選修2-2-微積分基本定理

1．6微積分基本定理1．問題導航(1)微積分基本定理的內(nèi)容是什么？(2)定積分的取值符號有哪些？2．例題導讀通過P53例1，學會利用微積分基本定理求簡單定積分的步驟和方法，通過P53例2的學習，理解定積分的幾何意義和定積分的取值符號．1．微積分基本定理(1)內(nèi)容：一般地，如果f(x)是區(qū)間[a，b]上的連續(xù)函數(shù)，并且F′(x)＝f(x)，那么eq\i\in(a,b,)f(x)dx＝F(b)－F(a)．這個結(jié)論叫做微積分基本定理，又叫做牛頓-萊布尼茨公式．(2)表示：為了方便，常常把F(b)－F(a)記成F(x)eq\b\lc\|(\a\vs4\al\co1(b,a))，即eq\i\in(a,b,)f(x)dx＝F(x)eq\b\lc\|(\a\vs4\al\co1(b,a))＝F(b)－F(a)．2．定積分的符號由定積分的意義與微積分基本定理可知，定積分的值可能取正值也可能取負值，還可能是0．(1)當對應(yīng)的曲邊梯形位于x軸上方時(如圖1)，定積分的值取正值，且等于曲邊梯形的面積．(2)當對應(yīng)的曲邊梯形位于x軸下方時(如圖2)，定積分的值取負值，且等于曲邊梯形的面積的相反數(shù)．(3)當位于x軸上方的曲邊梯形面積等于位于x軸下方的曲邊梯形面積時(如圖3)，定積分的值為0，且等于位于x軸上方的曲邊梯形面積減去位于x軸下方的曲邊梯形面積．.1．判斷(正確的打“√”，錯誤的打“×”)(1)微積分基本定理中，被積函數(shù)f(x)是原函數(shù)F(x)的導數(shù)．()(2)應(yīng)用微積分基本定理求定積分的值時，為了計算方便通常取原函數(shù)的常數(shù)項為0.()(3)應(yīng)用微積分基本定理求定積分的值時，被積函數(shù)在積分區(qū)間上必須是連續(xù)函數(shù)．()答案：(1)√(2)√(3)√2．若a＝eq\i\in(0,1,)(x－2)dx，則被積函數(shù)的原函數(shù)為()A．f(x)＝x－2 B．f(x)＝x－2＋CC．f(x)＝eq\f(1,2)x2－2x＋C D．f(x)＝x2－2x答案：C3.eq\i\in(0,π,)sinxdx＝________．解析：eq\i\in(0,π,)sinxdx＝－cosxeq\b\lc\|(\a\vs4\al\co1(π,0))＝(－cosπ)－(－cos0)＝2.答案：21．應(yīng)用微積分基本定理求定積分的注意事項(1)微積分基本定理溝通了定積分與導數(shù)的關(guān)系，揭示了被積函數(shù)與函數(shù)的導函數(shù)之間的互逆運算關(guān)系，為計算定積分提供了一個簡單有效的方法——轉(zhuǎn)化為計算函數(shù)F(x)在積分區(qū)間上的增量．(2)用微積分基本定理求定積分的關(guān)鍵是找到滿足F′(x)＝f(x)的函數(shù)F(x)再計算F(b)－F(a)．(3)利用微積分基本定理求定積分，有時需先化簡被積函數(shù)，再求定積分．2．常見函數(shù)的定積分公式(1)eq\i\in(a,b,)Cdx＝Cxeq\b\lc\|(\a\vs4\al\co1(b,a))(C為常數(shù))．(2)eq\i\in(a,b,)xndx＝eq\f(1,n＋1)xn＋1eq\b\lc\|(\a\vs4\al\co1(b,a))(n≠－1)．(3)eq\i\in(a,b,)sinxdx＝－cosxeq\b\lc\|(\a\vs4\al\co1(b,a)).(4)eq\i\in(a,b,)cosxdx＝sinxeq\b\lc\|(\a\vs4\al\co1(b,a)).(5)eq\i\in(a,b,)eq\f(1,x)dx＝lnxeq\b\lc\|(\a\vs4\al\co1(b,a))(b>a>0)．(6)eq\i\in(a,b,)exdx＝exeq\b\lc\|(\a\vs4\al\co1(b,a)).(7)eq\i\in(a,b,)axdx＝eq\f(ax,lna)eq\b\lc\|(\a\vs4\al\co1(b,a))(a>0且a≠1)．利用微積分基本定理求定積分求下列定積分的值．(1)eq\i\in(1,2,)(x＋1)(x－2)dx；(2)eq\i\in(1,4,)eq\r(x)(1＋eq\r(x))dx；(3)∫eq\s\up6(\f(π,2))0sin2xdx；(4)eq\i\in(2,4,)eq\f(x2－x＋1,x－1)dx.[解](1)eq\i\in(1,2,)(x＋1)(x－2)dx2．(1)設(shè)f(x)＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x2，0≤x<1，,2－x，1<x≤2，))則eq\i\in(0,2,)f(x)dx＝()A.eq\f(2,3) B.eq\f(3,4)C.eq\f(4,5) D.eq\f(5,6)解析：選D.eq\i\in(0,2,)f(x)dx＝eq\i\in(0,1,)x2dx＋eq\i\in(1,2,)(2－x)dx＝eq\f(1,3)x3eq\b\lc\|(\a\vs4\al\co1(1,0))＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x－\f(1,2)x2))eq\b\lc\|(\a\vs4\al\co1(2,1))＝eq\f(1,3)＋eq\f(1,2)＝eq\f(5,6).(2)eq\i\in(0,π,)|cosx|dx＝________．解析：eq\i\in(0,π,)|cosx|dx＝∫eq\s\up6(\f(π,2))0|cosx|dx＋∫πeq\s\do9(\f(π,2))|cosx|dx＝∫eq\s\up6(\f(π,2))0cosxdx＋∫πeq\s\do9(\f(π,2))(－cosx)dx＝sinxeq\b\lc\|(\a\vs4\al\co1(\s\up6(\f(π,2)),0))－sinxeq\b\lc\|(\a\vs4\al\co1(π,\s\do9(\f(π,2))))＝1＋1＝2.答案：2(3)計算eq\i\in(0,2,)|x2－x|dx.解：∵|x2－x|＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(－x2＋x，0≤x≤1，,x2－x，1<x≤2，))∴eq\i\in(0,2,)|x2－x|dx＝eq\i\in(0,1,)(－x2＋x)dx＋eq\i\in(1,2,)(x2－x)dx＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,3)x3＋\f(1,2)x2))eq\b\lc\|(\a\vs4\al\co1(1,0))＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)x3－\f(1,2)x2))eq\b\lc\|(\a\vs4\al\co1(2,1))＝eq\f(1,6)＋eq\f(5,6)＝1.微積分基本定理的綜合應(yīng)用(1)已知x∈(0，1]，f(x)＝eq\i\in(0,1,)(1－2x＋2t)dt，則f(x)的值域是________．[解析]eq\i\in(0,1,)(1－2x＋2t)dt＝[(1－2x)t＋t2]eq\b\lc\|(\a\vs4\al\co1(1,0))＝2－2x，即f(x)＝－2x＋2，因為x∈(0，1]，所以f(1)≤f(x)<f(0)，即0≤f(x)<2，所以函數(shù)f(x)的值域是[0，2)．[答案][0，2)(2)已知eq\i\in(0,1,)[(3ax＋1)(x＋b)]dx＝0，a，b∈R，試求ab的取值范圍．[解]eq\i\in(0,1,)[(3ax＋1)(x＋b)]dx＝eq\i\in(0,1,)[3ax2＋(3ab＋1)x＋b]dx＝eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(ax3＋\f(1,2)（3ab＋1）x2＋bx))eq\b\lc\|(\a\vs4\al\co1(1,0))＝a＋eq\f(1,2)(3ab＋1)＋b＝0，即3ab＋2(a＋b)＋1＝0.法一：由于(a＋b)2＝a2＋b2＋2ab≥4ab.所以eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(3ab＋1,2)))eq\s\up12(2)≥4ab，即9(ab)2－10ab＋1≥0，得(ab－1)(9ab－1)≥0，解得ab≤eq\f(1,9)或ab≥1.所以ab的取值范圍是eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(－∞，\f(1,9)))∪[1，＋∞)．法二：設(shè)ab＝t，得a＋b＝－eq\f(3t＋1,2)，故a，b為方程x2＋eq\f(3t＋1,2)x＋t＝0的兩個實數(shù)根，所以Δ＝eq\f(（3t＋1）2,4)－4t≥0，整理得9t2－10t＋1≥0，即(t－1)(9t－1)≥0，解得t≤eq\f(1,9)或t≥1.所以ab的取值范圍是eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(－∞，\f(1,9)))∪[1，＋∞)．[互動探究]本例(1)中原已知條件改為f(t)＝eq\i\in(0,1,)(1－2x＋2t)dx，則f(t)＝________.解析：f(t)＝eq\i\in(0,1,)(1－2x＋2t)dx＝[(1＋2t)x－x2]eq\b\lc\|(\a\vs4\al\co1(1,0))＝2t.答案：2t含有參數(shù)的定積分問題的處理辦法與注意點(1)含有參數(shù)的定積分可以與方程、函數(shù)或不等式綜合起來考查，先利用微積分基本定理計算定積分是解決此類綜合問題的前提．(2)計算含有參數(shù)的定積分，必須分清積分變量與被積函數(shù)f(x)、積分上限與積分下限、積分區(qū)間與函數(shù)F(x)等概念．3．(1)設(shè)函數(shù)f(x)＝ax2＋c(a≠0)，若eq\i\in(0,1,)f(x)dx＝f(x0)，0≤x0<1，則x0的值為________．解析：eq\i\in(0,1,)f(x)dx＝eq\i\in(0,1,)(ax2＋c)dx＝eq\f(1,3)ax3＋cxeq\b\lc\|(\a\vs4\al\co1(1,0))＝eq\f(a,3)＋c＝axeq\o\al(2,0)＋c，又0≤x0<1，∴x0＝eq\f(\r(3),3).答案：eq\f(\r(3),3)(2)已知f(a)＝eq\i\in(0,1,)(2ax2－a2x)dx，求f(a)的最大值．解：∵eq\i\in(0,1,)(2ax2－a2x)dx＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,3)ax3－\f(1,2)a2x2))eq\b\lc\|(\a\vs4\al\co1(1,0))＝eq\f(2,3)a－eq\f(1,2)a2，∴f(a)＝eq\f(2,3)a－eq\f(1,2)a2＝－eq\f(1,2)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(a2－\f(4,3)a＋\f(4,9)))＋eq\f(2,9)＝－eq\f(1,2)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(a－\f(2,3)))eq\s\up12(2)＋eq\f(2,9).∴當a＝eq\f(2,3)時，f(a)有最大值為eq\f(2,9).數(shù)學思想利用函數(shù)的奇偶性巧解定積分問題已知eq\i\in(－1,1,)(x3＋ax＋3a－b)dx＝2a＋6，且f(t)＝eq\a\vs4\al(\i\in(0,t,)（x3＋ax＋3a－b）dx)為偶函數(shù)，求a，b.[解]∵f(x)＝x3＋ax為奇函數(shù)，∴eq\i\in(－1,1,)(x3＋ax)dx＝0.∴eq\i\in(－1,1,)(x3＋ax＋3a－b)dx＝eq\i\in(－1,1,)(x3＋ax)dx＋eq\i\in(－1,1,)(3a－b)dx＝0＋(3a－b)[1－(－1)]＝6a－2b.∴6a－2b＝2a＋6，即2a－b＝3.①又f(t)＝eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(x4,4)＋\f(a,2)x2＋（3a－b）x))eq\b\lc\|(\a\vs4\al\co1(t,0))＝eq\f(t4,4)＋eq\f(at2,2)＋(3a－b)t為偶函數(shù)，∴3a－b＝0.②由①②，得a＝－3，b＝－9.[感悟提高](1)在求對稱區(qū)間上的定積分時，應(yīng)該首先考慮函數(shù)性質(zhì)與積分的性質(zhì)，使解決問題的方法盡可能簡便．(2)奇、偶函數(shù)在區(qū)間[－a，a]上的定積分：①若奇函數(shù)y＝f(x)的圖象在[－a，a]上連續(xù)，則eq\a\vs4\al(\i\in(－a,a,)f（x）dx)＝0.②若偶函數(shù)y＝g(x)的圖象在[－a，a]上連續(xù)，則eq\a\vs4\al(\i\in(－a,a,)g（x）dx)＝2eq\i\in(0,a,)g(x)dx，如本例為偶函數(shù)，可用該結(jié)論計算．1．下列各式中，正確的是()A.eq\i\in(a,b,)F′(x)dx＝F′(b)－F′(a)B.eq\i\in(a,b,)F′(x)dx＝F′(a)－F′(b)C.eq\i\in(a,b,)F′(x)dx＝F(b)－F(a)D.eq\i\in(a,b,)F′(x)dx＝F(a)－F(b)答案：C2.eq\i\in(1,2,)(ex－1)dx＝________．解析：eq\i\in(1,2,)(ex－1)dx＝(ex－x)eq\b\lc\|(\a\vs4\al\co1(2,1))＝(e2－2)－(e1－1)＝e2－e－1.答案：e2－e－13．求定積分∫eq\s\up6(\f(π,2))0eq\f(cos2x,sinx＋cosx)dx的值．解：∫eq\s\up6(\f(π,2))0eq\f(cos2x,sinx＋cosx)dx＝∫eq\s\up6(\f(π,2))0eq\f(cos2x－sin2x,cosx＋sinx)dx＝∫eq\s\up6(\f(π,2))0(cosx－sinx)dx＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(sinx＋cosx))eq\b\lc\|(\a\vs4\al\co1(\s\up6(\f(π,2)),0))＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(sin\f(π,2)＋cos\f(π,2)))－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(sin0＋cos0))＝0.

[A.基礎(chǔ)達標]1.eq\i\in(1,e,)eq\f(1,x)dx的值為()A．1 B．2C．ln2 D．e2解析：選A.eq\i\in(1,e,)eq\f(1,x)dx＝lnxeq\b\lc\|(\a\vs4\al\co1(e,1))＝lne－ln1＝1.2.eq\i\in(0,1,)exdx的值為()A．e B．e－1C.eq\f(1,e) D．1解析：選B.eq\i\in(0,1,)exdx＝exeq\b\lc\|(\a\vs4\al\co1(1,0))＝e1－e0＝e－1.3．已知eq\i\in(1,m,)(2x－1)dx＝2，則m的值為()A．5 B．4C．3 D．2解析：選D.∵eq\i\in(1,m,)(2x－1)dx＝(x2－x)eq\b\lc\|(\a\vs4\al\co1(m,1))＝m2－m＝2，∴m2－m－2＝0，∴m＝－1(舍去)或m＝2.4.eq\i\in(2,3,)eq\f(x,x－1)dx＝()A．5＋ln2 B．5－ln2C．1＋ln2 D．1－ln2解析：選C.eq\i\in(2,3,)eq\f(x,x－1)dx＝eq\i\in(2,3,)eq\f(x－1＋1,x－1)dx＝eq\i\in(2,3,)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1＋\f(1,x－1)))dx＝eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(x＋ln（x－1）))eq\b\lc\|(\a\vs4\al\co1(3,2))＝(3＋ln2)－(2＋ln1)＝1＋ln2.5．若f(x)＝x2＋2eq\i\in(0,1,)f(x)dx，則eq\i\in(0,1,)f(x)dx＝()A．－1 B．－eq\f(1,3)C.eq\f(1,3) D．1解析：選B.∵eq\i\in(0,1,)f(x)dx＝eq\i\in(0,1,)x2dx＋eq\a\vs4\al(\i\in(0,1,)\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(2\i\in(0,1,)f（x）dx))dx)＝eq\f(1,3)x3eq\b\lc\|(\a\vs4\al\co1(1,0))＋eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\b\lc\(\a\vs4\al\co1(2\i\in(0,1,)f（x）dx))))xeq\b\lc\|(\a\vs4\al\co1(1,0))＝eq\f(1,3)＋2eq\i\in(0,1,)f(x)dx，∴eq\i\in(0,1,)f(x)dx＝－eq\f(1,3).故選B.6．已知f(x)＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x，（x≤0）,ex，（x>0）))則eq\i\in(－1,2,)f(x)dx＝________．解析：∵f(x)＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x，（x≤0）,ex，（x>0）)).∴eq\i\in(－1,2,)f(x)dx＝eq\i\in(－1,0,)xdx＋eq\i\in(0,2,)exdx＝eq\f(1,2)x2eq\b\lc\|(\a\vs4\al\co1(0,－1))＋exeq\b\lc\|(\a\vs4\al\co1(2,0))＝－eq\f(1,2)＋e2－1＝e2－eq\f(3,2).答案：e2－eq\f(3,2)7．設(shè)f(x)＝kx＋b，若eq\i\in(0,1,)f(x)dx＝2，eq\i\in(1,2,)f(x)dx＝3.則f(x)的解析式為________．解析：由eq\i\in(0,1,)(kx＋b)dx＝2，得eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)kx2＋bx))eq\b\lc\|(\a\vs4\al\co1(1,0))＝2，即eq\f(1,2)k＋b＝2，①由eq\i\in(1,2,)(kx＋b)dx＝3，得eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)kx2＋bx))eq\b\lc\|(\a\vs4\al\co1(2,1))＝3，即(2k＋2b)－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)k＋b))＝3.∴eq\f(3,2)k＋b＝3，②由①②聯(lián)立得，k＝1，b＝eq\f(3,2)，∴f(x)＝x＋eq\f(3,2).答案：f(x)＝x＋eq\f(3,2)8.eq\i\in(0,3,)eq\r(x2－4x＋4)dx＝________．解析：eq\i\in(0,3,)eq\r(x2－4x＋4)dx＝eq\i\in(0,3,)eq\r(（x－2）2)dx＝eq\i\in(0,3,)|x－2|dx＝eq\i\in(0,2,)|x－2|dx＋eq\i\in(2,3,)|x－2|dx＝eq\i\in(0,2,)(2－x)dx＋eq\i\in(2,3,)(x－2)dx＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)x2＋2x))eq\b\lc\|(\a\vs4\al\co1(2,0))＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)x2－2x))eq\b\lc\|(\a\vs4\al\co1(3,2))＝2＋eq\f(1,2)＝eq\f(5,2).答案：eq\f(5,2)9．計算eq\i\in(0,2,)eq\f(x,\r(1＋x2))dx.解：∵f(x)＝eq\r(1＋x2)的導函數(shù)為f′(x)＝eq\f(x,\r(1＋x2)).∴eq\i\in(0,2,)eq\f(x,\r(1＋x2))dx＝eq\r(1＋x2)eq\b\lc\|(\a\vs4\al\co1(2,0))＝eq\r(5)－1.10．若f(x)是一次函數(shù)，且eq\i\in(0,1,)f(x)dx＝5，eq\i\in(0,1,)xf(x)dx＝eq\f(17,6).求eq\i\in(1,2,)eq\f(f（x）,x)dx的值．解：設(shè)f(x)＝kx＋b，k≠0，則eq\i\in(0,1,)(kx＋b)dx＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(k,2)x2＋bx))eq\b\lc\|(\a\vs4\al\co1(1,0))＝eq\f(k,2)＋b＝5.①eq\i\in(0,1,)xf(x)dx＝eq\i\in(0,1,)(kx2＋bx)dx＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(kx3,3)＋\f(bx2,2)))eq\b\lc\|(\a\vs4\al\co1(1,0))＝eq\f(k,3)＋eq\f(b,2)＝eq\f(17,6)，②聯(lián)立①②可得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(k＝4.,b＝3.))∴f(x)＝4x＋3.則eq\i\in(1,2,)eq\f(f（x）,x)dx＝eq\i\in(1,2,)eq\f(4x＋3,x)dx＝eq\i\in(1,2,)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(4＋\f(3,x)))dx＝(4x＋3lnx)eq\b\lc\|(\a\vs4\al\co1(2,1))＝(8＋3ln2)－(4＋3ln1)＝4＋3ln2.[B.能力提升]1．若S1＝eq\i\in(1,2,)x2dx，S2＝eq\i\in(1,2,)eq\f(1,x)dx，S3＝eq\i\in(1,2,)exdx，則S1，S2，S3的大小關(guān)系為()A．S1<S2<S3 B．S2<S1<S3C．S2<S3<S1 D．S3<S2<S1解析：選B.S1＝eq\i\in(1,2,)x2dx＝eq\f(1,3)x3eq\b\lc\|(\a\vs4\al\co1(2,1))＝eq\f(7,3)，S2＝eq\i\in(1,2,)eq\f(1,x)dx＝lnxeq\b\lc\|(\a\vs4\al\co1(2,1))＝ln2，S3＝eq\i\in(1,2,)exdx＝exeq\b\lc\|(\a\vs4\al\co1(2,1))＝e2－e＝e(e－1)>e>eq\f(7,3)，所以S2<S1<S3，故選B.2．若函數(shù)f(x)，g(x)滿足eq\i\in(－1,1,)f(x)g(x)dx＝0，則稱f(x)，g(x)為區(qū)間[－1，1]上的一組正交函數(shù)．給出三組函數(shù)：①f(x)＝sineq\f(1,2)x，g(x)＝coseq\f(1,2)x；②f(x)＝x＋1，g(x)＝x－1；③f(x)＝x，g(x)＝x2.其中為區(qū)間[－1，1]上的正交函數(shù)的組數(shù)是()A．0 B．1C．2 D．3解析：選C.對于①，eq\i\in(－1,1,)sineq\f(1,2)x·coseq\f(1,2)xdx＝eq\i\in(－1,1,)eq\f(1,2)sinxdx＝eq\f(1,2)eq\i\in(－1,1,)sinxdx＝eq\f(1,2)(－cosx)eq\b\lc\|(\a\vs4\al\co1(1,－1))＝eq\f(1,2)(－cos1＋cos1)＝0.故①為區(qū)間[－1，1]上的一組正交函數(shù)；對于②，eq\i\in(－1,1,)(x＋1)(x－1)dx＝eq\i\in(－1,1,)(x2－1)dx＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)x3－x))eq\b\lc\|(\a\vs4\al\co1(1,－1))＝eq\f(1,3)－1－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,3)＋1))＝eq\f(2,3)－2＝－eq\f(4,3)≠0，故②不是區(qū)間[－1，1]上的一組正交函數(shù)；對于③，eq\i\in(－1,1,)x·x2dx＝eq\i\in(－1,1,)x3dx＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,4)x4))eq\b\lc\|(\a\vs4\al\co1(1,－1))＝0.故③為區(qū)間[－1，1]上的一組正交函數(shù)，故選C.3．若eq\i\in(0,t,)cosθdθ＝eq\f(\r(3),2)，且t∈(0，2π)，則t的值為________．解析：∵eq\i\in(0,t,)cosθdθ＝sinθeq\b\lc\|(\a\vs4\al\co1(t,0))＝sint＝eq\f(\r(3),2)，∵t∈(0，2π)，∴t＝eq\f(π,3)或eq\f(2,3)π.答案：eq\f(π,3)或eq\f(2,3)π4．已知f(x)＝e