連續(xù)譜本征函數(shù)的歸一化

包頭師范學(xué)院本科畢業(yè)論文論文題目： 連續(xù)譜本征函數(shù)的歸一化院系： 物理科學(xué)與技術(shù)學(xué)院專 業(yè)： 物理學(xué) 姓 名： 趙德勝 學(xué) 號(hào)： 0809320046 指導(dǎo)教師： 林海 二O—二年四月內(nèi)容摘要根據(jù)波函數(shù)統(tǒng)計(jì)詮釋，波函數(shù)應(yīng)滿足歸一化條件.從三種情況討論波函數(shù)的歸一化問(wèn)題.對(duì)于分立譜要對(duì)其進(jìn)行歸一化，而對(duì)于連續(xù)譜要對(duì)其進(jìn)行歸一化，實(shí)則就是他們所選的”歸一化”標(biāo)準(zhǔn)不同，但他們之間又有很多微妙的差別和聯(lián)系，在具體的解決問(wèn)題時(shí)可以體現(xiàn)出來(lái)。波函數(shù)（也可稱概率幅）是描寫(xiě)粒子體系的量子狀態(tài)的函數(shù)，是概率波，所以對(duì)其歸一化的研究是非常有意義的。關(guān)鍵詞：波函數(shù)；歸一化；概率密度；本征函數(shù)；邊界條件AbstractAccordingtothestatisticalinterpretationwavefunction,wavefunctionshouldmeetthenormalizationconditions.Fromthreeofthewaveletfunctiontodiscussanormalizedproblem.Fordivisionspectruminitsnormalization,whileforthecontinuousspectruminitsreturnchange,actuallyistheyselected"normalization"standardbetweendifferent,buttheyhavealotofsubtledifferencesandconnections,inspecificsolutionscanbereflected.Wavefunction(cansaythatprobabilityamplitude)isadescriptionofthequantumstateoftheparticlesystemsisprobabilitywavefunction,soforitsnormalizationresearchisverysignificant.KeyWOrds:Wavefunction；Normalization；Probabilitydensity； Eigenfunction；Boundaryconditions目錄TOC\o"1-5"\h\z弓|言 1什么是歸一化 2\o"CurrentDocument"表同態(tài)的不同波函數(shù)的歸一化 3\o"CurrentDocument"連續(xù)譜本征函數(shù)的“歸一化” 4箱式歸一化 5總結(jié) 7\o"CurrentDocument"參考文獻(xiàn) 8\o"CurrentDocument"致謝 9引言與經(jīng)典物理不同，在量子力學(xué)中是用波函數(shù)來(lái)描述微觀粒子運(yùn)動(dòng)狀態(tài)的.但并不是所有的波函數(shù)都有意義，只有那些滿足波函數(shù)標(biāo)準(zhǔn)條件的函數(shù)才能用來(lái)^描述微觀粒子的運(yùn)動(dòng)狀態(tài).根據(jù)波函數(shù)的統(tǒng)計(jì)詮釋，量子力學(xué)對(duì)波函數(shù)w(r,t)提出的要求之一便是一個(gè)真實(shí)的波函數(shù)需要滿足歸一化條件 (平方可積),即|W(r,t)|2d3r=1,量子力學(xué)理論體系是在幾個(gè)基本假定的基礎(chǔ)上建立起來(lái)的.將有關(guān)的基本假定概述如下:量子力學(xué)體系的狀態(tài)由一個(gè)波函數(shù)描寫(xiě)，力學(xué)量用厄密算符表示.力學(xué)量算符的本征函數(shù)組成一個(gè)完備系，且可以構(gòu)成一個(gè)正交歸一的完備系.量子力學(xué)體系的任一狀態(tài)波函數(shù)W均可按上述的正交歸一完備函數(shù)系展開(kāi).當(dāng)體系處于W態(tài)時(shí)，測(cè)量力學(xué)量F得到的結(jié)果必為F的某個(gè)本征值,得到此結(jié)果的概率(或概率密度)為上述展開(kāi)式中相應(yīng)本征函數(shù)的系數(shù)的模平方.總的概率當(dāng)然應(yīng)該等于1,于是就要求把本征函數(shù)和狀態(tài)波函數(shù)歸一化，這就是歸一化的物理意義.可見(jiàn)，波函數(shù)的歸一化問(wèn)題在量子力學(xué)中的地位是多么重要.本文便從以下幾種情況討論波函數(shù)的歸一化問(wèn)題.一、什么是歸一化由于粒子必定要在空間中的某一點(diǎn)出現(xiàn)，所以粒子在空間各點(diǎn)出現(xiàn)的概率總和等于一，因而粒子在空間各點(diǎn)出現(xiàn)的概率只決定于波函數(shù)在空間各點(diǎn)的相對(duì)強(qiáng)度，而不決定于強(qiáng)度的絕對(duì)大小。如果把波函數(shù)在空間個(gè)點(diǎn)的振幅同時(shí)加大一倍，并不影響粒子在空間各點(diǎn)的概率，換句話說(shuō)，將波函數(shù)乘上一個(gè)常數(shù)后，所描寫(xiě)的粒子的狀態(tài)并不改變。量子力學(xué)中的波函數(shù)的這種性質(zhì)是其他波動(dòng)過(guò)程(如聲波、光波等等)所沒(méi)有的。對(duì)于聲波、光波等，體系的狀態(tài)隨振幅的大小而改變，如果把各處振幅加大為二倍，那么聲或光的輕度到處都加大為四倍，這就完全是另一個(gè)態(tài)了。[1]下面用數(shù)學(xué)來(lái)表達(dá)波函數(shù)的這種性質(zhì)，設(shè)波函數(shù)W3,y,z,r)描寫(xiě)粒子的狀態(tài)，在空間一點(diǎn)過(guò)(x,y,z)和時(shí)刻t，波的強(qiáng)度是w|2=w*w，w*表示W(wǎng)的共軛復(fù)數(shù)。以dW(x，y，z，t)表示在時(shí)刻t、在坐標(biāo)x到x+dx、y到y(tǒng)+dy、z到z+dz的無(wú)限小區(qū)域內(nèi)找到粒子的概率，則dW除了和這個(gè)區(qū)域的體積小=dxdydz成比例外，也和在這個(gè)區(qū)域內(nèi)沒(méi)一點(diǎn)找到粒子的概率成比例。按照波函數(shù)的統(tǒng)計(jì)解釋，在這個(gè)區(qū)域內(nèi)一點(diǎn)找到粒子的概率與w(x,y,z,t)|2成比例，所以dW(x，y，z，t)=CW(x,y,z,t)|2dt，始終C是比例常數(shù)。以體積dt除概率dW，得到在時(shí)刻t、在(x，y，z)點(diǎn)伏擊單位體積內(nèi)找到粒子的概率，我們成這個(gè)概率為概率密度，并以w(x,y,z,t)表示：w(x,y,z,t)=d'(x；y,z,')=Cw(x,y,z,t)|2。dt將上式對(duì)整個(gè)空間積分，得到粒子在整個(gè)空間中出現(xiàn)的概率，由于粒子存在于空間中，這個(gè)概率等于1，所以有C』W(x,y,z,t)2dt=1，3式中積分號(hào)下的無(wú)窮大表示對(duì)整個(gè)空間積分。由C』W(x,y,z,t)2dt=1式有3

IFd前面曾提到，波函數(shù)乘上一個(gè)常數(shù)后，并不改變?cè)诳臻g各點(diǎn)找到粒子的概率,即不改變波函數(shù)所描寫(xiě)的狀態(tài)?，F(xiàn)在把C 式所確定的C開(kāi)方后乘，并以表示所得出的函數(shù)：(x,y,z,t)=\.C(x,y,z,t)。則波函數(shù)和所描寫(xiě)的是同一個(gè)狀態(tài)。于是，由dW(x，y，z，t)二C|(x,y,z,t)2d，在t時(shí)刻、在(x，y，z)點(diǎn)附近體積元d內(nèi)找到粒子的概率是dW(x，y，z，t)=|(x,y,z,t)2d，概率密度是w(x，y，z，t)=|(x,y,z,t)2。而C|(x,y,z,t)2d1式改寫(xiě)為| (x,y,z,t)2d1。滿足上式的波函數(shù)成為歸一化波函數(shù)，上式成為歸一化條件，吧換成的步驟成為歸一化，使換成的常數(shù)"廠成為歸一化因子。二、表同態(tài)的不同波函數(shù)的歸一化如果粒子可以處于用波函數(shù)中］(r,t)和中2(r,t)=AWj(r,t)描述的狀態(tài)(其中A為任意復(fù)常數(shù))，分別用i(r,t)和2(r,t)來(lái)表示兩者坐標(biāo)的取值概率密度，則有(r,t)=(r,t)=2|中2(r,t)2

中2(r,t))2d中(r,t)|21 : = (,t)顯七(r,t)|2di然，兩者給出的坐標(biāo)的取值概率密度是完全相同的.即兩個(gè)相差一個(gè)復(fù)常數(shù)的波函數(shù)描述的是同一個(gè)狀態(tài).在這一點(diǎn)上，概率波與經(jīng)典波有著本質(zhì)的差別.一個(gè)經(jīng)典波的波幅若增大一倍，則相應(yīng)的波的能量將為原來(lái)的四倍，因而代表完全不同的波動(dòng)狀態(tài).經(jīng)典波根本談不上歸一化，而概率波卻可以進(jìn)行歸一化.那么，如何對(duì)該波函數(shù)進(jìn)行歸一化呢？我們可以根據(jù)波函數(shù)所特有的這個(gè)性質(zhì)，去選擇一個(gè)恰當(dāng)常數(shù)因子.又由于(6為實(shí)常數(shù))，如果中仃,訓(xùn)2=1對(duì)整個(gè)空間積分為1,則件中3J)2對(duì)整個(gè)空間積分也等于1,也就是說(shuō)波函數(shù)可以相差一個(gè)復(fù)常數(shù)因子.這樣，我們可以利用”""』來(lái)構(gòu)造一個(gè)新的波函數(shù)4(r,t)=c(t)W(r,t)式中c(t)是任意一個(gè)只與時(shí)間相關(guān)的函數(shù).全新波函數(shù)4(r,t)滿足時(shí)(f,t)|2dT=1則利用構(gòu)造的波函數(shù)可以得到歸一化常數(shù)c(t)=[|』w(f,t)|2dT]-2函，其中6稱為相因子,通常選為零.至此，該類波函數(shù)歸一化完畢，此時(shí)坐標(biāo)f的概率密度①(f,t)=4(f,t)|2.⑵三、連續(xù)譜本征函數(shù)的“歸一化”并不是所有的波函數(shù)都可以按J|叩(r,t)|2dT=1的要求歸一化。這種歸化條件要求波函數(shù)絕對(duì)值平方|中(亍，。|2在整個(gè)空間是可以積分的波函數(shù)』沖dT是有限的。如果合格條件不被滿足，即J沖(f,t)I2dT發(fā)散，此時(shí)，歸一化常數(shù)C(t)等于零零，顯然這種歸一化是沒(méi)有意義的.以動(dòng)量本征態(tài)為例，粒子的本征態(tài)為p的本征函數(shù)為w(r)=c庠%，p為可以取全空間中連續(xù)p變化的一切實(shí)數(shù)值.不難看出，只要C乏0,JIwp(r)|2dT=|c|2。jdT=8即中〃(f)是不能歸一化的.討論至此，連續(xù)譜本征函數(shù)的“歸一化”似乎不可能實(shí)現(xiàn)了，不過(guò)如果在數(shù)學(xué)上不過(guò)分嚴(yán)格要求，引用Dirac的6函數(shù)，該“歸一化”問(wèn)題便迎刃而解了.仍以動(dòng)量本征態(tài)為例,本征值p的本征函數(shù)wp(f)=ceip?匕，式中c是歸一化常數(shù).為了確定c的數(shù)值，計(jì)算積分j中*（v）中（r）dr=c2LLJ?exp{[（p一p）x+（p一p）y+（p一p）z]}dxdydzpp —?—?—? hxXyyzz因?yàn)镴8exp-[（p一p）x]dx=2兀方8（p一p）式中5（p—p）是以（p—p）為宗xX xX xx xx—8量的6函數(shù).[3]所以有j中*（r）中（r）dT=c2（2兀力）35（p一p）5（p一p）5（p一p）=c2（2兀力）35（p一p'）8pp xxyyz z.3因此，如果去c=(2兀力)-2，則W(r)歸一化為0函數(shù)，pjW*(r)W(r)dT=d(p-p')3p p1iW(r)= exp(—p-r)p (2兀方)2W(r)不是按歸一化條件(平方可積)要求的那樣歸一化為1,而是歸一化為0p函數(shù)，這是由于W(r)所屬的本征值p可以取任意值，動(dòng)量的本征譜組成連續(xù)p譜的緣故.可見(jiàn)，無(wú)論力學(xué)量的本征值組成分立譜還是連續(xù)譜，本征函數(shù)和狀態(tài)波函數(shù)都應(yīng)該是歸一化的，也是可以歸一化的，其物理意義是一樣的，都表示測(cè)量力學(xué)量得到所有各種可能的結(jié)果的總概率等于1,只是數(shù)學(xué)表達(dá)的形式有所不同.同樣，坐標(biāo)本征態(tài)也是不能歸一化的,也可類似處理，用0函數(shù)來(lái)表述其“歸一化”,這里就不再贅述了。⑷四、箱式歸一化在一些具體問(wèn)題中遇到動(dòng)量的本征值問(wèn)題時(shí)，常常需要把動(dòng)量的連續(xù)本征值變?yōu)榉至⒈菊髦颠M(jìn)行計(jì)算，最后再把分立本征值變回連續(xù)本征值.這種情況可以通過(guò)箱歸一化來(lái)實(shí)現(xiàn)，即設(shè)想粒子被限制在一個(gè)正方形箱中，箱的邊長(zhǎng)為L(zhǎng),取箱的中心作為坐標(biāo)原點(diǎn).要求波函數(shù)在兩個(gè)相對(duì)的箱壁上對(duì)應(yīng)的點(diǎn)具有相同的值,TOC\o"1-5"\h\z\o"CurrentDocument"此即周期性邊界條件.在此條件下有W(-L)=W(L)可解出p=女也,p2p2 xLp="方y(tǒng)，p=2""(n,n,n=0,±1,±2...)可見(jiàn)p，p，p均取分立值。yL zLxyz xyz⑸在加進(jìn)周期性邊界條件后，選取歸一化常數(shù)c=L-2，則W=^^e(")，動(dòng)量p 3(2兀方)2本征函數(shù)可以歸一化為1,即有』W二(r)W(r)dT=.1ftdxjdyj沽=1此即箱-2 —2 —2歸一化。當(dāng)L一8時(shí)，本征值譜就由分立譜變?yōu)檫B續(xù)譜，此時(shí)Px,Py,Pz連續(xù)變化,則___L_j3d3peip?J/方)=如尸-r，)/-衫值得提出的是，參考文獻(xiàn)中，討論了“在理想化的問(wèn)題中波函數(shù)的歸一化”問(wèn)題，并給出了連續(xù)譜本征函數(shù)及波函數(shù)的歸一化問(wèn)題的“最一般情況下的公式”，這里不再討論.如前所述，由于概率描述中實(shí)質(zhì)的問(wèn)題是相對(duì)概率，因此，在量子力學(xué)中并不排除使用某些不能歸一化的理想的波函數(shù).實(shí)際的波函數(shù)當(dāng)然不會(huì)是一個(gè)理想的平面波或波包，但如果一個(gè)粒子態(tài)可以用一個(gè)很大的波包來(lái)描述，波包的廣延比所處理的問(wèn)題的特征長(zhǎng)度大得多，而且在問(wèn)題所涉及的空間區(qū)域中粒子的概率密度可視為常數(shù)，則不妨用平面波來(lái)近似代替，例如在散射理論中，入射粒子態(tài)常用平面波來(lái)描述.當(dāng)然以后在量子力學(xué)的發(fā)展中可能還會(huì)遇到更多的不同類型的實(shí)際的波函數(shù)，那么其歸一化問(wèn)題還將得到進(jìn)一步的研究和討論。[6]總結(jié)正如上述所說(shuō)，并不是所有的波函數(shù)都有意義，只有那些滿足波函數(shù)標(biāo)準(zhǔn)條件的函數(shù)才有意義，波函數(shù)的歸一化就是其中要求之一。這樣，無(wú)論是什么情況，都可以按上述進(jìn)行歸一化，使波函數(shù)有意義，方便計(jì)算和運(yùn)用。參考文獻(xiàn)周