2020-2021學年浙江省高一下學期期中聯考數學試題(解析版)

2020-2021學年浙江省A9協作體高一下學期期中聯考數學試

題

一、單選題

L設復數z=l+2i（i為虛數單位），則在復平面內z對應的點位于（）

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限

【答案】A

【分析】利用復數的幾何意義直接求解

【詳解】解：因為復數z=l+2i在復平面內對應的點為（1,2）,

所以復數在復平面內z對應的點位于第一象限，

故選：A

2.已知向量凡。不共線，若與Q+2B共線，則實數fc的值為（）

A.-1B.--C.1D.2

2

【答案】B

【分析】由于與￡+2/共線，所以由平面向量共線定理可得存在唯一實數入，使

ka-b=y.（a+2h）,從而可求出人的值

【詳解】解：因為如“與2+25共線，所以存在唯一實數九，使乙-方=入（“+2抗，

快=九,1

所以二,,解獻=九=-彳，

[2A,=-12

故選：B

3.已知正三角形ABC的邊長為2,那么AABC的直觀圖△4?。的面積為（）

A.直~B.走C.出D.巫

244

【答案】D

【分析】根據斜二測畫法求解.

【詳解】如圖⑴為小BC的實際圖形，圖（2）為.ABC的直觀圖.

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1y

由斜二測畫法得：AB=49=2,O'C'=-OC=曲,ZCOB=45，

22

作CQUOB,

則C7y=O'C'sin45=—,

4

所以S=A'BrxCD'=-x2x.

"XB'C2244

故選：D

4.在A43C中，a=2瓜b=6,A=j則此三角形（）

6

A.無解B.一解C.兩解D.解的個數不確

定

【答案】C

【分析】根據正弦定理，結合三角形中大邊對大角性質進行求解即可.

ab_2也_6_.0也

【詳解】由正弦定理可知：，

2

因為a<Z>,所以A<8,

又因為8e（0,兀），所以8=g,或8=今，因此此三角形有兩解，

故選：C

5.已知〃?，〃是兩條不同的直線，a,B是兩個不同的平面，則下列命題正確的是（）

A.若機〃a,〃//a,則切〃〃B.若?！?,加〃。，則加〃p

C.若aua,〃u（3,則加〃〃D.若,"_La,,"〃/i,a//0,則

【答案】D

【分析】題中〃］，〃是兩條不同的直線，直線的位置關系由平行、相交、異面，直線與

平面的位置關系由相交、平行、在平面內.兩條平行線中的一條垂直于一個平面，則另

一條也垂直于這個平面.

【詳解】A.直線m，”也可能相交或者異面；

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B.若加在平面P內則不成立；

C.直線m，”也可能異面；

D.因為,所以"_La,且&〃(3,故""L0.

故選：D

【點睛】要全面考慮直線間的位置關系，以及直線與平面的位置關系，可以借助桌面和

筆來進行分析.

?1一.

6.已知A、B、。三點共線，且對任一點C,^AD=-CA+XCB,則入等于()

A.-B.-C.--D.--

3333

【答案】C

【分析】設而=k福，可得=-CA),結合已知條件可得出關于大、入的方程

組，即可得解.

【詳解】設而=%而，則AD=kQB-CA),

/=九

又因為AZ)=!c4+大C3,所以，，1,解得力=」.

3~k=-3

I3

故選：C.

7.為了測量河對岸兩點C,￡＞間的距離，現在沿岸相距2km的兩點48處分別測得

N8AC=105°,/&4。=60。,/48。=45。,/48。=60。，則C,。間的距離為()

A.拒B.2C.4戊D.4

【答案】B

【分析】在A4JC和△45。中應用正弦定理求得8c與8。，然后在△BCD中應用余弦

定理求得CD.

',BCABBC2

1詳解】在JBC中，sin.c=sinZACS'n'nsinl05°-sin(180°-105o-450)'

BC=4sinlO5°=4sin75%

和△A3。中，ND4B=NO54=60。，△48。是等邊三角形，BD=AB=2,

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在△BCD中，ZDBC=\5°,

所以

CD2=BCi+BDi-2BC-BDcosZBDC

=16sin2750+4-2x4sin75°x4xcos150=16sin2750+4-2x4sin75°x2xsin750=4,

CD=2.

故選：B

【點睛】關鍵點點睛：本題考查解三角形的應用，解題關鍵是根據條件確定正弦定理或

者余弦定理計算，及計算的順序.本題如果在ZVIC。中應用余弦定理求co可能更方便

一些.

8.在棱長為2的正方體488-A8C。中，。為AO的中點，p為正方體內部及其表

1111

面上的一動點，且則滿足條件的所有點p構成的平面圖形的面積是（）

A.J

B.26C.4D.3事

2

【答案】D

【分析】證明出BD_L平面ABC,平面ACO,確定過點。的截面與正方體各棱的

I1I11

交點，可知截面圖形是邊長為四的正六邊形，進而可求得結果.

BD,如下圖所示:

因為四邊形48CD為正方形，則AC_L8Z),

「_L平面A3CQ,ACu平面45CZ),/.AC1DD

?it

vDDABD=D,平面80。，

ii

?/BDu平面3D。,BD1AC,同理可得8。1AB,

iiiii

8。_L平面ABC,同理可證3。J_平面ACO,

ii??ii

設過點。且垂直于B。的平面為平面a,則a與平面Me、平面AC?都平行，

111I

???a〃平面ACB,平面ABCOPI平面a=QN,平面48C￡)n平面ACS=4C,

1I

，0N〃AC,二。為4)的中點，則N為CO的中點，

同理可知，平面a分別與棱CC、BC、AB,AA交于中點，

I111I1

易知六邊形EFGMVQ為正六邊形，且其邊長為^AC=應，

因此，滿足條件的所有點P構成的平面圖形的面積是6x^x(匯)=3有.

故選：D.

【點睛】關鍵點點睛：本題考查正方體截面面積的計算，解題的關鍵在于利用正方體的

幾何性質，找出體對角線的垂面，進而確定截面與垂面平行，并以此作出截面.

二、多選題

9.已知復數z=l+2i,下列說法正確的是()

A.復數z的虛部是萬B.Izl=5

C.zi=-2+iD.復數z的共軌復數N=l-2i

【答案】CD

【分析腹數Z=a+〃的實部為a,虛部為6,模為上|=向右，共輾復數為2="加，

以及

zi=(a+bi)i=ai+bi2.

【詳解】復數z的虛部是2;

Iz1=>/5;

a=(l+2i)i=z+2i2=-2+i;

復數z的共輒復數T=l—2i.

故選：CD

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【點睛】對復數的相關基礎知識要熟練，特別是復數z=a+〃的虛部為b,而不是從.

10.某圓錐的底面半徑為3,母線長為4,則下列關于此圓錐的說法正確的是（）

A.圓錐的側面展開圖的圓心角為變

2

B.圓錐的體積為9折

C.過圓錐的兩條母線作截面的面積最大值為8

D.圓錐軸截面的面積為］"

【答案】AC

【分析】根據弧長公式、圓錐體積公式、三角形面積公式逐一判斷即可.

【詳解】因為圓錐的底面半徑為3,母線長為4,所以圓錐的高力=而二覆=".

A：因為圓錐的底面半徑為3,所以圓錐的底面周長為27t-3=6兀，又因為圓錐的母線長

為4,所以圓錐的側面展開圖的圓心角為如=如，因此本選項說法正確；

42

B：因為圓錐的體積為卜=；兀-32."=3折，所以本選項說法不正確；

C：設圓錐的兩條母線的夾角為。，過這兩條母線作截面的面積為:N/.sineMgsine,

IT

當。=5時，面積有最大值，最大值為8,所以本選項說法正確；

D：因為圓錐軸截面的面積為gx6xa=3S\所以本選項說法不正確，

故選：AC

11.如圖，設E、F分別是正方體ABCO-ARq?的棱。C上兩點，且48=3,EF=2,

下列說法正確的是（）

A.異面直線。R與a所成的角為45。

B.三棱錐口-8產尸的體積為3

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C.平面8EF與平面ABCD所成的二面角大小為60°

11111

D.直線。R與平面8尸F所成的角為30°

【答案】ABD

【分析】根據異面直線所成的角、棱錐的體積、二面角、直線與平面所成的角分別對各

選項進行判斷.

【詳解】A中由于，因此異面直線與E尸所成的角就是。8與CO的夾

I1I1IIII

角，為45°,A正確；

B中，三棱錐。-8E尸的體積V=V=-SBC=1X1X2X3X3=3,BIE

1ID^-B^EFB「D]EF3REF1132

確；

C中，平面8EF即為平面ABC。，NDAD為平面48C。與平面ABC。所成的二面

I11II111111

角的平面角，ZD40=45°,C錯誤；

D中，連接A。交A。于M,連接由正方體性質知A8LA。，ADLAD,而

1II11111

AB^}AD=A,因此A。_L平面A8C￡）,因此ZD8M是直線B￡＞與平面48CD所成

1111111I1I111

的角，在直角三角形MB。中，DM=\DB,所以NC8M=30。，D正確.

故選：ABD.

【點睛】思路點睛：求空間的角：異面直線所成的角，直線與平面所成的角，二面角,

解題時可根據定義作出空間角的“平面角”，然后計算.

12.在AABC中，。是邊BC中點，下列說法正確的是（）

A.AB+AC-2AD=Q

什ABACy/3AD

-—I—?=―.—則8萬是瓦i在8d上的投影向量

\AB\\AC\IADI

C.若點P是AABC的外心，AC=5,且A戶.8。=8，則AB=3

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D.若點。是線段A￡＞上的動點，且滿足8。=入8/(+|18。，則小的最大值為了

一4

【答案】ABC

【分析】A：根據平面向量的加法的幾何意義進行判斷即可；

B：根據平面向量的加法的幾何意義，結合投影向量的定義進行判斷即可；

C：根據三角形外心的性質，結合平面向量的加法幾何意義和數量積的運算性質進行判

斷即可；

D：根據三點共線的平面向量的性質，結合基本不等式進行判斷即可.

【詳解】A：因為。是邊BC中點，所以4力=3(AB+A3),即A月+AC-2AZ5=6，因

此本選項說法正確；

ARACAD

B：因為??A.??A.?分別表示AByACyAD方向上的單位向量,

ARAC

由平面向量加法的幾何意義可知：俞+南表示/8AC的平分線表示的向量,

所以由"+王=立絲可得：AO是NBAC的平分線，而。是邊BC中點,

IA8I\AC\\AD\

BD._

所以有AD18C,在Bd上的投影為：|8川＜0$8=,山-=\BD，所以80是畫在

BAI

前上的投影向量，因此本選項說法正確；

C：因為點P是AABC的外心，。是邊8c中點，所以。PJ.8C,即9.前=0,

Q?覺=8=須+硒屈=8n而?前+而?阮=8=而屈=8,

=＞-(AB+AC)-(AC-/1/?)=8=＞AC2-AB2=16,因為AC=5,所以

2

而2=9=48=3，因此本選項的說法正確；

D：因為。是邊8c中點，所以由初二入班+日而，可得：

BQ=XBA+[xBC=\BA+2[iBD,因為點。是線段AO上的動點，所以Q、4、。三點共

線，因此可得：九+2日=1,要想卻有最大值，則一定有九＞0,口＞0,

l

XM=l.X.(2g)＜l-(^-^-)2=lx(l)2=l,當且僅當大=2日時取等號，即九=：人=!

22222824

時取等號，因此本選項說法不正確，

故選：ABC

【點睛】關鍵點睛：運用平面向量加法的幾何意義、數量積的運算性質、三點共線的向

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量性質是解題的關鍵

三、填空題

13.設向量&=(x⑵,6=(-3,6),若GJ_B，則彳=.

【答案】4

【分析】由向量垂直的坐標表示求解.

【詳解】因為。J.E，所以a-B=-3x+12=0,x=4.

故答案為：4.

14.已知向量2石夾角為30。,1力="底1=1,則向量Z在向量至上的投影向量為.

3-

【答案】b

2

【分析】根據投影向量的定義進行求解即可.

【詳解】因為向量Z石夾角為30。,1自=6,31=1,

所以向量Z在向量B上的投影向量為歸空.6=史二4=2/；,

12

3-

故答案為：3b

2

15.在AA8C中，邊b,c所對的角分別為A,B,C,^ci=a2+b2-yjiab,sinA=2cosB,

則A=.

兀

【答案】-

7T

【分析】根據已知，由余弦定理求出COSC,從而求出角C=/，在AABC中，可得

BA,進而利用兩角差的余弦公式化簡sinA=2cosB即可求解.

6

【詳解】解:,「C2=。2+。2-出ab，

-Q2+/?2-C2yJ3ab6

cosC===，

2ablab2

?.?0<C<兀，

.\C=-,

6

5兀

又A+B+C=TI,所以B=——A,

6

?.?sinA=2cosB,

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名竺把

，sinA=2cosB=2cos—42|coscosA+sinsinA

666

pcosA+lsinA

=2=sinA一避cosA,

22)

/.cosA=0,

'10<4<汽,

兀

，A=一

2

兀

故答案為:

16.如圖,三棱錐P-ABC中，〃是尸。的中點，￡是4〃的中點，點廠在線段尸3上,

滿足臣〃平面A3C,^BF'.FP=

【答案】1:3

【分析】取的中點N,連接EN,EF,FN,得到松〃8C,再根據比例關系可得.

【詳解】取MC的中點N,連接EN,EF,FN,

可知EN〃AC,又EF〃平面A8C,

從而可得平面ENFII平面ABC,

又平面E/V/C平面P8C=/W,平面48Cn平面P8C=3C,

所以NF〃8C,又M為尸C的為中點，N為MC的為中點,

所以BF:FP=CN:NP=1:3.

故答案為：1：3.

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17.已知工為單位向量，平面向量￡/滿足P-4=即4=1,則a%的最小值為.

【答案】

2

【分析】取單位向量&=0C，以點C為圓心，1為半徑作圓，在圓周上任取兩點A、B，

令4=況，b=OB，由此表示單位向量，"l=x,計算的取值范圍.

【詳解】解：取單位向量Z=oc，以點C為圓心，1為半徑作圓，在圓周上任取兩點A、

B，

令3=況，b=OB^如圖所示；設I4l=x,則xe[O,2J；

作圓C的垂直于OA的切線分別交直線OA于B,兩點,

易得a*h<OA*OB=x(l+—)==+x,XG[O,2]；

'22

所以0?AV4,當且僅當X=2時等號成立；

T..VI

>OA*OB=-x(l--)=—x(2-x)=-x2-x,

2222

當且僅當x=l時等號成立，即

綜上知，的取值范圍是I，,4].

2

故答案為：-

2

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B

四、雙空題

18.現有條件:

①cos(A+C)cosA+sin(A+C)sinA=',

?sinC+sinBa

②=,

sinA-sinBc-b

③SGG”+Q2-a)

AA5c4

從中任選一個，補充到下面橫線上，并解答.

在銳角AABC中，角48,C的對邊分別為。也c,a=4,且,則人的取值范圍為

【答案】①②③中任選一個均可；（2,8）

【分析】若選①，先逆用兩角差的余弦公式，求出角C,然后再根據正弦定理可得

6=24+2,由A43C為銳角三角形，求出角A的范圍即可求解；

tanA

若選②，先用正弦定理角化邊，再用余弦定理求出角。，后面解答同選①；

若選③，先利用面積公式及余弦定理求出角C后面解答同選①.

【詳解】解：在銳角△他C中，

若選①，貝cos(/4+C)cos4+sin(A+C)sinA=；，

/.cos[(A+C)-A]=COSC=—,

2

兀

vO<C<-,

2

兀，2兀

C=—,A+8=—,

33

又〃=4,

-r*34--rm/n4sin(-A]4——cosA+—sinA_

所以由正弦定理得asinB(3JI22J273

b=---=-------=----------=--

sinAsinAsinAtanA

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hABC為銳角三角形,

兀

0<A<「_

2,解得所以tanA>所以0<―，

八D2兀A兀633tanA

0<B=--A<—J

32

所以2<m生+2<8,即。的取值范圍為（2,8）；

tanA

sinC+sinB

若選②,

sinA-sinB

，由正弦定理有學=/7,^a2+b2-C2=ab，

a-bc-b

由余弦定理得cose」4/ab_1

2ab~2

兀

vO<C<-

2

7T

??.C=§,后面解答過程同①；

若選③，...S="2+a2~c2\又S'=^absinC,

,ABC4ABC2

即sinC=""—)gsC，

?有Q+。2-C2

—ahsinC=--------

24lab

tanC=出，

Tt

vO<C<-,

2

TT

...C=§,后面解答過程同①.

故答案為：①②③中任選一個均可；（2,8）.

【點睛】關鍵點點睛：本題的解題關鍵是先根據已知條件求出角C，然后利用正弦定理

及角的變換求得b=26+2,再根據AMC為銳角三角形，求出角A的范圍.

tanA

五、解答題

19.如圖，在三棱錐P-ABC中，PA=PB,￡>,E分別為AB,HC的中點，乙鉆。=90°求

證：

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(1)￡>E〃平面P8C；

(2)ABLPE.

【答案】(1)證明見解析；(2)證明見解析

【分析】(1)由三角形中位線定理可得OE〃BC,再利用線面平行的判定定理可證得

結論；

(2)由于DE〃8C,ZABC=90°,可得OEIAB，而21=PB,。為A8的中點，可

得ABLPD,則由線面垂直的判定定理可得平面PDE,進而可證得結論

【詳解】證明：(1)因為RE分別為A8,AC的中點，

所以OE//BC,

因為。E(Z平面P8C,8Cu平面P8C,

所以￡>E〃平面PBC；

(2)因為NA5C=90°,所以A5LBC,

因為DE//BC,

所以￡>E_LAfi，

因為R4=P8,。為A3的中點，

所以AB_LP￡),

因為尸。0。舊=。，

所以A8_L平面PZ)E,

因為PEu平面PDE,

所以AB工PE

20.已知向量1?1=2,h=-g,弓］.

(1)若(，一母*=0,求向量4與B的夾角；

(2)在矩形ABC￡>中，設荏=4亞=瓦E為CD的中點，戶為BC的中點，求A引力升

的值.

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【答案】（1）y兀;（2）|5

【分析】（1）首先求出向量的數量積，再由cos（",八=5總即可求解.

IIII

（2）利用向量的加法、數乘運算以及向量的數量積即可求解.

【詳解】⑴由坂=w,則口=.1=1,

（a-b）b=0,則￡$="=［,

八八ah1

所以3（叫=西=小

因為向量4與B的夾角在［。,兀］上，則兀

3

1T

即向量a與B的夾角為三.

(2)(AZ)+DE)(A8+g0

~AE~AF=GB+BF)=AD+-DC

2

=ADAB+-ADBC+-DCAB+-DCBC

224

1--1--

=_ADBC+—DCAB

22

="+二2=之

222

21如圖，正方體.。一々空^的棱長為2.

（1）求異面直線8C與AC所成角的大小；

1

（2）求直線B。與平面A8c所成角的正切值.

111

【答案】（1）y.（2）/

【分析】（1）連接4C,則由正方體的性可得AC〃AC,所以4cB為異面直線BC

11111I1

與AC所成的角，然后在△4CB中求解即可；

11

第15頁共19頁

(2)連接8。，80交AC于0,連接B。，則可得ND8E為直線BO與平面A8C所

1111III

成的角，然后利用已知的數據和正方體的性質可求得結果

【詳解】解：(1)連接4C,AB,

II1

因為多面體ABC。-4BC。為正方體，所以4C〃AC,

Illi11

所以乙產產為異面直線BC、與AC所成的角，

因為4B=BC=AC,所以aACB為正三角形，

I11111

jr

所以Z.ACB=--

-3f

所以異面直線8Q與4c所成角的大小為

(2)連接8。,80交AC于。，連接勺。，交于E,

因為88J.平面AB。，ACu平面ABC。，

1

所以B8LAC,

1

因為ACL8D,BBCBD=B,

1

所以ACJ■平面BBDD,

I1

因為BOu平面防DD,所以AC18。，

1I11

同理可得ABLBD,

ii

因為4CcA3=A,所以BOL平面ABC,

iii

所以NOBE為直線BD與平面48c所成的角，

III1I

因為正方體A8CD-A8C。的棱長為2,

llll

所以BD=DB=2&,所以8。=18。=應，

?12

所以qo=J(")2+22=#,BD、=2后,

所以BE=Z娓,DE=^x2車=^~,

?3?33

46

npo—

所以tanZ.DBE=—i—=-=v2,

「B、E|V6

所以直線8R與平面ABC所成角的正切值為x/2

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【點睛】關鍵點點睛：此題考查異面直線所成的角的求法，考查線面角的求法，第（2）

問解題的關鍵是通過線面角的定義找出直線與平面所成的角，考查計算能力，屬于中檔

題

22.隨著二胎開放，兒童數量漸增，某市決定充分利用城市空間修建口袋兒童樂園，如

圖所示：在直徑為20m的半圓。空地上，設置扇形區(qū)域作為大人體息區(qū)，規(guī)劃兩

個三角形區(qū)域做成小噴泉區(qū)屋。山區(qū)域）和沙坑滑梯區(qū)建ABC區(qū)域），其中A為直

徑延長線上一點，且ft4=20m,B為半圓周上一動點，以AB為邊作等邊AABC.

（1）若等邊△ABC的邊長為。，ZAMfi=0,試寫出。關于。的函數關系式；

（2）問ZAW8為多少時，兒童游玩區(qū)0AC8的面積最大？這個最大面積為多少？

【答案】⑴a=l（）j5-4cos20,其中（2）當NAMB=若■，兒童游玩區(qū)OACB

的面積最大，最大值為QoO+125有）儂.

【分析】（1）分析可得NAO3=20,利用余弦定理可得出a關于。的函數關系式；

（2）求得四邊形OACB的面積關于。的關系式，利用正弦型函數的有界性結合。

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可求出四邊形04cB的最大值.

【詳解】（1）=0,/.ZAOB=20,

在AAOB中，AB=a,0A=20,08=10,44。6=20,

由余弦定理可Wai=OA2+OBz-2OA-OBcosZAOB=500-400cos20,

所以，a=1O>/5-4cos20,其中?！叮?。，萬）；

（2）S=lxlOx2Osin20=100sin29,s=立A8?=25#（5-4cos2。）,

△AOB2AABC4

所以，

S=S+S=100si