集合的概念與表示方法

授課主題集合的概念與表示方法教學目的1、 初步理解集合的含義，了解集合元素的性質(zhì)。2、 知道常用數(shù)集及其記法。了解“屬于”關(guān)系的意義。了解有限集、無限集、空集的意義。教學重點理解集合的元素的性質(zhì)。教學內(nèi)容"1名數(shù)學家=10個師”第二次世界大戰(zhàn)中，美國曾經(jīng)宣稱：一名優(yōu)秀的數(shù)學家的作用超過10個師的兵力。你可知這句話的由來嗎？1943年以前，在大西洋上英美運輸船隊常常受到德國潛艇的襲擊，當時，英美兩國限于實力，無力增派更多的護航艦，一時間，德軍的"潛艇戰(zhàn)"搞得盟軍焦頭爛額。為此，有位美國海軍將領(lǐng)專門去請教了幾位數(shù)學家，數(shù)學家們運用概率論分析后發(fā)現(xiàn)，艦隊與敵潛艇相遇是一個隨機事件，按數(shù)學角度來看這一問題，它有一定的規(guī)律。一定數(shù)量的船（如100艘）編隊規(guī)模越小，編次就越多（如每次20艘，就要有5個編次）；編次越多，與敵人相遇的概率就越大。比如5位同學放學都回自己家里，老師要找一位同學的話，隨便去哪家都行，但若這5位同學都在其中某一家的話，老師要找?guī)准也拍苷业?，一次找到的可能性只?0%。美國海軍接受了數(shù)學家的建議，命令船隊在指定海域集合，再集體通過危險海域，然后各自駛向預定港口。結(jié)果奇跡出現(xiàn)了：盟軍艦隊遭襲被擊沉的概率由原來的25%降低為1%，大大減少了損失，保證了物資的及時供應(yīng)。【2013年全國新課標1】已知集合A={xIx2-2x>0},B={xI—、；5<x<3}，則()A.AnB=0B.AuB=R C.BcA D.AcB【2013年安徽】已知A={xIx+1>。},B={—2,—1,0,1}，0(CrA)cB=()A.{—2,—1} B.{—2} C.{—1,0,1} D.{0,1}【2013年福建】若集合A={1,2,3},B={1,3,4}，則AnB的子集個數(shù)為( )A.2 B.3 C.4 D.16【2013年陜西】設(shè)全集為R,函數(shù)f(x)=打二3的定義域為M,則CRM為()A.[—1,1] B.(—1,1)C.(—8,—1]D[1,+8) D.(—8,—1)D(1,+8)交集、并集定義、性質(zhì)、運用新知1:集合與元素的概念一般地，稱一定范圍內(nèi)某些確定的、不同的對象的全體構(gòu)成一個集合（set）。集合中的每一個對象稱為該集合的元素（element），簡稱元。集合通常用大括號{}或大寫的拉丁字母A,B,C...表示，集合的元素常用小寫的拉丁字母來表示。如a、b、c、p、q......例如A={1,3,a,c,a+b}注意：（1）集合是數(shù)學中原始的、不定義的概念，只作描述.（2）集合是一個“整體.（3）構(gòu)成集合的對象必須是“確定的”且“不同”的例如：指出下列對象是否構(gòu)成集合，如果是，指出該集合的元素。（1）我國的直轄市； （2）五中高一（1）班全體學生；（3）較大的數(shù)（4）young中的字母；（5）大于100的數(shù)；（6）小于0的正數(shù)。新知2:集合元素的特征1、對于一個給定的集合，集合中的元素是確定的，是互異的，是無序的，即集合元素三特征2、集合相等：構(gòu)成兩個集合的元素完全一樣。例如A={1,2,3},B={3,2,1}則A=B新知3.元素與集合的關(guān)系元素與集合的關(guān)系用“屬于，，和“不屬于，，表示；(1)如果a是集合A的元素，就說a屬于A，記作％A(2)如果a不是集合A的元素，就說a不屬于A，記作aA作”的開口方向，不能把aeA顛倒過來寫.)新知4:常用數(shù)集及其記法非負整數(shù)集(或自然數(shù)集)，記作N在自然數(shù)集內(nèi)排除0的集合叫做正整數(shù)集，記作N?或N+;整數(shù)全體構(gòu)成的集合叫做整數(shù)集，記作Z有理數(shù)全體構(gòu)成的集合叫做有理數(shù)集，記作Q實屬全體構(gòu)成的集合叫做實數(shù)集，記作R注意：(1)自然數(shù)集與非負整數(shù)集是相同的，也就是說，自然數(shù)集包括數(shù)0(2)非負整數(shù)集內(nèi)排除0的集.記作N?或N+.Q、Z、R等其它數(shù)集內(nèi)排除0的集，也是這樣表示，例如，整數(shù)集內(nèi)排除0的集，表示成Z*新知5:集合的分類：按它的元素個數(shù)多少來分：叫做有限集;(ii)叫做無限集;(iii)叫做空集，記為例題解析題型一集合的判斷例1、下面的各組對象能組成集合的是(1)正三角形的全體(2)血壓很高的人(3)鮮艷的顏色(4)某校2009級高一新生所有數(shù)學難題(6)所有不大于3，不小于0的整數(shù)(7)充分接近100的全體實數(shù)例2、下列各組對象不能形成集合的是.????⑴大于6的所有整數(shù)； ⑵高中數(shù)學的所有難題；1⑶被3除余2的所有整數(shù)； ⑷函數(shù)y=-圖象上所有的點.x變式訓練：下面的各組對象能組成集合的是(1)世界上最高的山峰(2)高一數(shù)學課本中的難題(3)中國國旗的顏色(4)充分小的負數(shù)的全體 (5)book中的字母立方等于本身的實數(shù)(7)不等式2x-8<13的正整數(shù)解題型二元素與集合之間的關(guān)系例1、用％、“冬”填空(1)3.14Q；(2)擋Z;(3)0N*;(4)<3R;(5)兀3.14；(6)0N；(7)0^；例2、A表示“1~20以內(nèi)的所有素數(shù)”組成的集合是則有3A,4A,7A,9A,13A,15A 填(e或w)變式練習1、A=(2,4,8,16)，則4A,8A,32A. 填(e或w)2.用七”或“w”符號填空：⑴8N; ⑵0N; （3）-3Z; ⑷、2Q;（5）-14R（6）設(shè)A為所有亞洲國家組成的集合，則中國A，美國A，印度 A，英國A題型三集合中元素的特性例1以方程臚-51+6=0和方程臚-%-2=0的解為元素構(gòu)成的集合M,則M中元素的個數(shù)為（）A、1個B2個C3個D4個例2、已知集合A是由2,x,x2-x三個元素組成的集合，則x應(yīng)滿足的條件是變式訓練：1、由（-1）〃，neN構(gòu)成的集合中含有元素的個數(shù)為（）A、1個B、2個C、0個D、無數(shù)個2、 已知集合A是由0,m,m2-3m+2三個元素組成的集合，且2eA,則實數(shù)m=題型四集合的分類例4下列各組對象能否構(gòu)成集合。若能構(gòu)成集合，則指出它們是有限集、無限集還是空集。?中國的所有人口的全體；?山東省2008年應(yīng)屆初中畢業(yè)生；?數(shù)軸上到原點的距離小于1的點；?方程x2=0的解的全體；?你們班中成績較好的同學；小于1的正整數(shù)的全體.新知6:集合的表示方法列舉法：把集合中的元素一一列舉出來，并用花括號“{}”括起來表示集合的方法叫列舉法。如：A=(1,2,3,4,5},B={x2,3x+2,5y3-x,X2+y2}，…；說明：1、書寫時，元素與元素之間用逗號分開；2、 一般不必考慮元素之間的順序；3、 集合中的元素可以為數(shù)，點，代數(shù)式、文字等；4、 列舉法可表示有限元素集，也可以表示無限元素集。當元素個數(shù)比較少時用列舉法比較簡單；若集合中的元素較多或無限，但出現(xiàn)一定的規(guī)律性，在不發(fā)生誤解的情況下，也可以用列舉法表示。5、 對于含有較多元素的集合，用列舉法表示時，必須把元素間的規(guī)律顯示清楚后方能用省略號，象自然數(shù)集N用列舉法表示為{1,2,3,4,5,......}例1、用列舉法表示下列集合::(1)小于10的所有自然數(shù)組成的集合；(2)方程X2=X的所有實數(shù)根組成的集合；(3)我國現(xiàn)有的直轄市。.例1解答：(1)設(shè)小于10的所有自然數(shù)組成的集合為A,那么A={0,1,2,3,4,5,6,7,8,9}.

由于元素完全相同的兩個集合相等，而與列舉的順序無關(guān)，因此集合A可以有不同的列舉法.例如：A=｛9，8，7，6，5，4，3，2，1，0｝.（2）設(shè)方程X2=x的所有實數(shù)根組成的集合為B，那么B=｛0，1｝.變式練習用列舉法表示下列集合：（1）X2-4的一次因式組成的集合. （2）｛yIy=-X2-2x+3，XGR,yeN｝.⑶方程X2+6x+9=0的解集. （4）｛20以內(nèi)的質(zhì)數(shù)｝.（5）｛（x，y）|X2+y2=1，XGZ,yeZ）.⑹｛大于0小于3的整數(shù)｝.（7） ｛XgR|X2+5x-14=0｝.（8） ｛（x，y）｝|xgN，且1<x<4，y-2x=0｝.（9） ｛（x，y）|x+y=6,xeN，yeN｝.描述法：用集合所含元素的共同特征表示集合的方法，稱為描述法。。方法：在花括號內(nèi)先寫上表示這個集合元素的一般符號及取值(或變化)范圍，再畫一條豎線，在豎線后寫出這個集合中元素所具有的共同特征。一般格式：｛xeA|p(x)｝其中X代表元素，A是集合，P是集合A的一個特征性質(zhì)。.如：(x|x-3>2),｛(x,y)|y=x2+1｝,｛x|直角三角形｝，…；說明:①描述法表示集合時，應(yīng)特別注意集合的代表元素，如((x,y)ly=x2-1｝與(y|y=x2-1｝不同.只要不引起誤解，集合的代表元素也可省略，例如｛xlx〉1｝,｛xlx=3k,keZ｝.集合的｛｝已包含“所有”的意思，例如：｛整數(shù)｝，即代表整數(shù)集Z，所以不必寫｛全體整數(shù)｝.下列寫法｛實數(shù)集｝，｛R｝也是錯誤的.員2用描述法表示下列集合：⑴方程2x+y=5的解集. ⑵小于10的所有非負整數(shù)的集合.⑶方程ax+by=0(ab*0)的解.⑷大于3的全體偶數(shù)組成的集合.⑸平面直角坐標系中第11、111象限點的集合.x+y=1⑹方程組［ ,的解的集合. ⑺｛1，3，5，7，...｝.x-y=1說明：列舉法與描述法各有優(yōu)點，應(yīng)該根據(jù)具體問題確定采用哪種表示法，要注意，一般集合中元素較多或有無限個元素時，不宜采用列舉法。變式練習用描述法表示下列集合：x軸上所有點的集合.非負偶數(shù).能被3整除的整數(shù).3、veen（韋恩）圖集合的表示除了上述兩種方法以外，還有韋恩圖法，即畫一條封閉的曲線,用它的內(nèi)部來表示一個集合，如下圖所示：表示任意一個集合A 表示{3,9,27}知識拓展1、集合論是德國著名數(shù)學家康托爾于19世紀末創(chuàng)立的.1874年康托爾提出“集合”的概念：把若干確定的有區(qū)別的（不論是具體的或抽象的）事物合并起來，看作一個整體，就稱為一個集合，其中各事物稱為該集合的元素.人們把康托爾于1873年12月7日給戴德金的信中最早提出集合論思想的那一天定為集合論誕生日.2、所謂質(zhì)數(shù)或稱素數(shù)，就是一個正整數(shù)，除了本身和1以外并沒有任何其他因子。例如2，3，5，7是質(zhì)數(shù)，而4，6，8，9則不是，后者稱為合成數(shù)或合數(shù)。從這個觀點可將整數(shù)分為兩種，一種叫質(zhì)數(shù)，一種叫合成數(shù)。除了1和它本身兩個約數(shù)外，還有其它約數(shù)的數(shù)，叫合數(shù)1.把能夠整除某一個數(shù)的數(shù)，叫做這個數(shù)的約數(shù)。幾個數(shù)所公有的約數(shù)叫這幾個數(shù)的公約數(shù)。公約數(shù)中最大的一個叫做這幾個數(shù)的最大公約數(shù)。2.幾個數(shù)所公有的倍數(shù)，叫做這幾個數(shù)的公倍數(shù)。公倍數(shù)中最小的一個（零除外）叫做這幾個數(shù)的最小公倍數(shù)。一、選擇題下列元素與集合的關(guān)系中正確的是()11wN B.2e(XeR|x^.3) C.|-3|eN*D.-3.2eQ2給出下列四個命題：很小的實數(shù)可以構(gòu)成集合；集合｛y|y=X2-i｝與集合｛(x,y)|y=X2-i｝是同一個集合；1,3,6,-1,0.5這些數(shù)字組成的集合有5個元素；24 2集合｛(x,y)|xy^0,x,ywR｝是指第二象限或第四象限內(nèi)的點的集合.以上命題中，正確命題的個數(shù)是()A.0 B.1 C.2 D.3下列集合中表示同一集合的是()A.M=｛(3,2)｝,N=｛(2,3)｝M={3,2},N={(2,3)}M={(x,y)|x+y=1},N={y|x+y=1}M={1,2},N={2,1}已知XeN,則方程必+x-2=0的解集為()A.{x|x=-2} B.{x|x=1或x=-2} C.{x|x=1} D.0已知集合M={meN|8-meN},則集合M中元素個數(shù)是()A.6 B.7 C.8 D.9二、填空題用符號“e”或“4‘填空：0N,J5N,扇N.用列舉法表示A={y|y=x2+1,-2<x<2,xeZ}^.用描述法表示集合“方程x2-2x+3=0的解集”為.集合{x|x>3}與集合{t|t>3}是否表示同一集合？已知集合P={x|2<x<a,xeN}，已知集合P中恰有3個元素，則整數(shù)a=(附加題)下列對象能否組成集合：數(shù)組1、3、5、7;到兩定點距離的和等于兩定點間距離的點；滿足3x-2>x+3的全體實數(shù)；所有直角三角形