第五講分?jǐn)?shù)的乘除運(yùn)算

第五講分?jǐn)?shù)的乘除法

上海市實(shí)驗(yàn)學(xué)校王海生【知識框圖】分?jǐn)?shù)的乘除法分?jǐn)?shù)的乘法分?jǐn)?shù)的除法分?jǐn)?shù)分?jǐn)?shù)的意義與性質(zhì)分?jǐn)?shù)的加減法分?jǐn)?shù)的乘法法則：分?jǐn)?shù)乘以分?jǐn)?shù)，分子乘分子作為積的分子，分母乘分母作為積的分母，最終結(jié)果化為最簡分?jǐn)?shù).分?jǐn)?shù)的除法法則：除以一個(gè)數(shù)，等于乘以這個(gè)數(shù)的倒數(shù).分?jǐn)?shù)的乘除法分?jǐn)?shù)的乘法分?jǐn)?shù)的除法分?jǐn)?shù)分?jǐn)?shù)的意義與性質(zhì)分?jǐn)?shù)的加減法【知識框圖】(3)0沒有倒數(shù).

(2)倒數(shù)等于其本身的數(shù)是1和-1.倒數(shù)的定義：

1除以一個(gè)不為零的數(shù)所得的商，叫做這個(gè)數(shù)的倒數(shù).(1)如果兩個(gè)數(shù)互為倒數(shù)，則它們的乘積等于1.

說明分?jǐn)?shù)的乘除法分?jǐn)?shù)的乘法分?jǐn)?shù)的除法分?jǐn)?shù)與小數(shù)的互化分?jǐn)?shù)分?jǐn)?shù)的意義與性質(zhì)分?jǐn)?shù)的加減法……【知識框圖】

在學(xué)習(xí)分?jǐn)?shù)與除法關(guān)系時(shí),我們已經(jīng)看到,分?jǐn)?shù)化成小數(shù),一般要用分母去除分子.如果能除盡,化成有限小數(shù);如果除不盡,不能化成有限小數(shù),只能化成循環(huán)小數(shù).

問題1如何把分?jǐn)?shù)轉(zhuǎn)化為小數(shù)？【知識梳理】

所謂循環(huán)小數(shù)是指一個(gè)小數(shù)從小數(shù)部分的某一位起，一個(gè)數(shù)字或幾個(gè)數(shù)字依次不斷地出現(xiàn)的小數(shù).

循環(huán)節(jié)

那么有沒有辦法在不做除法的情況下可以直接判斷一個(gè)分?jǐn)?shù)是可以化為有限小數(shù)還是無限循環(huán)小數(shù)呢?問題1如何把分?jǐn)?shù)轉(zhuǎn)化為小數(shù)？【知識梳理】

一個(gè)最簡分?jǐn)?shù),如果分母中除了2和5以外,不含有其素因數(shù),也就是分母中只含有2或5這兩個(gè)素因數(shù),這個(gè)分?jǐn)?shù)就能化成有限小數(shù);如果分母中含有2和5以外的素因數(shù),這個(gè)分?jǐn)?shù)就不能化成有限小數(shù),只能化成無限小數(shù)(循環(huán)小數(shù)).例如不通過除法運(yùn)算,判斷下列分?jǐn)?shù),哪些可以化成有限小數(shù),哪些可以化成循環(huán)小數(shù)?并說明理由.分析：在判斷分?jǐn)?shù)是可以化為有限小數(shù)還是無限循環(huán)小數(shù)之前，應(yīng)該先判斷這個(gè)分?jǐn)?shù)是不是最簡分?jǐn)?shù)，如果不是最簡分?jǐn)?shù)的應(yīng)該先化為最簡分?jǐn)?shù)，然后再判斷.解

【知識梳理】因?yàn)榈姆帜钢缓匈|(zhì)因數(shù)2和5,所以它們可以化成有限小數(shù).例如不通過除法運(yùn)算,判斷下列分?jǐn)?shù),哪些可以化成有限小數(shù),哪些可以化成循環(huán)小數(shù)?并說明理由.分析：在判斷分?jǐn)?shù)是可以化為有限小數(shù)還是無限循環(huán)小數(shù)之前，應(yīng)該先判斷這個(gè)分?jǐn)?shù)是不是最簡分?jǐn)?shù)，如果不是最簡分?jǐn)?shù)的應(yīng)該先化為最簡分?jǐn)?shù)，然后再判斷.解

【知識梳理】因?yàn)榈姆帜钢蟹謩e含有質(zhì)因數(shù)3與11,所以它們不能化為有限小數(shù)，可以化成循環(huán)小數(shù).化為最簡分?jǐn)?shù)【知識梳理】問題2如何把0.12化為分?jǐn)?shù)？

【知識梳理】由此得到有限小數(shù)化為分?jǐn)?shù)的一種方法：（1）把小數(shù)看作分母為1的數(shù);

（2）利用分?jǐn)?shù)的基本性質(zhì)，把分子與分母擴(kuò)大相同的倍數(shù)，使分子與分母化為整數(shù);

（3）再把分?jǐn)?shù)化為最簡分?jǐn)?shù).

【典型例題】——基礎(chǔ)題例1計(jì)算

帶分?jǐn)?shù)的分?jǐn)?shù)運(yùn)算，我們可以把帶分?jǐn)?shù)化為假分?jǐn)?shù)，再進(jìn)行分?jǐn)?shù)的乘除運(yùn)算,最后的結(jié)果化為帶分?jǐn)?shù).解答：412291例2計(jì)算在分?jǐn)?shù)連除或乘除混合運(yùn)算中,遇到除以一個(gè)數(shù)時(shí),只要乘以這個(gè)數(shù)的倒數(shù),從而把原來的運(yùn)算都變成分?jǐn)?shù)的乘法運(yùn)算.

解答：【典型例題】——基礎(chǔ)題241113例3計(jì)算

分?jǐn)?shù)與小數(shù)的混合乘除法，我們可以把小數(shù)化為分?jǐn)?shù)，然后進(jìn)行計(jì)算；如果題目中的分?jǐn)?shù)都能夠化為有限小數(shù)，則可以把分?jǐn)?shù)化為小數(shù)，然后進(jìn)行小數(shù)的計(jì)算.

解法一【典型例題】——基礎(chǔ)題解法二解法三50.7例3計(jì)算

；

解答：【典型例題】——基礎(chǔ)題1114251例4計(jì)算解答：乘法分配律【典型例題】——提高題(4)假分?jǐn)?shù)的倒數(shù)一定是真分?jǐn)?shù). ()(3)真分?jǐn)?shù)的倒數(shù)一定是假分?jǐn)?shù). ()

(2)0的倒數(shù)是0. ()

(1)兩個(gè)數(shù)互為倒數(shù),它們的乘積是1. ()()×例5判斷題√×√×的倒數(shù)是.

()×把帶分?jǐn)?shù)化為假分?jǐn)?shù)(6)0.2的倒數(shù)是.

把小數(shù)化為分?jǐn)?shù)【典型例題】——提高題例6比較下列數(shù)的大小.

，比較兩個(gè)分?jǐn)?shù)的大小方法：（1）化為同分母；（2）化為同分子;分?jǐn)?shù)

小數(shù)

解：，因?yàn)楸容^百分位可以發(fā)現(xiàn)最小.

比較千分位，發(fā)現(xiàn)是剩余三個(gè)中的最小數(shù).比較萬分位，知道最大.

所以即

【典型例題】——提高題例7比較下列分?jǐn)?shù)的大小.

把分?jǐn)?shù)寫成1與某個(gè)數(shù)的差，然后進(jìn)行同分子分?jǐn)?shù)比較.方法一

因?yàn)?/p>

所以所以解答

【典型例題】——提高題取倒數(shù)例7比較下列分?jǐn)?shù)的大小.

把它們各自取倒數(shù)，然后比較分?jǐn)?shù)的大小.方法二

【典型例題】——提高題例8把化成循環(huán)小數(shù)是什么？小數(shù)點(diǎn)右邊第20位上的數(shù)字是什么？解答

因?yàn)檠h(huán)節(jié)是714285，所以

所以小數(shù)點(diǎn)右邊第20位上的數(shù)字是1.

【典型例題】——提高題前面一個(gè)分?jǐn)?shù)的分子與后面一個(gè)分?jǐn)?shù)的分母相約.例9計(jì)算假分?jǐn)?shù)

帶分?jǐn)?shù)

解答

【典型例題】——拓展題例10計(jì)算

解答

方法一

【典型例題】——拓展題31115111例10計(jì)算

解答

方法二

32120.2【典型例題】——拓展題11例11如果規(guī)定表示分?jǐn)?shù)的分子與分母中數(shù)值較小的一個(gè)數(shù)，如請你按這樣的規(guī)定在完成下面各題：

(3)若，則正整數(shù)最小是多少？

【典型例題】——拓展題

【典型例題】——拓展題例11如果規(guī)定表示分?jǐn)?shù)的分子與分母中數(shù)值較小的一個(gè)數(shù)，如請你按這樣的規(guī)定在完成下面各題：

因?yàn)?/p>

所以

所以b大于9，所以正整數(shù)b最小是10.

【典型例題】——拓展題例11如果規(guī)定表示分?jǐn)?shù)的分子與分母中數(shù)值較小的一個(gè)數(shù)，如請你按這樣的規(guī)定在完成下面各題：

(3)若，則正整數(shù)最小是多少？

例12已知,且都是正數(shù)，請比較四個(gè)數(shù)的大小.

如果兩個(gè)正數(shù)的乘積一定，則一個(gè)乘數(shù)較大，那么另一個(gè)乘數(shù)就較小.

解答

又因?yàn)樗浴镜湫屠}】——拓展題一個(gè)最簡分?jǐn)?shù),如果分母中除了2和5以外,不含有其素因數(shù),也就是分母中只含有2和5這兩個(gè)素因數(shù).例13分母是兩位數(shù)，分子為1，且能化為有限小數(shù)的分?jǐn)?shù)有多少個(gè)？分母必須滿足下列條件之一才可:

（1）只含有素因數(shù)2；（2）只含有素因數(shù)5；（3）只含有素因數(shù)2和5.

解答：因?yàn)榉帜甘莾晌粩?shù)，所以分母的取值為10——99.在10至99中，只含有素因數(shù)2的為16,32,64.

在10至99中，只含有素因數(shù)5的為25.

在10至99中，只含有素因數(shù)2和5的為

，所以滿足條件的最簡分?jǐn)?shù)有9