高數(shù)第九章多元函數(shù)的基本概念

高數(shù)第九章多元函數(shù)的基本概念第一頁，共四十四頁，編輯于2023年，星期二

第九章第一節(jié)一、區(qū)域二、多元函數(shù)的概念三、多元函數(shù)的極限四、多元函數(shù)的連續(xù)性機動目錄上頁下頁返回結束多元函數(shù)的基本概念第二頁，共四十四頁，編輯于2023年，星期二一、區(qū)域1.鄰域點集稱為點P0的鄰域.例如,在平面上,(圓鄰域)在空間中,(球鄰域)說明：若不需要強調鄰域半徑

,也可寫成點P0

的去心鄰域記為機動目錄上頁下頁返回結束第三頁，共四十四頁，編輯于2023年，星期二在討論實際問題中也常使用方鄰域,平面上的方鄰域為。因為方鄰域與圓鄰域可以互相包含.機動目錄上頁下頁返回結束第四頁，共四十四頁，編輯于2023年，星期二2.

區(qū)域(1)

內點、外點、邊界點設有點集E

及一點P:若存在點P

的某鄰域U(P)E,若存在點P的某鄰域U(P)∩E=,若對點

P

的任一鄰域U(P)既含

E中的內點也含E則稱P為E

的內點；則稱P為E

的外點;則稱P為E

的邊界點.機動目錄上頁下頁返回結束的外點,顯然,E

的內點必屬于E,

E

的外點必不屬于E,E

的邊界點可能屬于E,也可能不屬于E.第五頁，共四十四頁，編輯于2023年，星期二(2)

聚點若對任意給定的

,點P

的去心機動目錄上頁下頁返回結束鄰域內總有E

中的點,則稱P

是E

的聚點.聚點可以屬于E,也可以不屬于E(因為聚點可以為所有聚點所成的點集成為E

的導集

.E

的邊界點)第六頁，共四十四頁，編輯于2023年，星期二D(3)開區(qū)域及閉區(qū)域若點集E

的點都是內點，則稱E

為開集；若點集E

E

,則稱E

為閉集；

若集D

中任意兩點都可用一完全屬于D的折線相連,

開區(qū)域連同它的邊界一起稱為閉區(qū)域.則稱D

是連通的;

連通的開集稱為開區(qū)域,簡稱區(qū)域;機動目錄上頁下頁返回結束。。

E

的邊界點的全體稱為E

的邊界,記作E;第七頁，共四十四頁，編輯于2023年，星期二例如，在平面上開區(qū)域閉區(qū)域機動目錄上頁下頁返回結束第八頁，共四十四頁，編輯于2023年，星期二

整個平面點集是開集，

是最大的開域,也是最大的閉域；但非區(qū)域.機動目錄上頁下頁返回結束o

對區(qū)域D,若存在正數(shù)

K,使一切點PD與某定點A的距離APK,則稱

D

為有界域

,

界域

.否則稱為無第九頁，共四十四頁，編輯于2023年，星期二3.n

維空間n元有序數(shù)組的全體稱為n

維空間,n維空間中的每一個元素稱為空間中的稱為該點的第k

個坐標.記作即機動目錄上頁下頁返回結束一個點,當所有坐標稱該元素為中的零元,記作O.第十頁，共四十四頁，編輯于2023年，星期二的距離記作中點

a

的

鄰域為機動目錄上頁下頁返回結束規(guī)定為與零元O

的距離為第十一頁，共四十四頁，編輯于2023年，星期二二、多元函數(shù)的概念引例:圓柱體的體積定量理想氣體的壓強三角形面積的海倫公式機動目錄上頁下頁返回結束第十二頁，共四十四頁，編輯于2023年，星期二定義1.

設非空點集點集D

稱為函數(shù)的定義域;數(shù)集稱為函數(shù)的值域

.特別地,當n=2時,有二元函數(shù)當n=3時,有三元函數(shù)映射稱為定義在

D

上的n

元函數(shù),記作機動目錄上頁下頁返回結束第十三頁，共四十四頁，編輯于2023年，星期二例如,二元函數(shù)定義域為圓域說明:

二元函數(shù)

z=f(x,y),(x,y)D圖形為中心在原點的上半球面.機動目錄上頁下頁返回結束的圖形一般為空間曲面.三元函數(shù)定義域為圖形為空間中的超曲面.單位閉球第十四頁，共四十四頁，編輯于2023年，星期二三、多元函數(shù)的極限定義2.

設n

元函數(shù)點,則稱A

為函數(shù)(也稱為n

重極限)當n=2時,記二元函數(shù)的極限可寫作：P0是D的聚若存在常數(shù)A,對一記作都有機動目錄上頁下頁返回結束對任意正數(shù)

,總存在正數(shù),切第十五頁，共四十四頁，編輯于2023年，星期二例1.

設求證：證:故總有機動目錄上頁下頁返回結束要證第十六頁，共四十四頁，編輯于2023年，星期二例2.

設求證：證：故總有要證機動目錄上頁下頁返回結束第十七頁，共四十四頁，編輯于2023年，星期二例3

求極限解其中第十八頁，共四十四頁，編輯于2023年，星期二例4

證明不存在．證取其值隨k的不同而變化，故極限不存在．第十九頁，共四十四頁，編輯于2023年，星期二不存在.觀察播放第二十頁，共四十四頁，編輯于2023年，星期二

若當點趨于不同值或有的極限不存在，解:

設P(x,y)沿直線y=kx

趨于點(0,0),在點(0,0)的極限.則可以斷定函數(shù)極限則有k

值不同極限不同!在(0,0)點極限不存在.以不同方式趨于不存在.例3.

討論函數(shù)函數(shù)機動目錄上頁下頁返回結束第二十一頁，共四十四頁，編輯于2023年，星期二例4.

求解:因而此函數(shù)定義域不包括x,y

軸則故機動目錄上頁下頁返回結束第二十二頁，共四十四頁，編輯于2023年，星期二僅知其中一個存在,推不出其它二者存在.

二重極限不同.如果它們都存在,則三者相等.例如,顯然與累次極限但由例3知它在(0,0)點二重極限不存在.例3目錄上頁下頁返回結束第二十三頁，共四十四頁，編輯于2023年，星期二四、多元函數(shù)的連續(xù)性定義3

.

設n元函數(shù)定義在D

上,如果函數(shù)在D

上各點處都連續(xù),則稱此函數(shù)在

D

上如果存在否則稱為不連續(xù),此時稱為間斷點

.則稱n

元函數(shù)機動目錄上頁下頁返回結束連續(xù).連續(xù),第二十四頁，共四十四頁，編輯于2023年，星期二例5

討論函數(shù)在(0,0)處的連續(xù)性．解取第二十五頁，共四十四頁，編輯于2023年，星期二故函數(shù)在(0,0)處連續(xù).當時第二十六頁，共四十四頁，編輯于2023年，星期二例6

討論函數(shù)在(0,0)的連續(xù)性．解取其值隨k的不同而變化，極限不存在．故函數(shù)在(0,0)處不連續(xù)．第二十七頁，共四十四頁，編輯于2023年，星期二又如,

函數(shù)上間斷.在圓周機動目錄上頁下頁返回結束結論:一切多元初等函數(shù)在定義區(qū)域內連續(xù).第二十八頁，共四十四頁，編輯于2023年，星期二定理：若f(P)在有界閉域D

上連續(xù),則機動目錄上頁下頁返回結束*(4)f(P)必在D上一致連續(xù).在

D

上可取得最大值M及最小值m;(3)對任意(有界性定理)(最值定理)(介值定理)(一致連續(xù)性定理)閉域上多元連續(xù)函數(shù)有與一元函數(shù)類似的如下性質:(證明略)第二十九頁，共四十四頁，編輯于2023年，星期二解:原式例5.求例6.

求函數(shù)的連續(xù)域.解:機動目錄上頁下頁返回結束第三十頁，共四十四頁，編輯于2023年，星期二內容小結1.區(qū)域

鄰域:

區(qū)域連通的開集

2.多元函數(shù)概念n

元函數(shù)常用二元函數(shù)(圖形一般為空間曲面)三元函數(shù)機動目錄上頁下頁返回結束第三十一頁，共四十四頁，編輯于2023年，星期二有3.多元函數(shù)的極限4.多元函數(shù)的連續(xù)性1)函數(shù)2)閉域上的多元連續(xù)函數(shù)的性質:有界定理;最值定理;介值定理3)一切多元初等函數(shù)在定義區(qū)域內連續(xù)P11題

2;4;5(3),(5)(畫圖

);8P72題

3;4機動目錄上頁下頁返回結束思考與練習第三十二頁，共四十四頁，編輯于2023年，星期二解答提示:P11題2.稱為二次齊次函數(shù).P11題4.P11題5(3).定義域P11題5(5).定義域機動目錄上頁下頁返回結束第三十三頁，共四十四頁，編輯于2023年，星期二P12題8.間斷點集P72題3.定義域P72題4.令y=kx

，若令機動目錄上頁下頁返回結束,則可見極限不存在第三十四頁，共四十四頁，編輯于2023年，星期二機動目錄上頁下頁返回結束總結1.計算多元函數(shù)的極限常用方法(1)利用不等式,使用兩邊夾法則；(2)變量替換化成已知極限,或化為一元函數(shù)的極限；(3)利用初等函數(shù)的連續(xù)性,利用極限的四則運算；(4)化為極坐標形式求極限(5)若事先能猜測出極限值,可用極限的定義進行證明.第三十五頁，共四十四頁，編輯于2023年，星期二解:例1.求機動目錄上頁下頁返回結束第三十六頁，共四十四頁，編輯于2023年，星期二解:例2.求機動目錄上頁下頁返回結束例3.求解:用極坐標.第三十七頁，共四十四頁，編輯于2023年，星期二解:例4.求機動目錄上頁下頁返回結束第三十八頁，共四十四頁，編輯于2023年，星期二解:例5.求機動目錄上頁下頁返回結束第三十九頁，共四十四頁，編輯于2023年，星期二機動目錄上頁下頁返回結束總結2.證明二元函數(shù)極限不存在常用方法(1)證明某個特殊路徑的極限不存在；(2)證明兩個特殊路徑的極限不相等；(3)證明兩個累次極限不相等；(4)化為極坐標形式,證明極限跟幅角有關；第四十頁，共四十四頁，編輯于2023年，星期二機動目錄上頁下頁返回結束在點(0,0)的極限.例1.

討論函數(shù)解:注意到當y=-x

時,分母為0.取則在(0,0)點極限不存在.第四十一頁，共四十四頁，編輯于2