《數(shù)學(xué)物理方法》第二章-解析函數(shù)課件

第二章解析函數(shù)

第一節(jié)

解析函數(shù)的概念及哥西—黎曼條件第二節(jié)解析函數(shù)與調(diào)和函數(shù)第三節(jié)初等函數(shù)第一節(jié)解析函數(shù)的概念及哥西—黎曼條件

§2.1.1復(fù)變函數(shù)的導(dǎo)數(shù)1.導(dǎo)數(shù)定義定義2.1設(shè)函數(shù)w=f(z),z∈D,且z0、z0+Δz∈D，如果極限存在，則稱函數(shù)f(z)在點(diǎn)z0處可導(dǎo)(可微)。稱此極限值為f(z)在z0的導(dǎo)數(shù)，記作等價(jià)形式有：如果w=f(z)在區(qū)域D內(nèi)處處可導(dǎo)，則稱f(z)在區(qū)域D內(nèi)可導(dǎo).注：任意點(diǎn)z的導(dǎo)數(shù)稱為導(dǎo)函數(shù)，或簡(jiǎn)稱導(dǎo)數(shù)

(1)Δz→0是在平面區(qū)域上以任意方式趨于零。

(2)z=x+iy,Δz=Δx+iΔy,Δf=f(z+Δz)-f(z)

例1?t?yü?DDD?DDD;0,0;1,0zfzzfz時(shí)取純虛數(shù)趨于當(dāng)時(shí)取實(shí)數(shù)趨于當(dāng)2.求導(dǎo)公式與法則①常數(shù)的導(dǎo)數(shù)c=(a+ib)=0.②(zn)=nzn-1(n是自然數(shù)).證明對(duì)于復(fù)平面上任意一點(diǎn)z0，有----實(shí)函數(shù)中求導(dǎo)法則的推廣③設(shè)函數(shù)f(z),g(z)均可導(dǎo)，則

[f(z)±g(z)]=f(z)±g(z)，

[f(z)g(z)]=f(z)g(z)+f(z)g(z)④復(fù)合函數(shù)的導(dǎo)數(shù)(f[g(z)])

=f

(w)g(z)，

其中w=g(z)。⑤反函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，其中:w=f(z)與z=(w)互為單值的反函數(shù)，且(w)0。思考題例3問(wèn)：函數(shù)f(z)=x+2yi是否可導(dǎo)？例2解解例4證明f(z)=zRez只在z=0處才可導(dǎo)。證明

(1)復(fù)變函數(shù)在一點(diǎn)處可導(dǎo)，要比實(shí)函數(shù)在一點(diǎn)處可導(dǎo)要求高得多，也復(fù)雜得多，這是因?yàn)棣→0是在平面區(qū)域上以任意方式趨于零的原故。(2)在高等數(shù)學(xué)中要舉出一個(gè)處處連續(xù)，但處處不可導(dǎo)的例題是很困難的,

但在復(fù)變函數(shù)中，卻輕而易舉。3.可導(dǎo)與連續(xù)若w=f(z)在點(diǎn)z0處可導(dǎo)w=f(z)點(diǎn)z0處連續(xù).?1.函數(shù)可微的一個(gè)必要條件（哥西—黎曼條件）§2.1.2哥西—黎曼條件本節(jié)從函數(shù)u(x,y)及v(x,y)的可導(dǎo)性，探求函數(shù)w=f(z)的可導(dǎo)性，從而給出判別函數(shù)解析的一個(gè)充分必要條件，并給出解析函數(shù)的求導(dǎo)方法。問(wèn)題如何判斷函數(shù)的可微性呢？存在記憶方程稱為Cauchy-Riemann方程(簡(jiǎn)稱C-R方程).定理2.1

用定理2.1雖不能判定函數(shù)的可微性，但卻可以判定函數(shù)的不可微性，即：不滿足定理?xiàng)l件的函數(shù)是不可微的

下面的例子可以說(shuō)明，該條件不是充分的，即該條件的滿足并不足以保證函數(shù)的可微性。定理2.2設(shè)f(z)=u(x,y)+iv(x,y)在D內(nèi)有定義，則

f(z)在點(diǎn)z=x+iy

∈D處可導(dǎo)的充要條件是

u(x,y)和v(x,y)在點(diǎn)(x,y)可微，且滿足

Cauchy-Riemann方程上述條件滿足時(shí),有2.函數(shù)可微的充分必要條件證明：（1）必要性證明：（2）充分性

由此可以看出可導(dǎo)函數(shù)的實(shí)部與虛部有密切的聯(lián)系.當(dāng)一個(gè)函數(shù)可導(dǎo)時(shí),僅由其實(shí)部或虛部就可以求出導(dǎo)數(shù)來(lái).

利用上述三個(gè)定理可以判斷大多數(shù)函數(shù)的可導(dǎo)性.

討論函數(shù)的可微性往往比討論函數(shù)的偏導(dǎo)數(shù)要麻煩許多，根據(jù)數(shù)學(xué)分析原理我們有如下定理使用時(shí):i)判別u(x,y)，v(x,y)偏導(dǎo)數(shù)的連續(xù)性，

ii)驗(yàn)證C-R條件.iii)求導(dǎo)數(shù)：

前面我們常把復(fù)變函數(shù)看成是兩個(gè)實(shí)函數(shù)拼成的,但是求復(fù)變函數(shù)的導(dǎo)數(shù)時(shí)要注意,并不是兩個(gè)實(shí)函數(shù)分別關(guān)于x,y求導(dǎo)簡(jiǎn)單拼湊成的.3.舉例例1

判定下列函數(shù)在何處可導(dǎo)：解(1)設(shè)z=x+iy

w=x-iy

u=x,v=-y

則解(2)∵f(z)=ex(cosy+isiny)則u=excosy,v=exsiny僅在點(diǎn)z=0處滿足C-R條件，故解(3)設(shè)z=x+iy

w=x2+y2

u=x2+y2,v=0則§2.1.3

解析函數(shù)的概念定義2.2

如果函數(shù)w=f(z)在z0及z0的某個(gè)鄰域內(nèi)處處可導(dǎo)，則稱f(z)在z0解析；如果f(z)在區(qū)域D內(nèi)每一點(diǎn)都解析，則稱

f(z)在D內(nèi)解析，或稱f(z)是D內(nèi)的解析函數(shù)(全純函數(shù)或正則函數(shù)）。如果f(z)在點(diǎn)z0不解析，就稱z0是f(z)的奇點(diǎn)。

(1)w=f(z)在D內(nèi)解析在D內(nèi)可導(dǎo)。

(2)函數(shù)f(z)在z0點(diǎn)可導(dǎo)，未必在z0解析(例1(3)函數(shù)只在,固也是奇點(diǎn),即函數(shù)處處不解析).例如(1)w=z2在整個(gè)復(fù)平面處處可導(dǎo)，故是整個(gè)復(fù)平面上的解析函數(shù)；(2)w=1/z，除去z=0點(diǎn)外，是整個(gè)復(fù)平面上的解析函數(shù)；

(3)w=zRez

在整個(gè)復(fù)平面上處處不解析(見例4)。定理

設(shè)w=f

(z)及w=g(z)是區(qū)域D內(nèi)的解析函數(shù)，則f

(z)±g(z)，f(z)g(z)及f

(z)g(z)(g

(z)≠0時(shí))均是D內(nèi)的解析函數(shù)。定理

設(shè)w=f(h)在h

平面上的區(qū)域G內(nèi)解析,

h=g(z)在z平面上的區(qū)域D內(nèi)解析,h=g(z)的函數(shù)值集合G，則復(fù)合函數(shù)w=f[g(z)]在D內(nèi)處處解析。例2

求證函數(shù)證明由于在z≠0處，u(x,y)及v(x,y)都是可微函數(shù)，且滿足C-R條件：故函數(shù)w=f(z)在z≠0處解析，其導(dǎo)數(shù)為例3證明例4

如果f(z)=u(x,y)+iv(x,y)是一解析函數(shù)，且f(z)≠0，那么曲線族u(x,y)=C1，

v(x,y)=C2必互相正交，這里C1

、C2常數(shù).那么在曲線的交點(diǎn)處，i)uy、

vy

均不為零時(shí)，由隱函數(shù)求導(dǎo)法則知曲線族u(x,y)=C1，v(x,y)=C2中任一條曲線的斜率分別為解利用C-R方程

ux=vy,uy=-vx

有k1k2=(-ux/uy)(-vx/vy)=-1，即：兩族曲線互相正交.ii)uy，vy中有一為零時(shí)，不妨設(shè)uy=0，則k1=∞，

k2=0（由C-R方程）即：兩族曲線在交點(diǎn)處的切線一條是水平的，另一條是鉛直的,它們?nèi)曰ハ嗾?。練?xí):a=2,b=-1,c=-1,d=2

在下一章中我們將證明在D內(nèi)的解析函數(shù),其導(dǎo)數(shù)仍為解析函數(shù),所以解析函數(shù)有任意階導(dǎo)數(shù)，固u,v的偏導(dǎo)數(shù)的偏導(dǎo)數(shù)存在，或說(shuō)二階偏導(dǎo)數(shù)存在。本節(jié)利用這一重要結(jié)論研究解析函數(shù)與調(diào)和函數(shù)之間的關(guān)系。內(nèi)容簡(jiǎn)介第二節(jié)解析函數(shù)與調(diào)和函數(shù)的關(guān)系定義2.3定理2.3證明：設(shè)f(z)=u(x,y)+i

v(x,y)在區(qū)域D內(nèi)解析，則即u及v在D內(nèi)滿足拉普拉斯(Laplace)方程:定義上面定理說(shuō)明：由解析的概念得：現(xiàn)在研究反過(guò)來(lái)的問(wèn)題：如定理2.4以下是四種求共軛調(diào)和函數(shù)的方法（1）曲線積分法；（2）湊微分法；（3）偏積分法；（4）不定積分法例1解曲線積分法故

又解湊全微分法又解偏積分法又解不定積分法

1.指數(shù)函數(shù)

2.三角函數(shù)和雙曲函數(shù)

3.對(duì)數(shù)函數(shù)

4.乘冪與冪函數(shù)

5.反三角函數(shù)與反雙曲函數(shù)第三節(jié)初等函數(shù)

本節(jié)將實(shí)變函數(shù)的一些常用的初等函數(shù)推廣到復(fù)變函數(shù)情形，研究這些初等函數(shù)的性質(zhì)，并說(shuō)明它的解析性。內(nèi)容簡(jiǎn)介一.指數(shù)函數(shù)它與實(shí)變指數(shù)函數(shù)有類似的性質(zhì)：定義這個(gè)性質(zhì)是實(shí)變指數(shù)函數(shù)所沒有的。

例1例2例3二.三角函數(shù)和雙曲函數(shù)推廣到復(fù)變數(shù)情形定義正弦與余弦函數(shù)的性質(zhì)思考題由正弦和余弦函數(shù)的定義得其它三角函數(shù)的定義(詳見P51)定義—稱為雙曲正弦和雙曲余弦函數(shù)雙曲正弦和雙曲余弦函數(shù)的性質(zhì)三.對(duì)數(shù)函數(shù)定義指數(shù)函數(shù)的反函數(shù)稱為對(duì)數(shù)函數(shù)。即，(1)對(duì)數(shù)的定義故特別

(2)對(duì)數(shù)函數(shù)的性質(zhì)見§1-6例1例4四.乘冪與冪函數(shù)乘冪ab定義

—多值—一般為多值—q支

(2)當(dāng)b=1/n(n正整數(shù))時(shí)，乘冪ab與a

的

n次