2023年高考積分,導(dǎo)數(shù)知識點精華總結(jié)

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定積分

一、學(xué)問點與辦法：1、定積分的概念

設(shè)函數(shù)()fx在區(qū)間[,]ab上延續(xù)，用分點011iinaxxxxxb-=<<<<<<=……把區(qū)間[,]ab等分成n個小區(qū)間，在每個小區(qū)間1[,]iixx-上取任一點(1,2,,)iinξ=…作和式

1

()n

niiIfxξ==

?∑

（其中x?為小區(qū)間長度）

，把n→∞即0x?→時，和式nI的極限叫做函數(shù)()fx在區(qū)間[,]ab上的定積分，記作：?b

a

dxxf)(，即?b

a

dxxf)(＝1

lim

()n

inifxξ→∞

=?∑

。

這里，a與b分離叫做積分下限與積分上限，區(qū)間[,]ab叫做積分區(qū)間，函數(shù)()fx叫做被積函數(shù)，x叫做積分變量，()fxdx叫做被積式。

(1)定積分的幾何意義：當函數(shù)()fx在區(qū)間[,]ab上恒為正時，定積分()b

afxdx?的幾何意

義是以曲線()yfx=為曲邊的曲邊梯形的面積。(2)定積分的性質(zhì)①

??=b

ab

a

dx

xfkdx

xkf)()(（k

為常數(shù)）；②

???±

=

±b

a

b

a

b

adx

xgdxxfdxxgxf)()()()(；

③???+

=

b

ac

ab

cdx

xfdxxfdxxf)()()(（其中acb<<)。

2、微積分基本定理

假如()yfx=是區(qū)間[,]ab上的延續(xù)函數(shù)，并且()()Fxfx'=，那么:

()()|()()bb

aa

fxdxFxFbFa==-?

3、定積分的容易應(yīng)用

(1)定積分在幾何中的應(yīng)用：求曲邊梯形的面積由三條直線

,()xaxbab==<，x軸及一條曲線()(()0)yfxfx=≥圍成的

曲邊梯的面積?

=

b

a

dxxfS)(。

假如圖形由曲線y1＝f1(x)，y2＝f2(x)（不妨設(shè)f1(x)≥f2(x)≥0），及直線x＝a，x＝b（a<b）圍成，那么所求圖形的面積S＝S曲邊梯形AMNB－S曲邊梯形DMNC＝??

-

b

ab

a

dxxfdxxf)()(21。

(2)定積分在物理中的應(yīng)用：①求變速直線運動的路程()ba

svtdt=?

（()vt為速度函數(shù)）②求變力所做的功()ba

Wfxdx=

?

二、練習(xí)題

1、計算下列定積分：(1)2

111()e

xdxx

x

+

+

?(2)20

(sin2cos)xxdxπ

-?(3)0

(2sin32)x

xedxπ

-+?

(4)2

dx?(5)3

1

|2|xdx--?

2、求下列曲線所圍成圖形的面積：

（1）曲線222,24yxxyxx=-=-；（2）曲線,,1xxyeyex-===。

3、22

(sincos)xxdxπ

π-+?的值是：

A.4

B.2

C.

4

π

D.0

4、曲線22,yxyx==所圍成圖形的面積是：A.1B.

23

C.

12

D.

13

5、已知自由下落物體的速度為vgt=，則物體從0t=到1t=所走過的路程是：A.

13

gB.gC.

12

gD.

14

g

6、已知2()321fxxx=++，且11

()2()fxdxfa-=?，則a=

7、已知1

22

()(2)faaxaxdx=

-?

，求()fa的最大值。

8、已知()fx為二次函數(shù)，且1

(1)2,(0)0,()2fffxdx'-===-?，求：

(1)()fx的解析式；(2)()fx在[1,1]-上的最大值與最小值。

導(dǎo)數(shù)

1.導(dǎo)數(shù)（導(dǎo)函數(shù)的簡稱）的定義：設(shè)0x是函數(shù))(xfy=

定義域的一點，假如自變

量x在0x處有增量x?，則函數(shù)值y也引起相應(yīng)的增量)

()(00xfxxfy-?+=

?；比值

x

xfxxfx

y?-?+=

??)

()(00稱為函數(shù))(xfy=

在點0x到xx?+0之間的平均變化率；假如極

限

x

xfxxfx

yxx?-?+=??→?→?)

()(lim

lim

000

存在，則稱函數(shù))(xfy=

在點0

x處可導(dǎo)，并把這個極限叫做

)

(xfy=在

x處的導(dǎo)數(shù)，記作

)

(0'

xf或

|'

x

xy=，即

)(0'

xf=x

xfxxfx

yxx?-?+=??→?→?)

()(lim

lim

000

.

注：①x?是增量，我們也稱為“轉(zhuǎn)變量”，由于x?可正，可負，但不為零(趨向0).②已知函數(shù))(xfy=定義域為A

，)

('

xfy=

的定義域為B，則A與B關(guān)系為B

A?

.

2.函數(shù))(xfy=在點0x處延續(xù)與點0x處可導(dǎo)的關(guān)系：

⑴函數(shù))(xfy=

在點0

x處延續(xù)是)(xfy=在點0

x處可導(dǎo)的須要不充分條件.

可以證實，假如)(xfy=在點0

x處可導(dǎo)，那么)(xfy=

點0

x處延續(xù).

事實上，令x

xx?+=0，則0xx→

相當于0

→?x.

于是

)]()()([lim)(lim)(lim0000

00

xfxfxxfxxfxfxxxx+-+=?+=→?→?→

).

()(0)()(lim

lim)

()(lim

)]()

()([

lim000'

00

000

0000

xfxfxfxfx

xfxxfxfxx

xfxxfxxxx=+?=+??-?+=+???-?+=→?→?→?→?⑵假如)(xfy=

點0

x處延續(xù)，那么)(xfy=

在點0

x處可導(dǎo)，是不成立的.

例：||)(xxf=在點0

0=x處延續(xù)，但在點0

=x處不行導(dǎo)，由于x

xx

y??=??||，當x?＞

0時，

1=??x

y；當x

?＜0時，1-=??x

y，故x

yx??→?0

lim

不存在.

注：①可導(dǎo)的奇函數(shù)函數(shù)其導(dǎo)函數(shù)為偶函數(shù).②可導(dǎo)的偶函數(shù)函數(shù)其導(dǎo)函數(shù)為奇函數(shù).3.導(dǎo)數(shù)的幾何意義：函數(shù))(xfy=

在點0

x處的導(dǎo)數(shù)的幾何意義就是曲線)(xfy=

在點))

(,(0xfx處的切線

的斜率，也就是說，曲線)(xfy=在點

P))

(,

(0xfx處的切線的斜率是)(0'xf，切線

方程為).)((0'

xxxfyy-=-

4.求導(dǎo)數(shù)的四則運算法則：

'

'

'

)(vuvu±=±)

(...)()()(...)()('

'2'1'21xfxfxfyxfxfxfynn+++=?+++=?

'

'''''')()(cv

cvvccvuvvuuv=+=?+=（c為常數(shù)）

)

0(2

'

'

'

≠-=

??

???vv

uvvu

vu

注：①vu,必需是可導(dǎo)函數(shù).

②若兩個函數(shù)可導(dǎo)，則它們和、差、積、商必可導(dǎo)；若兩個函數(shù)均不行導(dǎo)，則它們的和、差、積、商不一定不行導(dǎo).例如：設(shè)x

xxf2sin2)(+

=，x

xxg2cos

)(-

=，則)(),(xgxf在0=x處均不行導(dǎo)，但它們

和

=+)()(xgxf

x

xcossin+在0=x處均可導(dǎo).

5.復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則：)

()())(('

'

'

xufxfx??=或x

u

x

u

y

y'

'

'?=

復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則可推廣到多個中間變量的情形.6.函數(shù)單調(diào)性：

⑴函數(shù)單調(diào)性的判定辦法：設(shè)函數(shù))(xfy=

在某個區(qū)間內(nèi)可導(dǎo)，假如)

('xf＞0，則

)(xfy=為增函數(shù)；假如)

('

xf＜0，則)(xfy=為減函數(shù).

⑵常數(shù)的判定辦法；假如函數(shù))(xfy=在區(qū)間I

內(nèi)恒有

)

('

xf=0，則)(xfy=為常數(shù).

注：①

)(xf是f（x）遞增的充分條件，但不是須要條件，如32xy=在),(+∞-∞上

并不是都有

)(xf，有一個點例外即x=0時f（x）=0，同樣0)(xf是f（x）

遞減的充分非須要條件.

②普通地，假如f（x）在某區(qū)間內(nèi)有限個點處為零，在其余各點均為正（或負），那么f（x）在該區(qū)間上照舊是單調(diào)增強（或單調(diào)削減）的.

7.極值的判別辦法：（極值是在0x附近全部的點，都有)

(xf＜

)(0xf，則)

(0xf是

函數(shù)

)(xf的極大值，微小值同理）當函數(shù))(xf在點0

x處延續(xù)時，

①假如在0x附近的左側(cè))

('

xf＞0，右側(cè))

('

xf＜0，那么)(0xf是極大值；②假如在0x附近的左側(cè)

)('xf＜0，右側(cè)

)

('

xf＞0，那么

)(0xf是微小值.

也就是說0x是極值點的充分條件是0x點兩側(cè)導(dǎo)數(shù)異號，而不是)('xf=0①

.此外，函數(shù)不行導(dǎo)的點也可能是函數(shù)的極值點②.固然，極值是一個局部概念，極值點的大小關(guān)系是不確定的，即有可能極大值比微小值?。ê瘮?shù)在某一點附近的點不同）.

注①：若點0x是可導(dǎo)函數(shù)

)

(xf的極值點，則

)

('

xf=0.但反過來不一定成立.對

于可導(dǎo)函數(shù)，其一點0x是極值點的須要條件是若函數(shù)在該點可導(dǎo)，則導(dǎo)數(shù)值為零.例如：函數(shù)3

)(x

xfy==

，0=x使

)

('

xf=0，但0=x不是極值點.

②例如：函數(shù)||)(xxfy==，在點0=x處不行導(dǎo)，但點0

=x是函數(shù)的微小值點.

8.極值與最值的區(qū)分：極值是在局部對函數(shù)值舉行比較，最值是在整體區(qū)間上對函數(shù)值舉行比較.

注：函數(shù)的極值點一定故意義.9.幾種常見的函數(shù)導(dǎo)數(shù)：I.0

'

=C（C為常數(shù)）xx

cos)(sin'

=2

'

11)(arcsinx

x-=

1

')(-=nn

nx

x（

R

n∈）xxsin)(cos'

-=

2