現(xiàn)代控制理論第講

現(xiàn)代控制理論第講第一頁，共二十頁，編輯于2023年，星期日第四章穩(wěn)定性與李雅普諾夫方法主要內(nèi)容:1、李雅普諾夫意義下的穩(wěn)定性定義2、李雅普諾夫第一方法（間接法）3、李雅普諾夫第二方法（直接法）4、李雅普諾夫方法在線性系統(tǒng)中的應(yīng)用5、李雅普諾夫方法在非線性系統(tǒng)中的應(yīng)用重點(diǎn)：1、李雅普諾夫意義下的穩(wěn)定性定義2、李雅普諾夫第二方法（間接法）3、李雅普諾夫方法在線性系統(tǒng)中的應(yīng)用第二頁，共二十頁，編輯于2023年，星期日一、穩(wěn)定的一般性概念

系統(tǒng)的穩(wěn)定性就是一個(gè)處于穩(wěn)態(tài)的系統(tǒng)，在某一干擾信號的作用下，其狀態(tài)偏離了原有平衡位置，如果該系統(tǒng)是穩(wěn)定的，那么當(dāng)干擾取消后有限的時(shí)間內(nèi)，系統(tǒng)會在自身作用下回到平衡狀態(tài)；反之若系統(tǒng)不穩(wěn)定，則系統(tǒng)永遠(yuǎn)不會回到原來的平衡位置。二、系統(tǒng)穩(wěn)定分類系統(tǒng)外部穩(wěn)定：又稱作輸出穩(wěn)定，當(dāng)系統(tǒng)在干擾取消后，在一定時(shí)間內(nèi)，其輸出會恢復(fù)到原來的穩(wěn)態(tài)輸出。輸出穩(wěn)定有時(shí)描述為系統(tǒng)的BIBO穩(wěn)定，即有限的系統(tǒng)輸入只能產(chǎn)生有限的系統(tǒng)輸出。系統(tǒng)內(nèi)部穩(wěn)定：主要針對系統(tǒng)內(nèi)部狀態(tài)，反映的是系統(tǒng)內(nèi)部狀態(tài)受干擾信號的影響。當(dāng)擾動信號取消后，系統(tǒng)的內(nèi)部狀態(tài)會在一定時(shí)間內(nèi)恢復(fù)到原來的平衡狀態(tài)，則稱系統(tǒng)狀態(tài)穩(wěn)定。第三頁，共二十頁，編輯于2023年，星期日

1、經(jīng)典控制論中只討論系統(tǒng)的輸出穩(wěn)定問題。

在經(jīng)典控制論中，研究對象都是用高階微分方程或傳遞函數(shù)描述的單輸入單輸出（SISO）系統(tǒng)，反映的僅是輸入輸出的關(guān)系，不會涉及系統(tǒng)內(nèi)部的狀態(tài)。三、經(jīng)典控制論中的穩(wěn)定性理論

2、經(jīng)典控制論穩(wěn)定性分析方法勞斯－赫爾維茨穩(wěn)定判據(jù)：可以通過線性定常系統(tǒng)特征方程的系數(shù)的簡單代數(shù)運(yùn)算來判別系統(tǒng)輸出穩(wěn)定性，而不必求出各個(gè)特征根。頻域：奈奎斯特判據(jù)。

第四頁，共二十頁，編輯于2023年，星期日非線性系統(tǒng)和時(shí)變系統(tǒng)穩(wěn)定性分析方法

李雅普諾夫第一方法（間接法）李雅普諾夫第二方法（直接法）李雅普諾夫：19世紀(jì)后期俄國數(shù)學(xué)家《動態(tài)穩(wěn)定性的一般問題》1892發(fā)表線性化方法“類能量”標(biāo)量函數(shù)

3、經(jīng)典控制論穩(wěn)定性分析方法的適用性研究的對象：線性定常系統(tǒng)不能解決的問題：（1）時(shí)變系統(tǒng)時(shí)的穩(wěn)定性分析；（2）非線性系統(tǒng)的穩(wěn)定性分析；（3）系統(tǒng)內(nèi)部狀態(tài)穩(wěn)定性分析。第五頁，共二十頁，編輯于2023年，星期日4—1李雅普諾夫關(guān)于穩(wěn)定性定義經(jīng)典控制理論的穩(wěn)定性定義：線性定常系統(tǒng)的穩(wěn)定性與系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)和參數(shù)有關(guān)，與系統(tǒng)的初始條件和擾動的大小無關(guān)。非線性系統(tǒng)的穩(wěn)定：不僅與系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)和參數(shù)有關(guān)，而且與系統(tǒng)的初始條件和擾動的大小無關(guān)。經(jīng)典控制理論并沒有給出適合任何系統(tǒng)穩(wěn)定性定義！李雅普諾夫穩(wěn)定性定義1、給出了對任何系統(tǒng)普遍適用的穩(wěn)定性的一般定義2、李雅普諾夫第二方法是一種普遍適用于線性系統(tǒng)、非線性系統(tǒng)及時(shí)變系統(tǒng)穩(wěn)定性分析的方法。3、李雅普諾夫函數(shù)需要針對系統(tǒng)來設(shè)計(jì)，不具有一般性。第六頁，共二十頁，編輯于2023年，星期日一、系統(tǒng)狀態(tài)的運(yùn)動和平衡狀態(tài)設(shè)所研究系統(tǒng)的齊次狀態(tài)方程為：n維狀態(tài)矢量

n維矢量函數(shù)在給定初始條件下，有唯一解：表示初始時(shí)刻的狀態(tài)表示從初始條件出發(fā)的一條運(yùn)動軌線稱為系統(tǒng)的運(yùn)動或狀態(tài)軌線。第七頁，共二十頁，編輯于2023年，星期日若系統(tǒng)存在狀態(tài)矢量，對于任意時(shí)間t,都有：則稱該狀態(tài)為系統(tǒng)的平衡狀態(tài)，記為：關(guān)于平衡狀態(tài)的說明1、對于一個(gè)任意系統(tǒng)，不一定都存在平衡狀態(tài)。2、有時(shí)即使存在也未必是唯一的。例：可以得到系統(tǒng)的三個(gè)平衡狀態(tài)點(diǎn)第八頁，共二十頁，編輯于2023年，星期日它的動態(tài)特性由下列非線性自治方程給出令

則相應(yīng)的狀態(tài)空間方程是：平衡點(diǎn)：第九頁，共二十頁，編輯于2023年，星期日二、穩(wěn)定性的幾個(gè)定義狀態(tài)空間幾何描述的幾個(gè)基本概念狀態(tài)矢量與平衡點(diǎn)xe的距離：用║x─xe║表示且有：║x─xe║=[（x1-x1e)2+（x2-x2e)2……+（xn-xne)2]1/2以xe為中心ε為半徑的超球體點(diǎn)集：用S（ε）表示，且如果狀態(tài)變量x屬于該超球體點(diǎn)集則有：║x─xe║≤ε鄰域：當(dāng)ε很小時(shí)，稱S（ε）為xe的鄰域自由響應(yīng)有界：若系統(tǒng)狀態(tài)方程的解xt=Φ(t；x0,t0)位于球域S（ε）內(nèi)則有：║Φ(t；x0,t0

）－xe║≤ε表示系統(tǒng)由初始狀態(tài)x0或擾動所引起的自由響應(yīng)有界。第十頁，共二十頁，編輯于2023年，星期日1、李雅普諾夫意義下穩(wěn)定

設(shè)Xe為系統(tǒng)的一個(gè)平衡點(diǎn)，如果給定一個(gè)以Xe為球心，以ε為半徑的n維球域S(ε)，總能找到一個(gè)同樣以Xe為球心，δ（ε，t0）為半徑的n維球域S(δ)，使得從S(δ)球域出發(fā)的任意一條系統(tǒng)狀態(tài)軌跡φ(t；X0，t0)在t≥t0的所有時(shí)間內(nèi)，都不會跑出S(ε)球域，則稱系統(tǒng)的平衡狀態(tài)Xe是李雅普諾夫穩(wěn)定的(LyapunovStability)。第十一頁，共二十頁，編輯于2023年，星期日

對于任意選定的實(shí)數(shù)ε>0,都存在另一實(shí)數(shù)δ（ε，t0）>0,使得當(dāng)║x─xe║≤

δ（ε，t0）時(shí),從任意初始狀態(tài)X0出發(fā)的解都滿足

║Φ(t；x0,t0

）－xe║≤ε,∞>t≥t02、漸進(jìn)穩(wěn)定

如果Xe不僅是李雅普諾夫穩(wěn)定的平衡狀態(tài)，而且當(dāng)時(shí)間t無限增加時(shí)，從S(δ)球域出發(fā)的任一條狀態(tài)軌跡φ(t；X0，t0)都最終收斂于球心平衡點(diǎn)Xe，那么稱Xe是漸進(jìn)穩(wěn)定的(AsymptoticStability)。第十二頁，共二十頁，編輯于2023年，星期日3、大范圍漸近穩(wěn)定

如果從S(∞),即整個(gè)系統(tǒng)狀態(tài)空間的任一點(diǎn)出發(fā)的任一條狀態(tài)軌跡φ(t；X0，t0)，當(dāng)t→∞時(shí)，都收斂到平衡點(diǎn)Xe，那么稱Xe是大范圍漸進(jìn)穩(wěn)定的。很明顯，這時(shí)的Xe是系統(tǒng)的唯一的平衡點(diǎn)。4、不穩(wěn)定

對于給定S(ε)，不論δ>0取得多么小，從S(δ)球域出發(fā)的狀態(tài)軌跡φ(t；X0，t0)，至少有一條跑出S(ε)球域，那么稱平衡點(diǎn)Xe是不穩(wěn)定的。經(jīng)典控制理論(線性系統(tǒng)）不穩(wěn)定(Re(s)>0)臨界情況(Re(s)=0)穩(wěn)定(Re(s)<0)Lyapunov意義下不穩(wěn)定穩(wěn)定漸近穩(wěn)定第十三頁，共二十頁，編輯于2023年，星期日小結(jié)：1、球域S(δ)限制著初始狀態(tài)X0的取值，球域S(ε)規(guī)定了系統(tǒng)自由響應(yīng)φ(t；X0，t0)的邊界；2、如果x(t)為有界，則Xe穩(wěn)定；3、如果x(t)為有界而且有，Xe漸進(jìn)穩(wěn)定；第十四頁，共二十頁，編輯于2023年，星期日4—2李雅普諾夫第一法（間接法）問題：如何判定系統(tǒng)的穩(wěn)定性？判據(jù)？方法：通過分析系統(tǒng)微分方程的顯式解來分析系統(tǒng)的穩(wěn)定性。一、線性系統(tǒng)的穩(wěn)定判據(jù)設(shè)線性定常系統(tǒng)的動態(tài)方程為：

線性定常系統(tǒng)平衡狀態(tài)Xe＝0漸近穩(wěn)定的充要條件是是統(tǒng)矩陣A的所有特征根都有負(fù)的實(shí)部。線性定常系統(tǒng)輸出穩(wěn)定的充要條件是其傳遞函數(shù)：的極點(diǎn)全部都有負(fù)實(shí)部。第十五頁，共二十頁，編輯于2023年，星期日

系統(tǒng)的傳遞函數(shù)W(s)沒有零極點(diǎn)對消時(shí)，系統(tǒng)的狀態(tài)穩(wěn)定性和系統(tǒng)的輸出穩(wěn)定性是一致的，因?yàn)檫@時(shí)系統(tǒng)矩陣的特征根就是系統(tǒng)傳遞函數(shù)的極點(diǎn)?！纠?－1】系統(tǒng)的狀態(tài)空間表達(dá)式為：請分析系統(tǒng)的狀態(tài)穩(wěn)定性和輸出穩(wěn)定性。解：Xe=0是系統(tǒng)的唯一平衡點(diǎn)，系統(tǒng)特征方程為：第十六頁，共二十頁，編輯于2023年，星期日二、非線性系統(tǒng)的穩(wěn)定性設(shè)非線性系統(tǒng)的狀態(tài)方程為：Xe為平衡狀態(tài)；f[x,t]為與x同維的矢量函數(shù)，且對x有連續(xù)的偏導(dǎo)數(shù)。可將非線性矢量函數(shù)f[x,t]在Xe鄰域展開成泰勒級數(shù)：R（x)—為級數(shù)展開式中的高階導(dǎo)數(shù)項(xiàng)雅可比矩陣（Jacobian)第十七頁，共二十頁，編輯于2023年，星期日令△X=X-Xe,可得系統(tǒng)線性化方程：定理（李雅普諾夫線性化方法）（1）如果方程式中系數(shù)矩陣A的所有特征值都具有負(fù)實(shí)部，則原非線性系統(tǒng)在平衡狀態(tài)Xe是漸近穩(wěn)定的，而且穩(wěn)定性與R（x)無關(guān)。（2）如果方程式中系數(shù)矩陣A特征值，至少有一個(gè)具有正實(shí)部，則原非線性系統(tǒng)在平衡狀態(tài)Xe是不穩(wěn)定的。（3）如果方程式中系數(shù)矩陣A特征值，至少有一個(gè)的實(shí)部為零，那么原非線性系統(tǒng)在平衡狀態(tài)Xe的穩(wěn)定性將取決于高階導(dǎo)數(shù)項(xiàng)R（x)，而不能有A的特征值符號來確定。第十八頁，共二十頁，編輯于2023年，星期日【例4－2】系統(tǒng)的狀態(tài)方程為：