高中數(shù)學(xué)模塊復(fù)習(xí)課1推理與證明課件北師大版選修22

第1課時推理(tuīlǐ)與證明第一頁，共47頁。知識(zhīshi)網(wǎng)絡(luò)要點(yàodiǎn)梳理答案:①歸納推理②從特殊到特殊③從結(jié)論出發(fā)尋找結(jié)論成立的充分條件④反證法⑤與正整數(shù)n有關(guān)(yǒuguān)的命題第二頁，共47頁。知識(zhīshi)網(wǎng)絡(luò)要點(yàodiǎn)梳理1.歸納推理與數(shù)學(xué)歸納法.歸納推理是一種合情推理,但“合情”不一定“合理”,其正確性都有待于嚴(yán)格證明,盡管如此,由歸納推理建立的“猜想”在探究新知識方面有著(yǒuzhe)極其重要的作用.若是與自然數(shù)有關(guān)的“猜想”往往可以用數(shù)學(xué)歸納法來證明.2.直接證明與間接證明.綜合法和分析法是直接證明中的兩種最基本的證明方法,但兩種證明方法的思路截然相反,分析法既可用于尋找解題思路,也可以是完整的證明過程,分析法和綜合法可相互轉(zhuǎn)換,相互滲透,在解題中綜合法和分析法聯(lián)合運用,可轉(zhuǎn)換解題思路,增加解題途徑.反證法是一種間接證明的方法,它從命題結(jié)論的反面出發(fā)引出矛盾,從而肯定命題的結(jié)論.第三頁，共47頁。知識(zhīshi)網(wǎng)絡(luò)要點(yàodiǎn)梳理思考辨析判斷以下說法是否正確,正確的在后面(hòumian)的括號內(nèi)畫“√”,錯誤的畫“×”.(1)在歸納推理的過程中,前提真而結(jié)論假的情況有可能發(fā)生.()(2)合情推理包括歸納推理和類比推理.()(3)綜合法與分析法都是直接證明的方法.()(4)“正難則反”的思想與反證法原理相同.()√√√√第四頁，共47頁。專題(zhuāntí)歸納高考(ɡāokǎo)體驗專題(zhuāntí)一歸納推理與類比推理上不等式的規(guī)律,請寫出一個對正實數(shù)m,n都成立的條件不等式

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解析:觀察所給不等式可以發(fā)現(xiàn):不等號左邊兩個根式的被開方第五頁，共47頁。專題(zhuāntí)歸納高考(ɡāokǎo)體驗【例2】對于問題:“已知關(guān)于x的不等式ax2+bx+c>0的解集為(-1,2),解關(guān)于x的不等式ax2-bx+c>0”給出如下一種(yīzhǒnɡ)解法:解:由ax2+bx+c>0的解集為(-1,2),得a(-x)2+b(-x)+c>0的解集為(-2,1),即關(guān)于x的不等式ax2-bx+c>0的解集為(-2,1).答案:(-3,-1)∪(1,2)第六頁，共47頁。專題(zhuāntí)歸納高考(ɡāokǎo)體驗反思感悟歸納推理的一般步驟為首先通過觀察個別情況發(fā)現(xiàn)某些相同特征,然后從相同特征中推出一個明確表述的一般性結(jié)論.類比推理的一般步驟是先找出兩類事物之間的相似性或一致性,再用一類(yīlèi)事物的性質(zhì)去推測另一類(yīlèi)事物的性質(zhì),得到一個明確的命題.第七頁，共47頁。專題(zhuāntí)歸納高考(ɡāokǎo)體驗變式訓(xùn)練1觀察(guānchá)下列各式:a+b=1,a2+b2=3,a3+b3=4,a4+b4=7,a5+b5=11,…,則a10+b10=()A.28 B.76C.123 D.199解析:∵1+3=4,3+4=7,4+7=11,7+11=18,11+18=29,…,47+76=123,∴可得a10+b10=123.答案:C第八頁，共47頁。專題(zhuāntí)歸納高考(ɡāokǎo)體驗專題(zhuāntí)二綜合法和分析法第九頁，共47頁。專題(zhuāntí)歸納高考(ɡāokǎo)體驗【例4】已知x,y>0,x+y=1,試用(shìyòng)分析法證明log2(x2y2+1)-log2x-log2y≥log217-2.證明:∵x,y>0,∴欲證log2(x2y2+1)-log2x-log2y≥log217-2,∴①式成立,這就證明了log2(x2y2+1)-log2x-log2y≥log217-2成立.第十頁，共47頁。專題(zhuāntí)歸納高考(ɡāokǎo)體驗反思感悟綜合法與分析法是直接證明中最基本的兩種證明方法,是解決數(shù)學(xué)問題的常用方法,也是兩種思路相反的推理方法.分析法是執(zhí)果索因,而綜合法是由因?qū)Ч?兩者各有優(yōu)缺點.分析法容易(róngyì)探路,且探路與表述合一,缺點是表述易錯;綜合法條理清晰,易于表述,因而對于難題常把二者結(jié)合,互補優(yōu)缺,形成分析綜合法.第十一頁，共47頁。專題(zhuāntí)歸納高考(ɡāokǎo)體驗變式訓(xùn)練(xùnliàn)2設(shè)a>0,b>0,a+b=1,求證:≥8,試用分析法和綜合法分別證明.證明:(方法一:綜合法)∵a>0,b>0,a+b=1,第十二頁，共47頁。專題(zhuāntí)歸納高考(ɡāokǎo)體驗(方法(fāngfǎ)二:分析法)∵a>0,b>0,a+b=1,由基本不等式可知,當(dāng)a>0,b>0時,≥2成立,(當(dāng)且僅當(dāng)a=b時等號成立)所以原不等式成立.第十三頁，共47頁。專題(zhuāntí)歸納高考(ɡāokǎo)體驗專題三反證法【例5】如圖,已知兩直線l∩m=O,l?α,m?α,l?β,m?β,α∩β=a,求證:l與m中至少有一條與平面(píngmiàn)β相交.分析:結(jié)論中以“至少”形式出現(xiàn),直接證明較困難,可考慮用反證法.證明:假設(shè)l,m都不與平面β相交,∵它們都不在平面β內(nèi),∴l(xiāng)∥β,且m∥β.又l?α,m?α,α∩β=a,∴l(xiāng)∥a,m∥a.∴l(xiāng)∥m.這與已知l,m是相交直線矛盾,因此,l與m中至少有一條與平面β相交.第十四頁，共47頁。專題(zhuāntí)歸納高考(ɡāokǎo)體驗反思感悟反證法是高中數(shù)學(xué)的一種重要的證明方法(fāngfǎ),在不等式和立體幾何的證明中經(jīng)常用到,在高考題中也經(jīng)常出現(xiàn),它所反映出的“正難則反”的解決問題的思想方法(fāngfǎ)更為重要.反證法主要證明否定性、唯一性命題,至多、至少型問題,幾何問題.第十五頁，共47頁。專題(zhuāntí)歸納高考(ɡāokǎo)體驗證明(zhèngmíng):假設(shè)a,b,c都不小于零,則a+b+c≥0.=-[(x-2)2+(y-2)2+(z-2)2]-4π+12≥0.因為-[(x-2)2+(y-2)2+(z-2)2]≤0,所以-4π+12≥0,即4π≤12,這與基本事實4π>12矛盾.故a,b,c中至少有一個小于零.第十六頁，共47頁。專題(zhuāntí)歸納高考(ɡāokǎo)體驗專題(zhuāntí)四數(shù)學(xué)歸納法第十七頁，共47頁。專題(zhuāntí)歸納高考(ɡāokǎo)體驗反思感悟數(shù)學(xué)歸納法是一種直接證明的方法,主要用來證明與正整數(shù)n有關(guān)的命題.證明時先證n取第一個值n0時命題成立,然后假設(shè)n=k(k≥n0,k∈N+)時命題成立,證明n=k+1時命題也成立即可.用數(shù)學(xué)歸納法證明時,要注意幾個方面:(1)n的范圍以及遞推的起點;(2)從f(k+1)和f(k)的差異,尋找由k到k+1的遞推中,左邊(zuǒbian)要加(乘)上的式子;(3)在歸納遞推中,一定要運用歸納假設(shè);(4)注意“歸納—猜想—證明”的思維模式的應(yīng)用.第十八頁，共47頁。專題(zhuāntí)歸納高考(ɡāokǎo)體驗考點一:合情推理(tuīlǐ)1.(2017全國Ⅱ高考)甲、乙、丙、丁四位同學(xué)一起去向老師詢問成語競賽的成績.老師說:你們四人中有2位優(yōu)秀,2位良好,我現(xiàn)在給甲看乙、丙的成績,給乙看丙的成績,給丁看甲的成績,看后甲對大家說:我還是不知道我的成績.根據(jù)以上信息,則()A.乙可以知道四人的成績 B.丁可以知道四人的成績C.乙、丁可以知道對方的成績 D.乙、丁可以知道自己的成績解析:因為甲不知道自己的成績,所以乙、丙的成績是一位優(yōu)秀一位良好.又因為乙知道丙的成績,所以乙知道自己的成績.又因為乙、丙的成績是一位優(yōu)秀一位良好,所以甲、丁的成績也是一位優(yōu)秀一位良好.又因為丁知道甲的成績,所以丁也知道自己的成績,故選D.答案:D第十九頁，共47頁。專題(zhuāntí)歸納高考(ɡāokǎo)體驗2.(2016全國丙高考)定義“規(guī)范01數(shù)列(shùliè)”{an}如下:{an}共有2m項,其中m項為0,m項為1,且對任意k≤2m,a1,a2,…,ak中0的個數(shù)不少于1的個數(shù).若m=4,則不同的“規(guī)范01數(shù)列(shùliè)”共有()A.18個 B.16個 C.14個 D.12個第二十頁，共47頁。專題(zhuāntí)歸納高考(ɡāokǎo)體驗解析:由題意知a1=0,a8=1,則滿足題意的a1,a2,…,a8的可能(kěnéng)取值如下:綜上可知,不同的“規(guī)范01數(shù)列”共有14個.答案:C第二十一頁，共47頁。專題(zhuāntí)歸納高考(ɡāokǎo)體驗3.(2016全國甲高考(ɡāokǎo))如圖,小明從街道的E處出發(fā),先到F處與小紅會合,再一起到位于G處的老年公寓參加志愿者活動,則小明到老年公寓可以選擇的最短路徑條數(shù)為()A.24 B.18 C.12 D.9解析:由題意知,小明從街道的E處出發(fā)到F處的最短路徑有6條,再從F處到G處的最短路徑有3條,則小明到老年公寓可以選擇的最短路徑條數(shù)為6×3=18,故選B.答案:B第二十二頁，共47頁。專題(zhuāntí)歸納高考(ɡāokǎo)體驗4.(2016山東高考(ɡāokǎo))觀察下列等式:第二十三頁，共47頁。專題(zhuāntí)歸納高考(ɡāokǎo)體驗解析:由等式可知,等式右邊共三個數(shù)相乘,第一個數(shù)都是;而所給等式就是(jiùshì)第n個式子,顯然第2個數(shù)與該等式所在行數(shù)相同,故第2個數(shù)為n;第三個數(shù)比第2個數(shù)大1,所以第3個數(shù)為n+1.所以第n個式子等號右邊為n(n+1).第二十四頁，共47頁。專題(zhuāntí)歸納高考(ɡāokǎo)體驗5.(2016北京高考)袋中裝有偶數(shù)個球,其中紅球、黑球各占一半.甲、乙、丙是三個空盒.每次從袋中任意取出兩個球,將其中一個球放入甲盒,如果這個球是紅球,就將另一個球放入乙盒,否則就放入丙盒.重復(fù)上述過程,直到(zhídào)袋中所有球都被放入盒中,則()A.乙盒中黑球不多于丙盒中黑球B.乙盒中紅球與丙盒中黑球一樣多C.乙盒中紅球不多于丙盒中紅球D.乙盒中黑球與丙盒中紅球一樣多第二十五頁，共47頁。專題(zhuāntí)歸納高考(ɡāokǎo)體驗解析:若乙盒中放入的是紅球,則須保證抽到的兩個均是紅球;若乙盒中放入的是黑球,則須保證抽到的兩個球是一紅一黑,且紅球放入甲盒;若丙盒中放入的是紅球,則須保證抽到的兩個球是一紅一黑,且黑球放入甲盒;若丙盒中放入的是黑球,則須保證抽到的兩個球都是黑球;又由于袋中有偶數(shù)個球,且紅球、黑球各占一半,則每次從袋中任取兩個球,抽到兩個紅球的次數(shù)與抽到兩個黑球的次數(shù)一定是相等(xiāngděng)的,故乙盒中紅球與丙盒中黑球一樣多,選B.答案:B第二十六頁，共47頁。專題(zhuāntí)歸納高考(ɡāokǎo)體驗6.(2016全國甲高考)有三張(sānzhānɡ)卡片,分別寫有1和2,1和3,2和3.甲、乙、丙三人各取走一張卡片,甲看了乙的卡片后說:“我與乙的卡片上相同的數(shù)字不是2”,乙看了丙的卡片后說:“我與丙的卡片上相同的數(shù)字不是1”,丙說:“我的卡片上的數(shù)字之和不是5”,則甲的卡片上的數(shù)字是.

解析:由丙說的話可知,丙的卡片上的數(shù)字可能是“1和2”或“1和3”.若丙的卡片上的數(shù)字是“1和2”,則由乙說的話可知,乙的卡片上的數(shù)字是“2和3”,甲的卡片上的數(shù)字是“1和3”,此時與甲說的話一致;若丙的卡片上的數(shù)字是“1和3”,則由乙說的話可知,乙的卡片上的數(shù)字是“2和3”,甲的卡片上的數(shù)字是“1和2”,此時與甲說的話矛盾.綜上可知,甲的卡片上的數(shù)字是“1和3”.答案:1和3第二十七頁，共47頁。專題(zhuāntí)歸納高考(ɡāokǎo)體驗考點二:分析法、綜合法、反證法7.(2016北京高考)某學(xué)校運動會的立定跳遠(yuǎn)和30秒跳繩兩個單項比賽分成預(yù)賽和決賽兩個階段(jiēduàn).下表為10名學(xué)生的預(yù)賽成績,其中有三個數(shù)據(jù)模糊.第二十八頁，共47頁。專題(zhuāntí)歸納高考(ɡāokǎo)體驗在這10名學(xué)生中,進(jìn)入立定跳遠(yuǎn)決賽的有8人,同時進(jìn)入立定跳遠(yuǎn)決賽和30秒跳繩決賽的有6人,則()A.2號學(xué)生進(jìn)入30秒跳繩決賽B.5號學(xué)生進(jìn)入30秒跳繩決賽C.8號學(xué)生進(jìn)入30秒跳繩決賽D.9號學(xué)生進(jìn)入30秒跳繩決賽解析:將30秒跳繩成績確定的學(xué)生,按其成績從大到小,把他們的序號排列為3,6,7,10,1與5并列,4;由題意可知3,6,7號同時進(jìn)入立定跳遠(yuǎn)和30秒跳繩的決賽.假設(shè)5號學(xué)生沒有進(jìn)入30秒跳繩決賽,則1號和4號學(xué)生也沒有進(jìn)入30秒跳繩決賽.這與“同時進(jìn)入立定跳遠(yuǎn)決賽和30秒跳繩決賽的有6人”矛盾(máodùn).故5號學(xué)生進(jìn)入30秒跳繩決賽,故選B.答案:B第二十九頁，共47頁。專題(zhuāntí)歸納高考(ɡāokǎo)體驗8.(2015浙江高考(ɡāokǎo))設(shè)實數(shù)a,b,t滿足|a+1|=|sinb|=t.()A.若t確定,則b2唯一確定B.若t確定,則a2+2a唯一確定C.若t確定,則sin唯一確定D.若t確定,則a2+a唯一確定解析:當(dāng)t=0時,sin

b=0,b=kπ,k∈Z,所以b2不確定,故A錯;當(dāng)t=2時,|a+1|=2,解得a=1或a=-3,所以a2+a=2或a2+a=6,故D錯;因為|a+1|=t,所以a2+2a=t2-1;當(dāng)t確定時,t2-1唯一確定,即a2+2a唯一確定,故B正確.答案:B第三十頁，共47頁。專題(zhuāntí)歸納高考(ɡāokǎo)體驗9.(2015福建高考)一個二元碼是由0和1組成的數(shù)字串x1x2…xn(n∈N+),其中xk(k=1,2,…,n)稱為第k位碼元.二元碼是通信中常用的碼,但在通信過程中有時會發(fā)生(fāshēng)碼元錯誤(即碼元由0變?yōu)?,或者由1變?yōu)?).已知某種二元碼x1x2…x7的碼元滿足如下校驗方程為:00=0,01=1,10=1,11=0.現(xiàn)已知一個這種二元碼在通信過程中僅在第k位發(fā)生碼元錯誤后變成了1101101,那么利用上述校驗方程組可判定k等于

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第三十一頁，共47頁。專題(zhuāntí)歸納高考(ɡāokǎo)體驗解析(jiěxī):若1≤k≤3,則x4=1,x5=1,x6=0,x7=1,不滿足x4x5x6x7=0;若k=4,則二元碼為1100101,不滿足x1x3x5x7=0;若k=5,則二元碼為1101001,滿足方程組,故k=5.答案:5第三十二頁，共47頁。專題(zhuāntí)歸納高考(ɡāokǎo)體驗10.(2016天津高考)已知{an}是各項均為正數(shù)(zhèngshù)的等差數(shù)列,公差為d.對任意的n∈N+,bn是an和an+1的等比中項.第三十三頁，共47頁。專題(zhuāntí)歸納高考(ɡāokǎo)體驗考點三:數(shù)學(xué)(shùxué)歸納法11.(2015江蘇高考)已知集合X={1,2,3},Yn={1,2,3,…,n}(n∈N+),設(shè)Sn={(a,b)|a整除b或b整除a,a∈X,b∈Yn}.令f(n)表示集合Sn所含元素的個數(shù).(1)寫出f(6)的值;(2)當(dāng)n≥6時,寫出f(n)的表達(dá)式,并用數(shù)學(xué)(shùxué)歸納法證明.第三十四頁，共47頁。專題(zhuāntí)歸納高考(ɡāokǎo)體驗解:(1)f(6)=13.下面用數(shù)學(xué)(shùxué)歸納法證明:第三十五頁，共47頁。專題(zhuāntí)歸納高考(ɡāokǎo)體驗②假設(shè)n=k(k≥6)時結(jié)論成立,那么n=k+1時,Sk+1在Sk的基礎(chǔ)上新增加的元素在(1,k+1),(2,k+1),(3,k+1)中產(chǎn)生,分以下(yǐxià)情形討論:1)若k+1=6t,則k=6(t-1)+5,此時有第三十六頁，共47頁。專題(zhuāntí)歸納高考(ɡāokǎo)體驗第三十七頁，共47頁。專題(zhuāntí)歸納高考(ɡāokǎo)體驗第三十八頁，共47頁。專題(zhuāntí)歸納高考(ɡāokǎo)體驗12.(2015北京(běijīnɡ)高考)已知數(shù)列{an}滿足:a1∈N+,a1≤36,且(1)若a1=6,寫出集合M的所有元素;(2)若集合M存在一個元素是3的倍數(shù),證明:M的所有元素都是3的倍數(shù);(3)求集合M的元素個數(shù)的最大值.第三十九頁，共47頁。專題(zhuāntí)歸納高考(ɡāokǎo)體驗解:(1)6,12,24.(2)因為集合(jíhé)M存在一個元素是3的倍數(shù),所以不妨設(shè)ak是3的倍數(shù).如果k=1,則M的所有元素都是3的倍數(shù).如果k>1,因為ak=2ak-1或ak=2ak-1-36,所以2ak-1是3的倍數(shù),于是ak-1是3的倍數(shù).類似可得,ak-2,…,a1都是3的倍數(shù),從而對任意n≥1,an是3的倍數(shù),因此M的所有元素都是3的倍數(shù).綜上,若集合M存在一個元素是3的倍數(shù),則M的所有元素都是3的倍數(shù).第四十頁，共47頁。專題(zhuāntí)歸納高考(ɡāokǎo)體驗所以(suǒyǐ)a2是2的倍數(shù).從而當(dāng)n≥3時,an是4的倍數(shù).如果a1是3的倍數(shù),由(2)知對所有正整數(shù)n,an是3的倍數(shù).因此當(dāng)n≥3時,an∈{12,24,36}.這時M的元素個數(shù)不超過5.如果a1不是3的倍數(shù),由(2)知對所有正整數(shù)n,an不是3的倍數(shù).因此當(dāng)n≥3時,an∈{4,8,16,20,28,32}.這時M的元素個數(shù)不超過8.當(dāng)a1=1時,M={1,2,4,8,16,20,28,32}有8個元素.綜上可知,集合M的元素個數(shù)的最大值為8.第四十一頁，共47頁。專題(zhuāntí)歸納