專題1 1 期末考試重難點(diǎn)題型匯編【舉一反三】人教版

專題11期末考試重難點(diǎn)題型匯編【舉一反三】

期末考試重難點(diǎn)題型

《典冽分所11

【考點(diǎn)1三角形內(nèi)角和定理的應(yīng)用】

【方法點(diǎn)撥】三角形內(nèi)角和等于180°.

【例1】(2019春?石景山區(qū)期末)如圖，BD平分NABC.ZABD=ZADB.

(1)求證：AD//BC-,

(2)若BO_LCO,ZBAD=a,求/OCB的度數(shù)(用含a的代數(shù)式表示).

【思路點(diǎn)撥】(1)想辦法證明即可.

(2)利用平行線的性質(zhì)，三角形的內(nèi)角和定理即可解決問(wèn)題.

【答案】(1)證明：???80平分N48C,

:.NABD=NCBD

,：ZABD=ZADB,

：.ZADB^NDBC,

：.AD//BC.

(2)解：且

...NA8C=180°-a,

AZDBC=1-ZABC=9O°-L,

22

BDA.CD,

AZBDC=90°

/.ZC=90°-(90°-L)

【方法總結(jié)】本題考查三角形內(nèi)角和定理，角平分線的定義等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是熟練掌握基本知識(shí)，

屬于中考?？碱}型.

【變式1-1］（2018秋?包河區(qū)期末）如圖，△ABC中，ZACB>90Q,AE平分/54C,A￡>J_BC交BC的

延長(zhǎng)線于點(diǎn)D.

（1）若NB=30°,/ACB=100°,求NEAD的度數(shù)；

（2）若NB=a,NACB=0,試用含a、0的式子表示NEAD,則NE4￡）=.（直接寫(xiě)出結(jié)論即

可）

【思路點(diǎn)撥】（1）根據(jù)垂直的定義得到/。=90",根據(jù)鄰補(bǔ)角的定義得到N48=180°-100°=80°,

根據(jù)三角形的內(nèi)角和得到NBAC=50°,根據(jù)角平分線的定義得到NCAE=LNB4C=25°,于是得到結(jié)

論;

(2)根據(jù)垂直的定義得到NO=90°,得到NAC7)=180°-p,求得N84C=90°-a-(0-90°)=

180°-a-p,根據(jù)角平分線的定義得到/。4七=工/%。=90°-1(a+p),根據(jù)角的和差即可得到

22

結(jié)論.

【答案】解：(1)VAD1BC,

AZD=90a,

VZACB=100°,

AZACD=180°-100°=80°,

：.ZCAD=90°-80°=10°,

???N8=30°,

：.ZBAD=90°-30°=60°,

：.ZBAC=50°,

:AE平分N8AC,

.?./C4E=L/BAC=25°,

2

AZEAD=ZCAE+ZCAD=35O；

(2)'：ADLBC,

/.ZD=90°,

,//AC8=0,

AZACD=180°-p,

，NCAD=90°-ZACD=p-90°,

*.*NB=a,

???NBAD=90°-a,

：.ZBAC=900-a-(p-90°)=180°-a-p,

???AE平分/明C,

AZCAE=LZBAC=90Q-J-(a邛)，

22

.../E4O=/C4E+/CAO=90°-L(a邛)+0-90°=耳-豈.

222

故答案為:

2

【方法總結(jié)】本題考查了三角形的內(nèi)角和，角平分線的定義，正確的識(shí)別圖形是解題的關(guān)鍵.

【變式1-2](2019春?福州期末)如圖，在△ABC中，/ABC的平分線交AC于點(diǎn)。.作

交AB于點(diǎn)E.

(1)求證：ED//BC；

(2)點(diǎn)M為射線AC上一點(diǎn)(不與點(diǎn)A重合)連接BM,NA8M的平分線交射線于點(diǎn)N.若NMBC

=L/NBC,NBED=105°,求NEN8的度數(shù).

2

【思路點(diǎn)撥】(1)利用角平分線的定義，進(jìn)行等量代換，得出內(nèi)錯(cuò)角相等，從而兩直線平行；

(2)分兩種情況分別進(jìn)行解答，根據(jù)每一種情況畫(huà)出相應(yīng)的圖形，依據(jù)圖形中，角之間的相互關(guān)系，轉(zhuǎn)

化到一個(gè)三角形中，利用三角形的內(nèi)角和定理，設(shè)未知數(shù)，列方程求解即可.

【答案】解：(1)：20平分/ABC,

NABD=NDBC,

又；NBDE=NABD,

:.NBDE=NDBC,

:.ED〃BC；

(2)平分/ABM,

NABN=NNBM,

①當(dāng)點(diǎn)M在線段AC上時(shí)，如圖1所示：

'：DE//BC,

:.NENB=NNBC,

,：NMBC=LNNBC,

2

NNBM=/MBC=L/NBC,

2

設(shè)NM8C=x°,則NE8N=NNBM=x°,4ENB=NNBC=2x°,

在△EMS中，由內(nèi)角和定理得：x+2r+105°=180°,

解得：x=25,

:.NENB=2x=50°,

②當(dāng)點(diǎn)例在4c的延長(zhǎng)線上時(shí)，如圖2所示：

'：DE//BC,

：.NENB=NNBC,

"：NMBC=LNNBC,

2

:.NNBM=3NMBC,

設(shè)/MBC=x°,則NEBN=NN8M=3x°,NENB=NNBC=2x°,

在中，由內(nèi)角和定理得：3A+2X+105°=180°,

解得：x=15,

NEN8=2x=30°,

答：NENB的度數(shù)為50°或30°?

A

E\n丁

B

圖2M

【方法總結(jié)】綜合考查角平分線的定義、平行線的性質(zhì)、三角形的內(nèi)角和定理等知識(shí)，分類討論，分別

畫(huà)出相應(yīng)的圖形，利用等量代換和圖形中角之間的關(guān)系布列方程是解決問(wèn)題常用的方法.

【變式1-3](2018秋?豐城市期末)已知將一塊直角三角板OEF放置在△ABC上，使得該三角板的兩條直

角邊DE,力尸恰好分別經(jīng)過(guò)點(diǎn)8、C.

(1)ZDBC+ZDCB=度；

(2)過(guò)點(diǎn)A作直線直線MN〃OE,若/AC￡>=20°,試求/CAM的大小.

【思路點(diǎn)撥】(1)在△￡>8c中，根據(jù)三角形內(nèi)角和定理得/08。+/。。8+/。=180°,然后把/￡>=

90°代入計(jì)算即可；

(2)在Rt△A8C中，根據(jù)三角形內(nèi)角和定理得NABC+NACB+/A=180°,B|J,：.ZABD+ZBAC=90Q

-/4CO=70°,整體代入即可得出結(jié)論.

【答案】解：(1)在△O8C中，VZDBC+ZDCB+ZD=180°,

而/。=90°,

:.NDBC+NDCB=90"；

故答案為90；

(2)在△ABC中，

VZABC+ZACB+ZA^\80Q,

BPZABD+/DBC+NDCB+/ACD+/BAC=180°,

而NOBC+/OCB=90°,

Z.ZABD+ZACD=90c:-NBAC,

...NABO+NBAC=90°-ZACD^70°.

又,：MN〃DE,

，NABD=NBAN.

而/8AN+NBAC+NC4A/=180°,

/48O+/B4C+/C4M=180°,

NCAM=180°-（NABD+NBAC）=110°.

【方法總結(jié)】此題主要考查了三角形內(nèi)角和定理，平行線的性質(zhì)，解本題的關(guān)鍵是求出NABQ+N8AC=

70°.

【考點(diǎn)2三角形外角性質(zhì)的應(yīng)用】

【方法點(diǎn)撥】三角形的外角等于與它不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角的和.

【例2】（2019春?寶應(yīng)縣期中）如圖，在RtzXABC中，/ACB=90°,乙4=34°,ZUBC的外角NCB。

的平分線BE交AC的延長(zhǎng)線于點(diǎn)E.

（1）求NCBE的度數(shù)；

（2）過(guò)點(diǎn)。作￡>F〃8E,交AC的延長(zhǎng)線于點(diǎn)F,求NF的度數(shù).

【思路點(diǎn)撥】（1）根據(jù)三角形的外角的性質(zhì)求出/C8D,根據(jù)角平分線的定義計(jì)算，得到答案;

（2）根據(jù)平行線的性質(zhì)解答即可.

【答案】解：（1）：NAC5=90°,NA=34°,

/.ZCBD=124°,

是NC8。的平分線，

ZCBE=izCBD=62°；

2

（2）VZECB=90°,NCBE=62°,

:CEB=28°,

\'DF//BE,

:.NF=NCEB=28".

【方法總結(jié)】本題考查的是三角形的外角的性質(zhì)、平行線的性質(zhì)，掌握三角形的一個(gè)外角等于和它不相

鄰的兩個(gè)內(nèi)角的和是解題的關(guān)鍵.

【變式2-1]（2018春?岱岳區(qū)期中）如圖，△ABC中，NA=30°,ZB=62°,CE平分NACB,CDLAB

于Q,Z）F_LCE于F,求/ACE和NCDF的度數(shù).

【思路點(diǎn)撥】根據(jù)三角形內(nèi)角和定理求出NAC8,根據(jù)角平分線的定義求出N4CE；根據(jù)垂直的定義、

三角形內(nèi)角和定理求出NCDF.

【答案】解：；N4=30°,NB=6案，

.?.N4C8=180°-30°-62°=88°；

平分NAC8,

NACE=ZBCE^i-ZACB=44°,

2

'：CD±AB,

...NCDB=90°,

ZBCD=90°-/B=28°,

AZECD=ZECB-ZBCD=16°,

VDF1CE,

ZCDF=900-ZDCF=74°.

【方法總結(jié)】本題考查的是三角形內(nèi)角和定理、三角形的外角的性質(zhì)以及角平分線的定義，掌握三角形

內(nèi)角和等于180°是解題的關(guān)鍵.

【變式2-2]（2018春?商水縣期末）如圖，NBAD=NCBE=NACF,NFDE=64°,Z￡>￡F=43°,求

△ABC各內(nèi)角的度數(shù).

E

D

BC

【思路點(diǎn)撥】根據(jù)三角形外角性質(zhì)得到而NBAD=NCBE,貝N8AD+

ZCBE=ZABC^64°；同理可得NQEF=NAC8=43°,然后根據(jù)三角形內(nèi)角定理計(jì)算/B4C=180°

-/ABC-NACB即可；NBAD=NCBE=NACF,NFZ）E=48°,NDEF=64°,

【答案】解：VZFDE=ZBAD+ZABD,NBAD=NCBE

：.ZFDE=ZBAD+ZCBE=ZABC,

：.ZABC-=64''；

同理NDEF=ZFCB+ZCBE=ZFCB+ZACF=ZACB,

：.ZACB=43°；

.?.N8AC=180°-ZABC-ZACB=180°-64°-43°=73°,

...△ABC各內(nèi)角的度數(shù)分別為64°、43°、73°?

【方法總結(jié)】本題考查了三角形的內(nèi)角和定理：三角形的內(nèi)角和為180。.也考查了三角形外角的性質(zhì),

熟記：三角形的外角等于與它不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角之和是解題的關(guān)鍵.

【變式2-3］（2019春?南開(kāi)區(qū)校級(jí)月考）如圖，在△ABC中，AD是高，ZDAC=10°,AE是NBAC外角

的平分線，BF平分NA8C交AE于點(diǎn)F,若NABC=46°,求NAFB的度數(shù).

【思路點(diǎn)撥】根據(jù)直角三角形的性質(zhì)求出NBA。的度數(shù)，得到NB4C的度數(shù)，根據(jù)鄰補(bǔ)角的性質(zhì)求出/

CAM的度數(shù)，根據(jù)角平分線的定義求出/AME的度數(shù)，根據(jù)三角形的外角的性質(zhì)計(jì)算即可.

【答案】解：是高，

.../AOB=90°,

：.ZBAD=900-Z4BC=44°,又N￡MC=10°,

：.ZBAC=54°,

.?.NMAC=126°,

是NBAC外角的平分線，

/.ZMAE=i-ZMAC=63°,

2

尸平分NA8C,

AZABF=kZABC=23°,

2

:.NAFB=ZMAE-NA8F=40°.

【方法總結(jié)】本題考查的是三角形的外角的性質(zhì)，掌握三角形的一個(gè)外角等于和它不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角的

和是解題的關(guān)鍵.

【考點(diǎn)3全等三角形的判定與性質(zhì)綜合】

【例3】(2019?南岸區(qū))如圖，在△A2C和△48。中，N84C=乙43。=90°,點(diǎn)E為A。邊上的一點(diǎn)，

BLAC=AE,連接CE交AB于點(diǎn)G,過(guò)點(diǎn)A作。交CE于點(diǎn)尸.

(1)求證：ZXAGE之△AFC；

(2)若4B=AC,求證：AD=AF+BD.

【分析】(1)根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得到NC=NAEG,利用ASA定理證明AGE絲△AFC；

(2)延長(zhǎng)A尸至點(diǎn)H,使4”=A￡>,證明AC4Hg△84。，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得到CH=8O,ZACH

=ZABD=90°,得到C”〃A8,證明“C="F,結(jié)合圖形證明結(jié)論.

【答案】證明：(1)VZC/lB=ZME=90o,

:.NCAB-NFAG=NFAE-ZFAG,即NC4F=ZEAG,

'：AC=AE,

：.ZC=ZAEG,

在△AGE和△AFC中，

'/AEG=NC

<AE=AC，

NEAG=/CAF

/.AAGE^AAFC(ASA)；

(2)延長(zhǎng)4尸至點(diǎn)“，?AH=AD,

在△C4”和△8AO中，

"AC=AB

-NCAH=NBAD，

LAH=AD

：./\CAH^/\BAD(SAS)

：.CH=BD,NAC，=/4B￡)=9(r,

：.CH//AB,

：.ZCHA=ZHAG,

「△AGE也△AFC,

NAGE=ZAFC,

：.ZAGF=ZAFG,

:"CHA=NCFH,

：.HC=HF,

：.AH=AF+HF=AF+CH,

：.AD=AF+BD.

【點(diǎn)睛】本題考查的是全等三角形的判定和性質(zhì)，掌握全等三角形的判定定理和性質(zhì)定理是解題的關(guān)鍵.

【變式3-1］（2019?福州模擬）（1）已知，如圖①，在△ABC中，ZBAC=90°,AB=AC,直線機(jī)經(jīng)過(guò)

點(diǎn)A,8。，直線機(jī)，CEL直線〃?，垂足分別為點(diǎn)。、E,求證：DE=BD+CE.

（2）如圖②，將（1）中的條件改為：在aABC中，AB=AC,￡>、A、K三點(diǎn)都在直線小上，并且有N

BDA=ZAEC=ABAC—a,其中a為任意鈍角，請(qǐng)問(wèn)結(jié)論￡>E=B/）+CE是否成立？若成立，請(qǐng)你給出證

明：若不成立，請(qǐng)說(shuō)明理由.

【分析】(1)根據(jù)8。，直線機(jī)，CE，直線，”得/8D4=NCE4=90°,而/8AC=90°,根據(jù)等角的

余角相等得NC4E=/48O,然后根據(jù)“A4S”可判斷△AOB絲ZXCE4,

則AE=8D,AD=CE,于是DE=AE+AD=BD+CE：

(2)利用NBQA=NBAC=a,則NQBA+N8AQ=N8AQ+NCAE=180°-a,得出NC4E=NABD,

進(jìn)而得出△AO2絲△CEA即可得出答案.

【答案】證明：(1):^力，直線〃?，CEJ?直線機(jī)，

.?.N8D4=NCEA=90°,

；NB4C=90°,

.?./8AO+/C4E=90°,

VZBAD+ZABD=90°,

：.ZCAE^ZABD,

?.?在△AOB和△CE4中

，ZABD=ZCAE

-ZBDA=ZCEA-

,AB=AC

：./\ADB^/\CEA(A4S),

：.AE=BD,AD=CE,

：.DE=AE+AD=BD+CE；

(2)'：ZBDA^ZBAC^a,

：.ZDBA+ZBAD=ZBAD+ZCAE=180°-a,

：.ZCAE=ZABD,

?在△AO8和△CEA中

2ABD=NCAE

,NBDA=/CEA，

AB=AC

/./\ADB^/\CEA(4AS),

：.AE=BD,AD=CE,

圖①圖②

【點(diǎn)睛】本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)：判定三角形全等的方法有“SSS”、“SAS”、“ASA”、

“AAS”；得出NCAE=/A8。是解題關(guān)鍵.

【變式3-2](2018秋?天臺(tái)縣期末)如圖，/ACB=90°,AC=BC,ADICE,BELCE,垂足分別為￡),

E,若AD=a,DE=b,

〃的式子表示)

(2)如圖2,點(diǎn)。在△ABC內(nèi)部時(shí)，直接寫(xiě)出8E的長(zhǎng)..(用含。，人的式子表示)

【分析】(1)根據(jù)同角的余角相等可得NACD=/C8E,根據(jù)“AAS”可證△ACZJgaCBE,可得CE

=AD=a,即可求的長(zhǎng);

(2)根據(jù)同角的余角相等可得NACO=/CB￡,根據(jù)“A4S”可證△ACO絲△CBE,可得CE=AO=a,

即可求OE的長(zhǎng).

【答案】解：(1)VZACB=90°,

，ZACD+ZBCD=90°

,：AD±CE,BELCE,

：.ZD=ZBEC=90°,

：.ZCBE+ZBCD=90°,

：.NACD=NCBE,且AC=8C,ZADC=ZBEC^90Q

：./\ACD^^CBE(A4S),

：.CE=AD=a,

'：DC=CE+DE

***BE=CD=a+b

(2)VZACB=9O0,

JZACD+ZBCD=90°

VAD1CE,BE工CE,

：.ZADC=ZBEC=90°,

:?NCBE+NBCD=90°,

:?NACD=NCBE,且AC=8C,ZADC=ZBEC=90°

J△ACDQACBE

：.CE=AD=a,

'：CD=CE-DE

:?BE=CD=a-b,

故答案為：a-b

【點(diǎn)睛】本題考查了全等三角形的判定和性質(zhì)，直角三角形的性質(zhì)，熟練運(yùn)用全等三角形的判定是本題

的關(guān)鍵.

【變式3-3](2019春?道外區(qū)期末)如圖，四邊形ABCC中，NABC=NBCD=90°,點(diǎn)、E在BC邊上,

ZAED=90°

(1)求證：ZBAE=ZCED；

(2)若AB+CD=DE,求證：AE+BE=CE；

(3)在(2)的條件下，若△(?￡>￡：與△ABE的面積的差為18,CD=6,求BE的長(zhǎng).

(2)在ED上截取EF=AB,過(guò)點(diǎn)F作FGLDE交BC于G,連接DG,證出NFEG,由ASA

證得△ABE絲ZXEFG得出A￡=EG,BE=FG,由AB+CD=DE,EF+DF=DE,得出。尸=CO,由4L證

得Rt△。/G絲RtZXOCG得出FG=CG,則8E=CG,即可得出結(jié)論；

(3)由△ABE絲△EFG,RtADFG=RtADCG)得出?SAA8E=SAEFG，S&DFG=SADCG，則SACDE-SAAB。

=25ASG=18,得出&C￡>G=9，則LCG?CD=9,即可得出結(jié)果.

2

【答案】(1)證明：VZAEB+ZCED=]SOa-90°=90°,/BAE+NAEB=9Q°,

：.ZBAE=ZCED；

(2)證明：在EO上截取EF=AB,過(guò)點(diǎn)F作FGLOE交BC于G,連接。G,如圖所示:

VZAEB+ZGEF=90°,ZBAE+ZAEB=90<,,

:.NBAE=NFEG,

'/BAE=/FEG

在△ABE和△EFG中，<AB=EF，

NABE=/EFG=90°

:.△ABE'^AEFG(ASA),

：.AE=EG,BE=FG,

■:AB+CD=DE,EF+DF=DE,

：.DF=CD,

在RtADFG和RtADCG中，jDF=CD,

lDG=DG

ARtADFG^RtADCG(HL),

：.FG=CG,

:.BE=CG,

AE+BE=EG+CG=CE-,

(3)解：,:△ABE0AEFG,RtADFG^RtADCG,

:?S￡、ABE=SAEFG，SADFG=S&DCG，

S^CDE-SAA8E=2SAC0G=18，

S&CDG=9,

；.&G?CD=9,即工XCGX6=9,

22

：.CG=BE=3.

【點(diǎn)睛】本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)、直角三角形的性質(zhì)、三角形面積的計(jì)算等知識(shí)，熟練學(xué)

握等三角形的判定與性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.

【考點(diǎn)4動(dòng)點(diǎn)問(wèn)題中的全等三角形應(yīng)用】

【例4】(2019春?平川區(qū)期末)如圖，已知△ABC中，A8=AC=10cm,8c=8的，點(diǎn)。為A3的中點(diǎn).如

果點(diǎn)尸在線段BC上以3aMs的速度由點(diǎn)8向C點(diǎn)運(yùn)動(dòng)，同時(shí)，點(diǎn)Q在線段C4上由點(diǎn)C向A點(diǎn)運(yùn)動(dòng).

(1)若點(diǎn)。的運(yùn)動(dòng)速度與點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)速度相等，經(jīng)過(guò)1秒后，△BP。與△C。尸是否全等，請(qǐng)說(shuō)明理由.

(2)若點(diǎn)Q的運(yùn)動(dòng)速度與點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)速度不相等，當(dāng)點(diǎn)Q的運(yùn)動(dòng)速度為多少時(shí)、能夠使△BPO與aCJP

全等？

【分析】(1)經(jīng)過(guò)1秒后，PB=3an,PC=5cm,CQ=3cm,由己知可得8D=PC,BP=CQ,NABC

=ZACB,即據(jù)SAS可證得△8PD絲△CQP.

(2)可設(shè)點(diǎn)。的運(yùn)動(dòng)速度為x(xW3)cro/s,經(jīng)過(guò)BPD與4022全等，則可知P8=3fc，〃，PC—S

-3tcm,CQ=xtcm,據(jù)(1)同理可得當(dāng)8D=PC,8P=C0或8O=CQ,8P=PC時(shí)兩三角形全等，求

x的解即可.

【答案】解：(I)經(jīng)過(guò)I秒后，PB=3cvn,尸C=5cvn,CQ=3cm,

「△ABC中，AB=AC,

...在△BP。和△CQP中，

BD=PC

<ZABC=ZACB>

BP=CQ

：./\BPD^ACQP(SAS).

(2)設(shè)點(diǎn)Q的運(yùn)動(dòng)速度為x(xW3)cm/s,經(jīng)過(guò)ts/\BPD與△CQP全等：則可知PB=3tcm,PC=8-

item,CQ~xtcm,

'：AB=AC,

:.NB=NC,

根據(jù)全等三角形的判定定理SAS可知，有兩種情況：①當(dāng)8O=PC,BP=C。時(shí)，②當(dāng)BO=C。，BP=

PC時(shí)，兩三角形全等；

①當(dāng)B￡)=PC且8P=CQ時(shí)，8-3f=5且3/=xf,解得X=3,，舍去此情況；

@BD=CQ,8P=PC時(shí)，5=xf且3r=8-3f,解得：x=W；

4

故若點(diǎn)Q的運(yùn)動(dòng)速度與點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)速度不相等,當(dāng)點(diǎn)。的運(yùn)動(dòng)速度為耳m/s時(shí)，能夠使△8P￡＞與ACQP

4

全等.

【點(diǎn)睛】本題主要考查了全等三角形全等的判定，涉及到等腰三角形的性質(zhì)，熟練掌握全等三角形的判

定方法是解題的關(guān)鍵.判定兩個(gè)三角形全等，先根據(jù)已知條件或求證的結(jié)論確定三角形，然后再根據(jù)三

角形全等的判定方法，看缺什么條件，再去證什么條件.

【變式4-1］（2019春?永新縣期末）ZVIBC中，AB=AC,乙4=40°,D、E分別是AB,AC上的不動(dòng)點(diǎn).且

（1）當(dāng)PC=CE時(shí)（如圖1）,求/OPE的度數(shù);

（2）若PC=B。時(shí)（如圖2）,求NCPE的度數(shù)還會(huì)與（1）的結(jié)果相同嗎？若相同，請(qǐng)寫(xiě)出求解過(guò)程;

若不相同，請(qǐng)說(shuō)明理由.

【分析】（I）根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)和三角形的內(nèi)角和即可得到結(jié)論：

（2）根據(jù)全等三角形的判定和性質(zhì)和三角形的內(nèi)角和即可得到結(jié)論.

【答案】解：（1）'：AB=AC,NA=40。，

.*.Zfi=ZC=70°,

"：CE=PC,ZEPC=(180°-70°)xL=55°,

2

又：BD+CE=BP+PC,PC=CE,

：.BD=PB,ZBPD=55°,

：.ZDPE^\S0Q-NBPD-NEPC=180°-55°-55°=70°:

(2)相同，

理由：'：PC=BC-BP,BD=BC-CE,PC=BD,

:.BP=CE,

:.△BDP鄉(xiāng)ACPE(SAS),

二ZCPE=/BDP,

又?：NBPD+NCPE+NDPE=180°,ZBPD+ZBDP+ZB=180°,

:.NDPE=NB=70°.

【點(diǎn)睛】本題考查了全等三角形的判定和性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，熟練正確全等三角形的判定和性質(zhì)

是解題的關(guān)鍵.

【變式4-2](2019春?寶安區(qū)期中)如圖，在四邊形ABCD中，AD=BC=10,AB=CD,BD=14,點(diǎn)E

從。點(diǎn)出發(fā)，以每秒2個(gè)單位的速度沿D4向點(diǎn)A勻速移動(dòng)，點(diǎn)尸從點(diǎn)C出發(fā)，以每秒5個(gè)單位的速度

沿C-B-C,作勻速移動(dòng)，點(diǎn)G從點(diǎn)8出發(fā)沿8。向點(diǎn)。勻速移動(dòng)，三個(gè)點(diǎn)同時(shí)出發(fā)，當(dāng)有一個(gè)點(diǎn)到達(dá)

終點(diǎn)時(shí)，其余兩點(diǎn)也隨之停止運(yùn)動(dòng)，假設(shè)移動(dòng)時(shí)間為，秒.

(1)試證明：AD//BC-.

(2)在移動(dòng)過(guò)程中，小明發(fā)現(xiàn)有AOEG與△BRJ全等的情況出現(xiàn)，請(qǐng)你探究這樣的情況會(huì)出現(xiàn)幾次？

并分別求出此時(shí)的移動(dòng)時(shí)間/和G點(diǎn)的移動(dòng)距離.

【分析】(1)由SSS證得△48。絲/XCDB,得出/AOB=NC8。，即可得出結(jié)論；

(2)設(shè)G點(diǎn)的移動(dòng)距離為x,當(dāng)△OEG與△8FG全等時(shí)，由NEDG=NFBG,得出OE=8尸、DG=BG

或QE=8G、DG=BF,

①當(dāng)點(diǎn)尸由點(diǎn)C到點(diǎn)B,即0VW2時(shí)，則：[10-5t=2t,或(x=2t,解方程組即可得出結(jié)果；

Ix=14-x[10-5t=14-x

②當(dāng)點(diǎn)尸由點(diǎn)B到點(diǎn)C,即24W4時(shí)，則(5tT0=2t,或(510=14-X,解方程組即可得出結(jié)果.

Ix=14-x[x=2t

'AD=BC

【答案】(1)證明：在和△CO8中，，AB=CD，

BD=DB

.?.△A3。絲△CDS(SSS),

NADB=NCBD,

：.AD//BC；

(2)解：設(shè)G點(diǎn)的移動(dòng)距離為x,

當(dāng)△OEG與△BFG全等時(shí)，

,:NEDG=NFBG,

:.DE=BF、DG=BG或DE=BG、DG=BF,

①；BC=10,羋=2,

當(dāng)點(diǎn)尸由點(diǎn)C到點(diǎn)8,即0<fW2時(shí),

則：fl0-5t=2t；

lx=14-x

,_1P_

解得：.1〒，

,x=7

或[x=2t,

ll0-5t=14-x

(4

解得：，；(不合題意舍去)；

②當(dāng)點(diǎn)尸由點(diǎn)8到點(diǎn)C,即2<rW4時(shí),

則（5t-l0=2t>

lx=14-x

,_1P_

解得：try,

.x=7

或［5t-10=14-x,

lx=2t

f24

...綜上所述：AOEG與△8PG全等的情況會(huì)出現(xiàn)3次，此時(shí)的移動(dòng)時(shí)間分別是犯秒、乃秒、21秒，

737

G點(diǎn)的移動(dòng)距離分別是7、7、堂■.

7

【點(diǎn)睛】本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)、平行線的判定、分類討論、解方程組等知識(shí)，熟練掌握

全等三角形的判定和性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.

【變式4-3](2018秋?十堰期末)在△4BC中，AB=AC,。是直線BC上一點(diǎn)，以4。為一條邊在AO的

右側(cè)作△AOE,使AE=A￡>,ZDAE^ABAC,連接CE.

(1)如圖，當(dāng)點(diǎn)。在BC延長(zhǎng)線上移動(dòng)時(shí)，若/B4C=25°,則/Z)CE=.

(2)設(shè)NBAC=a,ZDC￡=p.

①當(dāng)點(diǎn)。在BC延長(zhǎng)線上移動(dòng)時(shí)，a與0之間有什么數(shù)量關(guān)系？請(qǐng)說(shuō)明理由；

②當(dāng)點(diǎn)O在直線BC上（不與8,C兩點(diǎn)重合）移動(dòng)時(shí)，a與B之間有什么數(shù)量關(guān)系？請(qǐng)直接寫(xiě)出你的

結(jié)論.

【分析】（1）證△AADgaCAE,推出N8=NACE,根據(jù)三角形外角性質(zhì)求出即可；

（2）①證△8AOg推出NB=NACE,根據(jù)三角形外角性質(zhì)求出即可

②a+0=18O°或a=0,根據(jù)三角形外角性質(zhì)求出即可.

【答案】（1）解：?.?/%￡=/8AC,

ZDAE+ZCAD=ZBAC+ZCAD,

：.ZBAD=ZCAE,

在△840和△CAE中

'AB=AC

ZBAD=ZCAE-

AD=AE

:.△BAD/XCAE（SAS）,

:.NB=NACE,

:ZACD=ZB+ZBAC=ZACE+ZDCE,

：.ZBAC=ZDCE,

"：ZBAC=25°,

：.ZDCE=25°,

故答案為：25°：

（2）解：當(dāng)點(diǎn)。在線段8c的延長(zhǎng)線上移動(dòng)時(shí)，a與0之間的數(shù)量關(guān)系是a=|3,理由是:

ZDAE=ZBAC,

：.ZDAE+ZCAD=NBAC+NCAD,

:.NBAD=NCAE,

在△BAD和△?！曛?/p>

'AB=AC

NBAD=NCAE，

,AD=AE

：./\BAD^/\CAE(SAS),

，ZB=ZACE,

,：ZACD=NB+NBAC=ZACE+ZDCE,

：.ZBAC^ZDCE,

VZBAC=a,N￡>CE=B，

*'.a=P；

（3）解：當(dāng)。在線段BC上時(shí)，a+B=180°,當(dāng)點(diǎn)。在線段BC延長(zhǎng)線或反向延長(zhǎng)線上時(shí)，a=0.

【點(diǎn)睛】本題考查了全等三角形的性質(zhì)和判定，三角形的外角性質(zhì)等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是正確尋找全等

三角形解決問(wèn)題，屬于中考?？碱}型.

【考點(diǎn)5“三線合一”性質(zhì)的應(yīng)用】

【方法點(diǎn)撥】等腰三角形底邊上的高線、中線及頂角平分線重合（簡(jiǎn)稱“三線合一”）。

【例5】（2019秋?武昌區(qū)期中）如圖，在△ABC中，NBAC=90°,ADVBC,BE平分NA8C,G為EF

的中點(diǎn)，求證：AGLEF.

【分析】只要證明AF=AE,利用等腰三角形的三線合一的性質(zhì)即可解決問(wèn)題;

【答案】證明：：BE平分NABC

尸=90°-ZABE

又：NAFE=ZDFB=90°-ACBE

：.NAFE=ZAEF,

...△AFE為等腰三角形

又為EF的中點(diǎn)

：.AG±EF.

【點(diǎn)睛】本題考查等腰三角形的性質(zhì)和判定，解題的關(guān)鍵是熟練掌握基本知識(shí)，屬丁中考?？碱}型.

【變式5-1](2019秋?青山區(qū)期中)在△4BC中，8c邊上的高AG平分/BAC.

(1)如圖1,求證：AB=AC；

(2)如圖2,點(diǎn)。、E在△ABC的邊BC上，AD=AE,BC=\0cm,DE=6cm,求BO的長(zhǎng).

【分析】(1)想辦法證明NB=NC即可解決問(wèn)題.

(2)如圖2中，作AGLBC于G.利用等腰三角形的三線合一的性質(zhì)證明BO=CE即可解決問(wèn)題.

【答案】(1)證明：如圖1中，

為NBAC的平分線，

：.ZBAG^ZCAG,

為8c邊上高

/.ZAGB=ZAGC=W,

：.4B=NC,

：.AB=AC.

(2)如圖2中，作AG_LBC于G.

9

：AB=ACrAG±BCf

:.BG=CG,

;AD=AE,AG1BC,

：.DG=EG,

：.BG-DG=CG-EG,

：.BD=CE,

*：BC=\Ocm,DE=6cm,

BD=2cm.

【點(diǎn)睛】本題考查等腰三角形的性質(zhì)和判定，解題的關(guān)鍵是熟練掌握基本知識(shí)，屬于中考?？碱}型.

【變式5-2］（2019?衡陽(yáng)校級(jí)期中）已知：如圖，在等邊三角形ABC的AC邊上取中點(diǎn)O,BC的延長(zhǎng)線上

【分析】欲證只需證根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)及角的等量關(guān)系可證明乙DBE=/

E=30°.

【答案】證明：:△ABC為等邊三角形，8。是AC邊的中線，

J.BDLAC,8。平分/ABC,NDBE=L/ABC=3Q。.

2

,:CD=CE,

：.ZCDE=ZE.

VZ4Cfi=60°,且NAC8為的外角，

：.ZCDE+ZE^60a.

：.ZCDE^ZE=30°,

:.NDBE=NDEB=30°，

：.BD=DE.

【點(diǎn)睛】本題考查等腰三角形與等邊三角形的性質(zhì)及三角形內(nèi)角和為180°等知識(shí).此類已知三角形邊

之間的關(guān)系求角的度數(shù)的題，一般是利用等腰(等邊)三角形的性質(zhì)得出有關(guān)角的度數(shù)，進(jìn)而求出所求

角的度數(shù).

【變式5-3】如圖所示，ZVIBC是等腰直角三角形，ZBAC=90°,AB=AC.

(1)若。為BC的中點(diǎn)，過(guò)力作分別交AB、AC于M、N,求證：DM=DN；

(2)若。分別和84、AC延長(zhǎng)線交于M、N,問(wèn)。M和。N有何數(shù)量關(guān)系，并證明.

【分析】(1)連接A。，可得可證△AMDg△CNZ),可得OM=ON；

(2)連接40,可得/AOM=/CZW,可證AAMDgACND,可得DM=DN.

【答案】解：(1)連接AO,

???￡)為8c中點(diǎn)，

：.AD=BD,NBAD=NC,

圖1

ZADM+ZADN=90°,ZADN+ZCDN=90°,

:"ADM=NCDN,

在△AMO和△CNO中，

'/ADM=/CDN

?AD=CD，

,ZBAD=ZC

：.AAMD^/\CNDCASA),

：.DM=DN.

(2)連接AO,；D為BC中點(diǎn),：.AD=BD,NBAZ)=NC,

VZADM+ZM￡>C=90°,ZMDC+ZCDN^90a,

NADM=NCDN,

VZMAD=MAC+DAC=135a,NNCO=180°-ZACD=135°

在△/1”￡）和中，

，ZADM=ZCDN

?AD=CD，

ZMAD=ZNCD

:.XAMD沿叢CND（ASA）,

：.DM=DN.

【點(diǎn)睛】本題考查了全等三角形的判定，考查了全等三角形對(duì)應(yīng)邊相等的性質(zhì)，本題中求證

CNO是解題的關(guān)鍵.

【考點(diǎn)6等邊三角形的判定與性質(zhì)】

【方法點(diǎn)撥】等邊三角形的性質(zhì)：

（1）等邊三角形是軸對(duì)稱圖形，并且具有3條對(duì)稱軸；

（2）等邊三角形的每個(gè)角都等于60°。

等邊三角形的判定：

（1）三邊相等的三角形是等邊三角形。

（2）三個(gè)角都相等的三角形是等邊三角形。

（3）有兩個(gè)角是60°的三角形是等邊三角形。

（4）有一個(gè)角是60°的等腰三角形是等邊三角形。

【例6】（2018秋?松桃縣期末）如圖，點(diǎn)P,M,N分別在等邊△ABC的各邊上，且于點(diǎn)P,MN

_LBC于點(diǎn)M,PN1.AC于點(diǎn)、N.

(1)求證：△*1/可是等邊三角形;

(2)若AB=12cw,求CM的長(zhǎng).

【分析】(1)根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)得出/A=/8=/C,進(jìn)而得出/〃/>8=/9。=/「乂4=90°,

再根據(jù)平角的意義即可得出NNPM=NPMN=NMNP,即可證得△PMN是等邊三角形；

(2)易證得△PBM-△MCN0△M4P,得出PA=BM=CN,PB=MC=AN,從而求得BM+PB=AB=12cm,

根據(jù)直角三角形30°角所對(duì)的直角邊等于斜邊的一半得出2PB=BM,即可求得尸8的長(zhǎng)，進(jìn)而得出MC

的長(zhǎng).

【答案】解：(1);△ABC是正三角形，

NA=NB=NC,

MNJLBC,PN1AC,

：.NMPB=ZNMC=NPNA=9Q°,

NPMB=NMNC=NAPN,

：.4NPM=NPMN=NMNP,

.?.△PMN是等邊三角形；

(2)根據(jù)題意絲△NAP,

：.PA=BM=CN,PB=MC=AN,

：.BM+PB=AB=\2cm,

「△ABC是正三角形，

?'?NA=N8=NC=60°，

：,2PB=BM,

；?2PB+PB=12cm,

PB=4cm,

MC=4cm.

【點(diǎn)睛】本題考查了等邊三角形的判定和性質(zhì)，平角的意義，三角形全等的性質(zhì)等，得出NNPM=NPMN

=是本題的關(guān)鍵.

【變式6-1](2018秋?邵陽(yáng)縣期末)如圖，在等邊△A8C中，NA8C與NACB的平分線相交于點(diǎn)。，且

OD//AB,OE//AC

(1)試判定△OOE的形狀，并說(shuō)明你的理由；

(2)若5c=10,求△OQE的周長(zhǎng).

【分析】(1)證明/A8C=/AC8=60°；證明NOOE=/A8C=60°,/OE￡>=NACB=60°,即可

解決問(wèn)題.

(2)證明BO=。。；同理可證CE=OE；即可解決問(wèn)題.

【答案】解：(1)△OOE是等邊三角形；理由如下：

「△A8C是等邊三角形，

AZABC=ZACB=60Q；

VOD//AB,OE//AC,

.../ODE=/ABC=60°,NOE￡>-8=60°,

.?.△OQE為等邊三角形.

(2)：03平分/ABC,OD//AB,

：.ZABO=ZDOB,ZABO=ZDBO,

：.ZDOB=ZDBO,

：.BD=OD-,同理可證CE=OE；

/.△ODE的周長(zhǎng)=BC=10.

【點(diǎn)睛】該題主要考查了等邊三角形的判定及其性質(zhì)的應(yīng)用問(wèn)題；解題的關(guān)鍵是靈活運(yùn)用平行線的性質(zhì)、

等邊三角形的性質(zhì)來(lái)分析、判斷、解答.

【變式6-2](2019秋?壽光市期末)如圖，A、B、C三點(diǎn)在同一直線上，分別以AB、BC為邊,在直線AC

的同側(cè)作等邊△ABD和等邊△BCE,連接AE交BD于點(diǎn)M,連接CD交BE于點(diǎn)N,連接MN得ABMN.

(1)求證：△ABEgADBC.

(2)試判斷的形狀，并說(shuō)明理由.

【分析】(1)由三角形A3。與三角形8CE都為等邊三角形，利用等邊三角形的性質(zhì)得到兩條邊對(duì)應(yīng)相

等，兩個(gè)角相等都為60°,利用SAS即可得到三角形ABE與三角形08c全等；

(2)三角形BMN為等邊三角形，理由為：由第一問(wèn)三角形ABE與三角形。BC全等，利用全等三角形

的對(duì)應(yīng)角相等得到一對(duì)角相等，再由NA8O=NEBC=60°,利用平角的定義得到/N8C=

60°,再由EB=C8,利用ASA可得出三角形與三角形CM3全等，利用全等三角形的對(duì)應(yīng)邊相等

得到再由NM2E=60°,利用有個(gè)角為60°的等腰三角形為等邊三角形可得出三角形BMN

為等邊三角形.

【答案】解：(1)證明：?.?等邊△A8D和等邊△BCE,

：.AB=DB,BE=BC,ZABD=ZEBC=60Q,

：.ZABE=ZDBC=\20Q,

在△ABE和中，

'AB=DB

,?,<NABE=NDBC，

,BE=BC

:4BE必DBC(SW；

(2)為等邊三角形，理由為:

證明：?「△ABE也△O8C,

NAEB=ZDCB,

又,NABZ)=/EBC=60°,

/.ZMBE=180°-60"-60°=60",

即NM8E=NNBC=60°,

在△MBE和△N8C中，

rZAEB=ZDCB

工EB=CB，

ZMBE=ZNBC

:.叢MBE沿叢NBC(ASA),

:.BM=BN,ZMB￡=60°,

則△8MN為等邊三角形.

【點(diǎn)睛】此題考查了等邊三角形的判定與性質(zhì)，以及全等三角形的判定與性質(zhì)，熟練掌握判定與性質(zhì)是

解本題的關(guān)鍵.同時(shí)做第二問(wèn)時(shí)注意利用第一問(wèn)已證的結(jié)論.

【變式6-3](2019秋?中江縣期末)如圖，△ABC中，AB=BC=4C=12的，現(xiàn)有兩點(diǎn)M、N分別從點(diǎn)A、

點(diǎn)B同時(shí)出發(fā)，沿三角形的邊運(yùn)動(dòng)，已知點(diǎn)M的速度為\cmls,點(diǎn)N的速度為Icm/s.當(dāng)點(diǎn)N第一次到

達(dá)B點(diǎn)時(shí)，M、N同時(shí)停止運(yùn)動(dòng).

(1)點(diǎn)、M、N運(yùn)動(dòng)幾秒后，M、N兩點(diǎn)重合？

(2)點(diǎn)M、N運(yùn)動(dòng)幾秒后，可得到等邊三角形△AMN?

(3)當(dāng)點(diǎn)M、N在8c邊上運(yùn)動(dòng)時(shí)，能否得到以MN為底邊的等腰三角形AMV?如存在，請(qǐng)求出此時(shí)M、

N運(yùn)動(dòng)的時(shí)間.

【分析】(1)首先設(shè)點(diǎn)M、N運(yùn)動(dòng)x秒后，M、N兩點(diǎn)重合，表示出M,N的運(yùn)動(dòng)路程，N的運(yùn)動(dòng)路程

比M的運(yùn)動(dòng)路程多12cm,列出方程求解即可：

(2)根據(jù)題意設(shè)點(diǎn)歷、N運(yùn)動(dòng)f秒后，可得到等邊三角形△斗〃義,然后表示出AM,AN的長(zhǎng)，由于/A

等于60°,所以只要三角形4VM就是等邊三角形；

(3)首先假設(shè)△4MN是等腰三角形，可證出△ACM絲△ABM可得CM=BN,設(shè)出運(yùn)動(dòng)時(shí)間，表示出

CM,NB,NM的長(zhǎng)，列出方程，可解出未知數(shù)的值.

【答案】解：(1)設(shè)點(diǎn)用、N運(yùn)動(dòng)x秒后，M、N兩點(diǎn)重合，

xX1+12=2%,

解得：x=12；

(2)設(shè)點(diǎn)M、N運(yùn)動(dòng)f秒后，可得到等邊三角形△4MN,如圖①，

AM=tXl=t,AN=AB-BN=12-2t,

?.?三角形△4“可是等邊三角形，

：.t=l2-2t,

解得f=4,

點(diǎn)仞、N運(yùn)動(dòng)4秒后，可得到等邊三角形△4MN.

(3)當(dāng)點(diǎn)M、N在8c邊上運(yùn)動(dòng)時(shí)，可以得到以MN為底邊的等腰三角形，

由(1)知12秒時(shí)M、N兩點(diǎn)重合，恰好在C處，

如圖②，假設(shè)△AMN是等腰三角形，

C.AN^AM,

：.NAMN=NANM,

：.NAMC=NANB,

'：AB=BC=AC,

/\ACB是等邊三角形，

：.ZC=ZB,

在△ACM和△ABN中，

'AC二AB

,?,<ZC=ZB，

,ZAMC=ZANB

.?.△ACM絲"BN,

:.CM=BN,

設(shè)當(dāng)點(diǎn)M、N在8c邊上運(yùn)動(dòng)時(shí)，M、N運(yùn)動(dòng)的時(shí)間y秒時(shí)，是等腰三角形，

J.CM^y-12,NB=36-2y,CM=NB,

y-12=36-2y,

解得：y=\6.故假設(shè)成立.

當(dāng)點(diǎn)M、N在8c邊匕運(yùn)動(dòng)時(shí)，能得到以MN為底邊的等腰三角形4MM此時(shí)M、N運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為16

秒.

M

【點(diǎn)睛】此題主要考查了等邊三角形的性質(zhì)及判定，關(guān)鍵是根據(jù)題意設(shè)出未知數(shù)，理清線段之間的數(shù)量

關(guān)系.

【考點(diǎn)7利用因式分解與乘法公式求值】

【例7】已知4.』+『-4x+lQy+26=0,求6x-上y的值?

5

【分析】已知等式利用完全平方公式變形，利用非負(fù)數(shù)的性質(zhì)求出x與y的值，代入原式計(jì)算即可求出

值.

【答案】解：V4x2+y2-4x+10y+26=4(x-工)2+(y+5)2=0,

2

Ax=—,y=-5>

2,

則原式=3+1=4.

【點(diǎn)睛】此題考查了因式分解-運(yùn)用公式法，熟練掌握完全平方公式是解本題的關(guān)鍵.

【變式7-1]（2019秋?崇明縣期中）已知x+y=4,