3411對數(shù)-課件高中數(shù)學(xué)必修一北師大版

§4對數(shù)4.1對數(shù)及其運算第1課時對數(shù)問題引航1.對數(shù)、自然對數(shù)及常用對數(shù)是如何定義的?2.對數(shù)與指數(shù)有何區(qū)別與聯(lián)系?學(xué)習(xí)對數(shù)應(yīng)注意哪些問題?對數(shù)有何基本性質(zhì)?1.對數(shù)的概念(1)請根據(jù)下圖的提示填寫與對數(shù)有關(guān)的概念：指數(shù)對數(shù)冪真數(shù)底數(shù)(2)a的取值范圍是_________.(3)讀法：logaN讀作以__為底__的對數(shù).a>0,a≠1aN2.常用對數(shù)與自然對數(shù)(其中無理數(shù)e≈2.71828)lgN自然以e為底3.對數(shù)的基本性質(zhì)及對數(shù)恒等式(1)loga1=__(a>0,a≠1).(2)logaa=__(a>0,a≠1).(3)負(fù)數(shù)和零_____對數(shù).(4)對數(shù)恒等式=__(a>0,a≠1).01沒有N1.判一判：(正確的打“√”,錯誤的打“×”)(1)若ax=b,則x=logab.(

)(2)lgx是logx的縮寫形式.(

)(3)對數(shù)運算的實質(zhì)是求冪指數(shù).(

)2.做一做：(請把正確的答案寫在橫線上)(1)ln2的底數(shù)是

,真數(shù)是

.(2)若2x=3,則x=

.(3)lg10=

.(4)=____________.【解析】1.(1)錯誤.x=logab中a為不等于1的正實數(shù).(2)錯誤.lgx是log10x的縮寫形式.(3)正確.由ax=b(a>0,a≠1),則x=logab(a>0,a≠1)可知對數(shù)運算的實質(zhì)是求冪指數(shù).答案：(1)×

(2)×

(3)√2.(1)ln2的底數(shù)是e,真數(shù)是2.答案：e

2(2)由指數(shù)式與對數(shù)式的互化,得ax=b?x=logab(a>0,a≠1)可知x=log23.答案：log23(3)由對數(shù)的運算性質(zhì)可知lg10=1.答案：1(4)由對數(shù)恒等式可知=3.答案：3

【要點探究】知識點1對數(shù)的有關(guān)概念1.對數(shù)的定義中規(guī)定a>0,a≠1的原因(1)若a<0,則N為某些值時,b值不存在,如a=-2,N=8時,(-2)b=8,b不存在,故b=log-28不存在;或者b為某些值時,N值不存在(無意義),如a=-2,b=時,N=無意義.(2)若a=0,當(dāng)N≠0時,不存在實數(shù)b使ab=N,無法定義logaN.當(dāng)N=0時,對任意非零實數(shù)b,有ab=N成立,故logaN不確定.(3)若a=1,當(dāng)N≠1時,logaN不存在.當(dāng)N=1時,loga1有無數(shù)個值,不能確定.2.從“三角度”理解對數(shù)式的意義角度一：對數(shù)式logaN可看作一種記號,只有在a>0,a≠1,N>0時才有意義.角度二：對數(shù)式logaN也可以看作一種運算,是在已知ab=N求b的前提下提出的.角度三：logaN是一個數(shù),是一種取對數(shù)的運算,結(jié)果仍是一個數(shù),不可分開書寫,也不可認(rèn)為是loga與N的乘積.【知識拓展】對數(shù)式中“l(fā)og”符號的理解對數(shù)式中的“l(fā)og”符號同“+”“×”“”符號一樣,表示一種運算,即已知一個數(shù)和它的冪求指數(shù)的運算,這種運算叫對數(shù)運算,不過對數(shù)運算的符號寫在數(shù)的前面.【微思考】(1)為什么logaN(a>0,a≠1)中N>0時才有意義?提示：依據(jù)對數(shù)定義,若ax=N(a>0,a≠1),則x=logaN,對于a>0,不論x取何實數(shù)總有ax>0,故需N>0,logaN才有意義.(2)任何一個指數(shù)式都可以化成對數(shù)式嗎?提示：不是.如(-2)3=-8,不能寫作log-2(-8)=3.【即時練】1.把對數(shù)式x=lg2化為指數(shù)式為(

)A.10x=2B.x10=2C.x2=10 D.2x=102.求下列各式中x的取值范圍：(1)logx(x+2).(2)log(1-2x)(3x+2).【解析】1.選A.因為lg2表示以10為底2的對數(shù)，由對數(shù)的定義可知對數(shù)式x＝lg2化為指數(shù)式為10x＝2.2.(1)由對數(shù)的定義可知解得x>0，且x≠1.故x的取值范圍是{x|x>0，x≠1}.(2)由所以所以故x的取值范圍是知識點2對數(shù)的基本性質(zhì)及對數(shù)恒等式1.loga1和logaa(a>0,a≠1)的應(yīng)用(1)求未知量的值.(2)化“簡”為“繁”,把0和1化為對數(shù)式的形式,再根據(jù)對數(shù)的有關(guān)性質(zhì)求解問題.2.對數(shù)恒等式的形式對數(shù)恒等式=N的形式記憶如圖所示.(1)它們是同底的.(2)指數(shù)中含有對數(shù)形式.(3)其值為對數(shù)的真數(shù).【微思考】(1)如何證明恒等式提示：設(shè)logaN=x,則ax=N,即(2)恒等式成立的條件是什么？提示：a>0,a≠1且N>0.【即時練】求下列各式的值：(1)log464.(2)log31.(3)log927.(4)【解析】(1)因為64＝43，所以log464＝3.(2)因為1＝30，所以log31＝0.(3)設(shè)log927＝x，則9x＝27，即32x＝33,所以2x＝3,即x＝，所以log927＝

.(4)由對數(shù)恒等式可知【題型示范】類型一指數(shù)式與對數(shù)式的互化【典例1】(1)下列指數(shù)式與對數(shù)式互化不正確的一組是()(2)把下列各等式化為相應(yīng)的對數(shù)式或指數(shù)式：【解題探究】1.題(1)判斷指數(shù)式與對數(shù)式互化正確與否的關(guān)鍵是什么?選項C中兩個式子中的底數(shù)相同嗎?2.題(2)如何實現(xiàn)指數(shù)式與對數(shù)式的互化?【探究提示】1.是否同底,且對數(shù)的真數(shù)是否為指數(shù)的冪;不相同,前者底數(shù)是3,后者底數(shù)是9.2.借助ax=N?x=logaN(a>0,且a≠1)實現(xiàn)指數(shù)式與對數(shù)式的互化.【自主解答】(1)選C.由ax=N得x=logaN(a>0且a≠1),故C不正確.(2)①因為53＝125，所以log5125＝3；②因為所以③因為所以④因為所以【方法技巧】指數(shù)式與對數(shù)式互化的兩個步驟第一步：指數(shù)式與對數(shù)式的底數(shù)相同；第二步：將對數(shù)式的對數(shù)作為指數(shù)式的指數(shù)(或?qū)⒅笖?shù)式的指數(shù)作為對數(shù)式的對數(shù)).【變式訓(xùn)練】將下列指數(shù)式與對數(shù)式進(jìn)行互化.【解析】(1)因為所以(2)因為所以(3)因為所以(4)因為log100.001=-3，所以10－3＝0.001.(5)因為所以【補償訓(xùn)練】已知loga2=m,loga3=n,求a2m+3n的值.【解析】因為loga2=m,loga3=n,所以am=2,an=3.所以a2m+3n=a2m·a3n=22×33=108.類型二利用對數(shù)的性質(zhì)及恒等式化簡求值【典例2】(1)(2014·潮州高一檢測)已知log3(log2x)=0，則x=______.(2)求下列各式的值：【解題探究】1.題(1)中由條件log3(log2x)=0可得到什么？2.題(2)中兩個小題均可以把待求值的式子先看成什么運算，然后再借助什么知識求解？【探究提示】1.題(1)中由條件log3(log2x)=0可得到log2x=1.2.題(2)中兩個小題均可以把待求值的式子先看成指數(shù)運算，然后再借助對數(shù)知識求解.【自主解答】(1)由log3(log2x)=0可知log2x=1,所以x=2.答案：2(2)【延伸探究】把題(1)的條件“l(fā)og3(log2x)=0”換成“l(fā)og3(log2x)=1”,求x的值.【解析】由log3(log2x)=1得log2x=3，由指對互化關(guān)系可得x=23=8.【方法技巧】求解形如“”(a>0,a≠1)型題目的一般步驟(1)借助指數(shù)冪的運算，使其變形為(2)借助對數(shù)恒等式及指數(shù)冪的運算求值.【變式訓(xùn)練】已知log2[log3(log4x)]＝log3[log4(log2y)]＝0，求x＋y的值.【解題指南】利用loga1=0，logaa=1及指數(shù)式與對數(shù)式的互化分別求出x,y的值，然后計算x＋y便可.【解析】因為log2[log3(log4x)]＝0，所以log3(log4x)＝1，所以log4x＝3，所以x＝43＝64.同理可得y＝24＝16.所以x＋y＝80.【補償訓(xùn)練】計算：(3)(a,b為不等于1的正數(shù)，c>0).【解析】(1)原式=(2)原式=(3)原式=【易錯誤區(qū)】因忽視對數(shù)式成立的條件致誤【典例】(2013·吉安高一檢測)對數(shù)式log(a－2)(5－a)＝b中，實數(shù)a的取值范圍是()A.(－∞，5)B.(2,5)C.(2，＋∞)

D.(2,3)∪(3,5)【解析】選D.由對數(shù)式的定義得即所以2<a<3或3<a<5.【常見誤區(qū)】錯解錯因剖析a<5在陰影處只考慮了真數(shù)而忽視了底數(shù)致錯解成a<52<a<5在陰影處忽視了對數(shù)的底數(shù)不為1,導(dǎo)致錯解成2<a<5【防范措施】明確對數(shù)中真數(shù)與底數(shù)的范圍限定