第一章空間向量與立體幾何單元必刷卷（培優(yōu)卷）（全解全析）

第一章空間向量與立體幾何同步單元必刷卷（培優(yōu)卷）全解全析1．C【解析】【分析】由題意得到，列出方程，求出實數(shù)的值.【詳解】由題意得：，所以，解得：故選：C2．D【解析】【分析】根據(jù)四點共面結(jié)論：若四點共面，則且，【詳解】若，，，四點共面，則，則故選：D．3．A【解析】【分析】根據(jù)已知條件，由，利用向量數(shù)量積的定義及運算律即可求解.【詳解】解：因為三棱錐中，，，，所以，故選：A.4．C【解析】【分析】根據(jù)空間向量垂直平行的性質(zhì)判斷即可【詳解】由題，因為，故，又，故故選：C5．A【解析】【分析】結(jié)合空間向量的夾角坐標運算公式以及三角恒等變換化簡求出夾角的余弦值，進而可得到結(jié)果.【詳解】因為，，所以，，設(shè)向量與的夾角為，則，因為，所以，故向量與的夾角為，故選：A.6．A【解析】【分析】根據(jù)空間向量的加減運算，即可求得答案.【詳解】由題意得：，故選：A7．D【解析】【分析】先利用基底表示向量，再利用向量的夾角公式求解.【詳解】解：，則，，，，，，所以，故選：D8．C【解析】【分析】以F為坐標原點，F(xiàn)B，F(xiàn)G，F(xiàn)E所在直線為x軸，y軸，z軸建立空間直角坐標系，設(shè)正方體的棱長為2，則P(2,x,0)，A(2,0,2)，設(shè)直線l與EF，EH交于點M、N，，求得平面AMN的法向量為，平面PMN的法向量，由空間向量的夾角公式表示出，對于A，B選項，令d=0，則，由函數(shù)的單調(diào)性可判斷；對于C，D，當x=0時，則，令，利用導函數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性可判斷.【詳解】解：由題意，以F為坐標原點，F(xiàn)B，F(xiàn)G，F(xiàn)E所在直線為x軸，y軸，z軸建立空間直角坐標系如圖所示,設(shè)正方體的棱長為2，則P(2,x,0)，A(2,0,2)，設(shè)直線l與EF，EH交于點M、N，則，所以，，設(shè)平面AMN的法向量為，則，即，令，則，設(shè)平面PMN的法向量為，則，即，令，則，，對于A，B選項，令d=0，則，顯示函數(shù)在是為減函數(shù)，即減小，則增大，故選項A，B錯誤；對于C，D，對于給定的，如圖，過作，垂足為，過作，垂足為，過作，垂足為，當在下方時，，設(shè)，則對于給定的，為定值，此時設(shè)二面角為，二面角為，則二面角為，且，故，而，故即，當時，為減函數(shù)，故為增函數(shù)，當時，為增函數(shù)，故為減函數(shù)，故先增后減，故D錯誤.當在上方時，，則對于給定的，為定值，則有二面角為，且，因，故為增函數(shù)，故為減函數(shù)，綜上，對于給定的，隨的增大而減少，故選：C.9．AC【解析】【分析】求得判斷選項A；求得判斷選項B；求得判斷選項C；求得判斷選項D.【詳解】選項A：.判斷正確；選項B：.判斷錯誤；選項C：.判斷正確；選項D：.判斷錯誤.故選：AC10．AD【解析】【詳解】根據(jù)空間向量共面的判定定理及空間向量基底的概念逐項判斷即可.【解答】解：，，是空間的三個單位向量，由，，則，故A正確；，，兩兩共面，但是，，不一定共面，，，可能兩兩垂直，故B錯誤；由空間向量基本定理，可知只有當，，不共面，才能作為基底，才能得到，故C錯誤；若是空間的一組基底，則，，不共面，可知也不共面，所以也是空間的一組基底，故D正確．故選：AD.11．BCD【解析】【分析】以D為原點，DA，DC，DH所在直線分別為x，y，z軸，建立空間直角坐標系Dxyz，設(shè)P點坐標為（x，y，2），然后利用向量可判斷ABC的正誤，當P為底面EFGH的中心時，外接球球心為棱AM的中點，然后可判斷D.【詳解】以D為原點，DA，DC，DH所在直線分別為x，y，z軸，建立空間直角坐標系Dxyz．A（2，0，0），M（0，2，1），設(shè)P點坐標為（x，y，2）（），，為求的最小值，找出點A關(guān)于平面EFGH的對稱點，設(shè)該點為，則點坐標為∴故A選項錯誤．由可得故B選項正確．時，即，此時由點P坐標為得到點P軌跡是連接棱EF中點與棱EH中點的線段，其長度為線段HF的一半，即長為．故C選項正確．當P為底面EFGH的中心時，由B選項知．易得．∴外接球球心為棱AM的中點，從而求得球半徑為．故D選項正確．故選：BCD．12．ABD【解析】【分析】對于A選項，利用等體積法判斷；對于B、C、D三個選項可以建立空間直角坐標系，利用空間向量求解【詳解】易得平面平面，所以到平面的距離為定值，又為定值，所以三棱錐即三棱錐的體積為定值，故A正確．對于B,如圖所示,以為坐標原點,為軸,為軸,為軸,建立空間直角坐標系,則，,，，，所以，，，設(shè)（），則所以，平面即解之得當為線段上靠近的四等分點時，平面.故B正確對于C，設(shè)平面的法向量則，取得設(shè)平面的法向量,則取,得,平面平面設(shè),即,解得，，不合題意線段上不存在點,使平面//平面，故C錯誤．對于D，平面的法向量為則因為所以所以的最大值為．故D正確．故選：ABD13．【解析】【分析】由可得出關(guān)于的表達式，再利用空間向量的減法可求得、、的值，即可得解.【詳解】因為，則，所以，，所以，，，，因此，.故答案為：.14．（答案不唯一）【解析】【分析】先求得向量的坐標，再依據(jù)題給條件列方程去求向量的坐標即可解決.【詳解】由點，可得，又向量在上的投影向量為，則則，又向量與向量不共線，則不成立則可令，即，故答案為：（答案不唯一）15．9【解析】【分析】根據(jù)空間向量數(shù)量積的運算法則和垂直的定義計算.【詳解】因為與垂直，所以，解得.故答案為：9.16．【解析】【分析】建立空間直角坐標系，設(shè)，由，得到，根據(jù)，得到或，然后利用線面角的向量求法求解.【詳解】解：建立如圖所示空間直角坐標系：則，設(shè)，所以，因為，所以，則，因為，則，解得或，易知平面的一個法向量為，所以，則，所以，故答案為：.17．(1)(2)①；②2【解析】【分析】（1）根據(jù)所給定義可得，，再根據(jù)空間向量線性運算法則計算可得；（2）設(shè)分別為與同方向的單位向量，則，①根據(jù)空間向量線性運算法則得到，即可得解；②依題意、且根據(jù)空間向量數(shù)量積的運算律得到方程，即可求出，再根據(jù)及向量數(shù)量積的運算律計算可得；(1)解：由，，知，，所以，所以；(2)解：設(shè)分別為與同方向的單位向量，則，①②由題，因為，所以，由知則18．(1)證明見解析(2)【解析】【分析】（1）取中點，連接、，即可得到且，從而得到，即可得證；（2）建立空間直角坐標系，利用空間向量法求出線面角的正弦值；(1)證明：取中點，連接、，則，且，所以且，所以四邊形為平行四邊形，所以．又平面，平面，所以平面．(2)解：因為直三棱柱中，所以、、兩兩垂直．分別以、、的方向為軸、軸、軸的正方向建立如圖所示的空間直角坐標系，則，，所以，，，設(shè)平面法向量為，則，，即，令，得到平面的一個法向量．設(shè)直線與平面所成的角為，則，所以直線與平面所成角的正弦值為．19．(1)證明見解析；(2)證明見解析；(3)證明見解析.【解析】【分析】（1）利用空間向量共面定理即可求證；（2）由空間向量線性運算可得，由空間向量共線定理可證明，再由線面平行的判定定理可得平面，同理可證明平面，由面面平行的判定定理即可求證；（3）由（2）知，再利用空間向量的線性運算即可求證.(1)因為，，所以，，共面，即，，，四點共面．因為，，所以，，共面，即，，，四點共面．(2)連接，，，所以，又因為平面，平面，所以平面．因為，所以，又平面，平面，所以平面，因為與相交，所以平面平面．(3)由（2）知，所以．20．(1)證明見解析(2)【解析】【分析】（1）由勾股定理證明，再由結(jié)合線面垂直的判定證明即可；（2）由面面垂直的性質(zhì)證明平面，以點為坐標原點建立空間直角坐標系，利用向量法得出二面角的余弦值.(1)∵四邊形為矩形，，且，∴∵，∴∵，，∴，∴∵四邊形為矩形，∴∵，平面，∴平面(2)過作，交于，∵，，∴，∴由（1）知平面,平面,所以，由得平面，平面，∴平面平面，又，平面，∴平面，故以為原點建立空間直角坐標系如圖所示，∴，，，平面的一個法向量為設(shè)平面的一個法向量為，則，∵，，∴，令，得，，∴∴∵二面角為銳二面角，∴二面角的余弦值為.21．(1)證明見解析(2)【解析】【分析】（1）根據(jù)條件首先證明，再證明，由線面垂直的判定定理即可證明平面.（2）如圖，以為一組正交基底，建立空間直角坐標系，設(shè)，分別求出平面MNA與底面ABCD的法向量，由二面角公式可求出，即可求出PC的長.(1)證明：連接BD，因為底面為正方形，所以．因為平面，平面，所以．又，平面，平面，所以平面因為平面，所以．同理，．在中，M，N分別為PB，PD的中點，所以．因為，所以．又，平面，平面，所以平面．(2)解：如圖，以為一組正交基底，建立空間直角坐標系，設(shè)，則，，，，所以，．設(shè)平面的法向量為，則，令，則，所以平面的一個法向量為．因為平面，所以平面的一個法向量為，所以，解得．所以，．22．(1)在翻折過程中總有平面平面，證明見解析(2)(3)存在且為線段的中點【解析】【分析】（1）證明出平面，進而證明面面垂直；（2）找到當平面時，四棱錐體積最大，直線和平面所成角的為，求出，，由勾股定理得：，從而求出的正弦值；（3）建立空間直角坐標系，利用空間向量和二面角的大小，列出方程，確定點的位置(1)在翻折過程中總有平面平面，證明如下：∵點，分別是邊，的中點，又，∴，且是等邊三角形，∵是的中點，∴，∵菱形的對角線互相垂直，∴，∴，∵，平面，平面，∴平面，∴平面，∵平面，∴平面平面．(2)由題意知，四邊形為等腰梯形，且，，，所以等腰梯形的面積，要使得四棱錐體積最大，只要點到平面的距離最大即可，∴當平面時，點到平面的距離的最大值為，