2023屆高考前迅速提分復(fù)習(xí)專題2-1 排列、組合 的十三種解題方法 （解析版）

2023年高考數(shù)學(xué)考前30天迅速提分復(fù)習(xí)方案（上海地區(qū)專用）的十三種解題方法方法一、捆綁法1．（2023春·上海黃浦·高二上海市大同中學(xué)?？茧A段練習(xí)）用這五個(gè)數(shù)字組成無重復(fù)數(shù)字的五位數(shù)，其中恰有一個(gè)偶數(shù)數(shù)字夾在兩個(gè)奇數(shù)數(shù)字之間的五位數(shù)的個(gè)數(shù)是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】分別討論夾在中間的偶數(shù)數(shù)字為和不為兩種情況，結(jié)合捆綁法、特殊位置優(yōu)先的方式來求解即可.【詳解】當(dāng)夾在中間的偶數(shù)數(shù)字為時(shí)，滿足題意的五位數(shù)個(gè)數(shù)為個(gè)；當(dāng)夾在中間的偶數(shù)數(shù)字不為時(shí)，將其與看作一個(gè)整體，則有種情況；再將這個(gè)整體和另一個(gè)不為的數(shù)字挑選一個(gè)排在首位，其余數(shù)字任意排序，共有種情況，則滿足題意的五位數(shù)有個(gè)；滿足題意的五位數(shù)共有個(gè).故選：A.2．（2022秋·上海浦東新·高三上海市進(jìn)才中學(xué)?？茧A段練習(xí)）甲、乙、丙等五人在某景點(diǎn)站成一排拍照留念，則甲不站兩端且乙和丙相鄰的概率是_____．【答案】【分析】利用排列知識可得甲不站兩端且乙和丙相鄰結(jié)果數(shù)，再利用古典概型概率公式即得.【詳解】甲、乙、丙等五人在某景點(diǎn)站成一排共有種結(jié)果，把乙和丙捆綁在一起看作一個(gè)元素與甲之外的兩個(gè)元素排列，又甲不站兩端，把甲插入此三個(gè)元素形成的空中，故共有種結(jié)果，所以甲不站兩端且乙和丙相鄰的概率是.故答案為：.3．（2023春·上海寶山·高二上海交大附中校考階段練習(xí)）甲、乙、丙等6人排成一排，則甲和乙相鄰且他們都和丙不相鄰的排法共有__________種.（填數(shù)字）【答案】144【分析】根據(jù)相鄰問題捆綁，不相鄰問題插空，結(jié)合分步乘法計(jì)數(shù)原理即可求解.【詳解】第一步：現(xiàn)將除甲乙丙之外的三個(gè)人全排列，有種方法，第二步；將甲乙捆綁看成一個(gè)整體，然后連同丙看成兩個(gè)個(gè)體，插空共有種方法，第三步：甲乙兩個(gè)人之間全排列，由分步乘法計(jì)數(shù)原理可得總的排法有，故答案為：1444．（2022秋·上海寶山·高二上海市行知中學(xué)?？计谀┠硨W(xué)校組織學(xué)生參加勞動實(shí)踐活動，其中4名男生和2名女生參加農(nóng)場體驗(yàn)活動，體驗(yàn)活動結(jié)束后，農(nóng)場主與6名同學(xué)站成一排合影留念，則2名女生相鄰且農(nóng)場主站在中間的概率等于__________（用數(shù)字作答）.【答案】【分析】根據(jù)題意，由排列數(shù)公式計(jì)算“農(nóng)場主與6名同學(xué)站成一排”和“2名女生相鄰且農(nóng)場主站在中間”的站法數(shù)目，再由古典概型公式計(jì)算即可．【詳解】根據(jù)題意，農(nóng)場主與6名同學(xué)站成一排，有種不同的站法，2名女生相鄰且農(nóng)場主站在中間可分三步完成：第一步：相鄰女生只能站在第一二，第二三，第五六，第六七，有4種；第二步：相鄰女生排在一起有種；第三步：4名男生排在剩下的位置有種.因此2名女生相鄰且農(nóng)場主站在中間共有種站法，則2名女生相鄰且農(nóng)場主站在中間的概率，故答案為：．5．（2023秋·上海浦東新·高二上海南匯中學(xué)?？计谀┯?位老師、4名學(xué)生排成一排照相，其中老師必須排在一起的排法共有________種.（用具體數(shù)字回答）【答案】720【分析】根據(jù)相鄰問題捆綁法即可由分步乘法計(jì)數(shù)原理求解.【詳解】第一步：利用捆綁法把3名老師看做一個(gè)整體與學(xué)生全排列，則有,第二步：解綁，3位老師之間的順序?yàn)?，由乘法?jì)數(shù)原理可得，故答案為：7206．（2023·上?！じ叨ｎ}練習(xí)）某辦公樓前有7個(gè)連成一排的車位，現(xiàn)有三輛不同型號的車輛停放，恰有兩輛車停放在相鄰車位的方法有___________種．【答案】120【分析】從3輛車中挑出2輛車排列好之后進(jìn)行捆綁看作一個(gè)元素，另一輛看作另一個(gè)元素，這兩個(gè)元素不相鄰，將這兩個(gè)元素插入另外4個(gè)車位形成的5個(gè)空位中.【詳解】從3輛車中挑出2輛車排列好之后進(jìn)行捆綁看作一個(gè)元素，有種方法；另一輛看作另一個(gè)元素，這兩個(gè)元素不相鄰，將這兩個(gè)元素插入另外4個(gè)車位形成的5個(gè)空位中，有種，因此共有種.故答案為：1207．（2022春·上海浦東新·高二上海市進(jìn)才中學(xué)期末）班級有六個(gè)同學(xué)排成一排照相，其中甲乙兩人必須相鄰，則一共有_________種排法.（用數(shù)字作答）【答案】240【分析】用捆綁法即可【詳解】先把甲乙兩人捆綁在一起和其他4個(gè)同學(xué)全排列共有種排法.再將甲乙松綁,共有種排法.所以總的排法數(shù)為故答案為：2408．（2022春·上海閔行·高二上海市七寶中學(xué)?？计谀?個(gè)人排成一排，若甲和乙須排在一起，則有__________種不同的排法．（用數(shù)字作答）【答案】【分析】利用捆綁法可求排法總數(shù).【詳解】甲和乙須排在一起，共有種排法，將甲、乙看成一個(gè)元素，則考慮4個(gè)不同的人排成一排，共有種不同的排法，故共有種不同的排法，故答案為：9．（2022春·上海青浦·高二上海市青浦高級中學(xué)校考階段練習(xí)）個(gè)人排成一排，甲、乙兩人相鄰的排法有__________種．【答案】240【分析】利用捆綁法求解即可得解.【詳解】先將甲、乙兩人捆綁，再將所得5個(gè)元素全排，有種.故答案為：.10．（2022春·上海浦東新·高二華師大二附中校考期中）有6本互不相同的書，其中語文書2本、數(shù)學(xué)書2本、英文書2本，若將這些書排成一排放在書架上，則數(shù)學(xué)書排在一起的種數(shù)為______.【答案】240【分析】可采用捆綁法進(jìn)行排列.【詳解】將兩本數(shù)學(xué)書“綁”在一起看成一本書和其余4本書全排列共種排法，2本數(shù)學(xué)書之間有=2種排法，故總共有120×2=240種排法.故答案為：240.11．（2022·上海奉賢區(qū)致遠(yuǎn)高級中學(xué)高三開學(xué)考試）某學(xué)校組織學(xué)生參加勞動實(shí)踐活動，其中4名男生和2名女生參加農(nóng)場體驗(yàn)活動，體驗(yàn)活動結(jié)束后，農(nóng)場主與6名同學(xué)站成一排合影留念，則2名女生互不相鄰，且農(nóng)場主站在中間的概率等于___________．（用數(shù)字作答）【答案】；【分析】根據(jù)題意，由排列數(shù)公式計(jì)算“農(nóng)場主與6名同學(xué)站成一排”和“2名女生互不相鄰，且農(nóng)場主站在中間”的站法數(shù)目，由古典概型公式計(jì)算可得答案．【詳解】根據(jù)題意，農(nóng)場主與6名同學(xué)站成一排，有種不同的站法，若農(nóng)場主站在中間，有種不同的站法，農(nóng)場主人站在中間，兩名女生相鄰共有種站法，則2名女生互不相鄰，且農(nóng)場主站在中間的站法有種站法，則其概率，故答案為：．12．（2021·上海交大附中高三期末）某小區(qū)有8個(gè)連在一起的車位，現(xiàn)有4輛不同型號的車需要停放，如果要求剩余的4個(gè)車位連在一起，那么不同的停放方法共有___________種.【答案】120【分析】利用“捆綁法”，將剩余的4個(gè)車位看作一個(gè)整體，進(jìn)而與4輛車全排列可得出答案.【詳解】將剩余的4個(gè)車位看作一個(gè)整體，與4輛不同型號的車全排列得.故答案為：120.13．（2020·上?！つ蠀R縣泥城中學(xué)高三階段練習(xí)）把本書隨意地放在書架上，則其中指定的本書放在一起的概率為___________.【答案】【分析】首先利用全排列求出基本事件總數(shù)，然后利用捆綁法求出指定的本書放在一起的基本事情數(shù)，最后利用古典概型的概率公式即可求解.【詳解】由排列可知，本書隨意地放在書架上共有種情況，其中指定的本書放在一起共有種情況，故其中指定的本書放在一起的概率為.故答案為：.14．（2020·上?！じ呷龑ｎ}練習(xí)）用0，1，2，3，4，5這六個(gè)數(shù)字可組成_______個(gè)無重復(fù)數(shù)字且2、3相鄰的四位數(shù).【答案】60【分析】2，3捆綁在一起作為一個(gè)元素，再選其他兩個(gè)數(shù)字，一起排列，可分類一類有0，一類無0．【詳解】有0的四位數(shù)，0不能在首位，有個(gè)，無0的四位數(shù)有個(gè)，共有+＝60．故答案為：60．【點(diǎn)睛】本題考查排列組合的應(yīng)用，在多位數(shù)問題要注意0不能作首位，有0時(shí)可優(yōu)先安排，相鄰元素與不相鄰元素在排列中的兩種方法：相鄰元素是捆綁法，不相鄰元素插空法．方法二、插空法一、填空題1．（2022秋·上海黃浦·高三格致中學(xué)?？计谥校€(gè)和個(gè)隨機(jī)排成一行，則個(gè)不相鄰的概率為______（結(jié)果用最簡分?jǐn)?shù)表示）【答案】【分析】分別計(jì)算出4個(gè)1和2個(gè)0隨機(jī)排成一行的種數(shù)以及2個(gè)0不相鄰的種數(shù)，然后由古典概型的概率公式即可求得答案.【詳解】6個(gè)空位選2兩個(gè)放0，剩余4個(gè)放1，故總的排放方法有種，個(gè)不相鄰的排法利用插空法，4個(gè)1之間包括兩頭有5個(gè)位置可以放0，故排放方法有種，則個(gè)不相鄰的概率為，故選：C．2．（2022春·上海虹口·高二?？计谀?名老師和5名學(xué)生站成一排，則2名老師恰好不相鄰的排法數(shù)為______.【答案】3600【分析】使用插空法可得.【詳解】先將5名學(xué)生排成一排有種，再將2名老師插入到6個(gè)空位中有，所以滿足條件的排法共有種排法.故答案為：3600.3．（2022春·上海閔行·高二閔行中學(xué)校考期末）甲、乙等6人并排站成一行，如果甲、乙兩人不相鄰，則不同的排法種數(shù)是______.(用數(shù)字填寫答案)【答案】480【分析】不相鄰問題用插空法，先將其他4人全排列，再將甲、乙插到所形成的5個(gè)空中的2個(gè)，按照分步乘法計(jì)數(shù)原理計(jì)算可得；【詳解】解：∵甲、乙兩人不相鄰，∴先排其他4個(gè)人，共有種排法，再在4個(gè)人形成的5個(gè)空中選2個(gè)位置排甲乙，共有種排法，∴不同的排法種數(shù)是；故答案為：4．（2020·上海市中國中學(xué)高三期中）四名男生和兩名女生排成一排，若有且只有兩位男生相鄰，則不同排法的種數(shù)是________【答案】【分析】先選出相鄰的兩個(gè)男生，看作1個(gè)整體與剩余名男生組成的3個(gè)元素,利用插空法插入到名女生所形成的3個(gè)空隙中即可.【詳解】分兩步進(jìn)行：①、將名女生全排列，有種情況，排好后有個(gè)空位；②、從名男生中選名，看成一個(gè)整體，考慮其順序，有種情況，再將這個(gè)整體與剩余的名男生全排列，安排在女生的個(gè)空位中，有種情況,則一共有種情況.故答案為：5．（2021·上海市大同中學(xué)高三階段練習(xí)）將4個(gè)1和2個(gè)0隨機(jī)排成一行，則2個(gè)0不相鄰的概率為___________．【答案】【分析】首先排好4個(gè)1,，即可產(chǎn)生5個(gè)空，再利用插空法求出2個(gè)0相鄰與2個(gè)0不相鄰的排法，再利用古典概型的概率公式計(jì)算可得；【詳解】解：將4個(gè)1和2個(gè)0隨機(jī)排成一行，4個(gè)1產(chǎn)生5個(gè)空，若2個(gè)0相鄰，則有種排法，若2個(gè)0不相鄰，則有種排法，所以2個(gè)0不相鄰的概率為故答案為：6．（2021·上海市建平中學(xué)高三階段練習(xí)）將3個(gè)1和2個(gè)0隨機(jī)排成一行，則2個(gè)0不相鄰的概率為______．【答案】0.6##【分析】先按要求計(jì)算3個(gè)1和2個(gè)0隨機(jī)排成一行時(shí)的排法，再計(jì)算2個(gè)0不相鄰時(shí)的排法，最后利用古典概型的概率計(jì)算公式計(jì)算即可.【詳解】3個(gè)1和2個(gè)0隨機(jī)排成一行,即五個(gè)確定的位置中選擇3個(gè)放數(shù)字1，其他放數(shù)字0，故不同排法有種，若再要求2個(gè)0不相鄰，則需3個(gè)1放好，有4個(gè)空，2個(gè)數(shù)字0插空擺放即可，即.所以2個(gè)0不相鄰的概率為.故答案為：.7．（2021·上海嘉定·二模）將的二項(xiàng)展開式的各項(xiàng)重新隨機(jī)排列，則有理項(xiàng)互不相鄰的概率為_______．【答案】【分析】根據(jù)二項(xiàng)式定理確定二項(xiàng)展開式中有理項(xiàng)的項(xiàng)數(shù)以及總的項(xiàng)數(shù)，然后求出排列的個(gè)數(shù)，再由概率公式計(jì)算概率．【詳解】的展開式的通項(xiàng)為，當(dāng)時(shí)，為有理項(xiàng)，一共4項(xiàng)，當(dāng)時(shí)，為無理項(xiàng)，一共4項(xiàng)，要使得有理項(xiàng)互不相鄰，采用插空法，先把無理項(xiàng)排好，再把有理項(xiàng)插到無理項(xiàng)的5個(gè)空檔中，共有種情況，全部的情況有種，故所求概率.故答案為：．二、解答題8．（2022春·上海長寧·高二上海市延安中學(xué)?？计谀┯屑住⒁业?名同學(xué)排成一列照相，求下列排法種數(shù)：(1)甲乙兩人不相鄰；(2)甲在排頭并且乙不在末尾.【答案】(1)3600(2)600【分析】（1）利用插空法求解即可.（2）利用特殊元素優(yōu)先法即可得到答案.【詳解】(1)首先排其余的5人，共有種情況，再把甲乙放入空出的6個(gè)空中，共有種情況.所以共有種排法.(2)首先排甲，有1種情況，排乙，有種情況，排其余有種情況，所以共有種排法.9．（2022春·上海浦東新·高二上海市實(shí)驗(yàn)學(xué)校?？计谥校┊厴I(yè)季有6位好友欲合影留念，現(xiàn)排成一排，如果：(1)A?B兩人不排在一起，有幾種排法？(2)A?B兩人必須排在一起，有幾種排法？(3)A不在排頭，B不在排尾，有幾種排法？【答案】(1)(2)(3)【分析】（1）插空法進(jìn)行求解；（2）捆綁法進(jìn)行求解；（3）正難則反，從全排列中減去不合要求的排列即可.(1)先把除A?B兩人外的4人進(jìn)行排列，再把A?B兩人放到4人排列的5個(gè)間隔中，有種排法；(2)采用捆綁法進(jìn)行排列，有種排法；(3)先將6人進(jìn)行排列，再減去A在排頭的排列，再減去B在排尾的排列，再加上A在排頭且B在排尾的排列，即種排法.方法三、特殊元素法1．（2021·上?！げ軛疃懈呷A段練習(xí)）食堂規(guī)定，每份午餐可以在四種水果中任選兩種，甲?乙兩位同學(xué)各自隨機(jī)選擇種類，他們所選水果中恰有一種水果相同的概率為___________（結(jié)果用最簡分?jǐn)?shù)表示）.【答案】【分析】利用排列組合可求基本事件的總數(shù)和隨機(jī)事件中含有的基本事件的個(gè)數(shù)，再利用公式可得所求的概率.【詳解】設(shè)“甲?乙兩位各自隨機(jī)選擇種類，他們所選水果中恰有一種水果相同”為事件.甲?乙兩位各自隨機(jī)選擇種類，共有種選擇方法；他們所選水果中恰有一種水果相同，共有種，故.故答案為：.2．（2021·上?！じ裰轮袑W(xué)高三階段練習(xí)）從6雙規(guī)格相同顏色不同的手套中任取4只，其中恰有兩只成雙的概率是______________．【答案】【分析】先求得基本事件的總數(shù)，然后結(jié)合古典概型概率計(jì)算公式，計(jì)算出所求概率.【詳解】基本事件總數(shù)為，所以恰有兩只成雙的概率是.故答案為：3．（2022·上海市莘莊中學(xué)高三期中）某電視臺連續(xù)播放5個(gè)廣告，其中3個(gè)不同的商業(yè)廣告和2個(gè)不同的奧運(yùn)宣傳廣告，則最后播放的是奧運(yùn)宣傳廣告，且2個(gè)奧運(yùn)宣傳廣告不連續(xù)播放的概率是_________.【答案】【解析】本題是一個(gè)等可能事件的概率，滿足條件的事件是首先從兩個(gè)奧運(yùn)廣告中選一個(gè)放在最后位置，第二個(gè)奧運(yùn)廣告只能從前三個(gè)中選一個(gè)位置排列，余下的三個(gè)元素在三個(gè)位置全排列，共有種結(jié)果，得到概率．【詳解】解：由題意知本題是等可能事件的概率，所有事件數(shù)是滿足條件的首先從兩個(gè)奧運(yùn)廣告中選一個(gè)放在最后位置，有種結(jié)果，兩個(gè)奧運(yùn)廣告不能連放，第二個(gè)奧運(yùn)廣告只能從前三個(gè)中選一個(gè)位置排列，有3種結(jié)果，余下的三個(gè)元素在三個(gè)位置全排列，共有種結(jié)果，共有種結(jié)果，要求的概率是，故答案為：【點(diǎn)睛】本題考查等可能事件的概率，本題解題的關(guān)鍵是做出符合題意的事件數(shù)，這里要應(yīng)用排列組合的原理來解出結(jié)果，屬于中檔題．方法四、間接法一、填空題1．（2023春·上海黃浦·高二上海市大同中學(xué)?？茧A段練習(xí)）某教師一天上3個(gè)班級的課，每班上1節(jié)，如果一天共9節(jié)課，上午5節(jié)，下午4節(jié)，并且教師不能連上3節(jié)課（第5節(jié)和第6節(jié)不算連上），那么這位教師一天的課表的所有不同排法有___________種.【答案】【分析】利用間接法即可求解.【詳解】首先求得不受限制時(shí)，從9節(jié)課中任意安排3節(jié)課，有種排法，其中上午連排3節(jié)課的有種，下午連排3節(jié)課的有種，則這位教師一天的課表的所有不同排法有種.故答案為：.2．（2021秋·上海奉賢·高二上海市奉賢中學(xué)校考階段練習(xí)）從5個(gè)男生?4個(gè)女生中任取2人參加校慶活動，至少有1名女生的選擇種數(shù)為___________.【答案】【分析】從人中任取人求出事件總數(shù)，再減去沒有名女生的情況，即可得解；【詳解】解：依題意，至少有1名女生的選擇種數(shù)為種.故答案為：3．（2023春·上海閔行·高三閔行中學(xué)?？奸_學(xué)考試）A、B、C、D四人去參加數(shù)學(xué)、物理、化學(xué)三科競賽，每個(gè)同學(xué)只能參加一科競賽，若A和不參加同一科，且這三科都有人參加，則不同的選擇種數(shù)是______.（用數(shù)字作答）.【答案】【分析】根據(jù)題意，先安排四位同學(xué)參加三科競賽且每科都有人參加的情況，再去除A和參加同一科的情況即可得答案.【詳解】根據(jù)題意，若四人去參加數(shù)學(xué)、物理、化學(xué)三科競賽，每個(gè)同學(xué)只能參加一科競賽，且這三科都有人參加，則共有種情況，若四人去參加數(shù)學(xué)、物理、化學(xué)三科競賽，每個(gè)同學(xué)只能參加一科競賽，且這三科都有人參加，A和參加同一科的有種情況；所以，滿足題意的情況共有種.故答案為：.4．（2021·上海奉賢·一模）從集合中任取3個(gè)不同元素分別作為直線方程中的，則經(jīng)過坐標(biāo)原點(diǎn)的不同直線有__________條（用數(shù)值表示）【答案】54【分析】根據(jù)給定條件可得，再從任取兩個(gè)不同元素分別作為值的種數(shù)中減去重合的直線條數(shù)即可作答.【詳解】依題意，，從任取兩個(gè)不同元素分別作為的值有種，其中重合的直線，按有序數(shù)對，有：重合，重合，重合，重合，重合，有：重合，重合，重合，重合，重合，所以經(jīng)過坐標(biāo)原點(diǎn)的不同直線條數(shù)是.故答案為：54【點(diǎn)睛】思路點(diǎn)睛：涉及部分排列組合問題，用直接法求解，分類復(fù)雜，可以求出不考慮條件的所有結(jié)果，再去掉不符合要求的結(jié)果，即運(yùn)用逆向思維，間接求解．5．（2022·上?！じ呷龑ｎ}練習(xí)）已知三行三列的方陣中有9個(gè)數(shù)aij（i＝1，2，3；j＝1，2，3），從中任取三個(gè)數(shù)，則有且僅有兩個(gè)數(shù)位于同行或同列（注意：不能同時(shí)出現(xiàn)既有兩數(shù)同行、又有兩數(shù)同列的情況）的概率是_____.（結(jié)果用分?jǐn)?shù)表示）【答案】【分析】從9個(gè)數(shù)中任取3個(gè)，共有種選法；當(dāng)3個(gè)數(shù)中位于同行或同列時(shí)，共有6種選法；當(dāng)3個(gè)數(shù)中都位于不同行或不同列時(shí)，共有種選法；當(dāng)3個(gè)數(shù)中既有兩數(shù)同行、又有兩數(shù)同列時(shí)共有種選法；然后利用間接法即可得出結(jié)論．【詳解】解：從9個(gè)數(shù)中任取3個(gè)，共有種選法；當(dāng)3個(gè)數(shù)中位于同行或同列時(shí)，共有6種選法；當(dāng)3個(gè)數(shù)中都位于不同行或不同列時(shí)，共有種選法；當(dāng)3個(gè)數(shù)中既有兩數(shù)同行、又有兩數(shù)同列時(shí)共有種選法；從中任取三個(gè)數(shù)，則有且僅有兩個(gè)數(shù)位于同行或同列（注意：不能同時(shí)出現(xiàn)既有兩數(shù)同行、又有兩數(shù)同列的情況）的概率，故答案為：．【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：分3個(gè)數(shù)中位于同行或同列、3個(gè)數(shù)中都位于不同行或不同列和3個(gè)數(shù)中既有兩數(shù)同行、又有兩數(shù)同列三種情況進(jìn)行討論，然后利用間接法求解.6．（2020·上海普陀·高三階段練習(xí)）從4名男生和3名女生選2人參加校園辯論賽，則至少有一名女生的概率是___________．【答案】【解析】利用古典概型的概率公式求解.【詳解】從4名男生和3名女生選2人參加校園辯論賽，共有種方法；從4名男生和3名女生選2人參加校園辯論賽，沒有女生的共有種；所以至少有一名女生的概率是.故答案為：【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：排列組合問題常用的方法有：一般問題直接法、相鄰問題捆綁法、不相鄰問題插空法、特殊對象優(yōu)先法、等概率問題縮倍法、至少問題間接法、復(fù)雜問題分類法、小數(shù)問題列舉法.7．（2020·上?！じ呷龑ｎ}練習(xí)）6名男生4名女生共10人，要從這10個(gè)人中選出3人共同去完成某項(xiàng)任務(wù)，要求這3人中至少要有1個(gè)女生，則不同的選法有_________種.【答案】100【分析】先由題意，確定從10個(gè)人中抽取3人所包含的基本事件個(gè)數(shù)，再求出從6個(gè)男生中抽取3人所包含的基本事件個(gè)數(shù)，作差，即可得出結(jié)果.【詳解】由題意，從10個(gè)人中抽取3人所包含的基本事件個(gè)數(shù)為，從6個(gè)男生中抽取3人所包含的基本事件個(gè)數(shù)為，所以這3人中至少要有1個(gè)女生所包含的基本事件個(gè)數(shù)為：.故答案為：.【點(diǎn)睛】本題主要考查組合的簡單應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題型.二、雙空題8．（2022春·上海靜安·高二?？计谀┯?名學(xué)生排成一排，甲?乙相鄰的排法種數(shù)為___________，甲不在排頭，乙不在排尾的排法種數(shù)為___________.（用數(shù)字作答）【答案】

10080

30960【分析】（1）把甲乙兩人捆綁在一起看作一個(gè)復(fù)合元素，再和另外6人全排列；（2）可采用間接法得到；【詳解】（1）把甲乙兩人捆綁在一起看作一個(gè)復(fù)合元素，再和另外6人全排列，故有種情況；（2）利用間接法，用總的情況數(shù)減去甲在排頭、乙在排尾的情況數(shù)，再加上甲在排頭同時(shí)乙在排尾的情況，故有種情況故答案為：10080；30960三、解答題9．（2022春·上海靜安·高二?？计谀┮粋€(gè)罐子中有同樣大小及重量的20個(gè)玻璃球，其中4個(gè)是紅色的，6個(gè)是黑色的，10個(gè)是白色的.經(jīng)充分混合后，從罐子中同時(shí)取出2個(gè)球，求下列事件的概率：(1)兩個(gè)球都是黑色的；(2)兩個(gè)球的顏色不同.【答案】(1)(2)【分析】(1)根據(jù)組合數(shù)公式即可求解，（2）先算出摸出的兩個(gè)球是同色的概率，再用排除法即可求解.(1)兩個(gè)球都是黑色的概率為(2)兩個(gè)球的顏色不同的概率為.方法五、隔板法1．（2022秋·上海浦東新·高二上海市實(shí)驗(yàn)學(xué)校?？计谀?0個(gè)相同的小球放到6個(gè)不同的盒子里，每個(gè)盒子里至少放一個(gè)小球，則不同的放法有______種.【答案】126【分析】由隔板法，將10個(gè)小球排成一排，中間插入5個(gè)隔板，即可求得不同的放法.【詳解】由隔板法，將10個(gè)小球排成一排，除去兩端中間插入5個(gè)不相鄰的隔板，此時(shí)9個(gè)空中選5個(gè)空放隔板，將10個(gè)球分成六份，再將六份裝入六個(gè)盒子中即可，不同的放法有種.故答案為：126.2．（2022春·上海浦東新·高二上海市建平中學(xué)校考階段練習(xí)）把20個(gè)相同的小球放到三個(gè)編號為1?2?3的盒子里，且每個(gè)盒子內(nèi)的小球數(shù)要多于盒子的編號數(shù)，則共有__________種放法．【答案】【分析】根據(jù)題意，先在1號盒子里放1個(gè)球，在2號盒子里放2個(gè)球，在3號盒子里放3個(gè)球，則原問題可以轉(zhuǎn)化為將剩下的14個(gè)小球，放入3個(gè)盒子，每個(gè)盒子至少放1個(gè)的問題，由擋板法分析可得答案．【詳解】解：根據(jù)題意，20個(gè)相同的小球放到三個(gè)編號為1，2，3的盒子中，且每個(gè)盒子內(nèi)的小球數(shù)要多于盒子的編號數(shù)，先在1號盒子里放1個(gè)球，在2號盒子里放2個(gè)球，在3號盒子里放3個(gè)球，則原問題可以轉(zhuǎn)化為將剩下的14個(gè)小球，放入3個(gè)盒子，每個(gè)盒子至少放1個(gè)的問題，將剩下的14個(gè)球排成一排，有13個(gè)空位，在13個(gè)空位中任選2個(gè)，插入擋板，有種不同的放法，即有個(gè)不同的符合題意的放法；故答案為：．3．（2022·上海民辦南模中學(xué)高三階段練習(xí)）對于定義域?yàn)镈的函數(shù)，若對任意的，當(dāng)時(shí)都有，則稱函數(shù)為“不嚴(yán)格單調(diào)增函數(shù)”，若函數(shù)的定義域，值域?yàn)?，則函數(shù)為“不嚴(yán)格單調(diào)增函數(shù)”的概率是______．【答案】##0.04【分析】考慮把D中的5個(gè)數(shù)分成三堆：①1，1，3②1，2，2，計(jì)算概率得到答案.【詳解】基本事件總數(shù)為：把D中的5個(gè)數(shù)分成三堆：①1，1，3：，②1，2，2：,則總共有種，求函數(shù)是“不嚴(yán)格單調(diào)增函數(shù)”的情況，等價(jià)于在1，2，3，4，5中間有4個(gè)空，插入2塊板分成3組，分別從小到大對應(yīng)6,7,8共有種情況，函數(shù)是“不嚴(yán)格單調(diào)增函數(shù)”的概率是故答案為：.4．（2022·上?！じ呷龑ｎ}練習(xí)）小明給同學(xué)發(fā)“拼手氣”紅包，他將1角錢分成三份，每份都是1分錢的正整數(shù)倍，若這三個(gè)紅包分別被甲、乙、丙三位同學(xué)搶到，則甲搶到1分錢的概率為_________.【答案】【分析】將題干情景轉(zhuǎn)換為：有10個(gè)相同的小球放進(jìn)甲、乙、丙三個(gè)盒子，且盒子不能為空；【詳解】題干情景可以轉(zhuǎn)換為：有10個(gè)相同的小球放進(jìn)甲、乙、丙三個(gè)盒子，且盒子不能為空；將10個(gè)小球排好，有9個(gè)空隙，從這9個(gè)空隙中選出2個(gè)放入擋板可將小球分為3份；所以，分類方法共有種；甲盒有1個(gè)小球的情況有：共8種；所以，概率為.故答案為：.方法六、倍縮法解決部分定序問題一、單選題1．（2020·上海·高三專題練習(xí)）A，B，C，D，E五個(gè)字母排成一排，字母A排在字母B的左邊（但不一定相鄰）的排法種數(shù)為（

）.A．24 B．12 C．60 D．120【答案】C【分析】利用定序相除法求解：即先求5個(gè)字母全排列，再除順序數(shù).【詳解】先5個(gè)字母全排列，由于字母A不是排在字母B的左邊，就是排在字母B的右邊兩種情況，且這兩種情況排列數(shù)相等，所以所求排列數(shù)為.故選：C.【點(diǎn)睛】本題考查排列組合的實(shí)際應(yīng)用，考查帶有限制條件的元素的排列問題，考查運(yùn)算求解能力，是基礎(chǔ)題.二、填空題2．（2022春·上海徐匯·高二上海中學(xué)?？计谥校┯谩氨?、“墩”、“墩”、“雪”、“容”、“融”這六個(gè)字可以組成__種不同的六字短語（不考慮短語的含義）.【答案】360【分析】先將六個(gè)字全排列，再除以2即可.【詳解】先將六個(gè)字進(jìn)行排列，有種選擇，由于六個(gè)字中有兩個(gè)相同的“墩”，故均重復(fù)計(jì)算了一次，所以共有種不同的六字短語.故答案為：3603．（2021·上海交大附中高三開學(xué)考試）如圖，微店銷售某產(chǎn)品，該產(chǎn)品共剩A、B、C三種顏色的相同款式7盒，銷售員隨機(jī)抽取貨架上的產(chǎn)品進(jìn)行貼條投遞，她總是取每堆中的最上面的一盒（全部拿完），則不同的取法有__________種（用數(shù)字作答）【答案】210【分析】利用定序法，轉(zhuǎn)化為將7盒產(chǎn)品排成一列，其中A，B，C三種顏色的順序是確定的，問題得以解決【詳解】解：由題意可得將問題轉(zhuǎn)化為將7盒產(chǎn)品排成一列，其中A，B，C三種顏色的順序是確定的，所以共有種，故答案為：210方法七、不平均分組問題一、單選題1．（2022秋·上海黃浦·高二格致中學(xué)?？茧A段練習(xí)）6名同學(xué)到甲、乙、丙三個(gè)場館做志愿者，每名同學(xué)只去1個(gè)場館，甲場館安排1名，乙場館安排2名，丙場館安排3名，則不同的安排方法共有（

）A．60種 B．90種 C．120種 D．360種【答案】A【分析】這是一個(gè)組合問題，從6同學(xué)中選出1人安排到甲場館是，再安排2人到乙場館是，最后剩余3人安排到丙場館，根據(jù)分步乘法原理相乘即可.【詳解】依題意從6同學(xué)中選出1人安排到甲場館是，再從剩余5人安排2人到乙場館是，最后剩余3人安排到丙場館，根據(jù)分步乘法原理，不同的安排方法共有種.故選：A.二、填空題2．（2022春·上海寶山·高三上海交大附中校考階段練習(xí)）安排4名志愿者完成5項(xiàng)不同的工作，每人至少完成1項(xiàng)工作，每項(xiàng)工作由1人單獨(dú)完成，則不同的安排方式共有________種【答案】240【分析】根據(jù)題意，分2步進(jìn)行分析：先將5項(xiàng)工作分成4組，再將分好的4組全排列，對應(yīng)4名志愿者，分別求出每一步的情況數(shù)目，由分步計(jì)數(shù)原理計(jì)算可得答案.【詳解】根據(jù)題意，先將5項(xiàng)工作分成4組，則有2項(xiàng)工作為1組，有種分組方法，將分好的4組全排列，對應(yīng)4名志愿者，有種情況，則有種不同的安排方式.故答案為：240.3．（2022春·上海徐匯·高二上海市南洋模范中學(xué)?？计谥校?個(gè)男生和3個(gè)女生排成一排，要求男生互不相鄰，女生不全相鄰，則不同的排列方法有___________種.【答案】144【分析】考慮三男三女均不相鄰，與3男不相鄰且3女中有2女相鄰兩種情況，進(jìn)而根據(jù)排列組合方法求得答案.【詳解】若3男3女均不相鄰，則先排男生，出現(xiàn)4個(gè)空位，進(jìn)而將女生排入前3個(gè)或后3個(gè)空位，有種情況；若3男不相鄰，3女中有2女相鄰，出現(xiàn)4個(gè)空位，進(jìn)而將女生排入中間2個(gè)空位，有種情況.所以，一共有144種情況.故答案為：144.4．（2022·上海民辦南模中學(xué)高三階段練習(xí)）對于定義域?yàn)镈的函數(shù)，若對任意的，當(dāng)時(shí)都有，則稱函數(shù)為“不嚴(yán)格單調(diào)增函數(shù)”，若函數(shù)的定義域，值域?yàn)?，則函數(shù)為“不嚴(yán)格單調(diào)增函數(shù)”的概率是______．【答案】##0.04【分析】考慮把D中的5個(gè)數(shù)分成三堆：①1，1，3②1，2，2，計(jì)算概率得到答案.【詳解】基本事件總數(shù)為：把D中的5個(gè)數(shù)分成三堆：①1，1，3：，②1，2，2：,則總共有種，求函數(shù)是“不嚴(yán)格單調(diào)增函數(shù)”的情況，等價(jià)于在1，2，3，4，5中間有4個(gè)空，插入2塊板分成3組，分別從小到大對應(yīng)6,7,8共有種情況，函數(shù)是“不嚴(yán)格單調(diào)增函數(shù)”的概率是故答案為：.5．（2021·上海市控江中學(xué)高三階段練習(xí)）甲?乙?丙三位同學(xué)各自在周六?周日兩天中任選一天參加公益活動，則周六?周日都有同學(xué)參加公益活動的概率是___________.【答案】【分析】求出不加限制條件的參加方法，再按分組分配方法求得兩天都有人參加活動的方法數(shù)，然后計(jì)算概率．【詳解】甲?乙?丙三位同學(xué)各自在周六?周日兩天中任選一天參加公益活動的所有方法數(shù)為，周六?周日都有同學(xué)參加公益活動的方法婁得，所以周六?周日都有同學(xué)參加公益活動的概率是．故答案為：．6．（2021·上?！じ裰轮袑W(xué)高三階段練習(xí)）今年上海春季高考有25所高校招生，如果某3位同學(xué)恰好被其中2所高校錄取，那么不同的錄取方法有___________種.【答案】1800.【分析】根據(jù)題意，先把學(xué)生分成兩組，然后從25所學(xué)校中選出兩所，進(jìn)而將學(xué)生分配到兩所學(xué)生中，最后得到答案.【詳解】將3個(gè)學(xué)生分為兩組，有種情況，從25所學(xué)校選出兩所，有種情況，于是，共有種.故答案為：1800.7．（2020·上海·高三專題練習(xí)）某輕軌列車有4節(jié)車廂，現(xiàn)有6位乘客準(zhǔn)備乘坐，設(shè)每一位乘客進(jìn)入每節(jié)車廂是等可能的，則這6位乘客進(jìn)入各節(jié)車廂的人數(shù)恰好為0，1，2，3的概率為___________.【答案】【分析】根據(jù)分步計(jì)數(shù)原理得到試驗(yàn)發(fā)生包含的所有事件數(shù)，滿足條件的事件數(shù)，根據(jù)等可能事件的概率公式得到結(jié)果．【詳解】6位乘客進(jìn)入4節(jié)車廂的方案共有46種.6位乘客按各節(jié)車廂人數(shù)恰好為0，1，2，3進(jìn)入共有A44C60C61C52C33＝1440種方法．∴這6位乘客進(jìn)入各節(jié)車廂的人數(shù)恰好為0，1，2，3的概率為．故答案為．【點(diǎn)睛】古典概型要求能夠列舉出所有事件和發(fā)生事件的個(gè)數(shù)，本題可以列舉出所有事件，概率問題同其他的知識點(diǎn)結(jié)合在一起，實(shí)際上是以概率問題為載體．方法八、平均分組問題1．（2023秋·上海閔行·高三上海市七寶中學(xué)?？计谀┲ё闱蜿?duì)進(jìn)行三輪淘汰賽角逐出冠軍，賽前進(jìn)行隨機(jī)抽簽來確定賽程表，賽程安排方式如下：確定第一輪4場比賽的分組，再確定第一輪的4支勝者隊(duì)伍在第二輪2場比賽的分組，最后確定第二輪的2支勝者隊(duì)伍進(jìn)行第三輪比賽.注意：進(jìn)行比賽的兩支隊(duì)伍不計(jì)順序，每輪各場比賽不計(jì)順序，賽程表賽前一次性完成制定(與具體每場比賽的勝者是誰無關(guān)).則賽程表有___________種.【答案】【分析】分別確定第一輪比賽，第二輪比賽，第三輪比賽安排方案數(shù)，再由分步乘法計(jì)數(shù)原理確定總的方法數(shù).【詳解】由已知可得第一輪比賽的安排方法數(shù)為，即105種安排方法，第二輪比賽的安排方法數(shù)為，即3種安排方法，第三輪比賽的安排方法數(shù)為1，由分步乘法計(jì)數(shù)原理可得所有的安排方法數(shù)為315；故答案為：315.2．（2022·上海奉賢·統(tǒng)考模擬預(yù)測）某校高二年級共有個(gè)班級，現(xiàn)有名交流生要安排到該年級的個(gè)班級，且每班安排名，則不同的安排方案種數(shù)為__．【答案】【分析】先把名學(xué)生平均分成兩組，組和組無差別，再把這兩組分到個(gè)班級中的兩個(gè)班級，根據(jù)分步乘法原理即可求得答案．【詳解】先把名學(xué)生均分兩組有種方法，然后再把這兩組分給這個(gè)班中的兩個(gè)班有種方法，根據(jù)分步乘法原理得不同的安排方案種數(shù)有種．故答案為：.3．（2022·上海·二模）某大學(xué)計(jì)算機(jī)系4名學(xué)生和英語系的4名學(xué)生準(zhǔn)備利用暑假到某偏遠(yuǎn)農(nóng)村學(xué)校進(jìn)行社會實(shí)踐活動，現(xiàn)將他們平均分配到四個(gè)班級，則每個(gè)班級既有計(jì)算機(jī)系學(xué)生又有英語系學(xué)生的概率是_____________________.【答案】【分析】先計(jì)算總共有種選法，再計(jì)算滿足條件的，最后按照古典概型計(jì)算概率即可.【詳解】8人平均分到4個(gè)班級共有種選法，每個(gè)班級既有計(jì)算機(jī)系學(xué)生又有英語系學(xué)生共有種分法，故概率為.故答案為：.方法九、分類分步1．（2020·上海市中國中學(xué)高三期中）四名男生和兩名女生排成一排，若有且只有兩位男生相鄰，則不同排法的種數(shù)是________【答案】【分析】先選出相鄰的兩個(gè)男生，看作1個(gè)整體與剩余名男生組成的3個(gè)元素,利用插空法插入到名女生所形成的3個(gè)空隙中即可.【詳解】分兩步進(jìn)行：①、將名女生全排列，有種情況，排好后有個(gè)空位；②、從名男生中選名，看成一個(gè)整體，考慮其順序，有種情況，再將這個(gè)整體與剩余的名男生全排列，安排在女生的個(gè)空位中，有種情況,則一共有種情況.故答案為：2．（2021·上海閔行·一模）某學(xué)校為落實(shí)“雙減”政策，在每天放學(xué)后開設(shè)拓展課程供學(xué)生自愿選擇，開學(xué)第一周的安排見如表.小明同學(xué)要在這一周內(nèi)選擇編程?書法?足球三門課，不同的選課方案共___________種.周一周二周三周四周五演講?繪畫?舞蹈?足球編程?繪畫?舞蹈?足球編程?書法?舞蹈?足球書法?演講?舞蹈?足球書法?演講?舞蹈?足球注：每位同學(xué)每天最多選一門課，每一門課一周內(nèi)最多選一次【答案】15【分析】應(yīng)用分類分步計(jì)算方法，首先考慮編程選在周二或周三，再確定書法的時(shí)間，最后確定足球的時(shí)間，即可得到總的選課方案.【詳解】1、周二選編程，則選課方案有種；2、周三選編程，則選課方案有種；綜上，不同的選課方案共15種.故答案為：15.3．（2022·上?！じ呷龑ｎ}練習(xí)）安排個(gè)黨員（含小吳）去個(gè)不同小區(qū)（含小區(qū)）做宣傳活動，每個(gè)黨員只能去個(gè)小區(qū)，且每個(gè)小區(qū)都有黨員去宣傳，其中至少安排個(gè)黨員去小區(qū)，但是小吳不去小區(qū)，則不同的安排方法數(shù)為_________.【答案】44【分析】先分類討論為小區(qū)安排人，再按照“3+1+1”和“2+2+1”兩種情況安排其他小區(qū)即可.【詳解】首先人數(shù)分配可以是“3+1+1”和“2+2+1”兩種情況，至少安排個(gè)黨員去小區(qū)，故小區(qū)安排人或2人，小吳不去小區(qū)，故：若小區(qū)安排人，除小吳外還有4人，按照“3+1+1”分配，則有種；若小區(qū)安排人，除小吳外還有4人，按照“2+2+1”分配，則有種.故不同的方法數(shù)為種.故答案為：44.4．（2021·上?！じ呷龑ｎ}練習(xí)）從包含學(xué)生甲的1200名學(xué)生中隨機(jī)抽取一個(gè)容量為80的樣本，則學(xué)生甲被抽到的概率___.【答案】【解析】基本事件總數(shù)，學(xué)生甲被抽到包含的基本事件個(gè)數(shù)，由此能求出學(xué)生甲被抽到的概率．【詳解】解：從包含學(xué)生甲的1200名學(xué)生中隨機(jī)抽取一個(gè)容量為80的樣本，基本事件總數(shù)，學(xué)生甲被抽到包含的基本事件個(gè)數(shù)，∴學(xué)生甲被抽到的概率．故答案為：．【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：求概率常用的方法是：先定性（六種概率：古典概型的概率、幾何概型的概率、獨(dú)立事件的概率、互斥事件的概率、條件概率和獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)的概率）,再定量.方法十、部分平均分組問題1．（2021·上海崇明·一模）第24屆冬季奧林匹克運(yùn)動會計(jì)劃于2022年2月4日在北京開幕，北京冬奧會的順利舉辦將成為人類擺脫和超越疫情的標(biāo)志性事件，展現(xiàn)人類向更美好的末來進(jìn)發(fā)的期望和理想.組織方擬將4名志愿者全部分配到3個(gè)不同的奧運(yùn)場館參加接待工作（每個(gè)場館至少分配一名志愿者)，不同的分配方案有_______種.【答案】36【分析】把4名志愿者分為3組，選出2人作為一組，然后將3組全排列即可.【詳解】首先把4名志愿者分為3組，則有一個(gè)組有2人，共有種分法，再把分好的3組分到不同的3個(gè)場館，則有種分法，所以共有種分法.故答案為：36.2．（2020·上?！じ裰轮袑W(xué)高三階段練習(xí)）為抗擊“新型冠狀病毒”，全國各地群策群力，捐款捐物，某企業(yè)出資購買了兩種不同型號的新型呼吸機(jī)各兩臺（同種型號呼吸機(jī)不加區(qū)分），將這4臺呼吸機(jī)捐給疫情最重區(qū)域的三所醫(yī)院，每所醫(yī)院至少一臺，且同型號呼吸機(jī)不給同一醫(yī)院，則不同分配方案有_____種【答案】6【解析】兩種型號呼吸機(jī)的各挑一臺為一組，剩余兩個(gè)型號的呼吸機(jī)各1臺，分別為1組，將三組呼吸機(jī)分到三所醫(yī)院即可.【詳解】兩種型號呼吸機(jī)的各挑一臺為一組，因?yàn)橥N型號呼吸機(jī)不加區(qū)分，所以只有1種組合，剩余兩個(gè)型號的呼吸機(jī)各1臺，分別為1組，將三組呼吸機(jī)分到三所醫(yī)院共有種不同的分法，所以將這4臺呼吸機(jī)捐給疫情最重區(qū)域的三所醫(yī)院，每所醫(yī)院至少一臺，且同型號呼吸機(jī)不給同一醫(yī)院，不同分配方案有種.故答案為：6【點(diǎn)睛】本題主要考查分步計(jì)數(shù)原理的應(yīng)用，考查了分組分配問題，屬于基礎(chǔ)題.方法十一、特殊位置法一、填空題1．（2023春·上海浦東新·高二上海師大附中?？茧A段練習(xí)）六位同學(xué)站成一排，若甲不站兩端，則不同的排法種數(shù)是________．【答案】480【分析】根據(jù)特殊元素優(yōu)先安排的原則，即可分步求解.【詳解】甲不站兩端，則從中間4個(gè)位置中選一個(gè)位置給甲，然后剩下5個(gè)人全排列，故全部排法有,故答案為：2．（2021秋·上海浦東新·高二上海師大附中?？计谥校┐醒b有標(biāo)號為1?2?3?4的四只球，四人從中各取一只球，其中甲不取1號球，乙不取2號球，丙不取3號球，丁不取4號球的概率為___________.【答案】【分析】需進(jìn)行分類討論，分甲取2號，3號，4號，結(jié)合古典概型公式即可求解【詳解】若甲取2號，則分為：（乙3號，丙4號，丁1號）、（乙4號，丙1號，丁3號）、（乙1號，丙4號，丁3號）3種情況，因?yàn)榧兹?號，4號情況與取2號情況完全等價(jià)，故符合題意的情況共9種，總方法數(shù)為種，故符合題意的取法對應(yīng)概率為：.故答案為：3．（2015·上海楊浦·一模）一家5口春節(jié)回老家探親，買到了如下圖的一排5張車票：其中爺爺行動不便要坐靠近走廊的位置，小孫女喜歡熱鬧要坐在左側(cè)三個(gè)連在一起的座位之一，則座位的安排方式一共有________種.窗口6排A座6排B座6排C座走廊6排D座6排E座窗口【答案】30.【分析】分兩類，第一類，當(dāng)爺爺在排座時(shí)，第二類，當(dāng)爺爺在排座時(shí)，再排小孫女，最后排其他人，根據(jù)分類計(jì)數(shù)原理可得結(jié)果.【詳解】第一類，當(dāng)爺爺在排座時(shí)，再排小孫女，最后排其他人，共有種第二類，當(dāng)爺爺在排座時(shí)，再排小孫女，最后再排其他人，共有種根據(jù)分類計(jì)數(shù)原理共有：種故答案為：【點(diǎn)睛】本題考查排列組合知識的應(yīng)用問題，考查了分類計(jì)數(shù)原理，解決本題的關(guān)鍵是如何正確的進(jìn)行分類.二、解答題4．（2020·上?！じ呷龑ｎ}練習(xí)）學(xué)校開設(shè)的課程有語文、數(shù)學(xué)、外語、政治、物理、化學(xué)、體育門，若星期五只排節(jié)課，并且規(guī)定體育不排在第一和第四節(jié)，問星期五的課表有幾種排法？【答案】種【分析】采用特殊位置優(yōu)先法，先考慮有限制條件的位置的要求，再考慮其他位置，即可得解.【詳解】先排第一和第四節(jié)課，因?yàn)轶w育不排在第一和第四節(jié)，所以有種排法；