解三角形的實(shí)際應(yīng)用

解三角形的實(shí)際應(yīng)用（劉園上海市嘉定區(qū)安亭高級(jí)中學(xué)201805）樣刊請(qǐng)寄：上海市嘉定區(qū)安亭高級(jí)中學(xué)柏榮15821987311201805摘要：解三角形的實(shí)際應(yīng)用問(wèn)題尤為廣泛，既可以解決平面幾何問(wèn)題，也可以應(yīng)用于實(shí)際的測(cè)量，作為數(shù)學(xué)在日常生活中運(yùn)用的典型，是當(dāng)前越來(lái)越重視對(duì)數(shù)學(xué)實(shí)際應(yīng)用能力的考察的考查的高考熱點(diǎn)。本文以解三角形的實(shí)際應(yīng)用教學(xué)為例，研究通過(guò)正弦定理和余弦定理如何解決實(shí)際應(yīng)用中的距離，高度和角度問(wèn)題，揭示數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)生活化的意義。關(guān)鍵詞：正弦定理、余弦定理、解三角形1引言解三角形實(shí)際問(wèn)題是高中數(shù)學(xué)教學(xué)的重點(diǎn)和難點(diǎn)之一，同時(shí)也是近幾年高考熱點(diǎn)之一。我們都知道數(shù)學(xué)與我們實(shí)際生活息息相關(guān)，它來(lái)源于我們的生活，并應(yīng)用于日常生活當(dāng)中，比如：我們?nèi)绾螠y(cè)量?jī)勺鞘兄g的距離？如何測(cè)量一些建筑物的高度？又如何確定輪船的航向等等，這些實(shí)際問(wèn)題的解決都可以轉(zhuǎn)化到數(shù)學(xué)中解三角形的問(wèn)題。這類(lèi)問(wèn)題基本涉及到正弦定理、余弦定理、三角形面積公式以及三角函數(shù)等知識(shí)，還蘊(yùn)含著轉(zhuǎn)化、數(shù)形結(jié)合、分類(lèi)討論等數(shù)學(xué)思想方法，同時(shí)解三角形實(shí)際問(wèn)題還可以培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)運(yùn)算、數(shù)據(jù)抽象和數(shù)學(xué)建模的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)。解三角形問(wèn)題實(shí)際就是解決三角形中邊與角的關(guān)系，而正弦定理和余弦定理作為三角形邊與角的橋梁，正好為邊角轉(zhuǎn)化做好了鋪墊，直接應(yīng)用正弦定理和余弦定理，可以求解三角形，靈活變形并與其他知識(shí)相結(jié)合，可以解決實(shí)際生活中的一些問(wèn)題。正弦定理：在三角形中，各邊和它所對(duì)角的正弦值的比相等且都等于三角形外接圓的直徑。其公式為：余弦定理：任一邊的平方等于其他兩邊平方的和減去這兩邊與其夾角的余弦值乘積的兩倍。其公式為：，，兩個(gè)定理在解三角形中的選擇：已知條件應(yīng)用定理兩角及一邊正弦定理兩邊及其夾角余弦定理三邊余弦定理兩邊和其中一邊對(duì)角正弦定理或余弦定理2實(shí)例關(guān)于解三角形的實(shí)際應(yīng)用問(wèn)題，將會(huì)通過(guò)下面這道自行設(shè)計(jì)的實(shí)際應(yīng)用題來(lái)幫助學(xué)生展開(kāi)分析和理解。題目：如下圖，點(diǎn)A、B、C、D位于同一水平面，假設(shè)你位于黃浦江邊某定點(diǎn)A處，現(xiàn)手中只有皮尺和測(cè)角儀，在不可以過(guò)江的前提下，你能否設(shè)計(jì)出適當(dāng)?shù)臏y(cè)量方案解決下列實(shí)際問(wèn)題，測(cè)量數(shù)據(jù)可以用字母代替：（1）計(jì)算出你到東方明珠塔底端的距離AB；（2）計(jì)算出東方明珠塔的高度BE；（3）計(jì)算出黃浦江對(duì)岸東方明珠塔底端與上海中心大廈底端的距離BD.分析：根據(jù)題目中圖形的理解，題目第一問(wèn)所需要求解的問(wèn)題實(shí)際就是AB的距離，第二問(wèn)所需要求解的問(wèn)題實(shí)際就是BE的距離，第三問(wèn)所需要求解的問(wèn)題實(shí)際就是BD的距離，根據(jù)題目的要求和實(shí)際問(wèn)題的背景，要求出AB、BE、BD的距離，就要用到解三角形等相關(guān)知識(shí)，通過(guò)學(xué)生的建模，構(gòu)造出實(shí)際問(wèn)題的數(shù)學(xué)模型即可解決這幾個(gè)問(wèn)題。（1）第一個(gè)問(wèn)題，同學(xué)們給出的建模方法，具體如下：學(xué)生：在黃浦江西岸邊取一點(diǎn)C，用皮尺測(cè)出AC距離為米，然后利用測(cè)角儀在A點(diǎn)測(cè)出，在C點(diǎn)測(cè)出，那么在△ABC中，可以算出，再在利用正弦定理即可求出AB的距離：，即.第二個(gè)問(wèn)題，同學(xué)們給出了幾個(gè)不同的建模方法，具體如下：學(xué)生1：模型建立在第一問(wèn)的基礎(chǔ)上，只要在A點(diǎn)測(cè)出仰角，然后在直角△ABE中利用三角比求解：，即.E學(xué)生2：在直線BA的延長(zhǎng)線上取一點(diǎn)F，用皮尺測(cè)出AF的距離為米，在A點(diǎn)測(cè)出仰角，在F點(diǎn)測(cè)出仰角，如下圖所示：EFABFAB則，在三角形AEF中。利用正弦定理求出AE或者EF的距離，，即，（），再在Rt△ABE中利用三角比求出BE的距離：，即第三個(gè)問(wèn)題，同學(xué)們給出的建模方法，具體如下：學(xué)生1：在黃浦江西岸邊取一點(diǎn)C，用皮尺測(cè)出AC距離為米，然后利用測(cè)角儀在A點(diǎn)測(cè)出，在C點(diǎn)測(cè)出，那么在△ABC中，可以算出，再利用正弦定理即可求出AB的距離：，即；然后在A點(diǎn)測(cè)出，C點(diǎn)測(cè)出，那么在△ACD中，可以算出，再利用正弦定理即可求出AD的距離：，即，最后在△ABD中利用余弦定理：即.學(xué)生2：在黃浦江西岸邊取一點(diǎn)C，用皮尺測(cè)出AC距離為米，然后利用測(cè)角儀在A點(diǎn)測(cè)出，在C點(diǎn)測(cè)出，那么在△ABC中，可以算出，再在△ABC中利用正弦定理即可求出BC的距離：，即；然后在A點(diǎn)測(cè)出，C點(diǎn)測(cè)出，那么在△ACD中，可以算出，再利用正弦定理即可求出CD的距離：，即，最后在△BCD中利用余弦定理：即通過(guò)這道實(shí)際探究題的建模分析可知，解三角形在實(shí)際生活中的應(yīng)用非常廣泛，諸如在實(shí)際問(wèn)題中求距離、高度等都可以運(yùn)用解三角形的有關(guān)知識(shí)去解決。在解決實(shí)際問(wèn)題的過(guò)程中，我們要學(xué)會(huì)把實(shí)際問(wèn)題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問(wèn)題，根據(jù)實(shí)際問(wèn)題建立出適當(dāng)?shù)臄?shù)學(xué)模型，然后通過(guò)數(shù)學(xué)知識(shí)進(jìn)行推理演算，得出數(shù)學(xué)模型的解，再還原到實(shí)際問(wèn)題當(dāng)中，最終實(shí)際問(wèn)題就可以得到解決。3結(jié)束語(yǔ)數(shù)學(xué)生活化，生活數(shù)學(xué)化。數(shù)學(xué)知識(shí)來(lái)源于日常生活，也服務(wù)于日常生活，有效地將理論和實(shí)踐緊密結(jié)合，這樣才能體現(xiàn)出數(shù)學(xué)的價(jià)值所在。在實(shí)際的教學(xué)當(dāng)中，要讓學(xué)生學(xué)會(huì)用數(shù)學(xué)的眼光看待實(shí)際問(wèn)題，并學(xué)會(huì)用數(shù)學(xué)的理論知識(shí)解決