初等數(shù)論教學(xué)大綱（定稿）

初等數(shù)論教學(xué)大綱（ElementaryNumberTheory）（供4年制計(jì)算機(jī)科學(xué)與技術(shù)專業(yè)使用）一、課程目標(biāo)1、課程的性質(zhì)和目的課程性質(zhì)：數(shù)論是一個(gè)具有幾千年歷史的經(jīng)典學(xué)科，又由于數(shù)論已成為密碼學(xué)的基礎(chǔ)這一理由，它也是很現(xiàn)代的學(xué)科，它還是最富含人類智慧的一個(gè)數(shù)學(xué)分支。數(shù)論廣泛應(yīng)用于經(jīng)典密碼、分組密碼、公鑰密碼系統(tǒng)和密碼協(xié)議等領(lǐng)域，也在計(jì)算機(jī)科學(xué)方面有著極多應(yīng)用，如整數(shù)的快速乘法、偽隨機(jī)數(shù)等。初等數(shù)論是數(shù)論的一部分，它不依賴于諸如復(fù)變函數(shù)、抽象代數(shù)等高等數(shù)學(xué)工具，其核心內(nèi)容是整數(shù)的整除性、素?cái)?shù)、最大公因數(shù)、同余、同余方程費(fèi)馬小定理等。數(shù)論實(shí)際上也是一門科研方法論，是計(jì)算機(jī)類專業(yè)學(xué)生及科研工作中不可缺少的。《初等數(shù)論》課程教學(xué)時(shí)數(shù)按54學(xué)時(shí)設(shè)計(jì)，在具體實(shí)施教學(xué)時(shí)，可根據(jù)教學(xué)的實(shí)際情況、需求、安排加以適當(dāng)調(diào)整?！冻醯葦?shù)論》課程以課堂講授為主，在實(shí)施時(shí)，可依據(jù)本單位教學(xué)實(shí)際情況，借助諸如討論、圖表、多媒體等輔助手段，以增強(qiáng)學(xué)生對(duì)心理統(tǒng)計(jì)學(xué)基本知識(shí)、基本技能的理解、掌握和應(yīng)用。在講授時(shí)，要注重每一教學(xué)內(nèi)容在課程中的地位及其與相關(guān)內(nèi)容之間的有機(jī)聯(lián)系，突出重點(diǎn)，講清難點(diǎn)，適當(dāng)介紹國(guó)內(nèi)外有關(guān)本學(xué)科的最新研究成果。對(duì)要求“掌握”的內(nèi)容，要進(jìn)行深入的剖析和講解，使學(xué)生徹底明了；要求“熟悉”的內(nèi)容，要予以提綱挈領(lǐng)地講解，使之條理分明，使學(xué)生對(duì)此內(nèi)容完全領(lǐng)會(huì)，明白道理及其梗概；要求“了解”的內(nèi)容，要講清概念及相關(guān)內(nèi)容，使學(xué)生有粗淺的印象，并在今后學(xué)習(xí)中接觸到這些內(nèi)容時(shí)無(wú)陌生感。本課程在計(jì)算機(jī)科學(xué)與技術(shù)專業(yè)課程體系中處于專業(yè)基礎(chǔ)課的位置。目的：《初等數(shù)論》課程屬于計(jì)算機(jī)科學(xué)與技術(shù)專業(yè)的專業(yè)基礎(chǔ)課。通過本課程的學(xué)習(xí)，學(xué)生能夠掌握本課程中有關(guān)的基礎(chǔ)概念、基本理論、基本知識(shí)、基本技能，以及初等數(shù)論最基本的思維方法，為繼續(xù)學(xué)習(xí)《密碼學(xué)》等相關(guān)課程，進(jìn)一步開展數(shù)論學(xué)科科學(xué)研究，進(jìn)一步開展數(shù)論在計(jì)算機(jī)科學(xué)、通信工程、離散控制系統(tǒng)和代數(shù)編碼等領(lǐng)域的實(shí)際應(yīng)用研究，奠定較扎實(shí)的基礎(chǔ)。2、本課程與其它課程的聯(lián)系初等數(shù)論廣泛應(yīng)用于計(jì)算機(jī)科學(xué)、通信工程、密碼學(xué)等領(lǐng)域，是計(jì)算機(jī)科學(xué)與技術(shù)專業(yè)所開設(shè)課程《密碼學(xué)》的先修課程，。二、課程學(xué)時(shí)分配總學(xué)時(shí)54學(xué)時(shí)。根據(jù)課程的特點(diǎn)，安排理論課時(shí)54學(xué)時(shí)，習(xí)題課及課堂討論結(jié)合于理論教學(xué)中。課程主要內(nèi)容和學(xué)時(shí)分配見課程學(xué)時(shí)分配表。課程學(xué)時(shí)分配表課程內(nèi)容時(shí)數(shù)概述1第一章整除理論17第二章同余9第三章不定方程7第四章同余方程10第五章二次同余方程7第六章原根和指數(shù)3合計(jì)54三、建議教材和教學(xué)參考書目1．教材王丹華楊海文劉詠梅.初等數(shù)論.第一版.北京：北京航空航天大學(xué)出版社，20082．主要參考書（1）胡典順徐漢文.初等數(shù)論.第一版.北京：科學(xué)出版社，2010（2）潘承洞潘承彪.初等數(shù)論.第一版.北京：北京大學(xué)出版社，2004（3）阿爾伯特.H.貝勒.數(shù)論妙趣.談祥柏譯.上海：上海教育出版社，2000（4）肯尼斯.H.羅森.初等數(shù)論及其應(yīng)用.夏鴻剛譯.北京：機(jī)械工業(yè)出版社，2009四、課程考核本課程為考查課，考核方式采用平時(shí)課堂小測(cè)驗(yàn)和課程結(jié)束總練習(xí)結(jié)合。五、課程教學(xué)內(nèi)容及基本要求《初等數(shù)論》課程屬于計(jì)算機(jī)科學(xué)與技術(shù)專業(yè)的專業(yè)基礎(chǔ)課。通過本課程的學(xué)習(xí)，學(xué)生能夠掌握本課程中有關(guān)的基礎(chǔ)概念、基本理論、基本知識(shí)、基本技能，以及初等數(shù)論最基本的思維方法，為繼續(xù)學(xué)習(xí)《密碼學(xué)》等相關(guān)課程，進(jìn)一步開展數(shù)論學(xué)科科學(xué)研究，進(jìn)一步開展數(shù)論在計(jì)算機(jī)科學(xué)、通信工程、離散控制系統(tǒng)和代數(shù)編碼等領(lǐng)域的實(shí)際應(yīng)用研究，奠定較扎實(shí)的基礎(chǔ)。概述【目的要求】了解數(shù)論的起源初等數(shù)論研究的基本內(nèi)容【教學(xué)內(nèi)容】一、數(shù)論的起源及簡(jiǎn)介二、數(shù)論的分類三、初等數(shù)論研究的內(nèi)容四、對(duì)初等數(shù)論的認(rèn)識(shí)【教學(xué)方法和時(shí)數(shù)】課堂講授1學(xué)時(shí)第一章整除理論【目的要求】掌握數(shù)的整除性、帶余除法、最大公因數(shù)及最小公倍數(shù)的性質(zhì)、輾轉(zhuǎn)相除法的應(yīng)用、算術(shù)基本定理、n！的標(biāo)準(zhǔn)分解式。熟悉整除的概念、帶余除法的重要性、最大公因數(shù)及最小公倍數(shù)的概念和特點(diǎn)、素?cái)?shù)的特性、費(fèi)馬數(shù)與梅森數(shù)、[x]{x}概念。了解數(shù)論的起源、良序公理、尋找素?cái)?shù)的篩選法、素?cái)?shù)的幾個(gè)猜想、[x]{x}的基本性質(zhì)?！窘虒W(xué)內(nèi)容】第一節(jié)數(shù)的整除性整數(shù)的相關(guān)概念數(shù)的整除性，實(shí)例第二節(jié)帶余除法帶余除法，實(shí)例帶余除法的重要性第三節(jié)最大公因數(shù)最大公因數(shù)概念最大公因數(shù)的特點(diǎn)及性質(zhì)應(yīng)用及實(shí)例第四節(jié)最小公倍數(shù)最小公倍數(shù)概念最小公倍數(shù)性質(zhì)最大公因數(shù)與最小公倍數(shù)關(guān)系第五節(jié)輾轉(zhuǎn)相除法實(shí)例引入輾轉(zhuǎn)相除法應(yīng)用及實(shí)例第六節(jié)素?cái)?shù)與合數(shù)素?cái)?shù)的概念素?cái)?shù)的特性尋找素?cái)?shù)的篩選法費(fèi)馬數(shù)、梅森數(shù)關(guān)于素?cái)?shù)的幾個(gè)猜想第七節(jié)算術(shù)基本定理算術(shù)基本定理標(biāo)準(zhǔn)分解式的作用第八節(jié)函數(shù)[x]{x}及n！的標(biāo)準(zhǔn)分解式相關(guān)概念函數(shù)[x]{x}的基本性質(zhì)n！的標(biāo)準(zhǔn)分解式【教學(xué)方法和時(shí)數(shù)】課堂講授17學(xué)時(shí)第二章同余【目的要求】掌握同余概念、性質(zhì)及運(yùn)算、完全剩余系級(jí)特點(diǎn)、歐拉函數(shù)的運(yùn)算。熟悉應(yīng)用同余進(jìn)行整除性檢驗(yàn)、完全剩余系的性質(zhì)、威爾遜定理、簡(jiǎn)化剩余系、歐拉定理與費(fèi)馬小定理。了解棄九法、簡(jiǎn)化剩余系的判別、歐拉定理與費(fèi)馬小定理的簡(jiǎn)單應(yīng)用。【教學(xué)內(nèi)容】第一節(jié)同余本概念基及性質(zhì)同余的概念同余的基本性質(zhì)及運(yùn)算同余運(yùn)算中的“除法”同余在算術(shù)中的幾個(gè)應(yīng)用（整除性檢驗(yàn)、棄九法等）第二節(jié)完全剩余系完全剩余系的概念性質(zhì)、特點(diǎn)及判別方法威爾遜定理、實(shí)例第三節(jié)簡(jiǎn)化剩余系簡(jiǎn)化剩余系的概念歐拉函數(shù)的運(yùn)算、實(shí)例簡(jiǎn)化剩余系的判別第四節(jié)歐拉定理及費(fèi)馬小定理歐拉定理費(fèi)馬小定理應(yīng)用及實(shí)例【教學(xué)方法和時(shí)數(shù)】課堂講授9學(xué)時(shí)第三章不定方程【目的要求】掌握二元一次不定方程有解時(shí)通解公式、應(yīng)用輾轉(zhuǎn)相除法求解二元一次不定方程整數(shù)解。熟悉不定方程的概念及有整數(shù)解的判斷、三元一次不定方程求整數(shù)解的具體方法、勾股數(shù)及本原解的概念。了解作圖法求二元一次不定方程整數(shù)解、n元一次不定方程的概念、勾股數(shù)中本原解的求法?！窘虒W(xué)內(nèi)容】第一節(jié)二元一次不定方程概念及不定方程有解的條件二元一次不定方程通解公式應(yīng)用輾轉(zhuǎn)相除法求解二元一次不定方程整數(shù)解二元一次不定方程非負(fù)解求法第二節(jié)n元一次不定方程n元一次不定方程的概念三元一次不定方程求整數(shù)解的具體方法第三節(jié)費(fèi)馬方程中的勾股數(shù)勾股數(shù)及本原解的概念勾股數(shù)中本原解的求法兩個(gè)結(jié)論、實(shí)例【教學(xué)方法和時(shí)數(shù)】課堂講授7學(xué)時(shí)第四章同余方程【目的要求】掌握一次同余方程的幾種常用解法、中國(guó)剩余定理及應(yīng)用。熟悉一次同余方程的概念、同余方程組相關(guān)概念、科特.亨澤爾定理、素?cái)?shù)冪模多項(xiàng)式同余方程解法。了解n次同余方程的相關(guān)概念及特性、多項(xiàng)式同余方程的求解、多項(xiàng)式關(guān)于素?cái)?shù)冪模同余方程相關(guān)概念及特性?！窘虒W(xué)內(nèi)容】第一節(jié)一次同余方程同余方程的相關(guān)概念一次同余方程解的個(gè)數(shù)判別一次同余方程的幾種常用解法、實(shí)例第二節(jié)一次同余方程組同余方程組相關(guān)概念中國(guó)剩余定理及應(yīng)用、實(shí)例多項(xiàng)式同余方程的求解第三節(jié)素?cái)?shù)冪模的同余方程多項(xiàng)式關(guān)于素?cái)?shù)冪模同余方程相關(guān)概念及特性科特.亨澤爾定理素?cái)?shù)冪模多項(xiàng)式同余方程解法、實(shí)例【教學(xué)方法和時(shí)數(shù)】課堂講授10學(xué)時(shí)第五章二次同余方程【目的要求】掌握p值較小時(shí)模p的二次剩余求法、應(yīng)用二次互反律計(jì)算勒讓德符號(hào)。熟悉二次剩余概念及特性、歐拉判別法、勒讓德符號(hào)及基本性質(zhì)高斯二次互反律。了解一般二次同余式概念、判定數(shù)n是否為p的二次剩余的準(zhǔn)則?！窘虒W(xué)內(nèi)容】第一節(jié)二次剩余一般二次同余式概念二次剩余概念及特性歐拉判別法p值較小時(shí)模p的二次剩余求法第二節(jié)勒讓德符號(hào)勒讓德符號(hào)的概念、作用勒讓德符號(hào)的性質(zhì)及初步運(yùn)算第三節(jié)高斯二次互反律高斯引理及勒讓德符號(hào)的運(yùn)算高斯二次互反律及應(yīng)