相似對(duì)角化矩陣及其求法

相似對(duì)角化矩陣及其求法當(dāng)前第1頁(yè)\共有39頁(yè)\編于星期四\9點(diǎn)

等價(jià)關(guān)系：二、相似矩陣與相似變換的性質(zhì)１．相似矩陣相似是矩陣之間的一種關(guān)系，它具有很多良好的性質(zhì)。當(dāng)前第2頁(yè)\共有39頁(yè)\編于星期四\9點(diǎn)性質(zhì)：直接由定義容易推出當(dāng)前第3頁(yè)\共有39頁(yè)\編于星期四\9點(diǎn)２．相似變換與相似變換矩陣這種變換的重要意義在于簡(jiǎn)化對(duì)矩陣的各種運(yùn)算，其方法是先通過(guò)相似變換，將矩陣變成與之等價(jià)的對(duì)角矩陣，再對(duì)對(duì)角矩陣進(jìn)行運(yùn)算，從而將比較復(fù)雜的矩陣的運(yùn)算轉(zhuǎn)化為比較簡(jiǎn)單的對(duì)角矩陣的運(yùn)算．

相似變換是對(duì)方陣進(jìn)行的一種運(yùn)算，它把A變成，而可逆矩陣稱為進(jìn)行這一變換的相似變換矩陣．當(dāng)前第4頁(yè)\共有39頁(yè)\編于星期四\9點(diǎn)證明:當(dāng)前第5頁(yè)\共有39頁(yè)\編于星期四\9點(diǎn)此結(jié)論只是當(dāng)前第6頁(yè)\共有39頁(yè)\編于星期四\9點(diǎn)推論若階方陣A與對(duì)角陣當(dāng)前第7頁(yè)\共有39頁(yè)\編于星期四\9點(diǎn)證明三、利用相似變換將方陣對(duì)角化當(dāng)前第8頁(yè)\共有39頁(yè)\編于星期四\9點(diǎn)當(dāng)前第9頁(yè)\共有39頁(yè)\編于星期四\9點(diǎn)命題得證.當(dāng)前第10頁(yè)\共有39頁(yè)\編于星期四\9點(diǎn)

如果階矩陣的個(gè)特征值互不相等，則與對(duì)角陣相似（充分條件

)．推論1不能對(duì)角化的矩陣一定具有多重特征值。說(shuō)明

如果的特征方程有重根，此時(shí)不一定有個(gè)線性無(wú)關(guān)的特征向量，從而矩陣不一定能對(duì)角化，但如果能找到個(gè)線性無(wú)關(guān)的特征向量，還是能對(duì)角化．當(dāng)前第11頁(yè)\共有39頁(yè)\編于星期四\9點(diǎn)設(shè)是n階矩陣A的互異特征值，即稱是特征值的代數(shù)重?cái)?shù)；所對(duì)應(yīng)的線性無(wú)關(guān)特征向量的個(gè)數(shù)稱為的幾何重?cái)?shù)。結(jié)論：幾何重?cái)?shù)代數(shù)重?cái)?shù)。推論2

n階矩陣A可對(duì)角化的充要條件是當(dāng)前第12頁(yè)\共有39頁(yè)\編于星期四\9點(diǎn)當(dāng)前第13頁(yè)\共有39頁(yè)\編于星期四\9點(diǎn)例1

判斷下列實(shí)矩陣能否化為對(duì)角陣？解當(dāng)前第14頁(yè)\共有39頁(yè)\編于星期四\9點(diǎn)解之得基礎(chǔ)解系當(dāng)前第15頁(yè)\共有39頁(yè)\編于星期四\9點(diǎn)求得基礎(chǔ)解系當(dāng)前第16頁(yè)\共有39頁(yè)\編于星期四\9點(diǎn)解之得基礎(chǔ)解系故A不能化為對(duì)角矩陣.幾何重?cái)?shù)

<代數(shù)重?cái)?shù),當(dāng)前第17頁(yè)\共有39頁(yè)\編于星期四\9點(diǎn)A能否對(duì)角化？若能對(duì)角化，例2解當(dāng)前第18頁(yè)\共有39頁(yè)\編于星期四\9點(diǎn)解之得基礎(chǔ)解系當(dāng)前第19頁(yè)\共有39頁(yè)\編于星期四\9點(diǎn)所以

可對(duì)角化.當(dāng)前第20頁(yè)\共有39頁(yè)\編于星期四\9點(diǎn)注意即矩陣P

的列向量和對(duì)角矩陣中特征值的位置要相互對(duì)應(yīng)．可見

P未必唯一。當(dāng)前第21頁(yè)\共有39頁(yè)\編于星期四\9點(diǎn)例3三階方陣A的三個(gè)特征值且對(duì)應(yīng)的特征向量分別是解：當(dāng)前第22頁(yè)\共有39頁(yè)\編于星期四\9點(diǎn)當(dāng)前第23頁(yè)\共有39頁(yè)\編于星期四\9點(diǎn)利用對(duì)角矩陣計(jì)算矩陣多項(xiàng)式k個(gè)當(dāng)前第24頁(yè)\共有39頁(yè)\編于星期四\9點(diǎn)

利用上述結(jié)論可以很方便地計(jì)算矩陣A

的多項(xiàng)式

.當(dāng)前第25頁(yè)\共有39頁(yè)\編于星期四\9點(diǎn)當(dāng)前第26頁(yè)\共有39頁(yè)\編于星期四\9點(diǎn)解

(1)

可對(duì)角化的充分條件是

有

個(gè)互異的特征值．下面求出

的所有特征值．當(dāng)前第27頁(yè)\共有39頁(yè)\編于星期四\9點(diǎn)當(dāng)前第28頁(yè)\共有39頁(yè)\編于星期四\9點(diǎn)當(dāng)前第29頁(yè)\共有39頁(yè)\編于星期四\9點(diǎn)§5.3Jordan標(biāo)準(zhǔn)形介紹定理：任意n方陣A都存在n階可逆矩陣P，使得-----Jordan矩陣。其中稱為Jordan塊矩陣。為A的特征值,可以是多重的。當(dāng)前第30頁(yè)\共有39頁(yè)\編于星期四\9點(diǎn)例如稱為Jordan塊.稱為子Jordan陣。當(dāng)前第31頁(yè)\共有39頁(yè)\編于星期四\9點(diǎn)Jordon標(biāo)準(zhǔn)形相似變換矩陣P的求法以三階矩陣為例來(lái)分析說(shuō)明：設(shè)A相似于由當(dāng)前第32頁(yè)\共有39頁(yè)\編于星期四\9點(diǎn)分別取解得這里僅

X1是A對(duì)應(yīng)于的特征向量。例3求可逆陣P和Jordan陣，使得解：令當(dāng)前第33頁(yè)\共有39頁(yè)\編于星期四\9點(diǎn)A有特征值（二重）.即對(duì)于求解：即先?。ㄌ卣飨蛄浚Ｔ偃‘?dāng)前第34頁(yè)\共有39頁(yè)\編于星期四\9點(diǎn)于是注意：P，J不唯一。亦可取則（非特征向量）。當(dāng)前第35頁(yè)\共有39頁(yè)\編于星期四\9點(diǎn)方陣A的Jordan標(biāo)準(zhǔn)形的結(jié)構(gòu)有以下特點(diǎn)：1.J中子Jordan陣的個(gè)數(shù)等于A互異特征值的個(gè)數(shù)；2.每個(gè)子Jordan陣的階數(shù)等于對(duì)應(yīng)特征值的代數(shù)重?cái)?shù)；3.每個(gè)子Jordan陣中Jordan塊的個(gè)數(shù)等于對(duì)應(yīng)特征值的幾何重?cái)?shù)。當(dāng)前第36頁(yè)\共有39頁(yè)