用樣本的數(shù)字特征估計總體數(shù)字特征

用樣本的數(shù)字特征估計總體數(shù)字特征第一頁，共四十八頁，編輯于2023年，星期日1.能從樣本數(shù)據(jù)中提取基本的數(shù)字特征（如平均數(shù)、眾數(shù)、中位數(shù)），并進(jìn)行合理的解釋.2.正確理解樣本數(shù)據(jù)標(biāo)準(zhǔn)差的意義和作用，學(xué)會計算數(shù)據(jù)的標(biāo)準(zhǔn)差.3.會用樣本的基本數(shù)字特征估計總體的基本數(shù)字特征.

第二頁，共四十八頁，編輯于2023年，星期日1.本課重點是用樣本平均數(shù)和標(biāo)準(zhǔn)差估計總體的平均數(shù)與標(biāo)準(zhǔn)差.2.本課難點是能應(yīng)用相關(guān)知識解決簡單的實際問題.

第三頁，共四十八頁，編輯于2023年，星期日1.眾數(shù)、中位數(shù)、平均數(shù)的概念（1）眾數(shù)：一組數(shù)據(jù)中_____________的數(shù).（2）中位數(shù)：一組數(shù)據(jù)按大小順序排列后，處于_____位置的數(shù).如果個數(shù)是偶數(shù)，則取_____兩個的平均數(shù).（3）平均數(shù)：一組數(shù)據(jù)的___除以數(shù)據(jù)個數(shù)所得到的數(shù).2.標(biāo)準(zhǔn)差與方差的概念標(biāo)準(zhǔn)差是樣本數(shù)據(jù)到平均數(shù)的一種_________，一般用s表示，即樣本數(shù)據(jù)x1,x2,…,xn的標(biāo)準(zhǔn)差出現(xiàn)次數(shù)最多中間中間和平均距離第四頁，共四十八頁，編輯于2023年，星期日S=________________________________,方差S2=________________________________.第五頁，共四十八頁，編輯于2023年，星期日1.在某項體育比賽中，七位裁判為一選手打出的分?jǐn)?shù)如下：90899095939493計算平均分時，一般要去掉一個最高分和一個最低分，其目的是什么？提示：消除極端值的影響.第六頁，共四十八頁，編輯于2023年，星期日2.對數(shù)字特征的理解中，下列說法正確的是_______.①數(shù)據(jù)5,4,4,3,5,2的眾數(shù)為4；②數(shù)據(jù)2,3,4,5的標(biāo)準(zhǔn)差是數(shù)據(jù)4,6,8,10的標(biāo)準(zhǔn)差的一半；③方差與標(biāo)準(zhǔn)差具有相同的單位；④如果一組數(shù)中每個數(shù)減去同一個非零常數(shù)，則這組數(shù)的平均數(shù)改變，方差不變.【解析】①中的眾數(shù)應(yīng)為4和5;②正確；③不正確；④正確，平均數(shù)也應(yīng)減去該常數(shù)，方差不變.答案：②④第七頁，共四十八頁，編輯于2023年，星期日3.若M個數(shù)的平均數(shù)是X,N個數(shù)的平均數(shù)是Y，則M+N個數(shù)的平均數(shù)是______.【解析】M個數(shù)的和為MX，N個數(shù)的和為NY，則M+N個數(shù)的和為MX+NY，所以其平均數(shù)為答案：第八頁，共四十八頁，編輯于2023年，星期日4.已知五個數(shù)據(jù)3,5,7,4,6，則該樣本的標(biāo)準(zhǔn)差為______.【解析】答案：第九頁，共四十八頁，編輯于2023年，星期日1.眾數(shù)、中位數(shù)、平均數(shù)的特點（1）眾數(shù)：①眾數(shù)容易計算;②眾數(shù)只能表示樣本數(shù)據(jù)中的很少一部分信息;③眾數(shù)可以反映一組數(shù)據(jù)的多數(shù)水平.（2）中位數(shù)：①中位數(shù)易計算,能較好地表現(xiàn)數(shù)據(jù)信息;②中位數(shù)不受少數(shù)極端數(shù)據(jù)的影響；③中位數(shù)通常用來描述分類變量的中心位置.（3）平均數(shù)：平均數(shù)代表了數(shù)據(jù)更多的信息，但受樣本中每個數(shù)據(jù)的影響，越極端的數(shù)據(jù)對平均數(shù)的影響也越大.

第十頁，共四十八頁，編輯于2023年，星期日2.對方差與標(biāo)準(zhǔn)差概念的理解（1）標(biāo)準(zhǔn)差、方差描述了一組數(shù)據(jù)圍繞平均數(shù)波動的大小.標(biāo)準(zhǔn)差、方差越大,數(shù)據(jù)的離散程度越大;標(biāo)準(zhǔn)差、方差越小,數(shù)據(jù)的離散程度越小.（2）標(biāo)準(zhǔn)差、方差的取值范圍:［0,+∞）.標(biāo)準(zhǔn)差、方差為0時,樣本各數(shù)據(jù)全相等,表明數(shù)據(jù)沒有波動幅度,數(shù)據(jù)沒有離散性.

第十一頁，共四十八頁，編輯于2023年，星期日（3）因為方差與原始數(shù)據(jù)的單位不同,且平方后可能夸大了偏差的程度,所以雖然方差與標(biāo)準(zhǔn)差在刻畫樣本數(shù)據(jù)的分散程度上是一樣的,但在解決實際問題時,一般多采用標(biāo)準(zhǔn)差.

第十二頁，共四十八頁，編輯于2023年，星期日【典例訓(xùn)練】1.10名工人某天生產(chǎn)同一零件，生產(chǎn)的件數(shù)是15,17,14,10,15,17,17,16,14,12，設(shè)其平均數(shù)為a，中位數(shù)為b，眾數(shù)為c，則有（）（A）a>b>c（B）b>c>a（C）c>a>b（D）c>b>a2.某房間中10個人的平均身高為1.74米，身高為1.85米的第11個人進(jìn)入房間后，這11個人的平均身高是_______.

第十三頁，共四十八頁，編輯于2023年，星期日3.下面是某快餐店所有工作人員一周的收入表：（1）計算所有人員的周平均收入；（2）這個平均收入能反映打工人員的周收入的一般水平嗎？為什么？（3）去掉老板的收入后，再計算平均收入，這能代表打工人員的周收入的水平嗎？第十四頁，共四十八頁，編輯于2023年，星期日【解析】1.選D.平均數(shù)中位數(shù)b=15,眾數(shù)c=17.∴c>b>a.2.原來的10個人的身高之和為17.4米，所以，這11個人的平均身高為即這11個人的平均身高為1.75米.答案：1.75米3.（1）周平均收入=750（元）.第十五頁，共四十八頁，編輯于2023年，星期日（2）這個平均收入不能反映打工人員的周收入水平，可以看出打工人員的收入都低于平均收入，因為老板收入特別高，這是一個異常值，對平均收入產(chǎn)生了較大的影響，并且他不是打工人員.（3）去掉老板的收入后的周平均收入（450+350+400+320+320+410）=375（元）.這能代表打工人員的周收入水平.第十六頁，共四十八頁，編輯于2023年，星期日【思考】在題3中，為什么（3）中去掉老板的收入后，再計算平均收入，能代表打工人員的周收入的水平？提示：因為老板收入是個特殊數(shù)據(jù)，對平均值產(chǎn)生很大的影響，因此從統(tǒng)計分析的某一角度進(jìn)行分析時，應(yīng)剔除.第十七頁，共四十八頁，編輯于2023年，星期日【變式訓(xùn)練】如圖是某賽季甲、乙兩名籃球運動員每場比賽得分莖葉圖，則在這幾場比賽得分中甲的中位數(shù)與乙的眾數(shù)之和是（

）（A）50（B）41（C）51（D）61.5第十八頁，共四十八頁，編輯于2023年，星期日【解析】選C.甲的中位數(shù)是=27，乙的眾數(shù)是24，所以甲的中位數(shù)與乙的眾數(shù)之和是51.

第十九頁，共四十八頁，編輯于2023年，星期日標(biāo)準(zhǔn)差（方差）的計算及應(yīng)用【技法點撥】1.計算標(biāo)準(zhǔn)差的五個步驟（1）算出樣本數(shù)據(jù)的平均數(shù).（2）算出每個樣本數(shù)據(jù)與樣本數(shù)據(jù)平均數(shù)的差：（3）算出（2）中的xi-（i=1,2,3，…,n）平方.（4）算出（3）中n個平方數(shù)的平均數(shù)，即為樣本方差.

第二十頁，共四十八頁，編輯于2023年，星期日（5）算出（4）中方差的算術(shù)平方根，即為樣本標(biāo)準(zhǔn)差.2.標(biāo)準(zhǔn)差（方差）的兩個作用（1）標(biāo)準(zhǔn)差（方差）較大，數(shù)據(jù)的離散程度較大；標(biāo)準(zhǔn)差（方差）較小，數(shù)據(jù)的離散程度較小.（2）在實際應(yīng)用中，常常把平均數(shù)與標(biāo)準(zhǔn)差結(jié)合起來進(jìn)行決策.在平均值相等的情況下，比較方差或標(biāo)準(zhǔn)差以確定穩(wěn)定性.

第二十一頁，共四十八頁，編輯于2023年，星期日1（2012·菏澤高一檢測）從甲、乙兩名學(xué)生中選拔一人參加射擊比賽，對他們的射擊水平進(jìn)行了測試，兩人在相同條件下各射擊10次，命中的環(huán)數(shù)如下：（1）計算甲、乙兩人射擊命中環(huán)數(shù)的平均數(shù)與方差.（2）比較兩人成績，決定應(yīng)該選哪一人參賽.

第二十二頁，共四十八頁，編輯于2023年，星期日1（1）（2）∴應(yīng)該選派乙參賽.

第二十三頁，共四十八頁，編輯于2023年，星期日【變式訓(xùn)練】（2012·東北三校聯(lián)考）甲、乙兩位同學(xué)在高三的5次月考中數(shù)學(xué)成績統(tǒng)計如莖葉圖所示，若甲、乙兩人的平均成績分別是x甲，x乙，則下列敘述正確的是（

）第二十四頁，共四十八頁，編輯于2023年，星期日（A）x甲>x乙；乙比甲成績穩(wěn)定（B）x甲>x乙；甲比乙成績穩(wěn)定（C）x甲<x乙；乙比甲成績穩(wěn)定（D）x甲<x乙；甲比乙成績穩(wěn)定【解析】選C.由題意可知又由方差公式可得第二十五頁，共四十八頁，編輯于2023年，星期日因為故乙的成績波動較小，乙的成績比甲穩(wěn)定．【誤區(qū)警示】方差越小越穩(wěn)定,而在計算方差時務(wù)必要計算準(zhǔn)確無誤.第二十六頁，共四十八頁，編輯于2023年，星期日各數(shù)字特征的綜合應(yīng)用【技法點撥】用頻率分布直方圖估計眾數(shù)、中位數(shù)、平均數(shù)（1）眾數(shù)：取最高小長方形底邊中點的橫坐標(biāo)作為眾數(shù).（2）中位數(shù)：在頻率分布直方圖中，把頻率分布直方圖劃分左右兩個面積相等的分界線與x軸交點的橫坐標(biāo)稱為中位數(shù).（3）平均數(shù)：平均數(shù)是頻率分布直方圖的“重心”，等于頻率分布直方圖中每個小矩形的面積乘以小矩形底邊中點的橫坐標(biāo)之和.

第二十七頁，共四十八頁，編輯于2023年，星期日【典例訓(xùn)練】1.某校為了了解學(xué)生的課外閱讀情況，隨機抽查了50名學(xué)生，得到他們在某一天各自課外閱讀所用時間的數(shù)據(jù)，結(jié)果用下面的條形圖表示，根據(jù)條形圖可得這50名學(xué)生這一天平均每人的課外閱讀時間為（

）

第二十八頁，共四十八頁，編輯于2023年，星期日（A）0.6h（B）0.9h（C）1.0h（D）1.5h

第二十九頁，共四十八頁，編輯于2023年，星期日2.從高三抽出50名學(xué)生參加數(shù)學(xué)競賽，由成績得到如下的頻率分布直方圖.由于一些數(shù)據(jù)丟失，試?yán)妙l率分布直方圖求：（1）這50名學(xué)生成績的眾數(shù)與中位數(shù)；（2）這50名學(xué)生的平均成績.第三十頁，共四十八頁，編輯于2023年，星期日【解析】1.選2.（1）由眾數(shù)的概念可知，眾數(shù)是出現(xiàn)次數(shù)最多的數(shù).在直方圖中高度最高的小矩形框的中間值的橫坐標(biāo)即為所求，所以眾數(shù)應(yīng)為75.在頻率分布直方圖中，中位數(shù)的左右兩邊頻數(shù)應(yīng)相等，即頻率也相等，從而小矩形的面積和相等.因此在頻率分布直方圖中將頻率分布直方圖中所有小矩形的面積一分為二的直線所對應(yīng)的成績即為所求.第三十一頁，共四十八頁，編輯于2023年，星期日∵0.004×10+0.006×10+0.02×10=0.04+0.06+0.2=0.3,∴前三個小矩形面積的和為0.3.而第四個小矩形面積為0.03×10=0.3,0.3+0.3＞0.5,∴中位數(shù)應(yīng)位于第四個小矩形內(nèi)，設(shè)其底邊為x，高為0.03，∴令0.03x=0.2，得x≈6.7，

故中位數(shù)應(yīng)為70+6.7=76.7.第三十二頁，共四十八頁，編輯于2023年，星期日（2）樣本平均值應(yīng)是頻率分布直方圖的“重心”，即所有數(shù)據(jù)的平均值，取每個小矩形底邊的中點值乘以每個小矩形的面積即可.∴平均成績?yōu)?5×（0.004×10）+55×（0.006×10）+65×（0.02×10）+75×（0.03×10）+85×（0.024×10）+95×（0.016×10）=76.2.綜上，（1）眾數(shù)是75，中位數(shù)約為76.7;（2）平均成績?yōu)?6.2.

第三十三頁，共四十八頁，編輯于2023年，星期日【歸納】頻率分布直方圖中中位數(shù)的求法.（1）利用小矩形的面積和初步判斷中位數(shù)所在的區(qū)間.（2）利用中位數(shù)左右兩邊的小矩形的面積和相等，列出關(guān)于中位數(shù)的方程，如題2的第（1）問.（3）解方程，求出中位數(shù).

第三十四頁，共四十八頁，編輯于2023年，星期日【變式訓(xùn)練】為了調(diào)查某廠工人生產(chǎn)某種產(chǎn)品的能力，隨機抽查了20位工人某天生產(chǎn)該產(chǎn)品的數(shù)量得到頻率分布直方圖如圖，則第三十五頁，共四十八頁，編輯于2023年，星期日（1）這20名工人中一天生產(chǎn)該產(chǎn)品數(shù)量在［55，75）的人數(shù)是_______.（2）這20名工人中一天生產(chǎn)該產(chǎn)品數(shù)量的中位數(shù)為________.（3）這20名工人中一天生產(chǎn)該產(chǎn)品數(shù)量的平均數(shù)為________.【解析】（1）（0.040×10+0.025×10）×20=13.（2）設(shè)中位數(shù)為x,則0.2+（x-55）×0.04=0.5,x=62.5.（3）0.2×50+0.4×60+0.25×70+0.1×80+0.05×90=64.答案：（1）13（2）62.5（3）64第三十六頁，共四十八頁，編輯于2023年，星期日例2某中學(xué)舉行電腦知識競賽，現(xiàn)將高一參賽學(xué)生的成績進(jìn)行整理后分成五組繪制成如圖所示的頻率分布直方圖，已知圖中從左到右的第一、二、三、四、五小組的頻率分別是0.30、0.40、0.15、0.10、0.05.求：(1)高一參賽學(xué)生的成績的眾數(shù)、中位數(shù)．(2)高一參賽學(xué)生的平均成績．[精解詳析](1)由圖可知眾數(shù)為65，又∵第一個小矩形的面積為0.3，∴設(shè)中位數(shù)為60＋x，則0.3＋x×0.04＝0.5，得x＝5，∴中位數(shù)為60＋5＝65.(2)依題意，平均成績?yōu)?5×0.3＋65×0.4＋75×0.15＋85×0.1＋95×0.05＝67，∴平均成績約為67.第三十七頁，共四十八頁，編輯于2023年，星期日【即時訓(xùn)練】甲、乙兩位運動員5場比賽的得分情況如莖葉圖所示，記甲、乙兩人的平均得分分別為則下列判斷正確的是（）（A）甲比乙成績穩(wěn)定（B）乙比甲成績穩(wěn)定（C）甲比乙成績穩(wěn)定（D）乙比甲成績穩(wěn)定第三十八頁，共四十八頁，編輯于2023年，星期日【解析】選D.甲的平均得分方差

乙的平均得分方差乙比甲成績穩(wěn)定.

第三十九頁，共四十八頁，編輯于2023年，星期日1.某同學(xué)使用計算器求30個數(shù)據(jù)的平均數(shù)時，錯將其中一個數(shù)據(jù)105輸入為15，那么由此求出的平均數(shù)與實際平均數(shù)的差是（）（A）3.5（B）-3（C）3（D）-0.5【解析】選B.錯將數(shù)據(jù)105輸入為15，則平均數(shù)少即與實際平均數(shù)的差是-3.第四十頁，共四十八頁，編輯于2023年，星期日2.一位同學(xué)種了甲、乙兩種樹苗各1株，分別觀察了9次、10次后，得到樹苗高度的數(shù)據(jù)的莖葉圖如圖（單位：厘米），則甲、乙兩種樹苗高度的數(shù)據(jù)的中位數(shù)之和是（）（A）44（B）54（C）50（D）52第四十一頁，共四十八頁，編輯于2023年，星期日【解析】選D.根據(jù)莖葉圖可得，甲樹苗9次得到的樹苗高度分別為19,20,21,23,24,31,32,33,37；乙樹苗10次得到的樹苗高度分別為10,10,14,24,26,30,44,46,46,47，則甲樹苗高度的中位數(shù)為24，乙樹苗高度的中位數(shù)為因此24＋28＝52.第四十二頁，共四十八頁，編輯于2023年，星期日3.某射手在一次訓(xùn)練中五次射擊的成績分別為9.4,9.4,9.4,9.6,9.7，則該射手五次射擊的成績的方差是（）（A）0.127（B）0.016（C）0.08（D）0.216【解析】選第四十三頁，共四十八頁，編輯于2023年，星期日4.若某校高一年級8個班參加合唱比賽的得分如莖葉圖所示，則這組數(shù)據(jù)的中位數(shù)和平均數(shù)分別是_______.第四十四頁，共四十八頁，編輯于2023年，星期日【解析】數(shù)據(jù)從小到大排列后可得其中位數(shù)為