日智能信息處理技術(shù)41據(jù)此,可以將觀測(cè)噪聲的方差變成協(xié)方差矩陣對(duì)兩個(gè)信號(hào)的情況,則有同理,也可以把系統(tǒng)噪聲的方差變成協(xié)方差矩陣,即由于系統(tǒng)噪聲采樣互不相關(guān),該協(xié)方差矩陣的非對(duì)角線元素的值均為零。單一信號(hào)均方誤差也可變成協(xié)方差矩陣,第四十一頁,共六十七頁,編輯于2023年,星期日智能信息處理技術(shù)42
3、向量卡爾曼濾波器
濾波器增益:實(shí)際上,它是預(yù)測(cè)協(xié)方差。誤差協(xié)方差矩陣:利用前面的概念,直接把標(biāo)量卡爾曼濾波器公式變成向量卡爾曼濾波器公式:第四十二頁,共六十七頁,編輯于2023年,星期日智能信息處理技術(shù)43向量卡爾曼濾波器結(jié)構(gòu)第四十三頁,共六十七頁,編輯于2023年,星期日智能信息處理技術(shù)44增益矩陣K(k)的計(jì)算流程如圖所示:增益矩陣計(jì)算流程
P(k-1)根據(jù)k-1時(shí)刻的誤差協(xié)方差矩陣p(k-1)計(jì)算預(yù)測(cè)協(xié)方差p1(k),進(jìn)而計(jì)算得到濾波器增益K(k),通過濾波器增益K(k),預(yù)測(cè)協(xié)方差p1(k),計(jì)算出k時(shí)刻的誤差協(xié)方差矩陣p(k),為計(jì)算k+1時(shí)刻的p1(k+1)創(chuàng)造了條件。這樣就形成了一個(gè)遞歸計(jì)算流程,可以計(jì)算不同時(shí)刻的增益矩陣。第四十四頁,共六十七頁,編輯于2023年,星期日智能信息處理技術(shù)45
4、向量卡爾曼預(yù)測(cè)器
預(yù)測(cè)增益:預(yù)測(cè)均方誤差:它們與標(biāo)量的情況是一一對(duì)應(yīng)的,只是用G(k)代替了β(k)。就可以將濾波和預(yù)測(cè)用同一個(gè)方框圖表示出來。根據(jù)相同的推導(dǎo)方法,可以獲得卡爾曼預(yù)測(cè)器方程組。預(yù)測(cè)方程:第四十五頁,共六十七頁,編輯于2023年,星期日智能信息處理技術(shù)46
5、總結(jié)
卡爾曼濾波器應(yīng)用廣泛,這里只對(duì)其進(jìn)行簡(jiǎn)單歸納??柭鼮V波器的主要特性卡爾曼濾波器是一個(gè)遞歸、線性、無偏和方差最小的濾波器,如果過程噪聲和觀測(cè)噪聲是正態(tài)高斯白噪聲,則它保持最佳特性。第四十六頁,共六十七頁,編輯于2023年,星期日智能信息處理技術(shù)47卡爾曼濾波器模型
位置測(cè)量模型:目標(biāo)運(yùn)動(dòng)模型:第四十七頁,共六十七頁,編輯于2023年,星期日智能信息處理技術(shù)48狀態(tài)方程:X(t+T)=Φ(t)X(t)+W(t)Q(t)=E[W(t)W(t)T]觀測(cè)方程:Z(t)=HX(t)+V(t)R(t)=E[V(t)V(t)T]第四十八頁,共六十七頁,編輯于2023年,星期日假定系統(tǒng)矩陣是四維矩陣,即距離、速度、方位角及其變化率,它們分別由R,,θ和表示,距離方向上的加速度和角度方向的加速度分別由ur(k)和uθ(k)表示。狀態(tài)方程為智能信息處理技術(shù)49
五、卡爾曼濾波器的應(yīng)用
1.系統(tǒng)矩陣第四十九頁,共六十七頁,編輯于2023年,星期日智能信息處理技術(shù)50則系統(tǒng)方程為用標(biāo)準(zhǔn)符號(hào)x1(k),x2(k),x3(k),x4(k)分別表、、、。式中,A為系統(tǒng)矩陣,W(k)為噪聲項(xiàng)。.第五十頁,共六十七頁,編輯于2023年,星期日智能信息處理技術(shù)51
2.觀測(cè)矩陣假定觀測(cè)值只有距離和方位兩個(gè),即R和θ,分別用z1和z2來表示。它們是由狀態(tài)值和測(cè)量噪聲組成的,且測(cè)量噪聲是相互獨(dú)立的零均值的白噪聲。測(cè)量方程第五十一頁,共六十七頁,編輯于2023年,星期日智能信息處理技術(shù)52x1(k)=R(k)x3(k)=θ(k)以上兩個(gè)問題實(shí)際上是建立模型問題。第五十二頁,共六十七頁,編輯于2023年,星期日智能信息處理技術(shù)53
3.觀測(cè)噪聲協(xié)方差矩陣在計(jì)算濾波器增益時(shí),需知觀測(cè)噪聲的協(xié)方差矩陣。由于只有兩個(gè)參數(shù),因此方位和距離觀測(cè)噪聲相互獨(dú)立的條件第五十三頁,共六十七頁,編輯于2023年,星期日智能信息處理技術(shù)54
4.系統(tǒng)噪聲協(xié)方差矩陣假定目標(biāo)作勻速運(yùn)動(dòng),由于大氣湍流等因素的影響,目標(biāo)產(chǎn)生隨機(jī)加速度,在距離和方位上都存在隨機(jī)擾動(dòng),于是有and系統(tǒng)噪聲的協(xié)方差矩陣第五十四頁,共六十七頁,編輯于2023年,星期日濾波器初始化時(shí),先利用一種比較簡(jiǎn)單的方法確定,可利用時(shí)刻1和時(shí)刻2兩點(diǎn)的距離和方位測(cè)量值,即z1(1),z1(2),z2(1),z2(2),建立,而忽略隨機(jī)加速度。智能信息處理技術(shù)55
5.濾波器的初值第五十五頁,共六十七頁,編輯于2023年,星期日智能信息處理技術(shù)566.均方誤差矩陣濾波器初值誤差矢量第五十六頁,共六十七頁,編輯于2023年,星期日智能信息處理技術(shù)57初始誤差的協(xié)方差矩陣u,v相互獨(dú)立,均值為0,各噪聲采樣之間獨(dú)立條件迭代所需參數(shù)第五十七頁,共六十七頁,編輯于2023年,星期日智能信息處理技術(shù)58
常系數(shù)α-β和α-β-γ濾波器對(duì)于勻速和勻加速運(yùn)動(dòng)的目標(biāo),有目標(biāo)運(yùn)動(dòng)模型式中,w(k)為均值為0、方差為σ2的高斯白噪聲,T為對(duì)目標(biāo)的采樣周期。一、目標(biāo)運(yùn)動(dòng)模型第五十八頁,共六十七頁,編輯于2023年,星期日智能信息處理技術(shù)59
二、常系數(shù)α-β和α-β-γ濾波器
預(yù)測(cè)方程:濾波方程:常系數(shù)α-β濾波器定義如下對(duì)于勻速運(yùn)動(dòng)的目標(biāo),可以采用均方誤差最小的準(zhǔn)則進(jìn)行濾波和預(yù)測(cè),即α-β和α-β-γ濾波器。第五十九頁,共六十七頁,編輯于2023年,星期日智能信息處理技術(shù)60濾波方程和預(yù)測(cè)方程也可以分別寫成如下形式:第六十頁,共六十七頁,編輯于2023年,星期日智能信息處理技術(shù)61常系數(shù)α-β-γ濾波器定義如下:預(yù)測(cè)方程:
濾波方程:第六十一頁,共六十七頁,編輯于2023年,星期日智能信息處理技術(shù)
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