NFEM01非線性分析概論課件

2023/6/41內(nèi)容提要引言非線性的來源非線性問題的求解求解非線性有限元問題應(yīng)當(dāng)考慮的因素2023/6/42第一章引言2023/6/43§1.1線性有限元回顧2023/6/44前提：材料處于彈性狀態(tài)，應(yīng)力-應(yīng)變關(guān)系是線性的。位移和應(yīng)變是微小的。因此2023/6/45有限元法實施的步驟一、建立有限元模型離散化，前處理二、單元分析位移假設(shè)，幾何方程，物理方程，等效節(jié)點力，單元剛度矩陣三、總剛度矩陣、總載荷列陣、引入支撐最小勢能原理、集成技術(shù)（疊加法、對號入座）四、求解、結(jié)果分析，后處理2023/6/46一、建立有限元模型

離散化：幾何劃分，節(jié)點和單元，形成網(wǎng)格，施加載荷有限元模型分布載荷等效節(jié)點載荷注意：在有限元模型中，單元與單元、單元與支座只在節(jié)點相連，載荷作用在節(jié)點上。2023/6/471.幾何劃分二維——

線（直線折線曲線）三維——

面（平面折面曲面）由邊界和切割線（面）形成有限元網(wǎng)格,

使得連續(xù)域成為離散域每一小塊：單元（element）

結(jié)點：場變量在該點的值為未知量。結(jié)點位移：位移元的基本未知量。2023/6/48

一般來說，商業(yè)軟件提供一系列有限單元模型，如：一維二維三維2023/6/49

以及，一系列結(jié)構(gòu)單元模型，如：桿單元梁單元管單元膜單元平面單元2023/6/410通常把三維實體劃分成4面體或6面體單元的網(wǎng)格，平面問題劃分成三角形或四邊形單元的網(wǎng)格。2023/6/411平面問題的四邊形單元和三角形單元劃分2023/6/412空間問題的四面體形單元劃分2023/6/413空間問題的六面體形單元劃分2023/6/414實際物體厚度較小時，選擇板殼單元為好2023/6/415

例如，對一個實際物體按照3維問題進(jìn)行離散處理2023/6/416

當(dāng)實際物體太大，可以考慮先離散成子結(jié)構(gòu)(Substructures)，用超級單元處理2023/6/4173、形成網(wǎng)格

1)合理的疏密，變化劇烈的地方可密，變化不劇烈的地方 可疏。

2)合理的過渡(協(xié)調(diào))*保證界面連續(xù)，*單元形態(tài)的合理性。2、節(jié)點和單元1)結(jié)點坐標(biāo)2)結(jié)點兩種編號3）結(jié)點位移為位移元的基本未知量2023/6/4184、單元分析與單元剛度矩陣以平面三角形常應(yīng)變單元為例注意：一個單元的節(jié)點數(shù)目（3）；一個節(jié)點的自由度數(shù)目（可能位移，2）。19形成單元剛度矩陣從虛功原理出發(fā)：給節(jié)點一組虛位移，單元內(nèi)即產(chǎn)生相應(yīng)的虛應(yīng)變，那么，實際節(jié)點力在虛位移上所做的功就等于實際應(yīng)力在虛應(yīng)變上產(chǎn)生的應(yīng)變能。[Ke]=2023/6/4205、等效節(jié)點載荷等效原則：等效節(jié)點載荷在節(jié)點虛位移上所做的功等于實際載荷在相應(yīng)虛位移上所做的功。2023/6/4216、形成總剛度矩陣、總載荷列陣、引入邊界條件按照總剛度矩陣形成方式以及代數(shù)方程德求解方案不同，可以分為：（1）直接求解（稀疏帶狀求解和波陣求解）；（2）迭代求解。采用稀疏帶狀求解器，要求節(jié)點號排列規(guī)律應(yīng)當(dāng)優(yōu)化，以使任一單元內(nèi)的節(jié)點號的差值最小。采用波陣求解器，要求單元號排列規(guī)律應(yīng)當(dāng)優(yōu)化，以使任一節(jié)點所連接的單元號的差值最小。2023/6/4227、后處理對求解的數(shù)據(jù)用等值線和云圖表示2023/6/423§1.2線性與非線性分析2023/6/424線性分析施加的載荷和系統(tǒng)響應(yīng)間為線性關(guān)系在邊界條件相同的情況下，滿足(載荷)疊加原理。((載荷)疊加原理對線性動力學(xué)也適用)[K]{u}={P}定系數(shù)2023/6/425非線性分析結(jié)構(gòu)問題的非線性是指結(jié)構(gòu)的剛度隨其變形而改變

實際上所有的物理結(jié)構(gòu)均是非線性的。（線性分析只是一種方便的近似，這對設(shè)計來說通常是足夠精確的。）必須做非線性分析的例子：沖壓等加工過程、碰撞分析以及輪胎和發(fā)動機(jī)墊圈一類的橡膠部件的分析問題等。

2023/6/426非線性分析2023/6/427非線性分析每種載荷都必須作為獨立的分析進(jìn)行定義及求解。

[K(u,,,……)]{u}={P}不定系數(shù).{u}=[K(u,,,……)]-1

{P}.2023/6/428§1.3非線性的來源2023/6/429在結(jié)構(gòu)力學(xué)模擬中有三種非線性的來源：材料非線性邊界非線性幾何非線性2023/6/430

材料非線性彈－塑性材料軸向拉伸應(yīng)力－應(yīng)變曲線2023/6/431

材料非線性

橡膠類材料應(yīng)力－應(yīng)變曲線

2023/6/432

材料非線性材料的非線性也可能與應(yīng)變以外的其它因素有關(guān)。應(yīng)變率相關(guān)材料的材料參數(shù)和材料失效都是材料非線性的表現(xiàn)形式。材料性質(zhì)也可以是溫度和其它預(yù)先設(shè)定的場變量的函數(shù)。

2023/6/433

邊界非線性

將碰到障礙物的懸臂梁

2023/6/434

邊界非線性

邊界非線性是極度不連續(xù)的，在模擬分析中發(fā)生接觸時，結(jié)構(gòu)的響應(yīng)特性會在瞬時發(fā)生很大的變化。

2023/6/435

邊界非線性

另一個邊界非線性的例子是將板材材料沖壓入模具的過程。在與模具接觸前，板材在壓力下的伸展變形是相對容易產(chǎn)生的，在與模具接觸后，由于邊界條件的改變，必須增加壓力才能使板材繼續(xù)成型。

2023/6/436

幾何非線性

與分析過程中模型的幾何形狀的改變相聯(lián)系。幾何非線性發(fā)生在位移的大小影響到結(jié)構(gòu)響應(yīng)的情形。這可能由于：大撓度或轉(zhuǎn)動“突然翻轉(zhuǎn)”初應(yīng)力或載荷強(qiáng)化2023/6/437

幾何非線性

懸臂梁的大撓度2023/6/438

幾何非線性

平板的突然翻轉(zhuǎn)

2023/6/439§1.4非線性問題的求解2023/6/440非線性載荷－位移曲線2023/6/441

一般在商業(yè)軟件中均使用Newton-Raphson法來求解非線性問題。

在非線性分析中的求解不能像線性問題中那樣，只求解一組方程即可；而是逐步施加給定的載荷，以增量（increment）形式趨于最終解。因此非線性有限元方法將計算過程分為許多載荷增量步（loadincrements），并在每個載荷增量步結(jié)束時尋求近似的平衡構(gòu)形。通常要經(jīng)過若干次迭代才能找到某一載荷增量步的可接受的解。所有這些增量響應(yīng)累加的和就是非線性分析的近似解。

2023/6/442(a)模擬計算中的外部載荷(b)作用于節(jié)點上的內(nèi)部作用力

物體上的外部載荷和內(nèi)部作用力

為了使物體處于平衡狀態(tài)，每個節(jié)點上施加的凈作用力必須為零。因此平衡的基本判據(jù)為內(nèi)部作用力I和外部作用力P必須互相平衡：P－I＝02023/6/443

分析步（steps），增量步（increments）和迭代步（iterations）分析步（steps）模擬計算的加載過程包含單個或多個步驟，所以要定義分析步。它一般包含分析過程選擇、載荷選擇和輸出要求選擇。每個分析步都可以采用不同的載荷、邊界條件、分析過程和輸出要求。例如：——步驟一：將板材夾于剛性夾具上。——步驟二：加載使板材變形?！襟E三：確定變形板材的自然頻率。2023/6/444

分析步（steps），增量步（increments）和迭代步（iterations）增量步（increments）增量步是分析步的一部分。在非線性分析中，一個分析步中施加的總載荷被分解為許多小的增量，這樣就可以按照非線性求解步驟來進(jìn)行計算。當(dāng)給定初始增量步的大小后，軟件一般會自動選擇后繼的增量步的大小。每個增量步結(jié)束時，結(jié)構(gòu)處于（近似）平衡狀態(tài)，結(jié)果可以寫入輸出數(shù)據(jù)庫文件（.odb）、重啟動文件（.res）、數(shù)據(jù)文件（.dat）或結(jié)果文件（.fil）中。如果選擇在某一增量步將計算結(jié)果寫入輸出數(shù)據(jù)庫文件，我們就給這個增量步起個名字叫做幀（frames）。

2023/6/445

分析步（steps），增量步（increments）和迭代步（iterations）迭代步（iterations）迭代步是在每一個增量步中尋找平衡解的一種嘗試。如果模型在迭代結(jié)束時不是處于平衡狀態(tài)，將進(jìn)行新一輪迭代。隨著每一次迭代，得到的解將更接近平衡狀態(tài)；有時需要進(jìn)行許多次迭代才能得到平衡解。當(dāng)平衡解得到以后一個增量步才完成，結(jié)果只能在一個增量步的末尾才能獲得。2023/6/446

平衡迭代和收斂性

結(jié)構(gòu)對于一個小的載荷增量P的非線性響應(yīng)示于圖中。非線性有限元方法利用基于構(gòu)形u0時的結(jié)構(gòu)初始剛度K0，和P來計算結(jié)構(gòu)的位移修正值ca。利用ca將結(jié)構(gòu)的構(gòu)形更新為ua。

2023/6/447

平衡迭代和收斂性

收斂性（convergence）基于結(jié)構(gòu)新的構(gòu)形ua，形成新的剛度Ka。利用Ka來計算更新后的構(gòu)形中結(jié)構(gòu)的內(nèi)部作用力Ia。所施加的總載荷P和Ia的差值可如下計算：

Ra＝P－Ia其中Ra是迭代的作用力殘差值。

2023/6/448

平衡迭代和收斂性

收斂性（convergence）如果Ra在模型的每一自由度上均為零，圖中的a點將位于載荷－位移曲線上，結(jié)構(gòu)將處于平衡狀態(tài)。在非線性問題中，幾乎不可能使Ra等于零，因此將Ra與容許殘差進(jìn)行比較。如果Ra比作用力容許殘差小，就接受結(jié)構(gòu)的更新構(gòu)形作為平衡結(jié)果。默認(rèn)的容許殘差設(shè)置為結(jié)構(gòu)中對時間進(jìn)行平均的作用力的0.5%。在整個模擬過程中自動在空間分布的這個對時間的平均值。2023/6/449

平衡迭代和收斂性

收斂性（convergence）若Ra比目前的容許殘差小，就認(rèn)為P和Ia處于平衡狀態(tài)，ua就是結(jié)構(gòu)在當(dāng)前載荷下合理的平衡構(gòu)形。而在接受此解前，還要檢查位移修正值ca與總的增量位移ua＝ua－u0相比是否是一小量。若ca大于增量位移的1%，將重新進(jìn)行迭代。只有這兩個收斂性檢查都得到滿足，才認(rèn)為此載荷增量下的解是收斂的。上述收斂判斷規(guī)則有一個例外，即所謂線性（linear）增量情況。線性增量的定義是指增量步內(nèi)最大的力殘差小于時間平均力乘以10-8的增量步，凡嚴(yán)格滿足這個定義的增量步被認(rèn)為是線性的并無需再進(jìn)行迭代，無需進(jìn)行任何檢查即可認(rèn)為其解是可接受的。2023/6/450

平衡迭代和收斂性

收斂性（convergence）若迭代結(jié)果不收斂，將進(jìn)行下一次迭代以使內(nèi)部和外部作用力達(dá)到平衡。第二次迭代采用前面迭代結(jié)束時計算得到的剛度Ka和Ra一起來確定新的位移修正值cb，使得系統(tǒng)更加接近平衡狀態(tài)（見圖中的點b）。2023/6/451

平衡迭代和收斂性

收斂性（convergence）

利用結(jié)構(gòu)新構(gòu)形ub中的內(nèi)部作用力計算新的作用力殘值Rb，再次將任意自由度上的最大作用力殘值與作用力殘值容許值進(jìn)行比較，將第二次迭代的位移修正值cb與增量位移ub＝ub

–u0進(jìn)行比較。如果需要的話將進(jìn)行進(jìn)一步的迭代。2023/6/452

平衡迭代和收斂性

收斂性（convergence）

對于非線性分析中的每次迭代，都要重新形成模型的剛度矩陣并求解方程組。從計算費用的角度來說，這意味著每次迭代等價于進(jìn)行一次完整的線性分析。現(xiàn)在你就可以清楚地看到非線性分析的計算費用可能要比線性問題大許多倍了?？梢栽诿恳皇諗康脑隽坎蕉急４娼Y(jié)果，所以非線性模擬計算中得到的輸出數(shù)據(jù)量將是線性分析中得到的數(shù)據(jù)量的很多倍。因此在規(guī)劃計算機(jī)資源時，必須考慮這些因素及所想進(jìn)行的非線性模擬計算的類型。

2023/6/453

自動增量控制

自動調(diào)整載荷增量步的大小，因此它能便捷而有效地求解非線性問題。用戶只需在每個分析步計算中給出第一個增量步的大小，就會自動調(diào)整后續(xù)增量步的大小。若用戶未提供初始增量步大小，會試圖將該分析步的全部載荷都作為第一增量步載荷來施加，這樣在高度非線性的問題中不得不反復(fù)減小增量步大小，從而導(dǎo)致CPU時間的浪費。一般來說，提供一個合理的初始增量步大?。ㄒ娎}中的“修改模型”）將是很有利的；只有在很平緩的非線性問題中才可能將分析步中的所有載荷施加于一個增量步中。

2023/6/454

自動增量控制

在一個載荷增量里得到收斂解所需的迭代步數(shù)會隨系統(tǒng)的非線性程度而變化。默認(rèn)情況下，如果在16次迭代中仍不收斂或出現(xiàn)發(fā)散，會放棄當(dāng)前增量步，并將增量步大小置為先前值的25%，重新開始計算，即利用比較小的載荷增量來嘗試找到收斂的解。若此增量仍不收斂，將再次減小增量步大小。允許一增量步最多有五次被減小，否則就會中止分析。如果增量步的解在少于五次迭代時就收斂，這表明找到解答相對很容易。因此如果連續(xù)兩個增量步只需少于五次的迭代就可以得到收斂解，自動將增量步大小提高50%。自動載荷增量方案的詳細(xì)內(nèi)容在信息文件（.msg）中給出。

2023/6/455§1.5

用商業(yè)軟件進(jìn)行非線性分析2023/6/456

從二十世紀(jì)60年代中期以來，大量的理論研究不但拓展了有限元法的應(yīng)用領(lǐng)域，還開發(fā)了許多通用或?qū)Ｓ玫挠邢拊治鲕浖?。目前?yīng)用較多的通用有限元軟件如下表所列：通用有限元軟件軟件名稱結(jié)構(gòu)分析非線性最佳化復(fù)合材料碰撞分析疲勞分析機(jī)構(gòu)分析噪音分析流力分析模流分析熱傳分析ANSYS◎D◎◎D◎◎◎NASTRAN◎D◎◎D◎◎ABAQUS◎◎◎◎◎MARC◎◎◎◎◎LS-DYNA3D◎MSC/DYNA◎ADAMS/DADS◎COSMOS◎D◎◎D◎◎MOLDFLOW◎C-FLOW◎PHOENICS◎◎2023/6/457幾何非線性

只需對模型做些小的修改就可以將幾何非線性效應(yīng)包含于分析中。首先要在定義分析步時考慮幾何非線性效應(yīng)，要給出分析步中允許包含增量步的最大數(shù)目。如果有限元需要比此數(shù)目更多的增量步來完成分析，它將中止分析并給出出錯信息。分析步中默認(rèn)的增量步最大數(shù)目是100，但如果題目有顯著的非線性，可能會需要更多的增量步。用戶給出的增量步數(shù)目是有限元可以采用的增量步數(shù)的上限，而不是它所必須使用的增量步數(shù)。2023/6/458幾何非線性

在非線性分析中，一個分析步是發(fā)生于一段有限的“時間”內(nèi)的，除非慣性效應(yīng)或率相關(guān)效應(yīng)作為重要因素進(jìn)入分析，否則這里的“時間”并沒有物理含義。用戶是在這個理解背景下指定初始時間增量和此分析步的總時間的。這些數(shù)據(jù)也指定了第一個增量步中所施加的載荷的相對于總體載荷的大小。初始載荷增量如下確定：2023/6/459幾何非線性

初始時間增量的選擇對于某些非線性模擬計算可能會很關(guān)鍵，但對大多數(shù)分析來說，初始時間增量的大小介于總分析步時間的5%到10%之間通常是足夠的。除非有類似模型中包含率相關(guān)材料效應(yīng)或阻尼器等情況出現(xiàn)，在靜態(tài)模擬計算時，為了方便，總分析步時間通常均置為1.0。當(dāng)總分析步時間為1.0時，所施加載荷的比例總是等于當(dāng)前的時間步大小，也就是說，時間步為0.5時施加的載荷也就是總載荷的50%。2023/6/460幾何非線性

盡管初始增量大小必須指定，但后面的增量大小卻由有限元自動控制。盡管也可以對增量大小進(jìn)行進(jìn)一步的人工控制，這種自動控制對于大多數(shù)非線性模擬計算來說是適合的。如果收斂性問題造成過多的增量減小，使得增量值降到了最小容許時間增量以下，有限元就會中止分析。默認(rèn)的最小容許時間增量Tmin為10-5乘以總分析步時間。除了總分析步時間的限制外，有限元對最大容許時間增量Tmax沒有默認(rèn)的上界限制。用戶也可以根據(jù)有限元模擬計算的實際情況，指定不同的最小和/或最大容許的時間增量大小。例如：如果知道模擬計算在所加載荷過大時，求解會出現(xiàn)問題（這也許是因為模型會經(jīng)歷塑性變形），所以可能想減小Tmax，此時就可以指定最大容許時間增量。

2023/6/461幾何非線性

局部方向

在幾何非線性分析中，局部的材料方向在每個單元中可以隨變形而轉(zhuǎn)動。對于殼、梁及桁架單元，局部的材料方向總是隨變形而轉(zhuǎn)動的。對于實體單元，僅當(dāng)單元上定義了非默認(rèn)的局部材料方向時，它的局部材料方向才隨變形而轉(zhuǎn)動；而在默認(rèn)情況下局部材料方向在整個分析中將始終保持不變。在節(jié)點上定義的局部坐標(biāo)系方向在整個分析中始終保持不變，它們不隨變形而轉(zhuǎn)動。

2023/6/462幾何非線性

對后繼分析步的影響

一旦在一個分析步中包括了幾何非線性，所有的后繼分析步中都會自動考慮幾何非線性。如果在一個后繼分析步中沒有要求幾何非線性，有限元會發(fā)出警告信息并聲明這一步將被自動強(qiáng)制包括幾何非線性。2023/6/463幾何非線性

其它幾何非線性效應(yīng)

模型的大變形并不是唯一要考慮的重要幾何非線性效應(yīng)。有限元中剛度矩陣的計算也包括由于施加荷載引起的單元剛度項（稱為載荷剛度）的計算，這些項能改善計算的收斂情況。另外，殼的薄膜荷載、纜索和梁的軸向荷載都對結(jié)構(gòu)對橫向荷載響應(yīng)的剛度產(chǎn)生很大影響。所以在考慮幾何非線性時，這種由于薄膜剛度對橫向荷載的影響應(yīng)該考慮在內(nèi)。2023/6/464輸出控制非線性分析可能比線性分析得到遠(yuǎn)為多的結(jié)果，原因有兩個:1.許多輸出項目只有在非線性分析中才有(如,每個子步中平衡迭代次數(shù)，輻射單元的熱流)

2.

多子步結(jié)果在每個載荷步中可以使用?？赡苄枰獙⑦@些信息存儲到輸出文件(Jobname.OUT)和/或結(jié)果文件(Jobname.RTH)中用于分析和判斷是否有足夠的結(jié)果可以繪制響應(yīng)曲線。在結(jié)果文件中可以只存儲...自由度解.. (類型)每五步求解... (頻率)單元類型3

(范圍)ANSYS輸出控制命令允許用戶指定

類型,頻率,和數(shù)據(jù)的范圍。例如2023/6/465缺省情況下，ANSYS將最后子步的所有單元所有結(jié)果寫入熱分析文件

(Jobname.RTH)。使用下列菜單指定類型，頻率和輸出范圍...12反應(yīng)熱流單元熱流和梯度單元各種數(shù)據(jù)33.選擇要控制的結(jié)果項目。

例如:所有求解項(缺省)節(jié)點溫度解2023/6/4664.指定結(jié)果文件輸出頻率。如果是I“EveryNth”，用一個整數(shù)填充“ValueofN”。如果要使用數(shù)組指定輸出時間點，使用“AtTimePoints”選項。該選項在第6章中有詳細(xì)解釋。45.指定預(yù)先定義的節(jié)點或單元組元。6.結(jié)束請按OK。如果要再設(shè)置輸出控制時請按APPLY可以設(shè)置多個輸出控制。

注:缺省情況下，ANSYS同時存儲最近的求解結(jié)果。

56注:

缺省情況下，ANSYS同時存儲最近的求解結(jié)果。2023/6/467求解管理缺省情況下，ANSYS在工作路徑寫一個求解管理文件。它包含諸如時間/載荷步，使用的CPU時間，每次迭代子步的最大溫度數(shù)值等有用的項目。這一功能在進(jìn)行時間較長的非線性和瞬態(tài)分析時最有效，因為它給分析人員一個完整的數(shù)據(jù)文件，而不需要在后處理中讀取。例如:Q:這是非線性分析嗎?(見行4)2023/6/468用戶可以定義不多于三個變量來跟蹤模型特定節(jié)點的溫度響應(yīng)或反應(yīng)熱流。使用下列菜單定義變量:1234563.選擇管理的節(jié)點。4.指定變量號碼。5.對于節(jié)點溫度指定TEMP，對于節(jié)點反應(yīng)熱流指定HEAT。6.點擊OK。2023/6/469收斂驗證許多問題可以造成非線性求解不收斂。在缺省情況下，ANSYS如果發(fā)現(xiàn)問題不收斂，求解就會終止，并且最后的不收斂結(jié)果會寫入結(jié)果文件以供分析。用戶必須在后處理之前知道求解是不收斂的。ANSYS用下列幾種方法指出求解是不收斂的:出錯文件(jobname.err)會清楚的判斷不收斂的解，并且會對不收斂的可能原因加以說明:***ERROR***CP=345.870TIME=17:36:15Preconditionedconjugategradientsolvererrorlevel1.Possibly,themodelisunconstrainedoradditionaliterationsmaybeneeded.TryrunningwithamultiplierMULT>1inEQSLVcommand(3>MULT>1).***ERROR***CP=388.930TIME=17:36: