第五節(jié)極限運算法則

第五節(jié)極限運算法則1第一頁，共二十八頁，編輯于2023年，星期一一、無窮小的運算性質(zhì)【教材上證明的是x→x0時的情形】【定理1】有限個無窮小的代數(shù)和仍是無窮小.【證】考慮兩個無窮小之和，且僅證的情形1）和的性質(zhì)2第二頁，共二十八頁，編輯于2023年，星期一【注意】無窮多個無窮小的代數(shù)和未必是無窮小.n個【例如】非無窮小3第三頁，共二十八頁，編輯于2023年，星期一【證】【定理2】有界函數(shù)與無窮小的乘積是無窮小.【分析】（僅證時）（注：M為定值）2）乘積的性質(zhì)設(shè)又設(shè)即當時,有取則當時,就有【證完】故即是時的無窮小.4第四頁，共二十八頁，編輯于2023年，星期一【推論1】有極限的變量與無窮小的乘積是無窮小.【推論2】常數(shù)與無窮小的乘積是無窮小.【推論3】有限個無窮小的乘積也是無窮小.都是無窮小【例1】【解】由定理2可知：【說明】

y=0是的漸近線.5第五頁，共二十八頁，編輯于2023年，星期一二、極限的運算法則【定理3】【證】由無窮小運算法則,得以下符號lim表示自變量的同一變化過程推廣到有限項【聲明】1.函數(shù)極限運算法則6第六頁，共二十八頁，編輯于2023年，星期一由第三節(jié)定理3*得7第七頁，共二十八頁，編輯于2023年，星期一【推論1】常數(shù)因子可以提到極限記號外面.【推論2】有界，函數(shù)和,差,積,商的極限等于極限的和,差,積,商.8第八頁，共二十八頁，編輯于2023年，星期一【定理4】設(shè)數(shù)列【注意】定理3及其兩個推論成立的前提條件是：“f(x)與g(x)的極限存在”若則2.數(shù)列極限運算法則【提示】因數(shù)列是一種特殊的函數(shù),故此定理4可由定理3（x→∞情形）與海因定理直接得出結(jié)論.9第九頁，共二十八頁，編輯于2023年，星期一【定理5】【證】令則由定理3可知由第三節(jié)函數(shù)極限的局部保號性的推論可知【證完】3.極限保序性10第十頁，共二十八頁，編輯于2023年，星期一【例2】【解】求極限方法舉例11第十一頁，共二十八頁，編輯于2023年，星期一【小結(jié)】需特別注意12第十二頁，共二十八頁，編輯于2023年，星期一【解】商的法則不能用【例3】【方法】無窮大的倒數(shù)法x=1時分母=0,分子≠0,但因13第十三頁，共二十八頁，編輯于2023年，星期一【解】【例4】【方法】消去零因子法在x→1（但x≠1）時是相同的函數(shù),故而極限相等14第十四頁，共二十八頁，編輯于2023年，星期一【例5】【解】【方法】抓大頭（以消除不定性）—無窮小量分出法15第十五頁，共二十八頁，編輯于2023年，星期一【小結(jié)】以分子、分母中自變量的最高次冪除分子,分母,以分出無窮小,然后再求極限的方法，稱之.【無窮小量分出法】分式求極限一般有如下結(jié)果：為非負常數(shù))16第十六頁，共二十八頁，編輯于2023年，星期一【例6】【解】先變形再求極限.【方法】先變形再求極限法17第十七頁，共二十八頁，編輯于2023年，星期一【小結(jié)】無窮多項和或積的極限的一般解法是：②利用夾逼準則（第六節(jié)內(nèi)容介紹）①把無限和或積通過恒等變形化為有限表達式再求之.詳見《高等數(shù)學(xué)學(xué)習指導(dǎo)》P21例19【特別注意】含無窮多項和或積的極限，不能逐項求極限.應(yīng)先寫為有限表達式，再求極限.18第十八頁，共二十八頁，編輯于2023年，星期一【例7】【解】左右極限存在且相等,【方法】分段函數(shù)在分界點的極限，一般考察左右極限.19第十九頁，共二十八頁，編輯于2023年，星期一三、復(fù)合函數(shù)的極限法則【分析】需證有1.【定理6】20第二十頁，共二十八頁，編輯于2023年，星期一【證明】有有……（1）……（2）21第二十一頁，共二十八頁，編輯于2023年，星期一【意義】（換元法求極限）（1）（2）兩式同時成立即從而此即【證完】22第二十二頁，共二十八頁，編輯于2023年，星期一【注意】①為方便記憶，定理6可簡單的敘述為內(nèi)層函數(shù)極限存在、外層函數(shù)極限也存在，則復(fù)合后的函數(shù)極限必存在.(不嚴格)②若定理6中則類似可得2、【方法】直接代入法23第二十三頁，共二十八頁，編輯于2023年，星期一【例8】【解】【方法】先有理化后可變?yōu)槎ㄊ?4第二十四頁，共二十八頁，編輯于2023年，星期一三、小結(jié)1.【極限運算法則】(1)無窮小運算性質(zhì)(2)極限四則運算法則(3)復(fù)合函數(shù)極限運算法則注意使用條件25第二十五頁，共二十八頁，編輯于2023年，星期一(4)復(fù)合函數(shù)極限求法設(shè)中間變量(2)利用無窮小運算性質(zhì)求極限(3)利用左右極限求分段函數(shù)極限2.【求函數(shù)極限的方法】(1)多項式、分式函數(shù)極限求法1)x→x0時,用代入法(分母不為0)2)x→x0時,對型,消去無窮小公因子3)x→∞時,分子分母同除最高次冪“抓大頭”——無窮小因子分出法26第二十六頁，共二十八頁，編輯于2023年，星期一【思考題】在某個過程中，若有極限，無極限，那么是否有極限？為什么？（提示：用反