【恒心】高考數(shù)學(xué)(文科)傳奇逆襲006-不等式、推理與證明

第六章不等式、推理與證明第一節(jié)不等關(guān)系與不等式1．實(shí)數(shù)大小順序與運(yùn)算性質(zhì)之間的關(guān)系a－b＞0?a>b；a－b＝0?a＝b；a－b＜0?a<b.2．不等式的基本性質(zhì)性質(zhì)性質(zhì)內(nèi)容注意對(duì)稱性a>b?b<a?傳遞性a>b，b>c?a>c?可加性a>b?a＋c>b＋c?可乘性eq\b\lc\\rc\}(\a\vs4\al\co1(a>b,c>0))?ac>bcc的符號(hào)eq\b\lc\\rc\}(\a\vs4\al\co1(a>b,c<0))?ac<bc同向可加性eq\b\lc\\rc\}(\a\vs4\al\co1(a>b,c>d))?a＋c>b＋d?同向同正可乘性eq\b\lc\\rc\}(\a\vs4\al\co1(a>b>0,c>d>0))?ac>bd?可乘方性a>b>0?an>bn(n∈N，n≥2)同正可開(kāi)方性a>b>0?eq\r(n,a)>eq\r(n,b)(n∈N，n≥2)1．在應(yīng)用傳遞性時(shí)，注意等號(hào)是否傳遞下去，如a≤b，b<c?a<c.2．在乘法法則中，要特別注意“乘數(shù)c的符號(hào)”，例如當(dāng)c≠0時(shí)，有a>b?ac2>bc2；若無(wú)c≠0這個(gè)條件，a>b?ac2>bc2就是錯(cuò)誤結(jié)論(當(dāng)c＝0時(shí)，取“＝”)．[試一試]1．(2013·北京高考)設(shè)a，b，c∈R，且a>b，則()A．a(chǎn)c>bc B.eq\f(1,a)<eq\f(1,b)C．a(chǎn)2>b2 D.a3>b3(2)法一：∵a＞0＞b，c＜d＜0，∴ad＜0，bc＞0，∴ad＜bc，故①錯(cuò)誤．∵a＞0＞b＞－a，∴a＞－b＞0，∵c＜d＜0，∴－c＞－d＞0，∴a(－c)＞(－b)(－d)，∴ac＋bd＜0，∴eq\f(a,d)＋eq\f(b,c)＝eq\f(ac＋bd,cd)＜0，故②正確．∵c＜d，∴－c＞－d，∵a＞b，∴a＋(－c)＞b＋(－d)，a－c＞b－d，故③正確．∵a＞b，d－c＞0，∴a(d－c)＞b(d－c)，故④正確，故選C.法二：取特殊值．[答案](1)D(2)C[類題通法]判斷多個(gè)不等式是否成立，需要逐一給出推理判斷或反例說(shuō)明．常用的推理判斷需要利用不等式的性質(zhì)，常見(jiàn)的反例構(gòu)成方式可從以下幾個(gè)方面思考：(1)不等式兩邊都乘以一個(gè)代數(shù)式時(shí)，考察所乘的代數(shù)式是正數(shù)、負(fù)數(shù)或0；(2)不等式左邊是正數(shù)，右邊是負(fù)數(shù)，當(dāng)兩邊同時(shí)平方后不等號(hào)方向不一定保持不變；(3)不等式左邊是正數(shù)，右邊是負(fù)數(shù)，當(dāng)兩邊同時(shí)取倒數(shù)后不等號(hào)方向不變等．[針對(duì)訓(xùn)練]若a>b>0，則下列不等式不成立的是()A.eq\f(1,a)<eq\f(1,b) B．|a|>|b|C．a(chǎn)＋b<2eq\r(ab) D.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))a<eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))b解析：選C∵a>b>0，∴eq\f(1,a)<eq\f(1,b)，且|a|>|b|，a＋b>2eq\r(ab)，又2a>2b，∴eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))a<eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))b，選C.考點(diǎn)三不等式性質(zhì)的應(yīng)用[典例]已知函數(shù)f(x)＝ax2＋bx，且1≤f(－1)≤2，2≤f(1)≤4.求f(－2)的取值范圍．[解]f(－1)＝a－b，f(1)＝a＋b.f(－2)＝4a－2b設(shè)m(a＋b)＋n(a－b)＝4a－2b則eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(m＋n＝4，,m－n＝－2，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(m＝1，,n＝3.))∴f(－2)＝(a＋b)＋3(a－b)＝f(1)＋3f(－1∵1≤f(－1)≤2,2≤f(1)≤4，∴5≤f(－2)≤10.即f(－2)的取值范圍為[5,10]．若本例中條件變?yōu)椋阂阎瘮?shù)f(x)＝ax2＋bx，且1<f(－1)≤2,2≤f(1)<4，求f(－2)的取值范圍.解：由本例知f(－2)＝f(1)＋3f(－1又∵1<f(－1)≤2,2≤f(1)<4，∴5<3f(－1)＋f(1)故5<f(－2)<10.故f(－2)的取值范圍為(5,10)．[類題通法]利用不等式性質(zhì)可以求某些代數(shù)式的取值范圍，但應(yīng)注意兩點(diǎn)：一是必須嚴(yán)格運(yùn)用不等式的性質(zhì)；二是在多次運(yùn)用不等式的性質(zhì)時(shí)有可能擴(kuò)大了變量的取值范圍．解決的途徑是先建立所求范圍的整體與已知范圍的整體的等量關(guān)系，最后通過(guò)“一次性”不等關(guān)系的運(yùn)算求解范圍．[針對(duì)訓(xùn)練]若α，β滿足eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(－1≤α＋β≤1，,1≤α＋2β≤3，))試求α＋3β的取值范圍．解：設(shè)α＋3β＝x(α＋β)＋y(α＋2β)＝(x＋y)α＋(x＋2y)β.則eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＋y＝1，,x＋2y＝3，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝－1，,y＝2.))∵－1≤－(α＋β)≤1,2≤2(α＋2β)≤6，兩式相加，得1≤α＋3β≤7.∴α＋3β的取值范圍為[1,7]．[課堂練通考點(diǎn)]1．“1≤x≤4”是“1≤x2≤16”A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件解析：選A由1≤x≤4可得1≤x2≤16，但由1≤x2≤16可得1≤x≤4或－4≤x≤－1，所以“1≤x≤4”是“1≤x2≤16”2．(2013·昆明質(zhì)檢)若a<b<0，則下列不等式一定成立的是()A.eq\f(1,a－b)>eq\f(1,b) B．a(chǎn)2<abC.eq\f(|b|,|a|)<eq\f(|b|＋1,|a|＋1) D．a(chǎn)n>bn解析：選C取a＝－2，b＝－1，逐個(gè)檢驗(yàn)選項(xiàng)可知，僅C選項(xiàng)成立．3．在所給的四個(gè)條件：①b>0>a；②0>a>b；③a>0>b；④a>b>0中，能推出eq\f(1,a)<eq\f(1,b)成立的有()A．1個(gè) B．2個(gè)C．3個(gè) D．4個(gè)解析：選Ceq\f(1,a)<eq\f(1,b)成立，即eq\f(b－a,ab)<0成立，逐個(gè)驗(yàn)證可得，①②④滿足題意．4．設(shè)a，b是非零實(shí)數(shù)，若a<b，則下列不等式成立的是()A．a(chǎn)2<b2 B．a(chǎn)b2<a2bC.eq\f(1,ab2)<eq\f(1,a2b) D.eq\f(b,a)<eq\f(a,b)解析：選C當(dāng)a<0時(shí)，a2<b2不一定成立，故A錯(cuò)．因?yàn)閍b2－a2b＝ab(b－a)，b－a>0，ab符號(hào)不確定，所以ab2與a2b的大小不能確定，故B錯(cuò)．因?yàn)閑q\f(1,ab2)－eq\f(1,a2b)＝eq\f(a－b,a2b2)<0，所以eq\f(1,ab2)<eq\f(1,a2b)，故C正確．D項(xiàng)中eq\f(b,a)與eq\f(a,b)的大小不能確定．5．已知a，b，c∈R，有以下命題：①若a>b，則ac2>bc2；②若ac2>bc2，則a>b；③若a>b，則a·2c>b·2其中正確的是__________(請(qǐng)把正確命題的序號(hào)都填上)．解析：①若c＝0則命題不成立．②正確．③中由2c>0知成立答案：②③6．已知a＋b＞0，則eq\f(a,b2)＋eq\f(b,a2)與eq\f(1,a)＋eq\f(1,b)的大小關(guān)系是________．解析：eq\f(a,b2)＋eq\f(b,a2)－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,a)＋\f(1,b)))＝eq\f(a－b,b2)＋eq\f(b－a,a2)＝(a－b)·eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,b2)－\f(1,a2)))＝eq\f(a＋ba－b2,a2b2).∵a＋b＞0，(a－b)2≥0，∴eq\f(a＋ba－b2,a2b2)≥0.∴eq\f(a,b2)＋eq\f(b,a2)≥eq\f(1,a)＋eq\f(1,b).答案：eq\f(a,b2)＋eq\f(b,a2)≥eq\f(1,a)＋eq\f(1,b)[課下提升考能]第Ⅰ組：全員必做題1．若m＜0，n＞0且m＋n＜0，則下列不等式中成立的是()A．－n＜m＜n＜－m B．－n＜m＜－m＜nC．m＜－n＜－m＜n D．m＜－n＜n＜－m解析：選D法一：(取特殊值法)令m＝－3，n＝2分別代入各選項(xiàng)檢驗(yàn)即可．法二：m＋n＜0?m＜－n?n＜－m，又由于m＜0＜n，故m＜－n＜n＜－m成立．2．(2014·黃岡質(zhì)檢)已知x>y>z，x＋y＋z＝0，則下列不等式中成立的是()A．xy>yz B．xz>yzC．xy>xz D．x|y|>z|y|解析：選C因?yàn)閤>y>z，x＋y＋z＝0，所以3x>x＋y＋z＝0,3z<x＋y＋z＝0，所以x>0，z<0.所以由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x>0，,y>z，))可得xy>xz.3．(2013·西安模擬)設(shè)α∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2)))，β∈eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2)))，那么2α－eq\f(β,3)的取值范圍是()A.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(5π,6))) B.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(π,6)，\f(5π,6)))C．(0，π) D.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(π,6)，π))解析：選D由題設(shè)得0<2α<π，0≤eq\f(β,3)≤eq\f(π,6)，∴－eq\f(π,6)≤－eq\f(β,3)≤0，∴－eq\f(π,6)<2α－eq\f(β,3)<π.4．若eq\f(1,a)<eq\f(1,b)<0，則下列結(jié)論不正確的是()A．a(chǎn)2<b2 B．a(chǎn)b<b2C．a(chǎn)＋b<0 D．|a|＋|b|>|a＋b|解析：選D∵eq\f(1,a)<eq\f(1,b)<0，∴0>a>b.∴a2<b2，ab<b2，a＋b<0，|a|＋|b|＝|a＋b|.5．(2014·上海十三校聯(lián)考)已知eq\f(1,a)<eq\f(1,b)<0，給出下面四個(gè)不等式：①|(zhì)a|>|b|；②a<b；③a＋b<ab；④a3>b3.其中不正確的不等式的個(gè)數(shù)是()A．0 B．1C．2 D．3解析：選C由eq\f(1,a)<eq\f(1,b)<0可得b<a<0，從而|a|<|b|，①不正確；a>b，②不正確；a＋b<0，ab>0，則a＋b<ab成立，③正確；a3>b3，④正確．故不正確的不等式的個(gè)數(shù)為2.6．(2014·揚(yáng)州期末)若a1<a2，b1<b2，則a1b1＋a2b2與a1b2＋a2b1的大小關(guān)系是________．解析：作差可得(a1b1＋a2b2)－(a1b2＋a2b1)＝(a1－a2)·(b1－b2)，∵a1<a2，b1<b2，∴(a1－a2)(b1－b2)>0，即a1b1＋a2b2>a1b2＋a2b1.答案：a1b1＋a2b2>a1b2＋a2b17．若1＜α＜3，－4＜β＜2，則α－|β|的取值范圍是________．解析：∵－4＜β＜2，∴0≤|β|＜4.∴－4＜－|β|≤0.∴－3＜α－|β|＜3.答案：(－3,3)8．已知存在實(shí)數(shù)a滿足ab2>a>ab，則實(shí)數(shù)b的取值范圍是________．解析：∵ab2>a>ab，∴a≠0，當(dāng)a>0，b2>1>b，即eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(b2>1，,b<1，))解得b<－1；當(dāng)a<0時(shí)，b2<1<b，即eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(b2<1，,b>1))無(wú)解．綜上可得b<－1.答案：(－∞，－1)9．若a>b>0，c<d<0，e<0.求證：eq\f(e,a－c2)>eq\f(e,b－d2).證明：∵c<d<0，∴－c>－d>0.又∵a>b>0，∴a－c>b－d>0.∴(a－c)2>(b－d)2>0.∴0<eq\f(1,a－c2)<eq\f(1,b－d2).又∵e<0，∴eq\f(e,a－c2)>eq\f(e,b－d2).10．某企業(yè)去年年底給全部的800名員工共發(fā)放2000萬(wàn)元年終獎(jiǎng)，該企業(yè)計(jì)劃從今年起，10年內(nèi)每年發(fā)放的年終獎(jiǎng)都比上一年增加60萬(wàn)元，企業(yè)員工每年凈增a人．(1)若a＝10，在計(jì)劃時(shí)間內(nèi)，該企業(yè)的人均年終獎(jiǎng)是否會(huì)超過(guò)3萬(wàn)元？(2)為使人均年終獎(jiǎng)年年有增長(zhǎng)，該企業(yè)每年員工的凈增量不能超過(guò)多少人？解：(1)設(shè)從今年起的第x年(今年為第1年)該企業(yè)人均發(fā)放年終獎(jiǎng)為y萬(wàn)元．則y＝eq\f(2000＋60x,800＋ax)(a∈N*,1≤x≤10)．假設(shè)會(huì)超過(guò)3萬(wàn)元，則eq\f(2000＋60x,800＋10x)＞3，解得x＞eq\f(40,3)＞10.所以，10年內(nèi)該企業(yè)的人均年終獎(jiǎng)不會(huì)超過(guò)3萬(wàn)元．(2)設(shè)1≤x1＜x2≤10，則f(x2)－f(x1)＝eq\f(2000＋60x2,800＋ax2)－eq\f(2000＋60x1,800＋ax1)＝eq\f(60×800－2000ax2－x1,800＋ax2800＋ax1)＞0，所以60×800－2000a＞0，得a所以，為使人均年終獎(jiǎng)年年有增長(zhǎng)，該企業(yè)每年員工的凈增量不能超過(guò)23人．第Ⅱ組：重點(diǎn)選做題1．(2014·濟(jì)南調(diào)研)設(shè)a>1，且m＝loga(a2＋1)，n＝loga(a－1)，p＝loga(2a)，則m，n，p的大小關(guān)系為A．n>m>p B．m>p>nC．m>n>p D．p>m>n解析：選B因?yàn)閍>1，所以a2＋1－2a＝(a－1)2>0，即a2＋1>2a，又2a>a－1，所以由對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性可知loga(a2＋1)>loga(2a)>loga(a－1)，即m>2．(2014·北京西城區(qū)期末)已知a>b>0，給出下列四個(gè)不等式：①a2>b2；②2a>2b－1；③eq\r(a－b)>eq\r(a)－eq\r(b)；④a3＋b3>2a2b.其中一定成立的不等式為()A．①②③ B．①②④C．①③④ D．②③④解析：選A由a>b>0可得a2>b2，①正確；由a>b>0可得a>b－1，而函數(shù)f(x)＝2x在R上是增函數(shù)，∴2a>2b－1，②正確；∵a>b>0，∴eq\r(a)>eq\r(b)，∴(eq\r(a－b))2－(eq\r(a)－eq\r(b))2＝2eq\r(ab)－2b＝2eq\r(b)(eq\r(a)－eq\r(b))>0，∴eq\r(a－b)>eq\r(a)－eq\r(b)，③正確；若a＝3，b＝2，則a3＋b3＝35,2a2b＝36，a3＋b3<2a2b，④錯(cuò)誤．第二節(jié)一元二次不等式及其解法一元二次不等式與相應(yīng)的二次函數(shù)及一元二次方程的關(guān)系判別式Δ＝b2－4Δ＞0Δ＝0Δ＜0二次函數(shù)y＝ax2＋bx＋c(a＞0)的圖像一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a＞0)的根有兩相異實(shí)根x1，x2(x1＜x2)有兩相等實(shí)根x1＝x2＝－eq\f(b,2a)沒(méi)有實(shí)數(shù)根ax2＋bx＋c＞0(a＞0)的解集{x|x<x1或x>x2}{x|x≠－eq\f(b,2a)}Rax2＋bx＋c＜0(a＞0)的解集{x|x1＜x＜x2}??1．二次項(xiàng)系數(shù)中含有參數(shù)時(shí)，則應(yīng)先考慮二次項(xiàng)是否為零，然后再討論二次項(xiàng)系數(shù)不為零時(shí)的情形，以便確定解集的形式．2．當(dāng)Δ<0時(shí)，易混ax2＋bx＋c>0(a>0)的解集為R還是?.[試一試]1．(2013·浙江高考)設(shè)集合S＝{x|x>－2}，T＝{x|x2＋3x－4≤0}，則(?RS)∪T＝()A．(－2,1] B．(－∞，－4]C．(－∞，1] D．[1，＋∞)解析：選CT＝{x|－4≤x≤1}，根據(jù)補(bǔ)集定義，?RS＝{x|x≤－2}，所以(?RS)∪T＝{x|x≤1}，選C.2．不等式ax2＋bx＋2>0的解集是eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)，\f(1,3)))，則a＋b的值是()A．10 B．－10C．14 D．－14解析：選D由題意知－eq\f(1,2)、eq\f(1,3)是ax2＋bx＋2＝0的兩根．則a＝－12，b＝－2.a＋b＝－14.故選D.3．不等式x2＋ax＋4<0的解集不是空集，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是________．解析：∵不等式x2＋ax＋4<0的解集不是空集，∴Δ＝a2－4×4>0，即a2>16.∴a>4或a<－4.答案：(－∞，－4)∪(4，＋∞)1．由二次函數(shù)圖像與一元二次不等式的關(guān)系得到的兩個(gè)常用結(jié)論(1)不等式ax2＋bx＋c>0對(duì)任意實(shí)數(shù)x恒成立?eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＝b＝0，,c>0，))或eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a>0，,Δ<0.))(2)不等式ax2＋bx＋c<0對(duì)任意實(shí)數(shù)x恒成立?eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＝b＝0，,c<0，))或eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a<0，,Δ<0.))2．分類討論思想解含參數(shù)的一元二次不等式，可先考慮因式分解，再對(duì)根的大小進(jìn)行分類討論；若不能因式分解，則可對(duì)判別式進(jìn)行分類討論，分類要不重不漏．[練一練]若不等式mx2＋2mx＋1>0的解集為R，則m的取值范圍是________．解析：①當(dāng)m＝0時(shí)，1>0顯然成立．②當(dāng)m≠0時(shí)，由條件知eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(m>0，,Δ＝4m2－4m<0.))得0<m<1，由①②知0≤m<1.答案：[0,1)考點(diǎn)一一元二次不等式的解法[典例]解下列不等式：(1)0＜x2－x－2≤4；(2)x2－4ax－5a2＞0(a≠0[解](1)原不等式等價(jià)于eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x2－x－2＞0，,x2－x－2≤4))?eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x2－x－2＞0，,x2－x－6≤0))?eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x－2x＋1＞0，,x－3x＋2≤0))?eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＞2或x＜－1，,－2≤x≤3.))借助于數(shù)軸，如圖所示，原不等式的解集為eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x|－2≤x＜－1或2＜x≤3)).(2)由x2－4ax－5a2＞0知(x－5a)(x＋由于a≠0故分a＞0與a＜0討論．當(dāng)a＜0時(shí)，x＜5a或x＞－a當(dāng)a＞0時(shí)，x＜－a或x＞5a綜上，a＜0時(shí)，解集為eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x|x＜5a或x＞－a))；a＞0時(shí)，解集為eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x|x＞5a或x＜－a)).[類題通法]1．解一元二次不等式的一般步驟：(1)對(duì)不等式變形，使一端為0且二次項(xiàng)系數(shù)大于0，即ax2＋bx＋c＞0(a＞0)，ax2＋bx＋c＜0(a＞0)；(2)計(jì)算相應(yīng)的判別式；(3)當(dāng)Δ≥0時(shí)，求出相應(yīng)的一元二次方程的根；(4)根據(jù)對(duì)應(yīng)二次函數(shù)的圖像，寫(xiě)出不等式的解集．2．解含參數(shù)的一元二次不等式，要把握好分類討論的層次，一般按下面次序進(jìn)行討論：首先根據(jù)二次項(xiàng)系數(shù)的符號(hào)進(jìn)行分類，其次根據(jù)根是否存在，即Δ的符號(hào)進(jìn)行分類，最后在根存在時(shí)，根據(jù)根的大小進(jìn)行分類．[針對(duì)訓(xùn)練]解下列不等式：(1)－3x2－2x＋8≥0；(2)ax2－(a＋1)x＋1＜0(a＞0)．解：(1)原不等式可化為3x2＋2x－8≤0，即(3x－4)(x＋2)≤0.解得－2≤x≤eq\f(4,3)，所以原不等式的解集為eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(－2≤x≤\f(4,3))))).(2)原不等式變?yōu)?ax－1)(x－1)＜0，因?yàn)閍＞0，所以aeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(1,a)))(x－1)＜0.所以當(dāng)a＞1時(shí)，解為eq\f(1,a)＜x＜1；當(dāng)a＝1時(shí)，解集為?；當(dāng)0＜a＜1時(shí)，解為1＜x＜eq\f(1,a).綜上，當(dāng)0＜a＜1時(shí)，不等式的解集為eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(1＜x＜\f(1,a)))))；當(dāng)a＝1時(shí)，不等式的解集為?；當(dāng)a＞1時(shí)，不等式的解集為eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(1,a)＜x＜1)))).考點(diǎn)二一元二次不等式恒成立問(wèn)題一元二次不等式與其對(duì)應(yīng)的函數(shù)與方程之間存在著密切的聯(lián)系.在解決具體的數(shù)學(xué)問(wèn)題時(shí)，要注意三者之間的相互聯(lián)系，并在一定條件下相互轉(zhuǎn)換.對(duì)于一元二次不等式恒成立問(wèn)題，常根據(jù)二次函數(shù)圖像與x軸的交點(diǎn)情況確定判別式的符號(hào)，進(jìn)而求出參數(shù)的取值范圍.歸納起來(lái)常見(jiàn)的命題角度有：1形如fx≥0x∈R確定參數(shù)的范圍；2形如fx≥0x∈[a，b]確定參數(shù)范圍；3形如fx≥0參數(shù)m∈[a，b]確定x的范圍.角度一形如f(x)≥0(x∈R)確定參數(shù)的范圍.1．(2013·重慶高考)設(shè)0≤α≤π，不等式8x2－(8sinα)x＋cos2α≥0對(duì)x∈R恒成立，則α的取值范圍為_(kāi)_______．解析：根據(jù)題意可得(8sinα)2－4×8cos2α≤0，即2sin2α－cos2α≤0，2sin2α－(1－2sin2α)≤0，即－eq\f(1,2)≤sinα≤eq\f(1,2).因?yàn)?≤α≤π，故α∈eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(0，eq\f(π,6)))∪eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(eq\f(5π,6)，π)).答案：eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(0，eq\f(π,6)))∪eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(eq\f(5π,6)，π))角度二形如f(x)≥0(x∈[a，b])確定參數(shù)范圍2．對(duì)任意x∈[－1,1]，函數(shù)f(x)＝x2＋(a－4)x＋4－2a的值恒大于零，求a的取值范圍解：函數(shù)f(x)＝x2＋(a－4)x＋4－2a的對(duì)稱軸為x＝－eq\f(a－4,2)＝eq\f(4－a,2).①當(dāng)eq\f(4－a,2)<－1，即a>6時(shí)，f(x)的值恒大于零等價(jià)于f(－1)＝1＋(a－4)×(－1)＋4－2a解得a<3，故有a∈?；②當(dāng)－1≤eq\f(4－a,2)≤1，即2≤a≤6時(shí)，只要feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(4－a,2)))＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(4－a,2)))2＋(a－4)×eq\f(4－a,2)＋4－2a>0，即a2<0，故有a∈?；③當(dāng)eq\f(4－a,2)>1，即a<2時(shí)，只要f(1)＝1＋(a－4)＋4－2a即a<1，故有a<1.綜上可知，當(dāng)a<1時(shí)，對(duì)任意x∈[－1,1]，函數(shù)f(x)＝x2＋(a－4)x＋4－2a的值恒大于零角度三形如f(x)≥0(參數(shù)m∈[a，b])確定x的范圍3．對(duì)任意a∈[－1,1]，函數(shù)f(x)＝x2＋(a－4)x＋4－2a的值恒大于零，求x的取值范圍解：由f(x)＝x2＋(a－4)x＋4－2a＝(x－2)a＋x2－4x令g(a)＝(x－2)a＋x2－4x＋4.由題意知在[－1,1]上，g(a)的值恒大于零，∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(g－1＝x－2×－1＋x2－4x＋4>0，,g1＝x－2＋x2－4x＋4>0，))解得x<1或x>3.故當(dāng)x<1或x>3時(shí)，對(duì)任意的a∈[－1,1]，函數(shù)f(x)的值恒大于零．[類題通法]恒成立問(wèn)題及二次不等式恒成立的條件(1)解決恒成立問(wèn)題一定要清楚選誰(shuí)為主元，誰(shuí)是參數(shù)．一般地，知道誰(shuí)的范圍，就選誰(shuí)當(dāng)主元，求誰(shuí)的范圍，誰(shuí)就是參數(shù)．(2)對(duì)于二次不等式恒成立問(wèn)題，恒大于0就是相應(yīng)的二次函數(shù)的圖像在給定的區(qū)間上全部在x軸上方；恒小于0就是相應(yīng)的二次函數(shù)的圖像在給定的區(qū)間上全部在x軸下方．考點(diǎn)三一元二次不等式的應(yīng)用[典例]某小商品2013年的價(jià)格為8元/件，年銷量是a件．現(xiàn)經(jīng)銷商計(jì)劃在2014年將該商品的價(jià)格降至5.5元/件到7.5元/件之間，經(jīng)調(diào)查，顧客的期望價(jià)格是4元/件．經(jīng)測(cè)算，該商品價(jià)格下降后新增的年銷量與實(shí)際價(jià)格和顧客期望價(jià)格的差成反比，比例系數(shù)為k.該商品的成本價(jià)為3元/件．(1)寫(xiě)出該商品價(jià)格下降后，經(jīng)銷商的年收益y與實(shí)際價(jià)格x的函數(shù)關(guān)系式；(2)設(shè)k＝2a，當(dāng)實(shí)際價(jià)格最低定為多少時(shí)，仍然可以保證經(jīng)銷商2014年的收益比2013年至少增長(zhǎng)20%[解](1)設(shè)該商品價(jià)格下降后為x元/件，則由題意可知年銷量增加到eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(k,x－4)＋a))件，故經(jīng)銷商的年收益y＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(k,x－4)＋a))(x－3)，5.5≤x≤7.5.(2)當(dāng)k＝2a時(shí)，依題意有eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2a,x－4)＋a))(x－3)≥(8－3)a×(1＋20%)，化簡(jiǎn)得eq\f(x2－11x＋30,x－4)≥0，解得x≥6或4<x≤5.又5.5≤x≤7.5，故6≤x≤7.5，即當(dāng)實(shí)際價(jià)格最低定為6元/件時(shí)，仍然可以保證經(jīng)銷商2014年的收益比2013年至少增長(zhǎng)20%.[類題通法]構(gòu)建不等式模型解決實(shí)際問(wèn)題不等式的應(yīng)用問(wèn)題常常以函數(shù)為背景，多是解決實(shí)際生活、生產(chǎn)中的最優(yōu)化問(wèn)題等，解題時(shí)，要仔細(xì)審題，認(rèn)清題目的條件以及要解決的問(wèn)題，理清題目中各量之間的關(guān)系，建立恰當(dāng)?shù)牟坏仁侥Ｐ瓦M(jìn)行求解．[針對(duì)訓(xùn)練]某商品每件成本價(jià)為80元，售價(jià)為100元，每天售出100件．若售價(jià)降低x成(1成＝10%)，售出商品數(shù)量就增加eq\f(8,5)x成．要求售價(jià)不能低于成本價(jià)．(1)設(shè)該商店一天的營(yíng)業(yè)額為y，試求y與x之間的函數(shù)關(guān)系式y(tǒng)＝f(x)，并寫(xiě)出定義域；(2)若再要求該商品一天營(yíng)業(yè)額至少為10260元，求x的取值范圍．解：(1)由題意得y＝100eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(x,10)))·100eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1＋\f(8,50)x)).因?yàn)槭蹆r(jià)不能低于成本價(jià)，所以100eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(x,10)))－80≥0.所以y＝f(x)＝20(10－x)(50＋8x)，定義域?yàn)閇0,2]．(2)由題意得20(10－x)(50＋8x)≥10260，化簡(jiǎn)得8x2－30x＋13≤0.解得eq\f(1,2)≤x≤eq\f(13,4).所以x的取值范圍是eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，2)).[課堂練通考點(diǎn)]1．(2013·廣東高考)不等式|x2－2|<2的解集是()A．(－1,1) B．(－2,2)C．(－1,0)∪(0,1) D．(－2,0)∪(0,2)解析：選D由|x2－2|<2得－2<x2－2<2，即0<x2<4，所以－2<x<0或0<x<2.2．設(shè)a>0，不等式－c<ax＋b<c的解集是{x|－2<x<1}，則a∶b∶c＝()A．1∶2∶3 B．2∶1∶3C．3∶1∶2 D．3∶2∶1解析：選B∵－c<ax＋b<c，又a>0，∴－eq\f(b＋c,a)<x<eq\f(c－b,a).∵不等式的解集為{x|－2<x<1}，∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(－\f(b＋c,a)＝－2，,\f(c－b,a)＝1，))∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(b＝\f(a,2)，,c＝\f(3,2)a，))∴a∶b∶c＝a∶eq\f(a,2)∶eq\f(3a,2)＝2∶1∶3.3．(2013·重慶高考)關(guān)于x的不等式x2－2ax－8a2<0(a>0)的解集為(x1，x2)，且x2－x1＝15，則aA.eq\f(5,2) B.eq\f(7,2)C.eq\f(15,4) D.eq\f(15,2)解析：選A由條件知x1，x2為方程x2－2ax－8a2＝0的兩根，則x1＋x2＝2a，x1x2＝－8a2，故(x2－x1)2＝(x1＋x2)2－4x1x2＝(2a)2－4×(－8a2)＝36a2＝152，得a＝eq\f(5,4．(2014·皖南八校聯(lián)考)不等式x2－2x＋5≥a2－3a對(duì)任意實(shí)數(shù)x恒成立，則實(shí)數(shù)a的取值范圍為A．[－1,4] B．(－∞，－2]∪[5，＋∞)C．(－∞，－1]∪[4，＋∞) D．[－2,5]解析：選Ax2－2x＋5＝(x－1)2＋4的最小值為4，所以x2－2x＋5≥a2－3a對(duì)任意實(shí)數(shù)x恒成立，只需a2－3a≤4，解得－1≤a5．(2013·溫州調(diào)研)若函數(shù)f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x2＋1，x>0，,－x，x≤0，))則不等式f(x)<4的解集是________．解析：不等式f(x)<4等價(jià)于eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x>0，,x2＋1<4，))或eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x≤0，,－x<4，))即0<x<eq\r(3)或－4<x≤0.因此，不等式f(x)<4的解集是(－4，eq\r(3))．答案：(－4，eq\r(3))6．(2012·天津高考)已知集合A＝{x∈R||x＋2|<3}，集合B＝{x∈R|(x－m)(x－2)<0}，且A∩B＝(－1，n)，則m＝__________，n＝________.解析：因?yàn)閨x＋2|<3，即－5<x<1，所以A＝(－5,1)，又A∩B≠?，所以m<1，B＝(m,2)，由A∩B＝(－1，n)得m＝－1，n＝1.答案：－11[課下提升考能]第Ⅰ組：全員必做題1．(2014·濰坊質(zhì)檢)不等式eq\f(4,x－2)≤x－2的解集是()A．(－∞，0]∪(2,4] B．[0,2)∪[4，＋∞)C．[2,4) D．(－∞，2]∪(4，＋∞)解析：選B①當(dāng)x－2>0，即x>2時(shí)，不等式可化為(x－2)2≥4，所以x≥4；②當(dāng)x－2<0，即x<2時(shí)，不等式可化為(x－2)2≤4，所以0≤x<2.2．(2013·安徽高考)已知一元二次不等式f(x)<0的解集為eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x\a\vs4\al(|)x<－1或x>\f(1,2)))，則f(10x)>0的解集為()A．{x|x<－1或x>lg2}B．{x|－1<x<lg2}C．{x|x>－lg2}D．{x|x<－lg2}解析：選D因?yàn)橐辉尾坏仁絝(x)<0的解集為eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x\a\vs4\al(|)x<－1或x>\f(1,2)))，所以可設(shè)f(x)＝a(x＋1)·eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(1,2)))(a<0)，由f(10x)>0可得(10x＋1)·eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(10x－\f(1,2)))<0，即10x<eq\f(1,2)，x<－lg2.3．(2014·湖北八校聯(lián)考)“0<a<1”是“ax2＋2ax＋1>0的解集是實(shí)數(shù)集R”的()A．充分而不必要條件B．必要而不充分條件C．充要條件D．既不充分也不必要條件解析：選A當(dāng)a＝0時(shí)，1>0，顯然成立；當(dāng)a≠0時(shí)，eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a>0，,Δ＝4a2－4a<0.))故ax2＋2ax＋1>0的解集是實(shí)數(shù)集R等價(jià)于0≤a<1.因此，“0<a<1”是“ax2＋2ax＋1>0的解集是實(shí)數(shù)集R”的充分而不必要條件．4．關(guān)于x的不等式x2－(a＋1)x＋a＜0的解集中，恰有3個(gè)整數(shù)，則a的取值范圍是()A．(4,5) B．(－3，－2)∪(4,5)C．(4,5] D．[－3，－2)∪(4,5]解析：選D原不等式可能為(x－1)(x－a)＜0，當(dāng)a＞1時(shí)得1＜x＜a，此時(shí)解集中的整數(shù)為2,3,4，則4＜a≤5，當(dāng)a＜1時(shí)得a＜x＜1，則－3≤a＜－2，故a∈[－3，－2)∪(4,5]5．(2013·洛陽(yáng)診斷)若不等式x2＋ax－2>0在區(qū)間[1,5]上有解，則a的取值范圍是()A.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(23,5)，＋∞)) B.eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(23,5)，1))C．(1，＋∞) D.eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(－∞，－\f(23,5)))解析：選B由Δ＝a2＋8>0，知方程恒有兩個(gè)不等實(shí)根，又知兩根之積為負(fù)，所以方程必有一正根、一負(fù)根．于是不等式在區(qū)間[1,5]上有解的充要條件是f(5)≥0，f(1)≤0，解得a≥－eq\f(23,5)，且a≤1，故a的取值范圍為eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(23,5)，1)).6．不等式|x(x－2)|>x(x－2)的解集是________．解析：不等式|x(x－2)|>x(x－2)的解集即x(x－2)<0的解集，解得0<x<2.答案：{x|0<x<2}7．在R上定義運(yùn)算：x*y＝x(1－y)．若不等式(x－y)*(x＋y)<1對(duì)一切實(shí)數(shù)x恒成立，則實(shí)數(shù)y的取值范圍是________．解析：由題意，知(x－y)*(x＋y)＝(x－y)·[1－(x＋y)]<1對(duì)一切實(shí)數(shù)x恒成立，所以－x2＋x＋y2－y－1<0對(duì)于x∈R恒成立．故Δ＝12－4×(－1)×(y2－y－1)<0，所以4y2－4y－3<0，解得－eq\f(1,2)<y<eq\f(3,2).答案：eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)，\f(3,2)))8．不等式x2－2x＋3≤a2－2a－1在R上的解集是?，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是________解析：原不等式即x2－2x－a2＋2a＋4≤0，在R上解集為?∴Δ＝4－4(－a2＋2a＋4)即a2－2a－3＜0，解得－1＜a答案：(－1,3)9．設(shè)函數(shù)f(x)＝mx2－mx－1.(1)若對(duì)于一切實(shí)數(shù)x，f(x)<0恒成立，求m的取值范圍；(2)若對(duì)于x∈[1,3]，f(x)<－m＋5恒成立，求m的取值范圍．解：(1)要使mx2－mx－1<0恒成立，若m＝0，顯然－1<0；若m≠0，則eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(m<0，,Δ＝m2＋4m<0))?－4<m<0.所以－4<m≤0.(2)要使f(x)<－m＋5在[1,3]上恒成立，即meq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(1,2)))2＋eq\f(3,4)m－6<0在x∈[1,3]上恒成立．有以下兩種方法：法一：令g(x)＝meq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(1,2)))2＋eq\f(3,4)m－6，x∈[1,3]．當(dāng)m>0時(shí)，g(x)在[1,3]上是增函數(shù)，所以g(x)max＝g(3)?7m所以m<eq\f(6,7)，則0<m<eq\f(6,7)；當(dāng)m＝0時(shí)，－6<0恒成立；當(dāng)m<0時(shí)，g(x)在[1,3]上是減函數(shù)，所以g(x)max＝g(1)?m－6<0，所以m<6，所以m<0.綜上所述：m的取值范圍是eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(m\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(m<\f(6,7))))).法二：因?yàn)閤2－x＋1＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(1,2)))2＋eq\f(3,4)>0，又因?yàn)閙(x2－x＋1)－6<0，所以m<eq\f(6,x2－x＋1).因?yàn)楹瘮?shù)y＝eq\f(6,x2－x＋1)＝eq\f(6,\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(1,2)))2＋\f(3,4))在[1,3]上的最小值為eq\f(6,7)，所以只需m<eq\f(6,7)即可．所以，m的取值范圍是eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(m\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(m<\f(6,7))))).10．設(shè)二次函數(shù)f(x)＝ax2＋bx＋c，函數(shù)F(x)＝f(x)－x的兩個(gè)零點(diǎn)為m，n(m＜n)．(1)若m＝－1，n＝2，求不等式F(x)＞0的解集；(2)若a＞0，且0＜x＜m＜n＜eq\f(1,a)，比較f(x)與m的大?。猓?1)由題意知，F(xiàn)(x)＝f(x)－x＝a(x－m)(x－n)，當(dāng)m＝－1，n＝2時(shí)，不等式F(x)＞0，即a(x＋1)(x－2)＞0.那么當(dāng)a＞0時(shí)，不等式F(x)＞0的解集為{x|x＜－1，或x＞2}；當(dāng)a＜0時(shí)，不等式F(x)＞0的解集為{x|－1＜x＜2}．(2)f(x)－m＝a(x－m)(x－n)＋x－m＝(x－m)(ax－an＋1)，∵a＞0，且0＜x＜m＜n＜eq\f(1,a)，∴x－m＜0,1－an＋ax＞0.∴f(x)－m＜0，即f(x)＜m.第Ⅱ組：重點(diǎn)選做題1．若函數(shù)f(x)＝(a2＋4a－5)x2－4(a－1)x＋3的圖像恒在x軸上方，則a的取值范圍是A．[1,19] B．(1,19)C．[1,19) D．(1,19]解析：選C函數(shù)圖像恒在x軸上方，即不等式(a2＋4a－5)x2－4(a－1)x＋3>0對(duì)于一切x∈R恒成立(1)當(dāng)a2＋4a－5＝0時(shí)，有a＝－5或a＝1.若a＝－5，不等式化為24x＋3>0，不滿足題意；若a＝1，不等式化為3>0，滿足題意(2)當(dāng)a2＋4a－5≠eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a2＋4a－5>0，,16a－12－12a2＋4a－5<0.))解得1<a<19.綜上可知，a的取值范圍是1≤a<19.2．(2013·江蘇高考)已知f(x)是定義在R上的奇函數(shù)，當(dāng)x>0時(shí)，f(x)＝x2－4x，則不等式f(x)>x的解集用區(qū)間表示為_(kāi)_______．解析：由于f(x)為R上的奇函數(shù)，所以當(dāng)x＝0時(shí)，f(0)＝0；當(dāng)x<0時(shí)，－x>0，所以f(－x)＝x2＋4x＝－f(x)，即f(x)＝－x2－4x，所以f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x2－4x，x>0，,0，x＝0，,－x2－4x，x<0.))由f(x)>x，可得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x2－4x>x，,x>0))或eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(－x2－4x>x，,x<0，))解得x>5或－5<x<0，所以原不等式的解集為(－5,0)∪(5，＋∞)．答案：(－5,0)∪(5，＋∞)第三節(jié)二元一次不等式(組)及簡(jiǎn)單的線性規(guī)劃問(wèn)題1．二元一次不等式(組)表示的平面區(qū)域不等式表示區(qū)域Ax＋By＋C＞0直線Ax＋By＋C＝0某一側(cè)的所有點(diǎn)組成的平面區(qū)域不包括邊界直線Ax＋By＋C≥0包括邊界直線不等式組各個(gè)不等式所表示平面區(qū)域的公共部分2．線性規(guī)劃中的基本概念名稱意義約束條件由變量x，y組成的不等式(組)線性約束條件由x，y的一次不等式(或方程)組成的不等式(組)目標(biāo)函數(shù)關(guān)于x，y的函數(shù)解析式，如z＝2x＋3y等線性目標(biāo)函數(shù)關(guān)于x，y的一次解析式可行解滿足線性約束條件的解(x，y)可行域所有可行解組成的集合最優(yōu)解使目標(biāo)函數(shù)取得最大值或最小值的可行解線性規(guī)劃問(wèn)題在線性約束條件下求線性目標(biāo)函數(shù)的最大值或最小值問(wèn)題1．畫(huà)出平面區(qū)域．避免失誤的重要方法就是首先使二元一次不等式化為ax＋by＋c>0(a>0)．2．線性規(guī)劃問(wèn)題中的最優(yōu)解不一定是唯一的，即可行域內(nèi)使目標(biāo)函數(shù)取得最值的點(diǎn)不一定只有一個(gè)，也可能有無(wú)數(shù)多個(gè)，也可能沒(méi)有．[試一試]1．(2013·全國(guó)卷Ⅱ)設(shè)x，y滿足約束條件eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x－y＋1≥0，,x＋y－1≥0，,x≤3，))則z＝2x－3y的最小值是()A．－7 B．－6C．－5 D．－3解析：選B作出不等式組表示的可行域，如圖(陰影部分)．易知直線z＝2x－3y過(guò)點(diǎn)C時(shí)，z取得最小值．由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝3，,x－y＋1＝0，))得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝3，,y＝4，))∴zmin＝2×3－3×4＝－6，故選B.2．如圖所示的平面區(qū)域(陰影部分)滿足不等式________．答案：x＋y－1>01．確定二元一次不等式表示平面區(qū)域的方法二元一次不等式所表示的平面區(qū)域的確定，一般是取不在直線上的點(diǎn)(x0，y0)作為測(cè)試點(diǎn)來(lái)進(jìn)行判定，滿足不等式的則平面區(qū)域在測(cè)試點(diǎn)所在的直線的一側(cè)，反之在直線的另一側(cè)．2．求二元一次函數(shù)z＝ax＋by(ab≠0)的最值的方法將函數(shù)z＝ax＋by轉(zhuǎn)化為直線的斜截式：y＝－eq\f(a,b)x＋eq\f(z,b)，通過(guò)求直線的截距eq\f(z,b)的最值間接求出z的最值．(1)當(dāng)b>0時(shí)，截距eq\f(z,b)取最大值時(shí)，z也取最大值；截距eq\f(z,b)取最小值時(shí)，z也取最小值；(2)當(dāng)b<0時(shí)，截距eq\f(z,b)取最大值時(shí)，z取最小值；截距eq\f(z,b)取最小值時(shí)，z取最大值．[練一練](2013·陜西高考)若點(diǎn)(x，y)位于曲線y＝|x|與y＝2所圍成的封閉區(qū)域，則2x－y的最小值是()A．－6 B．－2C．0 D．2解析：選A作出函數(shù)y＝|x|＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(xx≥0,－xx＜0))和y＝2圍成的等腰直角三角形的可行域(如圖陰影部分所示)，則可得過(guò)交點(diǎn)A(－2，2)時(shí)，2x－y取得最小值－6.考點(diǎn)一二元一次不等式(組)表示平面區(qū)域1.不等式組eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x≥0，,x＋3y≥4，,3x＋y≤4))所表示的平面區(qū)域的面積等于()A.eq\f(3,2) B.eq\f(2,3)C.eq\f(4,3) D.eq\f(3,4)解析：選C平面區(qū)域如圖所示．解eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＋3y＝4，,3x＋y＝4))得A(1,1)，易得B(0,4)，Ceq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(4,3)))，|BC|＝4－eq\f(4,3)＝eq\f(8,3).∴S△ABC＝eq\f(1,2)×eq\f(8,3)×1＝eq\f(4,3).2．若滿足條件eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x－y≥0，,x＋y－2≤0，,y≥a))的整點(diǎn)(x，y)恰有9個(gè)，其中整點(diǎn)是指橫、縱坐標(biāo)都是整數(shù)的點(diǎn)，則整數(shù)a的值為()A．－3 B．－2C．－1 D．0解析：選C不等式組所表示的平面區(qū)域如圖中陰影部分，當(dāng)a＝0時(shí)，只有4個(gè)整點(diǎn)(1,1)，(0,0)，(1,0)，(2,0)；當(dāng)a＝－1時(shí)，正好增加(－1，－1)，(0，－1)，(1，－1)，(2，－1)，(3，－1)5個(gè)整點(diǎn)，故選C.3．如圖陰影部分表示的區(qū)域可用二元一次不等式組表示為_(kāi)_______．解析：兩直線方程分別為x－2y＋2＝0與x＋y－1＝0.由(0,0)點(diǎn)在直線x－2y＋2＝0右下方可知x－2y＋2≥0，又(0,0)點(diǎn)在直線x＋y－1＝0左下方可知x＋y－1≥0，即eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＋y－1≥0，,x－2y＋2≥0))為所表示的可行域．答案：eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＋y－1≥0，,x－2y＋2≥0))[類題通法]二元一次不等式(組)表示平面區(qū)域的判斷方法：直線定界，測(cè)試點(diǎn)定域．注意不等式中不等號(hào)有無(wú)等號(hào)，無(wú)等號(hào)時(shí)直線畫(huà)成虛線，有等號(hào)時(shí)直線畫(huà)成實(shí)線．測(cè)試點(diǎn)可以選一個(gè)，也可以選多個(gè)，若直線不過(guò)原點(diǎn)，測(cè)試點(diǎn)常選取原點(diǎn)．考點(diǎn)二求目標(biāo)函數(shù)的最值線性規(guī)則問(wèn)題是高考的重點(diǎn)，而線性規(guī)劃問(wèn)題具有代數(shù)和幾何的雙重形式，多與函數(shù)、平面向量、數(shù)列、三角、概率、解析幾何等問(wèn)題交叉滲透，自然地融合在一起，使數(shù)學(xué)問(wèn)題的解答變得更加新穎別致.歸納起來(lái)常見(jiàn)的命題角度有：1求線性目標(biāo)函數(shù)的最值；2求非線性目標(biāo)的最值；3求線性規(guī)劃中的參數(shù).角度一求線性目標(biāo)函數(shù)的最值1．(1)(2013·湖南高考)若變量x，y滿足約束條件eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(y≤2x，,x＋y≤1，,y≥－1，))則x＋2y的最大值是()A．－eq\f(5,2) B．0C.eq\f(5,3) D.eq\f(5,2)(2)如果函數(shù)x、y滿足條件eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x－y＋1≥0，,y＋1≥0，,x＋y＋1≤0，))那么z＝2x－y的最大值為()A．2 B．1C．－2 D．－3解析：(1)選C不等式組表示的平面區(qū)域?yàn)閳D中陰影部分．平行移動(dòng)y＝－eq\f(1,2)x＋eq\f(1,2)z，可知該直線經(jīng)過(guò)y＝2x與x＋y＝1的交點(diǎn)Aeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)，\f(2,3)))時(shí)，z有最大值為eq\f(1,3)＋eq\f(4,3)＝eq\f(5,3).(2)選B如圖作出可行域，當(dāng)z經(jīng)過(guò)直線y＋1＝0與x＋y＋1＝0的交點(diǎn)(0，－1)時(shí)，zmax＝1.角度二求非線性目標(biāo)的最值2．(1)(2013·山東高考)在平面直角坐標(biāo)系xOy中，M為不等式組eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2x＋3y－6≤0，,x＋y－2≥0，,y≥0))所表示的區(qū)域上一動(dòng)點(diǎn)，則|OM|的最小值是________．解析：作出不等式組表示的可行域如圖中陰影部分所示，因此|OM|的最小值為點(diǎn)O到直線x＋y－2＝0的距離，所以|OM|min＝eq\f(|－2|,\r(2))＝eq\r(2).答案：eq\r(2)(2)(2014·深圳調(diào)研)已知變量x，y滿足約束條件eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x－y＋2≤0，,x≥1，,2x＋y－8≤0，))則eq\f(y,x)的取值范圍是________．解析：如圖，畫(huà)出可行域，易得A(2,4)，B(1,6)，∴它們與原點(diǎn)連線的斜率分別為k1＝2，k2＝6，又eq\f(y,x)＝eq\f(y－0,x－0)，∴k1≤eq\f(y,x)≤k2，即2≤eq\f(y,x)≤6.答案：[2,6]角度三求線性規(guī)劃中的參數(shù)3．(1)(2013·浙江高考)設(shè)z＝kx＋y，其中實(shí)數(shù)x，y滿足eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x≥2，,x－2y＋4≥0，,2x－y－4≤0.))若z的最大值為12，則實(shí)數(shù)k＝________.解析：已知不等式組可表示成如圖的可行域，當(dāng)0≤－k<eq\f(1,2)時(shí)，直線y＝－kx＋z經(jīng)過(guò)點(diǎn)M(4,4)時(shí)z最大，所以4k＋4＝12，解得k＝2(舍去)；當(dāng)－k≥eq\f(1,2)時(shí)，直線y＝－kx＋z經(jīng)過(guò)點(diǎn)N(2,3)時(shí)z最大，所以2k＋3＝12，解得k＝eq\f(9,2)(舍去)；當(dāng)－k<0時(shí)，直線y＝－kx＋z經(jīng)過(guò)點(diǎn)M(4,4)時(shí)z最大，所以4k＋4＝12，解得k＝2，符合條件，綜上可知，k＝2.答案：2(2)(2014·江西七校聯(lián)考)已知實(shí)數(shù)x，y滿足eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x－y＋1≥0，,x＋2y－8≤0，,x≤3.))若點(diǎn)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(3，\f(5,2)))是使ax－y取得最小值的唯一的可行解，則實(shí)數(shù)a的取值范圍為_(kāi)_______．解析：記z＝ax－y，注意到當(dāng)x＝0時(shí)，y＝－z，即直線z＝ax－y在y軸上的截距是－z.在坐標(biāo)平面內(nèi)畫(huà)出題中的不等式組表示的平面區(qū)域，結(jié)合圖形可知，滿足題意的實(shí)數(shù)a的取值范圍為a<－eq\f(1,2).答案：eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－∞，－\f(1,2)))[類題通法]1．求目標(biāo)函數(shù)的最值的一般步驟為：一畫(huà)二移三求．其關(guān)鍵是準(zhǔn)確作出可行域，理解目標(biāo)函數(shù)的意義．2．常見(jiàn)的目標(biāo)函數(shù)有：(1)截距型：形如z＝ax＋by.求這類目標(biāo)函數(shù)的最值常將函數(shù)z＝ax＋by轉(zhuǎn)化為直線的斜截式：y＝－eq\f(a,b)x＋eq\f(z,b)，通過(guò)求直線的截距eq\f(z,b)的最值間接求出z的最值．(2)距離型：形如z＝(x－a)2＋(y－b)2.(3)斜率型：形如z＝eq\f(y－b,x－a).注意：轉(zhuǎn)化的等價(jià)性及幾何意義．考點(diǎn)三線性規(guī)劃的實(shí)際應(yīng)用[典例](2013·湖北高考)某旅行社租用A，B兩種型號(hào)的客車安排900名客人旅行，A，B兩種車輛的載客量分別為36人和60人，租金分別為1600元/輛和2400元/輛，旅行社要求租車總數(shù)不超過(guò)21輛，且B型車不多于A型車7輛，則租金最少為()A．31200元 B．36000元C．36800元 D．38400元[解析]設(shè)租用A型車x輛，B型車y輛，目標(biāo)函數(shù)為z＝1600x＋2400y，則約束條件為eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(36x＋60y≥900，,y－x≤7，,y＋x≤21，,x，y∈N，))作出可行域，如圖中陰影部分所示，可知目標(biāo)函數(shù)過(guò)點(diǎn)(5,12)時(shí)，有最小值z(mì)min＝36800(元)．[答案]C[類題通法]求解線性規(guī)劃應(yīng)用題的注意點(diǎn)(1)明確問(wèn)題中的所有約束條件，并根據(jù)題意判斷約束條件中是否能夠取到等號(hào)．(2)注意結(jié)合實(shí)際問(wèn)題的實(shí)際意義，判斷所設(shè)未知數(shù)x，y的取值范圍，特別注意分析x，y是否是整數(shù)、非負(fù)數(shù)等．(3)正確地寫(xiě)出目標(biāo)函數(shù)，一般地，目標(biāo)函數(shù)是等式的形式．[針對(duì)訓(xùn)練]某公司生產(chǎn)甲、乙兩種桶裝產(chǎn)品．已知生產(chǎn)甲產(chǎn)品1桶需耗A原料1千克、B原料2千克；生產(chǎn)乙產(chǎn)品1桶需耗A原料2千克，B原料1千克．每桶甲產(chǎn)品的利潤(rùn)是300元，每桶乙產(chǎn)品的利潤(rùn)是400元．公司在生產(chǎn)這兩種產(chǎn)品的計(jì)劃中，要求每天消耗A、B原料都不超過(guò)12千克．通過(guò)合理安排生產(chǎn)計(jì)劃，從每天生產(chǎn)的甲、乙兩種產(chǎn)品中，公司共可獲得的最大利潤(rùn)是()A．1800元 B．2400元C．2800元 D．3100元解析：選C設(shè)每天分別生產(chǎn)甲產(chǎn)品x桶，乙產(chǎn)品y桶，相應(yīng)的利潤(rùn)為z元，則eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＋2y≤12，,2x＋y≤12，,x≥0，y≥0，))z＝300x＋400y，在坐標(biāo)平面內(nèi)畫(huà)出該不等式組表示的平面區(qū)域及直線300x＋400y＝0，平移該直線，當(dāng)平移到經(jīng)過(guò)該平面區(qū)域內(nèi)的點(diǎn)A(4,4)時(shí)，相應(yīng)直線在y軸上的截距達(dá)到最大，此時(shí)z＝300x＋400y取得最大值，最大值是z＝300×4＋400×4＝2800，即該公司可獲得的最大利潤(rùn)是2800元．[課堂練通考點(diǎn)]1．(2014·長(zhǎng)春模擬)不等式組eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x－3y＋6≥0，,x－y＋2<0))表示的平面區(qū)域是()解析：選Bx－3y＋6≥0表示直線x－3y＋6＝0以及該直線下方的區(qū)域，x－y＋2<0表示直線x－y＋2＝0上方的區(qū)域，故選B.2．(2013·北京市海淀區(qū)期中練習(xí))不等式組eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x≥1,x＋y－4≤0,kx－y≤0))表示面積為1的直角三角形區(qū)域，則k的值為()A．－2 B．－1C．0 D．1解析：選D注意到直線kx－y＝0恒過(guò)原點(diǎn)，在坐標(biāo)平面內(nèi)畫(huà)出題中的不等式組表示的平面區(qū)域，結(jié)合題意得直線kx－y＝0與直線x＋y－4＝0垂直時(shí)滿足題意，于是有k×(－1)＝－1，由此解得k＝1，選D.3．(2014·泉州質(zhì)檢)已知O為坐標(biāo)原點(diǎn)，A(1,2)，點(diǎn)P的坐標(biāo)(x，y)滿足約束條件eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＋|y|≤1，,x≥0，))則z＝·的最大值為()A．－2 B．－1C．1 D．2解析：選D如圖作可行域，z＝·＝x＋2y，顯然在B(0,1)處zmax＝2.故選D.4．(2013·四川高考)若變量x，y滿足約束條件eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＋y≤8，,2y－x≤4，,x≥0，,y≥0，))且z＝5y－x的最大值為a，最小值為b，則a－b的值是()A．48 B．30C．24 D．16解析：選C約束條件eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＋y≤8，,2y－x≤4，,x≥0，,y≥0))表示以(0,0)，(0,2)，(4,4)，(8,0)為頂點(diǎn)的四邊形區(qū)域，檢驗(yàn)四個(gè)頂點(diǎn)的坐標(biāo)可知，當(dāng)x＝4，y＝4時(shí)，a＝zmax＝5×4－4＝16；當(dāng)x＝8，y＝0時(shí)，b＝zmin＝5×0－8＝－8，∴a－b＝24.5．(2013·安徽高考)若非負(fù)變量x，y滿足約束條件eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x－y≥－1，,x＋2y≤4，))則x＋y的最大值為_(kāi)_______．解析：畫(huà)出可行域是如圖所示的四邊形OABC的邊界及內(nèi)部，令z＝x＋y，易知當(dāng)直線y＝－x＋z經(jīng)過(guò)點(diǎn)C(4,0)時(shí)，直線在y軸上截距最大，目標(biāo)函數(shù)z取得最大值，即zmax＝4.答案：46．(2013·北京高考)設(shè)D為不等式組eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x≥0，,2x－y≤0，,x＋y－3≤0))所表示的平面區(qū)域，區(qū)域D上的點(diǎn)與點(diǎn)(1,0)之間的距離的最小值為_(kāi)_______．解析：作出可行域，如圖中陰影部分所示，則根據(jù)圖形可知，點(diǎn)B(1,0)到直線2x－y＝0的距離最小，d＝eq\f(|2×1－0|,\r(22＋1))＝eq\f(2\r(5),5)，故最小距離為eq\f(2\r(5),5).答案：eq\f(2\r(5),5)[課下提升考能]第Ⅰ組：全員必做題1．已知點(diǎn)(－3，－1)和點(diǎn)(4，－6)在直線3x－2y－a＝0的兩側(cè)，則a的取值范圍為()A．(－24,7) B．(－7,24)C．(－∞，－7)∪(24，＋∞) D．(－∞，－24)∪(7，＋∞)解析：選B根據(jù)題意知(－9＋2－a)·(12＋12－a)＜0.即(a＋7)(a－24)＜0，解得－7＜a＜24.2．已知實(shí)數(shù)對(duì)(x，y)滿足eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x≤2，,y≥1，,x－y≥0，))則2x＋y取最小值時(shí)的最優(yōu)解是()A．6 B．3C．(2,2) D．(1,1)解析：選D約束條件表示的可行域如圖中陰影三角形，令z＝2x＋y，y＝－2x＋z，作初始直線l0：y＝－2x，作與l0平行的直線l，則直線經(jīng)過(guò)點(diǎn)(1,1)時(shí)，(2x＋y)min＝3.3．(2012·山東高考)設(shè)變量x，y滿足約束條件eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＋2y≥2，,2x＋y≤4，,4x－y≥－1，))則目標(biāo)函數(shù)z＝3x－y的取值范圍是()A.eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(3,2)，6)) B.eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(3,2)，－1))C．[－1,6] D.eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－6，\f(3,2)))解析：選A不等式組表示的平面區(qū)域如圖所示，目標(biāo)函數(shù)的幾何意義是直線在y軸上截距的相反數(shù)，其最大值在點(diǎn)A(2,0)處取得，最小值在點(diǎn)Beq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，3))處取得，即最大值為6，最小值為－eq\f(3,2).4．(2013·北京西城一模)實(shí)數(shù)x，y滿足eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(y≥1，,y≤2x－1，,x＋y≤m，))如果目標(biāo)函數(shù)z＝x－y的最小值為－2，則實(shí)數(shù)m的值為()A．5 B．6C．7 D．8解析：選D先作出滿足不等式組eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(y≥1，,y≤2x－1))的區(qū)域如圖．由z＝x－y得y＝x－z可知，直線的截距最大時(shí)，z取得最小值，此時(shí)直線y＝x－(－2)＝x＋2，作出直線y＝x＋2，交y＝2x－1于A點(diǎn)，由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(y＝2x－1，,y＝x＋2，))得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝3，,y＝5，))代入x＋y＝m得m＝3＋5＝8，故選D.5．(2014·遼寧六校聯(lián)考)設(shè)變量x，y滿足約束條件eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＋y≤a,x＋y≥8，,x≥6))且不等式x＋2y≤14恒成立，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是()A．[8,10] B．[8,9]C．[6,9] D．[6,10]解析：選A不等式組表示的平面區(qū)域如圖中陰影部分所示，顯然a≥8，否則可行域無(wú)意義．由圖可知x＋2y在點(diǎn)(6，a－6)處取得最大值2a－6，由2a－6≤14得，a6．(2014·江南十校聯(lián)考)若不等式組eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x－y＋2≥0,ax＋y－2≤0表示,y≥0))的平面區(qū)域的面積為3，則實(shí)數(shù)a的值是________．解析：作出可行域，如圖中陰影部分所示，區(qū)域面積S＝eq\f(1,2)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,a)＋2))×2＝3，解得a＝2.答案：27．(2013·廣東高考)給定區(qū)域D：eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＋4y≥4，,x＋y≤4，,x≥0，))令點(diǎn)集T＝{(x0，y0)∈D|x0，y0∈Z，(x0，y0)是z＝x＋y在D上取得最大值或最小值的點(diǎn)}，則T中的點(diǎn)共確定________條不同的直線．解析：解決本題的關(guān)鍵是要讀懂?dāng)?shù)學(xué)語(yǔ)言，x0，y0∈Z，說(shuō)明x0，y0是整數(shù)，作出圖形可知，△ABF所圍成的區(qū)域即為區(qū)域D，其中A(0,1)是z在D上取得最小值的點(diǎn)，B，C，D，E，F(xiàn)是z在D上取得最大值的點(diǎn)，則T中的點(diǎn)共確定AB，AC，AD，AE，AF，BF共6條不同的直線．答案：68．(2014·鄭州質(zhì)檢)若x，y滿足條件eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(3x－5y＋6≥0，,2x＋3y－15≤0，,y≥0))當(dāng)且僅當(dāng)x＝y(tǒng)＝3時(shí)，z＝ax－y取得最小值，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是________．解析：畫(huà)出可行域，如圖，直線3x－5y＋6＝0與2x＋3y－15＝0交于點(diǎn)M(3,3)，由目標(biāo)函數(shù)z＝ax－y，得y＝ax－z，縱截距為－z，當(dāng)z最小時(shí)，－z最大．欲使縱截距－z最大，則－eq\f(2,3)<a<eq\f(3,5).答案：eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(2,3)，\f(3,5)))9．變量x，y滿足eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x－4y＋3≤0，,3x＋5y－25≤0，,x≥1，))(1)設(shè)z＝4x－3y，求z的最大值；(2)設(shè)z＝eq\f(y,x)，求z的最小值．解：(1)由約束條件eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x－4y＋3≤0，,3x＋5y－25≤0，,x≥1，))作出(x，y)的可行域如圖所示．由z＝4x－3y，得y＝eq\f(4,3)x－eq\f(z,3).求z＝4x－3y的最大值，相當(dāng)于求直線y＝eq\f(4,3)x－eq\f(z,3)在y軸上的截距－eq\f(z,3)的最小值．平移直線y＝eq\f(4,3)x知，當(dāng)直線y＝eq\f(4,3)x－eq\f(z,3)過(guò)點(diǎn)B時(shí)，－eq\f(z,3)最小，z最大．由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x－4y＋3＝0，,3x＋5y－25＝0，))解得B(5,2)．故zmax＝4×5－3×2＝14.(2)∵z＝eq\f(y,x)＝eq\f(y－0,x－0).∴z的值即是可行域中的點(diǎn)與原點(diǎn)O連線的斜率．觀察圖形可知zmin＝kOB＝eq\f(2,5).10．某玩具生產(chǎn)公司每天計(jì)劃生產(chǎn)衛(wèi)兵、騎兵、傘兵這三種玩具共100個(gè)，生產(chǎn)一個(gè)衛(wèi)兵需5分鐘，生產(chǎn)一個(gè)騎兵需7分鐘，生產(chǎn)一個(gè)傘兵需4分鐘，已知總生產(chǎn)時(shí)間不超過(guò)10小時(shí)．若生產(chǎn)一個(gè)衛(wèi)兵可獲利潤(rùn)5元，生產(chǎn)一個(gè)騎兵可獲利潤(rùn)6元，生產(chǎn)一個(gè)傘兵可獲利潤(rùn)3元．(1)試用每天生產(chǎn)的衛(wèi)兵個(gè)數(shù)x與騎兵個(gè)數(shù)y表示每天的利潤(rùn)w(元)；(2)怎樣分配生產(chǎn)任務(wù)才能使每天的利潤(rùn)最大，最大利潤(rùn)是多少？解：(1)依題意每天生產(chǎn)的傘兵個(gè)數(shù)為100－x－y，所以利潤(rùn)w＝5x＋6y＋3(100－x－y)＝2x＋3y＋300.(2)約束條件為eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(5x＋7y＋4100－x－y≤600，,100－x－y≥0，,x≥0，y≥0，x，y∈N.))整理得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＋3y≤200，,x＋y≤100，,x≥0，y≥0，x，y∈N.))目標(biāo)函數(shù)為w＝2x＋3y＋300.作出可行域．如圖所示：初始直線l0：2x＋3y＝0，平移初始直線經(jīng)過(guò)點(diǎn)A時(shí)，w有最大值．由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＋3y＝200，,x＋y＝100，))得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝50，,y＝50.))最優(yōu)解為A(50,50)，所以wmax＝550元．所以每天生產(chǎn)衛(wèi)兵50個(gè)，騎兵50個(gè)，傘兵0個(gè)時(shí)利潤(rùn)最，最大為利潤(rùn)550元．第Ⅱ組：重點(diǎn)選做題1．(2013·北京高考)設(shè)關(guān)于x，y的不等式組eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2x－y＋1＞0，,x＋m＜0，,y－m＞0))表示的平面區(qū)域內(nèi)存在點(diǎn)P(x0，y0)，滿足x0－2y0＝2.求得m的取值范圍是()A.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－∞，\f(4,3))) B.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－∞，\f(1,3)))C.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－∞，－\f(2,3))) D.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－∞，－\f(5,3)))解析：選C問(wèn)題等價(jià)于直線x－2y＝2與不等式組所表示的平面區(qū)域存在公共點(diǎn)，由于點(diǎn)(－m，m)不可能在第一和第三象限，而直線x－2y＝2經(jīng)過(guò)第一、三、四象限，則點(diǎn)(－m，m)只能在第四象限，可得m＜0，不等式組所表示的平面區(qū)域如圖中陰影部分所示，要使直線x－2y＝2與陰影部分有公共點(diǎn)，則點(diǎn)(－m，m)在直線x－2y－2＝0的下方，由于坐標(biāo)原點(diǎn)使得x－2y－2＜0，故－m－2m－2＞0，即m＜－eq\f(2,3).2．記不等式組eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x≥0，,x＋3y≥4，,3x＋y≤4))所表示的平面區(qū)域?yàn)镈，若直線y＝a(x＋1)與D有公共點(diǎn)，則a的取值范圍是________．解析：畫(huà)出可行域，易知直線y＝a(x＋1)過(guò)定點(diǎn)(－1,0)，當(dāng)直線y＝a(x＋1)經(jīng)過(guò)x＋3y＝4與3x＋y＝4的