隨機(jī)過(guò)程-1預(yù)備知識(shí)課件

隨機(jī)過(guò)程第一章概率論基礎(chǔ)1.1概率空間1.2隨機(jī)變量及其分布1.3隨機(jī)變量的數(shù)字特征1.4特征函數(shù)、母函數(shù)1.5n維正態(tài)分布1.6條件期望31.1概率空間隨機(jī)試驗(yàn)事件A事件B事件AB概率樣本空間（可能結(jié)果的集合）隨機(jī)試驗(yàn)：可重復(fù)、可預(yù)見(jiàn)、不確定樣本點(diǎn)：基本事件e;樣本空間：隨機(jī)試驗(yàn)所有可能結(jié)果的集合;事件：A;必然事件：;不可能事件：;事件運(yùn)算：并、交、差、(上、下)極限4實(shí)例1：拋擲一枚硬幣，觀(guān)察正面向上還是反面向上。Ω={正面，反面}實(shí)例2：連續(xù)拋擲兩次硬幣的實(shí)驗(yàn)。Ω={(正面,正面)，(正面,反面)，(反面,正面)，(反面,反面)}注意:兩次拋擲硬幣的實(shí)驗(yàn)只能作為一次試驗(yàn)。若事件A表示“第一次出現(xiàn)正面”，則A={(正面,正面),(正面,反面)}事件B表示“兩次出現(xiàn)同一面”，B={(正面,正面),(反面,反面)}5實(shí)例3：拋擲一枚硬幣，若出現(xiàn)反面，可以再拋擲一次。實(shí)驗(yàn)過(guò)程可以用樹(shù)狀圖表示：于是樣本空間為：Ω={正面，(反面,反面)，(反面,正面)}正面反面正面反面6實(shí)驗(yàn)4：連續(xù)投擲一枚硬幣，直到出現(xiàn)正面為止。若用“0”表示出現(xiàn)反面，“1”表示出現(xiàn)正面來(lái)記錄每次投擲的結(jié)果，則這個(gè)試驗(yàn)的可能結(jié)果有：

(第一次出現(xiàn)正面)

(第一次出現(xiàn)反面,第二次正面)

……………

(前n-1次出現(xiàn)反面,第n次正面)……………這個(gè)試驗(yàn)有無(wú)窮多個(gè)可能結(jié)果,樣本空間:

7實(shí)驗(yàn)5：若檢查燈泡的使用壽命(小時(shí)),那么[0,+∞)中的每一個(gè)實(shí)數(shù)都有可能是某一個(gè)燈泡的壽命，因而如果事件A=[1500,+∞),則事件A表示：“使用壽命超過(guò)1500小時(shí)”。1.1概率空間定義1.1-代數(shù)(事件域)集合的某些子集組成集合族F（1）F（必然事件）（2）若AF,則\AF

（對(duì)立事件）（3）若AiF,i=1,2…，則F

（可列并事件）

稱(chēng)F為-代數(shù)，（，F(xiàn)）為可測(cè)空間例投擲一次骰子試驗(yàn)，ei表示出現(xiàn)i點(diǎn)，={e1,e2,e3,e4,e5,e6}F

={，{e1,e2,e3}，{e4,e5,e6}，}F為-代數(shù)，（，F(xiàn)）為可測(cè)空間1.1概率空間

例：連續(xù)投擲兩次硬幣試驗(yàn)={正正，正反，反正，反反}1.1概率空間F1={，{正正}，{正反，反正，反反}，

}

F2={，{正正}，{正反}，{正正，正反}，{反正，反反}，{正反，反正，反反}，{正正，反正，反反}，{正正，正反，反正，反反}}F3={，{反正}，{反反}，{反正，反反}，{正正，正反}，{正正，正反，反反}，{正正，正反，反正}，{正正，正反，反正，反反}}F4={，{正反}，{正正，反正，反反}，

}Fi為-代數(shù)，（，F(xiàn)i）為可測(cè)空間F={，{正正}，{正反}，{反正}，{反反}，{正正，正反}，{正正，反正}，{正正，反反}，{正反，反正}，{正反，反反}，{反正，反反}，{正正，正反，反正}，{正正，正反，反反}，{正正，反正，反反}，{正反，反正，反反}，{正正，正反，反正，反反}}

為可測(cè)空間，（，F(xiàn)）為-代數(shù)1.1概率空間可測(cè)空間的性質(zhì)設(shè)（，F(xiàn)）為可測(cè)空間,則（4）F（不可能事件）（5）若A,BF,則A\BF

（差事件）（6）若AiF,則F（有限并，有限交，可列交事件）定義1.2概率空間：設(shè)(,F)為可測(cè)空間,映射P：F

R，A|P(A)滿(mǎn)足(1)任意AF，0

P(A)1(2)P()=1(3)稱(chēng)P是(,F)上的概率,(,F,P)為概率空間，P(A)為事件A的概率。概率空間的性質(zhì)設(shè)(,F,P)為概率空間，則(4)P()=0(5)P(B\A)=P(B)-P(A),(AB)(6)16例1給擲一枚硬幣的試驗(yàn)建立概率模型。解：擲一枚硬幣，有兩個(gè)可能的結(jié)果：正面和反面。若用表示正面，表示反面，則樣本空間為：事件為：根據(jù)定義和性質(zhì)，得到概率實(shí)例：17如果硬幣是均勻的，正面和反面出現(xiàn)的機(jī)會(huì)相同，于是由可加性和歸一性知由此可得：于是概率為顯然，這樣建立的概率滿(mǎn)足三條公理。18例2為依次拋擲三枚硬幣的試驗(yàn)建立概率模型。解用“1”表示正面向上，“0”表示反面向上，樣本空間為：

W={(1,1,1),(1,1,0),(1,0,1),(1,0,0),(0,1,1),(0,1,0),(0,0,1),(0,0,0)}如果上述8種結(jié)果出現(xiàn)的可能性相同，根據(jù)可加性和歸一性，每個(gè)結(jié)果的概率為1/8.現(xiàn)利用三條公理建立概率：例如事件A表示“只有一次正面向上”，則A={(1,0,0),(0,1,0),(0,0,1)}，19于是

P(A)=P({(1,0,0),(0,1,0),(0,0,1)})=P({(1,0,0)})+P({(0,1,0)})+P({(0,0,1)}相似的，任何事件的概率等于1/8乘上該事件中包含的結(jié)果的個(gè)數(shù)。20例3有一枚骰子，偶數(shù)點(diǎn)出現(xiàn)的概率比奇數(shù)點(diǎn)出現(xiàn)的概率大一倍，而不同偶數(shù)點(diǎn)出現(xiàn)的概率相同，不同奇數(shù)點(diǎn)出現(xiàn)的的概率也相同。將這枚骰子投擲一次，為這個(gè)試驗(yàn)建立概率模型，并求點(diǎn)數(shù)小于4的概率。解設(shè)Ai表示“出現(xiàn)i點(diǎn)”,i=1,2，...，6，則樣本空間為

根據(jù)可加性和歸一性，有又根據(jù)題意，21得出點(diǎn)數(shù)小于4的概率為：22例4若A發(fā)生的概率為0.6,A與B都發(fā)生的概率為0.1,A與B都不發(fā)生的概率為0.15，求(1)A發(fā)生但B不發(fā)生的概率;(2)B發(fā)生但A不發(fā)生的概率;(3)A與B至少有一個(gè)發(fā)生的概率。解：樣本空間可以用下面四個(gè)結(jié)果表示23由A發(fā)生的概率為0.6，得：A與B都發(fā)生的概率為0.1，得：A與B都不發(fā)生的概率為0.15，得：結(jié)合歸一化公式：得到：24于是：（1）A發(fā)生B不發(fā)生的概率為：（2）B發(fā)生A不發(fā)生的概率為：（3）A與B至少有一個(gè)發(fā)生的概率為：條件概率、乘法公式、全概率公式和貝葉斯公式條件概率：條件概率滿(mǎn)足概率三條公理，所以概率的一切性質(zhì)條件概率都適用。乘法公式:

全概率公式：其中是完備事件族貝葉斯公式：26例1

十個(gè)人中有4個(gè)女生，從中任挑兩名，若已知兩人中有一人是女生，求另一人也是女生的概率。解：所求概率為：故：27例2

有兩個(gè)設(shè)計(jì)團(tuán)隊(duì)，一個(gè)比較穩(wěn)重，記做C,另一個(gè)具有創(chuàng)新性,記做N。要求他們?cè)谝粋€(gè)月內(nèi)做一個(gè)新設(shè)計(jì)，從過(guò)去經(jīng)驗(yàn)知:a)C成功的概率為2/3;b)N成功的概率為1/2;c)兩個(gè)團(tuán)隊(duì)中至少有一個(gè)成功的概率為3/4.已知兩個(gè)團(tuán)隊(duì)中只有一個(gè)團(tuán)隊(duì)完成了任務(wù)。問(wèn)這個(gè)任務(wù)是N完成的概率有多大？解：共有四種可能的結(jié)果:SS：雙方成功FF：雙方失敗SF：C成功，N失敗FS：N成功，C失敗28將a),b),c)寫(xiě)成概率等式:P(SS)+P(SF)=2/3,

P(SS)+P(FS)=1/2,P(SS)+P(SF)+P(FS)=3/4結(jié)合歸一化公理：P(SS)+P(SF)+P(FS)+P(FF)=1得：P(SS)=5/12;P(SF)=1/4;P(FS)=1/12;故所求條件概率為29例3

假設(shè)在空戰(zhàn)中，若甲機(jī)先向乙機(jī)開(kāi)火，則擊落乙機(jī)的概率為0.2，若乙機(jī)未被擊落，就進(jìn)行還擊，擊落甲機(jī)的概率為0.3；若甲機(jī)亦未被擊落，再次進(jìn)攻乙機(jī)，擊落乙機(jī)的概率為0.4，在這幾個(gè)回合中，分別計(jì)算甲、乙被擊落的概率。解：樣本空間用樹(shù)狀圖表示：擊落乙0.2未擊落乙0.8擊落甲0.3未擊落甲0.7未擊落乙0.6擊落乙0.430設(shè)則設(shè)A={甲擊落乙}，B={乙擊落甲}，顯然擊落乙0.2未擊落乙0.8擊落甲0.3未擊落甲0.7未擊落乙0.6擊落乙0.4練習(xí)：袋中有2個(gè)紅球，3個(gè)白球，從中不放回的接連取出兩個(gè)球。求第二次取出紅球的概率。解：設(shè)A1表示第一次取出紅球，A2表示第一次取出白球，B表示第二次取出紅球。那么P（B）=P（BA1）+P（BA2）=P（B|A1）P(A1)+P（B|A2）P(A2)

=1/4*2/5+2/4*3/5

=2/52/51/42/43/532例一個(gè)袋內(nèi)裝有10個(gè)球，其中有4個(gè)白球，6個(gè)黑球，采取不放回抽樣，每次任取一個(gè)，若已知第二次取到白球，求第一次取到白球的概率。解：設(shè)A=“第一次取到白球”，B=“第二次取到白球”，求P(A|B)則A與構(gòu)成完備事件組獨(dú)立事件設(shè)(,F,P)為概率空間，F(xiàn)1F，若對(duì)任意A1,A2,,AnF1，n=2,3,，有則稱(chēng)F1為獨(dú)立事件族,或稱(chēng)F1中的事件相互獨(dú)立。事件A,B獨(dú)立，有P(AB)=P(A)P(B)事件A,B,C相互獨(dú)立，有P(AB)=P(A)P(B)P(AC)=P(A)P(C)P(BC)=P(B)P(C)P(ABC)=P(A)P(B)P(C)35例：某班50名學(xué)生，女生20名。第一組10名，其中4名女生。從中任選一名，A=“學(xué)生是第一組”，B=“女學(xué)生”，問(wèn)事件A、B是否獨(dú)立？分析：顯然故A，B獨(dú)立。注：若第一組的女生數(shù)量發(fā)生改變，比如有5名女生，則A，B不獨(dú)立。361.2隨機(jī)變量及其分布定義1.4設(shè)(,F,P)為概率空間，映射X：

R，eX(e)滿(mǎn)足

任意xR，{e:X(e)x}F，則稱(chēng)X(e)是F上的隨機(jī)變量，簡(jiǎn)記X。對(duì)xR，稱(chēng)F(x)=P{e:X(e)x}為隨機(jī)變量X的分布函數(shù)。37例投擲兩枚硬幣試驗(yàn)，={正正，正反，反正，反反}F={，{正正}，{正反}，{反正}，{反反}，{正正，正反}，{正正，反正}，{正正，反反}，{正反，反正}，{正反，反反}，{反正，反反}，{正正，正反，反正}，{正正，正反，反反}，{正正，反正，反反}，{正反，反正，反反}，{正正，正反，反正，反反}}

為可測(cè)空間，(，F(xiàn)

)為-代數(shù)P{}=0，P{正正}=P{正反}=P{反正}=P{反反}=1/4…，P{}=1，(,F,P)為概率空間38映射X：

R，X(正正)=2，X(正反)=X(反正)=1，X(反反)=0(1)x<0，{e:X(e)x}=F(2)0

x<1，{e:X(e)x}={反反}F(3)1

x<2，{e:X(e)x}={正反,反正,反反}F(4)x≥2，{e:X(e)x}={正正，正反,反正,反反}FX為隨機(jī)變量分布函數(shù)為即分布函數(shù)的性質(zhì)：(1)單調(diào)性：若x1<x2，則F(x1)F(x2)(2)，(3)F(x)右連續(xù)，F(xiàn)(x+0)=F(x)

這三個(gè)性質(zhì)完全刻劃了分布函數(shù)414)當(dāng)X為離散型隨機(jī)變量時(shí)，F(xiàn)(x)是階梯函數(shù)當(dāng)X為連續(xù)型隨機(jī)變量是，F(xiàn)(x)為連續(xù)函數(shù)5)當(dāng)X是離散型隨機(jī)變量且取整數(shù)時(shí)，分布函數(shù)和分布列可以利用求和或差分互求6)當(dāng)X為連續(xù)型隨機(jī)變量時(shí)，分布函數(shù)和概率密度函數(shù)可以通過(guò)積分或微分互求。密度函數(shù)表示“概率的變化率”：隨機(jī)變量：離散型，連續(xù)型離散型隨機(jī)變量X的概率分布用分布律(列)描述：P(X=xk)=pk，k=1,2,分布函數(shù)常見(jiàn)離散型隨機(jī)變量X及其分布律(1)0-1分布P(X=1)=p，P(X=0)=q，0<p<1，p+q=1(2)二項(xiàng)分布

P(X=k)=，0<p<1,p+q=1,k=0,1,2,,n(3)泊松分布P(X=k)=

，>0，k=0,1,2,(4)幾何分布P(X=k)=，0<p<1,p+q=1,k=1,2,連續(xù)型隨機(jī)變量X的概率分布用概率密度函數(shù)f(x)描述分布函數(shù)

常見(jiàn)連續(xù)型隨機(jī)變量X及其概率密度(1)均勻分布(2)正態(tài)分布(3)指數(shù)分布46例1設(shè)X是[a,b]上的幾何概型，則X的分布函數(shù)為：如果x<a,顯然F(x)=P(X≤x)=0;如果a≤x≤b,F(x)=P(X≤x)=(x-a)/(b-a);如果x>b,F(x)=P(X≤x)=1.于是，分布函數(shù)為：密度函數(shù)為：47例假設(shè)X和Y都服從區(qū)間[0,1]上的均勻分布，并且彼此相互獨(dú)立，問(wèn)隨機(jī)變量Z=Y/X的概率密度函數(shù)是什么？解根據(jù)下圖，時(shí)，當(dāng)時(shí)，當(dāng)48例設(shè)隨機(jī)變量X和Y相互獨(dú)立，Y的概率密度為記Z=X+Y,（1）求（2）求Z的概率密度。X的分布列為解（1）49（2）先求Z的分布函數(shù)：故Y的密度函數(shù)為50n維隨機(jī)變量及其概率分布(1)n維隨機(jī)變量及其分布的定義(2)n維離散型隨機(jī)變量和連續(xù)性隨機(jī)變量

----聯(lián)合分布列和聯(lián)合分布密度(3)邊緣分布----邊緣分布函數(shù)，邊緣分布列，邊緣分布密度(4)獨(dú)立性n維隨機(jī)變量及其概率分布定義1.5設(shè)(,F,P)為概率空間，X=X(e)=(X1(e),X2(e),,Xn(e))是定義在上的n維空間Rn中取值的向量函數(shù),如果對(duì)任意的x=(x1,x2,,xn)Rn，{e:X1(e)x1,X2(e)x2,,Xn(e)xn}F，則稱(chēng)X(e)是F上的n維隨機(jī)變量，簡(jiǎn)記為X=(X1,X2,,Xn)。例投擲兩枚硬幣試驗(yàn)，={正正，正反，反正，反反}F={，{正正}，{正反}，{反正}，{反反}，{正正，正反}，{正正，反正}，{正正，反反}，{正反，反正}，{正反，反反}，{反正，反反}，{正正，正反，反正}，{正正，正反，反反}，{正正，反正，反反}，{正反，反正，反反}，{正正，正反，反正，反反}}

為可測(cè)空間，(，F(xiàn)

)為-代數(shù)P{}=0，P{正正}=P{正反}=P{反正}=P{反反}=1/4…，P{}=1，(,F,P)為概率空間映射X1：

R，X1(正正)=1,X1(正反)=1,X1(反正)=0,X1(反反)=0;映射X2：

R，X2(正正)=0,X2(正反)=0,X2(反正)=1,X2(反反)=1;X1,X2為隨機(jī)變量,(X1,X2)為隨機(jī)向量。對(duì)x=(x1,x2,,xn)

Rn，稱(chēng)F(x)=F(x1,x2,,xn)=P{e:X1(e)x1,X2(e)x2,,Xn(e)xn}為n維隨機(jī)變量X=(X1,X2,,Xn)的聯(lián)合分布函數(shù)54n維聯(lián)合分布函數(shù)F(x1,x2,,xn)的性質(zhì)對(duì)于每個(gè)變?cè)獂i

(i=1,2,,n)，F(xiàn)(x1,x2,,xn)是非降函數(shù)(2)對(duì)于每個(gè)變?cè)獂i

(i=1,2,,n)，F(xiàn)(x1,x2,,xn)是右連續(xù)的(3)對(duì)于Rn的區(qū)域(a1,b1;a2,b2;;an,bn)，其中aibi(i=1,2,,n),F(b1,b2,

,bn)-+++(-1)n

F(a1,a2,

,an)0對(duì)于n=2F(b1,b2)-F(a1,b2)-F(b1,a2)+F(a1,a2)0

yb2a2

xa1b1對(duì)于n=3F(b1,b2,b3)-F(a1,b2,b3)-F(b1,a2,b3)-F(b1,b2,a3)+F(a1,a2,b3)+F(a1,b2,a3)+F(b1,a2,a3)-F(a1,a2,a3)0(4)(1)n維隨機(jī)變量及其分布的定義(2)n維離散型隨機(jī)變量和連續(xù)性隨機(jī)變量

----聯(lián)合分布列和聯(lián)合分布密度(3)邊緣分布----邊緣分布函數(shù)，邊緣分布列，邊緣分布密度(4)獨(dú)立性n維隨機(jī)變量及其概率分布n維離散型隨機(jī)變量X=(X1,X2,,Xn)Xi都是離散型隨機(jī)變量(i=1,2,,n)X=(X1,X2,,Xn)的聯(lián)合分布律為P(X1=x1,X2=x2,,Xn=xn)=其中xiIi是離散集，i=1,2,,nX=(X1,X2,,Xn)的聯(lián)合分布函數(shù)為(y1,y2,,yn)

Rn二維隨機(jī)變量(X,Y)的分布律也可表示為:二維離散型隨機(jī)變量的分布律離散型隨機(jī)變量(X,Y)

的分布函數(shù)為n維連續(xù)型隨機(jī)變量X=(X1,X2,,Xn)聯(lián)合概率密度f(wàn)(x1,x2,,xn)X=(X1,X2,,Xn)的聯(lián)合分布函數(shù)為(y1,y2,,yn)

Rn二維連續(xù)型隨機(jī)變量的分布函數(shù)n維隨機(jī)變量及其概率分布(1)n維隨機(jī)變量及其分布的定義(2)n維離散型隨機(jī)變量和連續(xù)性隨機(jī)變量

----聯(lián)合分布列和聯(lián)合分布密度(3)邊緣分布----邊緣分布函數(shù)，邊緣分布列，邊緣分布密度(4)獨(dú)立性二維隨機(jī)變量的邊緣分布函數(shù)為隨機(jī)變量

(X,Y)關(guān)于Y

的邊緣分布函數(shù).離散型隨機(jī)變量的邊緣分布律因此得離散型隨機(jī)變量關(guān)于X和Y的邊緣分布函數(shù)分別為例1

已知下列分布律求其邊緣分布律.注意聯(lián)合分布邊緣分布解連續(xù)型隨機(jī)變量的邊緣分布同理可得Y的邊緣分布函數(shù)Y的邊緣概率密度.(1)n維隨機(jī)變量及其分布的定義(2)n維離散型隨機(jī)變量和連續(xù)性隨機(jī)變量

----聯(lián)合分布列和聯(lián)合分布密度(3)邊緣分布----邊緣分布函數(shù)，邊緣分布列，邊緣分布密度(4)獨(dú)立性n維隨機(jī)變量及其概率分布隨機(jī)變量的獨(dú)立性定義1.6設(shè){Xt,tT}是一族隨機(jī)變量，若對(duì)任意n2和t1,t2,,tnT，x1,x2,,xnR，有則稱(chēng){Xt,tT}是獨(dú)立的。若{Xt,tT}是一族離散型隨機(jī)變量，則獨(dú)立性等價(jià)于其中xi是Xti的任意可能值(I=1,2,,n)例如，二維隨機(jī)變量獨(dú)立性等價(jià)于pij=pi.p.j其中pij=p(X=xi,Y=yj),pi.=p(X=xi),p.j=p(Y=yj),若{Xt,tT}是一族連續(xù)型隨機(jī)變量，則獨(dú)立性等價(jià)于其中是n維隨機(jī)變量的聯(lián)合概率密度,

是隨機(jī)變量的概率密度(i=1,2,,n)2.說(shuō)明

(1)若離散型隨機(jī)變量(X,Y)的聯(lián)合分布律為79例1：X和Y是否相互獨(dú)立？(X,Y)具有概率密度連續(xù)型隨機(jī)變量X,Y相互獨(dú)立，其密度函數(shù)有如下特征：

X和Y的邊緣概率密度分別為：1.3隨機(jī)變量的數(shù)字特征數(shù)學(xué)期望定義1.7設(shè)隨機(jī)變量X的分布函數(shù)為F(x)，若則稱(chēng)為X的數(shù)學(xué)期望(均值)對(duì)離散型隨機(jī)變量X，分布律P(X=xk)=pk，k=1,2,數(shù)學(xué)期望對(duì)連續(xù)型隨機(jī)變量X，概率密度f(wàn)(x)的數(shù)學(xué)期望方差定義1.8設(shè)X是隨機(jī)變量，若EX2<，則稱(chēng)DX=E[(X-EX)2]為X的方差協(xié)方差定義1.9設(shè)X,Y是隨機(jī)變量，若EX2<,EY2<，則稱(chēng)BXY=E[(X-EX)(Y-EY)]為X,Y的協(xié)方差BXY=EXY-EXEY1.3隨機(jī)變量的數(shù)字特征相關(guān)系數(shù)稱(chēng)為X,Y的相關(guān)系數(shù)

☆若XY=0，則稱(chēng)X,Y不相關(guān)。☆相關(guān)系數(shù)表示X,Y之間的線(xiàn)性相關(guān)程度的大小隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望和方差的性質(zhì)(1)E(aX+bY)=aE(X)+bE(Y)(2)若X,Y獨(dú)立，則E(XY)=E(X)E(Y)(3)若X,Y獨(dú)立，則D(aX+bY)=a2D(X)+b2D(Y)(4)(Schwarz不等式)若EX2<,EY2<，則

(E

XY)2

E(X2)E(Y2)隨機(jī)變量的函數(shù)的期望若n維隨機(jī)變量X=(X1,X2,,Xn)的聯(lián)合分布函數(shù)為F(x1,x2,,xn)，g(X)=g(X1,X2,,Xn),g(x1,x2,,xn)是n維連續(xù)函數(shù)，則例如一維離散型一維連續(xù)型1.4特征函數(shù)、母函數(shù)

常見(jiàn)隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望、方差、特征函數(shù)和母函數(shù)分布期望方差特征函數(shù)母函數(shù)0-1分布ppqq+ps二項(xiàng)分布npnpq(q+ps)n泊松分布幾何分布1.4特征函數(shù)、母函數(shù)常見(jiàn)隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望、方差、特征函數(shù)和矩母函數(shù)分布期望方差特征函數(shù)矩母函數(shù)均勻分布指數(shù)分布1.4特征函數(shù)、母函數(shù)特征函數(shù)定義1.10設(shè)隨機(jī)變量X的分布函數(shù)為F(x)，稱(chēng)為X的特征函數(shù)。分布律為P(X=xk)=pk，k=1,2,的離散型隨機(jī)變量X，特征函數(shù)為概率密度為f(x)的連續(xù)型隨機(jī)變量X，特征函數(shù)為例設(shè)X服從二項(xiàng)分布B(n,p)，求X的特征函數(shù)g(t)

。解X的分布律為P(X=k)=，q=1-p，k=0,1,2,,n

例設(shè)X~N(0,1)，求X的特征函數(shù)。解

常見(jiàn)隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望、方差、特征函數(shù)和母函數(shù)分布期望方差特征函數(shù)母函數(shù)0-1分布ppqq+ps二項(xiàng)分布npnpq(q+ps)n泊松分布幾何分布常見(jiàn)隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望、方差、特征函數(shù)和矩母函數(shù)分布期望方差特征函數(shù)矩母函數(shù)均勻分布指數(shù)分布隨機(jī)變量的特征函數(shù)的性質(zhì)(1)(2)g(t)在(-，

)上一致連續(xù)(3)若隨機(jī)變量X的n階矩EXn存在，則

g(k)(0)=ikEXk，kn

當(dāng)k=1時(shí)，EX

=

g(1)(0)/i；當(dāng)k=2時(shí)，DX

=-g(2)(0)-(g(1)(0)/i)2。

例設(shè)X服從二項(xiàng)分布B(n,p)，求X的特征函數(shù)g(t)及EX、EX2、DX。解X的分布律為P(X=k)=，q=1-p，k=0,1,2,,n(4)g(t)是非負(fù)定函數(shù)(5)若X1,X2,,Xn是相互獨(dú)立的隨機(jī)變量，則X=X1+X2++Xn的特征函數(shù)g(t)=g1(t)g2(t)

gn(t)(6)隨機(jī)變量的分布函數(shù)由特征函數(shù)唯一確定1.4特征函數(shù)、母函數(shù)

例

設(shè)隨機(jī)變量X的特征函數(shù)為gX(t)，Y=aX+b，其中a,b為任意實(shí)數(shù)，證明Y的特征函數(shù)gY(t)為證n維隨機(jī)變量的特征函數(shù)定義1.11設(shè)X=(X1,X2,,Xn)是n維隨機(jī)變量，t=(t1,t2,,tn)Rn，則稱(chēng)為X的特征函數(shù)。1.4特征函數(shù)、母函數(shù)矩母函數(shù)定義1.12設(shè)隨機(jī)變量X的分布函數(shù)為F(x)，稱(chēng)為X的矩母函數(shù)

☆

m(k)(0)=Exk

，m(it)=g(t)母函數(shù)設(shè)X是非負(fù)整數(shù)值隨機(jī)變量，分布律P{X=k}=pk，k=0,1,則稱(chēng)為X的母函數(shù)母函數(shù)的性質(zhì)(1)非負(fù)整數(shù)值隨機(jī)變量的分布律pk由其母函數(shù)P(s)唯一確定(1)證(2)設(shè)P(s)是X的母函數(shù)，若EX存在，則EX=P(1)若DX存在，則DX=P(1)+P(1)-[P(1)]2(2)證(3)獨(dú)立隨機(jī)變量之和的母函數(shù)等于母函數(shù)之積(4)若X1,X2,是相互獨(dú)立同分布的非負(fù)整數(shù)值隨機(jī)變量，N是與X1,X2,獨(dú)立的非負(fù)整數(shù)值隨機(jī)變量，則的母函數(shù)H(s)=G(P(s)),EY=ENEX1其中G(s),P(s)分別是N,X1的母函數(shù)例：某商店一天到達(dá)的顧客總數(shù)N服從均值λ的泊松分布，用X1,X2,…,XN表示各顧客購(gòu)買(mǎi)商品的情況，Xi=1表示第i個(gè)顧客購(gòu)買(mǎi)了商品，Xi=0表示第i個(gè)顧客沒(méi)有購(gòu)買(mǎi)商品，P(Xi=1)=p,P(Xi=0)=1-p=q,

i=1,2,…,N。X1,X2,…,XN相互獨(dú)立且和N獨(dú)立。用Y表示購(gòu)買(mǎi)商品的顧客數(shù)，求Y的分布，及EY。1.4特征函數(shù)、母函數(shù)

1.4特征函數(shù)、母函數(shù)

1.4特征函數(shù)、母函數(shù)設(shè)相互獨(dú)立離散型非負(fù)整數(shù)隨機(jī)變量X,Y的分布律分別為P{X=k}=pk，P{Y=k}=qk，k=0,1,，則Z=X+Y的分布律為P{Z=k}=ck,其中ck=p0

qk+p1qk-1

++pkq0

設(shè)X,Y,Z的母函數(shù)分別為PX(s),PY(s),PZ(s)，即有卷積的母函數(shù)：1.4特征函數(shù)、母函數(shù)1.5n維正態(tài)分布若n維隨機(jī)變量X=(X1,X2,,Xn)的聯(lián)合概率密度函數(shù)為式中，是常向量是對(duì)稱(chēng)矩陣則稱(chēng)X為n維正態(tài)隨機(jī)變量，X~N(,)特征函數(shù)g(t)=t=(t1,t2,…,tn)1.5n維正態(tài)分布二維正態(tài)分布X=(X1,X2)~N(,)

X1~N(1

,

1),X2~N(2

,

2),X1與X2相關(guān)系數(shù)為1.5n維正態(tài)分布二維正態(tài)分布聯(lián)合概率密度1.5n維正態(tài)分布特別地，當(dāng)ρ=0時(shí)，多維正態(tài)分布的性質(zhì)設(shè)X~N(μ,Σ),Y=XA+b，若A’ΣA正定，則，Y~N(μA+b,A’ΣA),即正態(tài)分布隨機(jī)變量的線(xiàn)性變換仍是正態(tài)隨機(jī)變量。特別的，對(duì)于一維正態(tài)隨機(jī)變量X~N(μ,σ2),

Y=aX+b,則Y~N(aμ+b,a2σ2)1.4特征函數(shù)、母函數(shù)例

X~N(μ,σ2),Y=aX+b,則Y~N(aμ+b,a2σ2)

證：1.6條件期望設(shè)X,Y是離散型隨機(jī)變量，對(duì)一切使P{Y=y}>0的y