磁流體力學課件

第4章磁流體力學磁流體力學——研究導電流體在電磁場中運動規(guī)律的一種宏觀理論。因為等離子體可以看成導電流體，其運動通常又和電磁場結合在一起，而等離子體的某些現象或行為只與它的宏觀平均性質有關，因此可以近似地用磁流體力學來描寫。磁流體力學是把流體力學與電動力學結合起來描述導電流體在電磁場中運動的一種理論，它的基本方程式包括電動力學方程組和流體力學方程組。等離子體的流體力學描述

及磁流體力學方程組

等離子體的流體力學描述，通常是用體系的狀態(tài)量：流體元的質量密度或數密度速度能量密度或溫度等，這些狀態(tài)量都是時間t和t時刻流體元空間位置r的函數。要研究這些狀態(tài)量的時間演化規(guī)律，需要建立流體力學方程組。流體力學方程組可以從體系的動理學方程的矩方程得到；從物理上比較直觀的、唯象的方法導出。現在應用前一種方法推導磁流體力學方程組。4.1速度矩及矩方程

1.速度矩建立宏觀與微觀的聯系等離子體中包含有一種以上正電荷離子和電子，設α類粒子的分布函數為它滿足動理學方程

右邊項簡化為，表示各類粒子間碰撞引起的分布函數變化。（1）速度矩定義：

設，則速度矩定義為

其中為粒子數密度，符號<>表示對速度分布求平均。（2）零階、一階、二階和三階矩

（i）零階矩

質量密度或體密度

（ii）一階矩流體平均速度定義：表明w是無規(guī)熱運動速度。（iii）二階矩

2階張量，9個分量

式中熱壓強張量對角項非對角項是對稱的，只有3個獨立分量：如果體系處于局域熱平衡狀態(tài)，其分布函數為局域性麥克斯韋分布

用局域性麥克斯韋分布得的對角項就是熱壓強。粒子系的總動能密度

第一項為單位體積流體平均運動動能，第二項為熱運動動能。定義：為對稱張量，只有6個非對角項，3個分量是獨立的，其意義為粘滯應力張量。（iv）三階矩

有27個分量，但有明確物理意義的只有其中3個分量：定義：各項意義：右①為流體宏觀流動帶走的總動能；②為流體宏觀流動時壓強張量做的功率，當u=0時，這兩項都為0；③稱熱流矢量，即使u=0，也存在，它是由碰撞產生的熱量從高溫流體元到低溫流體元的流動。2.速度矩方程在動理學方程中的各項乘以，并對積分，即可得到一般的速度矩方程。第三項粒子受的力

上式分部積分的第一項為0，這是因為邊界條件：對洛侖茲力項也可用分部積分方法計算，除邊界條件外，還有最后的一般速度矩方程：

4.2等離子體的雙流體力學方程

一般的矩方程中，物理上有意義的只有零階、一階、二階三種矩，它們是與質量、動量、能量守恒相聯系的。對普通流體，這三種矩方程可得到流體力學方程組。對于等離子體，至少含有一種正離子和電子，如果正離子和電子沒有達到平衡，這樣離子和電子作為兩種不同粒子，就相應有兩種不同的流體方程，稱雙體力學方程。在計算矩方程碰撞項的貢獻時，假定沒有粒子的電離、復合等情況，即都只發(fā)生彈性碰撞。（1）粒子數守恒方程（或連續(xù)性方程）令得連續(xù)性方程

因為只發(fā)生彈性碰撞，碰撞過程粒子數守恒，所以碰撞項

令粒子質量m，則質量密度質量守恒方程

（2）流體元運動方程令，一階矩方程注意：流體元以平均速度u運動所受的洛侖茲力

碰撞項R為摩擦阻力

最后得流體元的運動方程

利用粒子數守恒方程，流體元運動方程簡化為左邊表示流體元動量變化率，右邊各項意義是流體元所受的力：

nF為電磁場力，是熱壓力，是粘滯力，

R為α粒子與不同β粒子彈性碰撞后，α粒子失去的動量，即流體元受到一個摩擦阻力。注意同類粒子彈性碰撞動量守恒，所以同類粒子間碰撞對R無貢獻。

（3）能量平衡方程令由矩方程得最后兩項是彈性碰撞的貢獻

Q是不同類粒子的彈性碰撞引起的能量交換，因為彈性碰撞動能守恒，同類粒子間的碰撞無貢獻。總動能守恒方程(能量平衡方程)右①從流體元表面流入的凈能流；②電場對流體元做的功率即歐姆加熱功率；③碰撞摩擦阻力做的功率；④不同類粒子碰撞交換的能量。應用粒子數守恒方程、運動方程，能量平衡方程簡化為（熱能平衡方程）右方各項的物理意義：①內摩擦（粘滯力）做的功率；②熱傳導；③碰撞引起的熱能交換。如果，u=0則表明流體元的溫度變化僅來源于熱傳導和碰撞引起的熱交換。上面方程的簡化計算并不難，但比較冗長。令

直接進行計算可能更簡便些。但在計算中應當注意：各項計算結果如下：①

②③

第1項=0，因為第2項=0，因為出現兩次：碰撞項將以上各項計算結果代入矩方程就可以得到熱能形式的平衡方程等離子體雙流體方程組

加上α角標受的力場：其中E0和B0是外場，E1和B1為等離子體本身的電荷、電流產生的場，稱為波場。波場是與雙流體方程耦合的麥克斯韋方程組確定。波場滿足麥克斯韋方程組：由動理學方程求速度矩得到的雙流體力學方程組是嚴格的、精確的，但是它不封閉。在求每一階矩方程時，總含有更高一階矩的分量，所以無論如何增加矩方程的階數，方程組都不可能封閉。在一定條件下，略去高階矩，或高階矩用低階矩表示，這樣才能獲得封閉的矩方程組。例如，對于冷等離子體，因熱能很小，壓強張量和熱流矢量都可以忽略，即，這樣高階矩被截斷，方程組可以閉合。另一種情況，碰撞頻繁或占優(yōu)勢，流體接近平衡的麥克斯韋分布，和q都是微小的量，可以用Chapman-Enskog展開方法截斷。方程組就可封閉。

封閉的雙流體方程組上面方程組中含有獨立未知函數：nα、uα、Tα(α=i,e)共10個，不是獨立的，正好方程數目也10個。

波場E1、B1的麥克斯韋方程組，再加上電荷連續(xù)性方程，E1與電流密度j的歐姆定律，這樣共有E1、B1

、ρe（電荷密度）、

j（電流密度）共10個未知函數，而相應的也有確定這些函數的10個方程。因此雙流體方程組及與電磁場的耦合共有20個方程，確定20個未知函數。在雙流體方程組中，如果只考慮外場作用，而忽略波場E1、B1，這樣就不需要與之耦合的麥克斯韋方程組，于是就變成輸運方程組。如果忽略碰撞項，同時也不考慮粘滯力，而且取Ti=Te=常量,只考慮波場的作用，這樣需保留波場的麥克斯韋方程組，于是就得到描述等離子體波的雙流體方程組。4.3磁（單）流體力學方程

當等離子體中的電子和離子之間有很強的耦合，電中性條件上總是滿足，而且研究的問題隨時間變化很緩慢，離子、電子的流動速度都小于離子熱運動的速度，這樣可以把電子、離子看成一種流體，即單流體模型，它所滿足的運動方程組稱單流體方程，或稱磁流體力學方程。磁流體力學方程但可以從雙流體方程組導得。定義單流體的宏觀物理量：

粒子數密度

質量密度

電荷密度

質心速度

熱運動速度注意：熱運動速度是以質心運動速度u作參考的

注意：熱運動速度是以質心運動速度u作參考的壓強張量對角項分量總壓強張量其中（兩種粒子溫度相同）熱流矢量總熱流矢量

單流體速度矩的表示式（1）（2）

（3）根據以上定義和速度矩的計算結果，可以應用雙流體方程，對不同種類粒子求和得到單流體方程。

為了計算方便，雙流體方程組取方程(1)乘上mα，并對α=i,e兩式相加得單流體的連續(xù)性方程

類似方法，由方程（2）得因為總動量守恒電中性方程變?yōu)樽詈蟮眠\動方程

由方程(3)求和得單流體能量平衡方程碰撞項（總動能守恒）方程左方第1項為流體元總能量的變化率；第2項經流體元表面流出去的凈能流，它分三個部分：熱傳導流出的能量、流出的總能流和壓強張量做的功率，在右方為電場做的功率（歐姆加熱）現在求得的3個單流體方程，仍存在速度矩不封閉問題。對于單流體模型，等離子體行為變化更為緩慢，其特征時間遠大于粒子間平均碰撞時間，因而碰撞更加充分，使不同成分的流體元都處在以質心運動速度為u的局部熱平衡狀態(tài)。因此可以應用局域性平衡的麥克斯韋速度分布零級近似得如果實際分布函數與平衡態(tài)偏離不遠，結果仍近似成立，這樣單流體方程組就是封閉的。能量方程簡化，計算是繁瑣的，這里省略，其結果為兩邊再乘以后得單流體能量方程運動導體的歐姆定律為再加上電磁場中麥克斯韋方程組，最后得磁（單）流體力學方程組磁（單）流體力學方程組共有14個方程和需要由方程確定的ρ，u，p，j，E，B等14個未知物理量，所以方程組是閉合的?，F在對這些基本方程式作一些說明。在運動方程和能量方程中

是運流導數，即跟隨流體元運動的時間微分算符在麥克斯韋方程組中，因為在磁流體中場的變化比較緩慢，忽略了位移電流項；如果場的變化較快，則位移電流項要保留。兩個散度方程只作為初始條件，在這里沒有被列入。在有些問題中，由于正負電荷分離，破壞了電中性，存在空間電荷密度，則方程應保留。這樣增加了一個方程，相應地也增加了一個未知量電荷密度。理想磁流體力學方程組

無粘滯性、絕熱、理想導體（）4.4磁壓強與磁應力單位體積導電流體所受的磁力其中稱麥克斯韋應力張量（磁場部分）。在等離子體物理中稱磁應力張量磁力的一種新解釋。取一體積V

磁力的一種新解釋。取一體積V式中代表法向矢量為n的單位面元上的應力，稱磁應力，其中第1項表示沿磁力線方向、大小B2/μ0為的張力，第2項是大小為B2/2μ0

、方向與n相反的各向同性的磁壓強，因此流體所受的磁力等效于各向同性的磁壓強（B2/2μ0）和沿磁力線方向張力（B2/μ0）之和。磁力線好像拉緊的橡皮筋，沿力線方向是張力，磁場增強張力也增大。如果磁力線是彎曲的，這個張力就可產生一指向磁力線曲率中心的恢復力。在運動方程中考慮動力壓強作用，流體總的受力新定義的為流體所受的總的應力張量。如果B沿z軸方向，則總應力張量可以表示為磁流體所受的總應力為各向同性的總壓強p*和沿磁力線方向的張力

流體熱壓強與磁壓強之比是磁流體力學一個重要無量綱參量，稱β值β值反映了磁約束的性能，

β值越高，實現約束的代價就越低，同時值也反映等離子體物理狀況。4.5磁場的凍結與擴散

導電流體與磁場相互作用的重要性質——磁場的凍結與擴散效應。

由麥克斯韋方程組歐姆定律消去j

，得兩邊求旋度，并假設為常數，得稱感應方程量綱與流體力學中的粘滯系數相同，所以稱為磁粘滯系數。下面分兩種極端情況，分別討論感應方程右方兩項的物理意義。1.磁場的凍結

假設等離子體是理想導體，則感應方程變?yōu)榉Q為凍結方程。因為由這個方程可以證明如下兩條定理：定理1

通過和理想導電流體一起運動的任何封閉回路所圍曲面的磁通量是不變的。定理2

在理想導電流體中，起始位于一根磁力線上的流體元，以后也一直處在這根磁力線上。

定理1證明：任意取一與流體一起運動的回路C，回路上的線元dl與流體一起運動時，單位時間切割磁力線引起的磁通變化為

隨流體一起運動時，閉合回路

C所圍面積的磁通量變化率得證（等于零是利用了凍結方程）定理1表明：不管外界磁場如何變化，隨著理想導電流體一起運動的任何閉合回路所圍的磁力線數目是不變的。定理2證明：由凍結方程應用連續(xù)性方程和得

改寫為

上式結果的意義，實際上是證明了定理2。下面進行說明：設在一根磁力線上取一流體物質線元，線元一端流速為u，另一端為，因此單位時間流體線元的變化率兩方程相比，與B/ρ滿足相同的時間演化方程。這表明，如果初始時矢量與B/ρ平行，則以后也保持平行，而且它們的長度也成比例地變化。也就是說，開始時如果在一根磁力線上（與B/ρ平行），以后任何刻也都處在這根磁力線上。以上兩個定理說明：在理想導電流體中，不僅與流體一起運動的回路所包圍的磁力線數目不變，而且物質線元只能沿同一根磁力線運動。磁場凍結現象：流體沿磁力線方向運動是自由的，如果流體有垂直于磁力線方向的運動，則磁力線也要隨著流體物質一起運動。就好像磁力線被“凍結”在理想導電流體中，或者是理想導電流體物質粘在磁力線上。物理上理解：當導體有切割磁力線的相對運動時就產生感應電場和感應電流，感應電流的方向使它產生的磁場來對抗原來磁場的變化。對于理想導體，因為電導率趨于∞，只要有感應電場，引起的感應電流就無限大。因此在理想導體中就不允許存在感應電場，即不允許導電流體有切割磁力線的相對運動，所以磁力線被凍結在理想導電的流體中。高溫等離子體是電導率很大的流體，在其中的磁場就有“凍結”現象。原來在等離子體外的磁場，也就難以進入等離子體內。2.磁場的擴散

電導率有限，并假定流體靜止不動，感應方程變?yōu)?/p>

這就是磁場的擴散方程。它說明當電導率有限時，磁力線不完全凍結在等離子體中，等離子體中的磁場會隨時間衰減，即磁場從強的區(qū)域向弱的區(qū)域擴散。估算磁場從等離子體中擴散出去的特征時間（磁擴散時間或磁衰減時間）設原來磁場集中在線度為L的等離子體區(qū)域擴散方程近似地為方程的解磁擴散時間或衰減時間電導率越大，磁場衰減越慢，如果電導率為無窮，則磁場不衰減（凍結）。對于有限電導率的流體，如果它的特征長度L越大，則磁場衰減也越慢。對于宇宙等離子體，因為它的線度L很大，所以衰減時間就特別長。（見表4.5.1）

3.橫越磁場擴散與玻姆擴散

前面研究了兩種極端情況效應，即磁場凍結與磁場擴散，實際上兩項效應都存在?，F在研究穩(wěn)態(tài)情況下，垂直磁場方向等離子體的定向流動，即橫越磁場擴散。方程為因為，近似常量，則得（不是唯一的）上式兩邊同B×，得穩(wěn)態(tài)時流體運動方程假定電子、離子密度相同，電子溫度與離子溫度不同，則以后可以證明，等離子體電導率式中為電子與離子碰撞頻率

這是典型的擴散方程，u⊥為橫向擴散流速度，D⊥為橫向擴散系數。結果表明，要維持穩(wěn)態(tài)磁場，一定要存在橫越磁場的穩(wěn)定擴散流。橫向擴散系數與磁場強度的平方成反比，通常稱這種擴散為經典擴散。只要磁場B足夠大，則擴散系數就很小。實驗發(fā)現，橫向擴散系數比經典擴散高得多。在20世紀40年代，Bohm等人就注意到磁約束等離子體中反常擴散現象。他發(fā)現橫向擴散系數是與磁場強度成反比。Bohm給出一個半經驗的擴散系數公式：

DB稱玻姆擴散系數，后來許多實驗結果都相符合，因此就把這種反常擴散稱為Bohm擴散。玻姆擴散系數比經典擴散系數大幾個量級。后來對玻姆擴散機制有許多研究，也有幾種不同解釋，如湍流電場的存在、粒子和電場漲落、存在不對稱電場導致指向器壁的電漂移流等。目前，很多實驗的擴散系數已經比Bohm擴散系數低得多?，F在都把玻姆擴散系數作為估計反常擴散的上限。4.6磁流體平衡與箍縮效應

1.磁流體平衡要實現等離子體的磁約束，首先要實現平衡。當磁流體的每一小體積元所受的合力為0時，則可實現平衡。因此，運動方程等離子體平衡條件只有電流洛侖茲力與壓強梯度相等時，等離子體才能達到平衡。由平衡條件得到

平衡時磁力線和電流線都應在等壓面上。一般等離子體都是中間密度大，而到邊緣密度減小直到0，所以等離子體流體元受的壓力（）是由軸心垂直等壓面向外，而流體元上的電流受的洛侖茲力（）是垂直等壓面向里，只有這兩種力相互抵消才能達到平衡，所以()就是磁場對等離子體施加的約束力。如果磁力線是直線而且互相平行，這時平衡條件很簡單。利用：平衡條件可改寫為因為沿磁場方向B無變化所以平衡條件變?yōu)檫@個條件在整個區(qū)域都必須滿足。一般動力壓強是中心區(qū)域最大、向邊緣減小，要實現平衡，磁場應從中心區(qū)比較弱到邊緣逐漸增強，壓強與磁壓強之和為常量。說明等離子體具有反磁性。

2.箍縮效應流過等離子體的強電流和這電流產生的磁場之間的相互作用，能引起等離子體向中心區(qū)域壓縮，并使等離子體密度、溫度增加，這種效應稱為箍縮（pinch）效應。下面討論兩個例子。（1）角向箍縮(θ-pinch)

圓柱形放電管（玻璃管或陶瓷管制成），內充有氣體，在它外面包圍一同軸的柱形單匝線圈。當開關K接通，電容器C就快速給線圈放電，流經線圈的電流在放電管中產生一個與管軸（設為z軸）同向的變化的磁場，從而在管內產生角向的感應電場。由法拉第電磁感應定律由法拉第電磁感應定律得在初始階段，Eθ方向與電流的方向相反，而且在管壁附近Eθ較大。如果上升很快，管壁附近氣體先擊穿，形成等離子體，同時有一薄層角向感應電流。感應電流與沿軸向的磁場B形成的洛侖茲力，使等離子體脫離管壁并向軸線壓縮，提高等離子體密度并增加動能，經粒子間碰撞提高等離子體溫度，最后磁壓強與熱壓強達到平衡，形成等離子體柱，獲得磁約束的高溫等離子體。角向感應電流與外線圈中電流產生的軸向磁場相互作用，在徑向引起箍縮（或壓縮）稱為角向箍縮（θ-pinch）。

θ-Pinch角向箍縮的平衡條件

選取柱坐標系（r,θ,z）,等離子體電流電流產生的磁場，由得平衡條件取等離子體半徑r=a時得角向箍縮平衡條件

↓→角向箍縮平衡時各物理量的徑向分布

在等離子體柱界面上壓強為0，根據平衡條件，在柱界面上磁場最強，沿半徑向里（軸心）等離子體壓強增大，則磁場減小，但熱壓強與磁壓強之和保持不變。實際上，由于放電管兩端是開口的，不受磁場約束，等離子體會從兩端逃逸，因此這種平衡維持時間很短，約微秒量級。（2）z箍縮（z-pinch）沿z軸的直圓柱形放電管，脈沖放電時形成等離子體。設沿軸向流過軸對稱的電流，電流產生的磁場，由于電流與自身磁場的相互作用，使等離子體受到指向軸線方向的作用力，把等離子體向軸線方向壓縮，這就是z箍縮效應。Z-Pinch設平衡時柱的半徑為a，柱內壓強分布為p(r)。麥克斯韋方程在柱坐標系中可表示為解得磁場分布總電流

由平衡條件

方程的解為因為r=a

，p=0p0為r=0時的動力壓強等離子體柱內平均壓強（只能求平均！）這就是平衡狀態(tài)時等離子體柱的平均壓強、總電流、柱半徑之間的關系。

對于熱核聚變，要求等離子體溫度10keV，密度1021m-3，估計放電電流9×108aA，這個電流在柱面上產生的磁場。因此要約束高溫等離子體需要很大的電流。只有給出電流密度分布，以上相關的計算公式才能給出各物理量的徑向分布。電流分布在柱面上很薄的一層內

電流密度在柱內為常量

補充：平衡的穩(wěn)定性問題示例扭曲型不穩(wěn)定性4.7廣義歐姆定律與等離子體電導率

如果等離子體中離子和電子的平均速度不同，則它們之間的相對運動就會產生宏觀電流。應用雙流體模型來研究電流的規(guī)律。1.廣義歐姆定律設電子和離子的密度相同ne=ni=n，并保持電中性,摩擦阻力通常可寫成前蘇聯布拉金斯基定義的形式同類粒子碰撞對摩擦阻力無貢獻

雙流體方程

用e/mi乘以第1式，e/me乘以第2式，然后兩式相減，得電流密度

做近似前式左方第1項忽略了二級小量項。左方第2項為二級小量項，也可忽略。前式右方第2項中因子應用以上結果得

上式就是等離子體的廣義歐姆定律

等離子體電導率對于穩(wěn)恒情況，，廣義歐姆定律為這就是宏觀描述等離子體的導電性質。方括號中第1項就是通常磁流體運動時歐姆定律，是運