2022-2023學(xué)年河南省鄭州市第六十一中學(xué)高二數(shù)學(xué)文上學(xué)期期末試題含解析

2022-2023學(xué)年河南省鄭州市第六十一中學(xué)高二數(shù)學(xué)文上學(xué)期期末試題含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有是一個(gè)符合題目要求的1.的展開(kāi)式中的系數(shù)為

(

)（A）4

（B）6

（C）10

（D）20參考答案：B略2.若是實(shí)數(shù)，則是的（

）A．充分不必要條件

B．必要不充分條件

C．充要條件

D．既不充分也不必要條件參考答案：A3.當(dāng)時(shí)，不等式成立，則此不等式的解集為() A．

B．C． D．參考答案：B略4.在一組樣本數(shù)據(jù)的散點(diǎn)圖中，若所有樣本點(diǎn)都在直線上，則這組樣本數(shù)據(jù)的樣本相關(guān)系數(shù)為（

）A、

B、

C、

D、參考答案：A5.已知，則下列結(jié)論錯(cuò)誤的是A. B. C. D.參考答案：B【分析】先由得到a與b大小關(guān)系，再判斷.【詳解】由，得：b＜a＜0，所以a2＜b2，故A正確；因?yàn)閍＞b，b＜0，所以ab＜b2，故B不正確;因?yàn)椋?，所以，故C正確；因?yàn)閍＞b，a＜0，所以a2＜ab，根據(jù)對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性，所以lga2＜lgab，所以D正確；故選B.【點(diǎn)睛】本題考查了不等式的性質(zhì)，考查了基本不等式，若比較大小的兩式是指數(shù)型或?qū)?shù)型等，可構(gòu)造具體函數(shù)，利用函數(shù)的單調(diào)性進(jìn)行判斷.6.下列有關(guān)命題的敘述錯(cuò)誤的是 （

） A．對(duì)于命題 B．若“P且Q”為假命題，則P，Q均為假命題 C．“”是的充分不必要條件 D．命題“若”的逆否命題為“若”參考答案：B7.已知實(shí)數(shù)滿(mǎn)足不等式組若的最大值為1，則正數(shù)a的值為（

）A．

B．1

C．2

D．4參考答案：D作出不等式組對(duì)應(yīng)的平面區(qū)域如圖所示，是可行域內(nèi)的點(diǎn)與定點(diǎn)連線的斜率，由圖可見(jiàn)，點(diǎn)與點(diǎn)的連線的斜率最大，由，解得時(shí)，取最大值，解得，故選D.

8.已知拋物線x2=2py（p＞0）的焦點(diǎn)為F，過(guò)點(diǎn)F且傾斜角為150°的直線l與拋物線在第一、二象限分別交于A，B兩點(diǎn)，則（）A．3 B． C． D．參考答案：A【考點(diǎn)】拋物線的簡(jiǎn)單性質(zhì)．【分析】設(shè)直線l的方程為：x=﹣（y﹣），代入拋物線方程，求得A和B坐標(biāo)，由拋物線的焦點(diǎn)弦公式，即可求得的值．【解答】解：設(shè)A（x1，y1），B（x2，y2），直線l的方程為：x=﹣（y﹣）則：，消去x可得12y2﹣20py+3p2=0，點(diǎn)A在第一象限，解得：y1=，y2=，∴===3，故選A．9.已知M是正四面體ABCD棱AB的中點(diǎn)，N是棱CD上異于端點(diǎn)C，D的任一點(diǎn)，則下列結(jié)論中，正確的個(gè)數(shù)有（）（1）MN⊥AB；（2）若N為中點(diǎn)，則MN與AD所成角為60°；（3）平面CDM⊥平面ABN；（4）不存在點(diǎn)N，使得過(guò)MN的平面與AC垂直．A.1

B.2

C.3

D.4參考答案：C逐一考查所給的四個(gè)說(shuō)法：(1)連結(jié)MC，MD，由三角形三線合一可得AB⊥CM，AB⊥DM，∴AB⊥平面MCD，∵M(jìn)N?平面MCD,∴AB⊥MN,故(1)正確；(2)取BD中點(diǎn)E，連結(jié)ME，NE，則∠NME或其補(bǔ)角為MN與AD所成角，連結(jié)BN,由(1)知BM⊥MN,設(shè)正四面體棱長(zhǎng)為1,則，,∴cos∠NME=,∴∠NME=45°,故(2)不正確；(3)由(1)知AB⊥平面CDM,∵AB?平面ABN,∴平面CDM⊥平面ABN,故(3)正確；(4)取BC中點(diǎn)F，連結(jié)MF，DF，假設(shè)存在點(diǎn)N，使得過(guò)MN的平面與AC垂直，∴AC⊥MN,∵M(jìn)F∥AC，∴MF⊥MN，∵DF=DM=,∴∠FMD<90°,很明顯∠CMF<90°.當(dāng)N從D向C移動(dòng)時(shí),∠FMN先減小,后增大,故∠FMN<90°，與MF⊥MN矛盾.∴不存在點(diǎn)N,使得過(guò)MN的平面與AC垂直,故(4)正確.本題選擇C選項(xiàng).10.在中，角的對(duì)邊分別是，已知，則A． B． C． D．或參考答案：B略二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.已知三點(diǎn)，，共線，則實(shí)數(shù)

.參考答案：

12.同時(shí)擲四枚均勻的硬幣，有三枚“正面向上”的概率是____________.參考答案：試題分析：列舉:四正(1),三正一反(4),二正二反(6),三反一證(4),四反(1),共計(jì)16種情況,所以概率為.考點(diǎn)：古典概型.13.y=的定義域是．參考答案：（]【考點(diǎn)】33：函數(shù)的定義域及其求法．【分析】由根式內(nèi)部的代數(shù)式大于等于0，然后求解對(duì)數(shù)不等式得答案．【解答】解：由，得0＜3x﹣2≤1，∴，∴y=的定義域是（]．故答案為：（]．14.已知，則最小正整數(shù)n= .參考答案：3略15.已知A(1,1),B(0,2),C(3,－5),則△ABC的面積為_(kāi)____________.參考答案：216.設(shè)過(guò)點(diǎn)的直線分別與軸的正半軸和軸的正半軸交于A、B兩點(diǎn)，點(diǎn)Q于點(diǎn)P關(guān)于y軸對(duì)稱(chēng)，O為原點(diǎn)，若P為AB的中點(diǎn)，且，則點(diǎn)P的軌跡方程為_(kāi)_________．參考答案：解：由為中點(diǎn)可得，，則，而點(diǎn)坐標(biāo)為，則，，且，，則軌跡方程為．17.極坐標(biāo)方程分別為ρ=cosθ與ρ=sinθ的兩個(gè)圓的圓心距為．參考答案：【考點(diǎn)】Q4：簡(jiǎn)單曲線的極坐標(biāo)方程．【分析】先利用直角坐標(biāo)與極坐標(biāo)間的關(guān)系，即利用ρcosθ=x，ρsinθ=y，ρ2=x2+y2，將極坐標(biāo)方程為ρ=cosθ和ρ=sinθ化成直角坐標(biāo)方程，最后利用直角坐標(biāo)方程的形式，結(jié)合兩點(diǎn)間的距離公式求解即得．【解答】解：由ρ=cosθ，化為直角坐標(biāo)方程為x2+y2﹣x=0，其圓心是A（，0），由ρ=sinθ，化為直角坐標(biāo)方程為x2+y2﹣y=0，其圓心是B（0，），由兩點(diǎn)間的距離公式，得AB=，故答案為：．【點(diǎn)評(píng)】本小題主要考查圓的極坐標(biāo)方程與直角坐標(biāo)方程的互化，以及利用圓的幾何性質(zhì)計(jì)算圓心距等基本方法，我們要給予重視．三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明，證明過(guò)程或演算步驟18.已知直線為參數(shù)),曲線

（為參數(shù)）.(I)設(shè)與相交于兩點(diǎn),求；(II)若把曲線上各點(diǎn)的橫坐標(biāo)壓縮為原來(lái)的倍,縱坐標(biāo)壓縮為原來(lái)的倍,得到曲線,設(shè)點(diǎn)是曲線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn),求它到直線的距離的最小值.參考答案：解：（I）的普通方程為的普通方程為聯(lián)立方程組解得與的交點(diǎn)為,,則.

（II）的參數(shù)方程為為參數(shù)).故點(diǎn)的坐標(biāo)是,從而點(diǎn)到直線的距離是

,由此當(dāng)時(shí),取得最小值,且最小值為.略19.（7分）已知命題命題若命題是真命題，求實(shí)數(shù)的取值范圍.參考答案：略20.如圖所示，橢圓C：+=1（a＞b＞0），其中e=，焦距為2，過(guò)點(diǎn)M（4，0）的直線l與橢圓C交于點(diǎn)A、B，點(diǎn)B在AM之間．又點(diǎn)A，B的中點(diǎn)橫坐標(biāo)為，且=λ．（Ⅰ）求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；（Ⅱ）求實(shí)數(shù)λ的值．參考答案：考點(diǎn)：橢圓的簡(jiǎn)單性質(zhì)．專(zhuān)題：計(jì)算題；平面向量及應(yīng)用；直線與圓；圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程．分析：（I）運(yùn)用離心率公式和橢圓的a，b，c的關(guān)系，解得a，b，即可得到橢圓方程；（II）運(yùn)用向量共線的知識(shí)，設(shè)出直線l的方程，聯(lián)立橢圓方程，消去y，運(yùn)用判別式大于0，以及韋達(dá)定理和中點(diǎn)坐標(biāo)公式，計(jì)算得到A，B的橫坐標(biāo)，即可得到所求值．解答：解：（I）由條件可知，c=1，a=2，故b2=a2﹣c2=3，橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程是．（II）由，可知A，B，M三點(diǎn)共線，設(shè)點(diǎn)A（x1，y1），點(diǎn)B（x2，y2）．若直線AB⊥x軸，則x1=x2=4，不合題意．當(dāng)AB所在直線l的斜率k存在時(shí)，設(shè)直線l的方程為y=k（x﹣4）．由消去y得，（3+4k2）x2﹣32k2x+64k2﹣12=0．①由①的判別式△=322k4﹣4（4k2+3）（64k2﹣12）=144（1﹣4k2）＞0，解得，，由，可得，即有．將代入方程①，得7x2﹣8x﹣8=0，則x1=，x2=．又因?yàn)?，，，所以，所以?．點(diǎn)評(píng)：本題考查橢圓的方程和性質(zhì)，考查直線方程和橢圓方程聯(lián)立，運(yùn)用韋達(dá)定理和中點(diǎn)坐標(biāo)公式，考查運(yùn)算能力，屬于中檔題．21.(本小題滿(mǎn)分14分)已知函數(shù)，(Ⅰ)求的極小值；(Ⅱ)若函數(shù)上為單調(diào)增函數(shù)，求m的取值范圍；(Ⅲ)設(shè)(e是自然對(duì)數(shù)的底數(shù))上至少存在一個(gè)x0，使得f(x0)－g(x0)>h(x0)成立，求m的取值范圍。參考答案：解：（Ⅰ）由題意，，，∴當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，所以，在上是減函數(shù)，在上是增函數(shù)，故．

…………4分（Ⅱ），，由于在內(nèi)為單調(diào)增函數(shù)，所以在上恒成立，即在上恒成立，故，所以的取值范圍是．

…………8分（Ⅲ）構(gòu)造函數(shù)，當(dāng)時(shí)，由得，，，所以在上不存在一個(gè)，使得．

…………10分當(dāng)時(shí)，，因?yàn)?，所以，，所以在上恒成立，故在上單調(diào)遞增，，所以要在上存在一個(gè)，使得，必須且只需，解得，故的取值范圍是．

…14分另法:（Ⅲ）當(dāng)時(shí)，．當(dāng)時(shí)，由，得，令，則，所以在上遞減，．綜上，要在上存在一個(gè)，使得，必須且只需．22.已知拋物線，焦點(diǎn)為F，準(zhǔn)線為l，線段OF的中點(diǎn)為G.點(diǎn)P是C上在x軸上方的一點(diǎn)，且點(diǎn)P到l的距離等于它到原點(diǎn)O的距離.（1）求P點(diǎn)的坐標(biāo)；（2）過(guò)點(diǎn)作一條斜率為正數(shù)的直線與拋物線C從左向右依次交于A、B兩點(diǎn)，求證：.參考答案：（1）；（2）詳見(jiàn)解析.【分析】（1）由點(diǎn)到的距離等于它到原點(diǎn)的距離，得，又為線段的中點(diǎn)，所以，設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)為，代入拋物線的方程，解得，即可得到點(diǎn)坐標(biāo).（2）設(shè)直線的方程為，代入拋物線的方程，根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系，求得，，進(jìn)而得到，進(jìn)而得到直線和的傾斜角互補(bǔ)，即可作出證明.【詳解】（1）根據(jù)拋物線的定義，點(diǎn)到的距離等于，因?yàn)辄c(diǎn)到的距離等于它到原點(diǎn)的距離，所以，從而為等腰三角形，又為線段的中點(diǎn)，所以，設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)為，代入，解得，故點(diǎn)