2022-2023學(xué)年山東省棗莊市滕州市高二年級(jí)上冊(cè)學(xué)期12月月考數(shù)學(xué)試題含答案

2022-2023學(xué)年山東省棗莊市滕州市高二上學(xué)期12月月考數(shù)學(xué)試題

一、單選題

1.設(shè)況為等差數(shù)列的前〃項(xiàng)和，若知+4=12,則W的值為（）

A.14B.28C.36D.48

【答案】D

[分析】利用等差數(shù)列的前〃項(xiàng)和公式以及等差數(shù)列的性質(zhì)即可求出.

因?yàn)镾”為等差數(shù)列｛"”｝的前〃項(xiàng)和,

【詳解】

出尹=4（…）

S8

所以

=4（%+牝）=48

故選：D

【點(diǎn)睛】本題考查了等差數(shù)列的前〃項(xiàng)和公式的計(jì)算以及等差數(shù)列性質(zhì)的應(yīng)用，屬于較易題.

《一仁=1

2.雙曲線916的左頂點(diǎn)到其漸近線的距離為

912

A.2B.5c.5D.3

【答案】C

【解析】先求左頂點(diǎn)坐標(biāo)以及漸近線方程，再根據(jù)點(diǎn)到直線距離公式求結(jié)果.

2?22

土-匕=1土一匕=04X±3V=0

【詳解】因?yàn)殡p曲線916的左頂點(diǎn)為（-3,0）,漸近線方程為916'

片上_]|4x（-3）±3xQ|_12

所以雙曲線916一的左頂點(diǎn)到其漸近線的距離為5-5

故選：C

【點(diǎn)睛】本題考查雙曲線漸近線以及點(diǎn)到直線的距離公式，考查基本分析求解能力，屬基礎(chǔ)題.

3.經(jīng)過兩點(diǎn)（占'匕）、%）的直線方程都可以表示為（）

x一'=-一必x-x?=--%

A.x2fy2-y,B.否一々必一外

C.。-乂）（々-再）=（X-N）（%-%）口.，-必=；7："*）

【答案】C

【分析】根據(jù)兩點(diǎn)式直線方程即可求解.

Xf二y一_2

【詳解】當(dāng)經(jīng)過（X”％）、（*2，8）的直線不與》,丁軸平行時(shí)，所有直線均可以用國(guó)一%%一%,

由于x“Xz可能相等，所以只有選項(xiàng)c滿足包括與軸平行的直線.

故選:C

4.已知矩形,88,尸為平面/BCD外一點(diǎn)，且PZJ■平面Z8CD,分別為尸。,「。上的點(diǎn)，

PM=2MC,PN=ND,NM=xAB+yAD+zAP,則x+y+z=（）

_225

A.3B.3C.1D.6

【答案】B

211

x=-,y=—,z=—

【分析】根據(jù)空間向量基本定理求出3-66,求出答案.

【詳解】因?yàn)樗?2砒，麗=加，

?''———，-1——2"1''一1——21,2~

NM=NP+PM=—DP—PC=-AP一一AD+-AC一一AP

所以232233

1——2——1—?1--2—2——1—?2—?1——1—>

=一一AD+-AC一一AP=一一AD+-AB+-AD一一AP=—AB+—AD一一AP

2362336366,

2112

x=—,y=—,z=——x+y+z=一

故3）66,故）3.

故選：B

5.冬春季節(jié)是流感多發(fā)期，某地醫(yī)院近30天每天入院治療流感的人數(shù)依次構(gòu)成數(shù)列{%},已知

囚=1,。2=2,且滿足4+2-%=1+（T）"（〃eN*）,則該醫(yī)院30天入院治療流感的共有（）人

A.225B.255C.365D.465

【答案】B

【解析】直接利用分類討論思想的應(yīng)用求出數(shù)列的通項(xiàng)公式，進(jìn)一步利用分組法求出數(shù)列的和

【詳解】解：當(dāng)〃為奇數(shù)時(shí)，％+2=%，

當(dāng)”為偶數(shù)時(shí)，4，，+2一凡=2

所以卬=%=i=々9=1,

。2必，…嗎。是以2為首項(xiàng)，2為公差的等差數(shù)列，

15x14

S30=（q+。3+???+。，9）+（。2+。4+???+。3。）=15+15x2+---------x2=255

所以■2

故選：B

6.已知點(diǎn)“（4，°）和8（2,2）,M是橢圓天+5-上的動(dòng)點(diǎn)，貝+最大值是（）

A,10+2\ZTOB.10—2>/foc8+V10D8—VW

【答案】A

【分析】設(shè)左焦點(diǎn)為尸（一4,0）,A為橢圓右焦點(diǎn)，利用橢圓定義轉(zhuǎn)化|M/|+|MB|=10+|M8HM9

然后利用平面幾何的性質(zhì)得最大值.

0?5

x-y1

----T-------1

【詳解】解：橢圓259，所以A為橢圓右焦點(diǎn)，設(shè)左焦點(diǎn)為尸（-4,0）,

則由橢圓定義也川+也尸上2°=10,

于是|M41+1"81=10+1M81-1A/尸|

當(dāng)"不在直線8尸與橢圓交點(diǎn)上時(shí)，".尸、8三點(diǎn)構(gòu)成三角形，于是|“8|一|材用<|8用，

而當(dāng)M在直線8尸與橢圓交點(diǎn)上時(shí)，在第一象限交點(diǎn)時(shí)，有尸

在第三象限交點(diǎn)時(shí)有?I-1旅1=1BF|1

顯然當(dāng)M在直線BF與橢圓第三象限交點(diǎn)時(shí)IM4?+1加81有最大值，其最大值為

|M4|+|A/S|=10+|A/B|-I^l=10+1BF|=10+7（2+4）2+（2-0）2=10+2V10

故選：A.

7.在圓錐尸。中，已知高PO=2,底面圓的半徑為4,〃為母線PB的中點(diǎn)，根據(jù)圓錐曲線的定義,

圖中的截面邊界曲線為拋物線，在截面所在的平面中，以A7為原點(diǎn).為x軸，過M點(diǎn)與MO

垂直的直線為y軸，建立直角坐標(biāo)系，則拋物線的焦點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離為（）

2#)

C.D,石

【答案】B

【分析】設(shè)拋物線方程為V=2px（p>0）,代入”的坐標(biāo)即可求得結(jié)果

【詳解】因?yàn)镻°=2,OH=OB=4,所以尸8="T正=2w，又/為P8的中點(diǎn)，所以

OM=-PB=y[5

2,

設(shè)拋物線方程為/=2Px<P>0）,

875

則，（技-4）,所以（~4）2=2p.石，解得。一丁,

所以拋物線的焦點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離為5.

故選：B.

【點(diǎn)睛】本題考查了圓錐的結(jié)構(gòu)特征，考查了拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程和°的幾何意義，屬于基礎(chǔ)題.

mn=9其中，…是常數(shù)，且…的最小值是￡滿足條件

8.己知機(jī)、?、stGRm+n=4st

片一片=1

的點(diǎn)（鞏〃）是雙曲線28一弦的中點(diǎn),則此弦所在的直線方程為

Ax+4y-10=0B—y—2,=0Q4x+y-10=0口4x-y-6=0

【答案】D

1/、/n〃、1/nsmt、1八/—、

s+f=—(s+/)(—H—)——(〃？+〃H---F—)2—(44-2Vmn)

【詳解】試題分析:9s，9tS9,由題意

](4+2力7〃)=8

,所以用"=4,又〃z+〃=4,故機(jī)=w=2,設(shè)弦的兩端點(diǎn)為“（占，%），'（々，力）,

&+七）（西一工2）（乂+%）（必一%）=0

貝ij2828,兩式相減得28,所以

?_必芭

_8(+x2)_8x2x4=4

2(必+%)2x2x4

,選D.

【解析】基本不等式,圓錐曲線的弦中點(diǎn)問題.

二、多選題

9.己知數(shù)列｛凡｝：1,1,2,3,5,…其中從第三項(xiàng)起，每個(gè)數(shù)等于它前面兩個(gè)數(shù)的和，記S”為數(shù)

列｛“"｝的前〃項(xiàng)和，則下列結(jié)論正確的是（）

A.$6=%B.§7=33

c.Q]++a5HF^2021=a2022D.a\+a2+^3,■^2020=a2020a202\

【答案】BCD

【解析】根據(jù)題意寫出“8,Se,Si,從而判斷A,B的正誤；寫出遞推關(guān)系，對(duì)遞推關(guān)系進(jìn)行適

當(dāng)?shù)淖冃?，利用累加法即可判斷C,D的正誤.

【詳解】對(duì)A,4=21,S<,=20,故A不正確；

對(duì)B,S?=$6+13=33,故B正確；

a=aa

對(duì)C,由6=4,。3=%一。2,56-49…，。2021=。2022_。2020,可得

囚+。3+牝+一.+々2021=。2022,故C正確；

2=

對(duì)D,該數(shù)列總有氏+2=。用+"",?I?2?I,則城=的（能-%）=的4—的《，

“2018=“2018(02019—.2017)=°2018a2019—47(2018

〃；=%（4-々）=%%一詠20|72

“2019=a2019a2020—a2019a2018,a2020=a2O2Oa2O21~^2020^2019,

=aa

故q+&+%*~。20202020202lf故D正確.

故選：BCD

【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：解答本題的關(guān)鍵是對(duì)CD的判斷，即要善于利用%+2=。向+。“對(duì)所給式子進(jìn)行

變形.

10.下列說(shuō)法錯(cuò)誤的是（）

A.若空間向量則存在唯一的實(shí)數(shù)使得坂=4。

OP=-OA+-OB+-OC

B.A,B,C三點(diǎn)不共線，空間中任意點(diǎn)O,若488,則p,aB,C四點(diǎn)共

面

4

—00—

C.a=（x,2,l）,b=（4,-2+x,x\￡與3夾角為鈍角，則》的取值范圍是7

D.若仲°良℃｝是空間的一個(gè)基底，則O,4B,C四點(diǎn)共面，但不共線

【答案】ACD

【分析】根據(jù)空間向量平行、空間點(diǎn)共面、空間向量夾角、基底等知識(shí)確定正確選項(xiàng).

【詳解】A選項(xiàng)，若￡是零向量，B是非零向量，則力后，但不存在實(shí)數(shù)"使得坂='￡,A選項(xiàng)

錯(cuò)誤.

0P=-0A+-0B+-0C=-0A+-0B+\\---^-\0C

B選項(xiàng)，48848I48)

CP=-CA+-CB

48,所以尸，A,B,C四點(diǎn)共面，B選項(xiàng)正確.

C選項(xiàng)，當(dāng)x=-2時(shí)，a=（-2,2,1）,5=（4,-4,-2）1=-2a,Z與B夾角為兀，C選項(xiàng)錯(cuò)誤.

D選項(xiàng)，如下圖所示三棱錐O-Z8C,怦'°8'℃｝是空間的一個(gè)基底，但C不共面，口選

項(xiàng)錯(cuò)誤.

故選：ACD

11.泰戈?duì)栒f(shuō)過一句話：世界上最遠(yuǎn)的距離，不是樹枝無(wú)法相依，而是相互瞭望的星星，卻沒有交

匯的軌跡；世界上最遠(yuǎn)的距離，不是星星之間的軌跡，而是縱然軌跡交匯，卻在轉(zhuǎn)瞬間無(wú)處尋

覓.已知點(diǎn)直線/：X=-2,若某直線上存在點(diǎn)P,使得點(diǎn)P到點(diǎn)M的距離比到直線/的

距離小1,則稱該直線為“最遠(yuǎn)距離直線”，則（）

A.點(diǎn)尸的軌跡是一條線段

B.點(diǎn)P的軌跡與直線Jx=T是沒有交匯的軌跡（即兩個(gè)軌跡沒有交點(diǎn)）

C.N=2x+6不是“最遠(yuǎn)距離直線,，

1,

V=—X+1

D.2是“最遠(yuǎn)距離直線”

【答案】BCD

【分析】根據(jù)題意可以判斷點(diǎn)P的軌跡是以"0'°）為焦點(diǎn)，直線Jx=7為準(zhǔn)線的拋物線，然后

求出其方程判斷AB,進(jìn)而根據(jù)直線與曲線的位置關(guān)系判斷CD.

【詳解】由點(diǎn)P到點(diǎn)M的距離比到直線/的距離小1,可得點(diǎn)尸到點(diǎn)”的距離等于到直線J

產(chǎn)一1的距離，故點(diǎn)P的軌跡是以"0'°）為焦點(diǎn)，直線Jx=T為準(zhǔn)線的拋物線，其方程是

y2=4x,故A錯(cuò)誤.由上述可知點(diǎn)尸的軌跡與直線/‘沒有交點(diǎn)，即兩者是沒有交匯的軌跡，故B

正確.易知“最遠(yuǎn)距離直線''與拋物線V=4x有交點(diǎn)，把N=2x+6代入拋物線方程/=4x,消去y

并整理得12+5X+9=0.因?yàn)锳=52-4xlx9=_ll<0,方程無(wú)解，所以歹=2、+6不是，，最遠(yuǎn)距離

11

y=-x+12A)

直線”，故C正確.把,2代人拋物線方程夕=4x,消去y并整理得/-12X+4=0.因?yàn)?/p>

A=(-12y-4xlx4=128>0；方程有解，所以+1是，，最遠(yuǎn)距離直線，，，故D正確.

故選：BCD.

2

QV2=1

12.如圖，已知橢圓R4+",過拋物線。2：廠2="焦點(diǎn)廠的直線交拋物線于”,N兩點(diǎn)，連

S

接NO,MO并延長(zhǎng)分別交G于a8兩點(diǎn)，連接,OMN與AOAB的面積分別記為^^0AB,

A.若記直線N°，"°的斜率分別為配“2,則尢質(zhì)的大小是定值K

B.的面積是定值1

C.設(shè)S.B,則八2

D.|。4+|。8『為定值4

【答案】BC

【分析】設(shè)直線的的方程為卜=丘+1,聯(lián)立方程組，利用根與系數(shù)的關(guān)系和斜率公式判斷A；設(shè)

直線0/方程為y=”?x,聯(lián)立方程組，求出A,5坐標(biāo)，計(jì)算點(diǎn)A到°8的距離，代入面積公式化

簡(jiǎn)判斷B,聯(lián)立方程組，求出"，N坐標(biāo)，用機(jī)表示出AOMN的面積，利用基本不等式即可判斷

C,根據(jù)A,8坐標(biāo)和距離公式判斷D.

【詳解】A,由題意，尸(°」)，設(shè)直線九火的方程為了=履+1,MG*)”心,%),聯(lián)立方程組

[y=kx+\

，得x?-4日-4=0,所以&+々=4左,占々=-4,得必%=1,所以

%%4,故A錯(cuò)誤；B,設(shè)直線"的方程為、=加?〃?>0),則直線08的方程為

y=mx

聯(lián)立方程組住+得八高，不妨設(shè)點(diǎn)A在第三象限，則

28m2

I—H—/「

d_11+4"/Jl+4"/2+8〃1?囪=華幽

2

Vl+16/M2Jl+4/\l\+16/n又Vi+w,所以

S^OAB=-\OB\d=~-+16/2+862\y=mx

△OABI個(gè)L~2\/l+4〃?2Jl+16〃?2故B正確；C,聯(lián)立方程組1V=4y

22,1+4加2可得

x2-4mx=0,故N（4機(jī),4"/）,所以|。"|=4心/蘇+1,可得加（-7'才），所以M到直線。的距

1+工

2

/—^7S.0A,?=—|OyV|h=Imfl+4?!)=Im+—！―>22m=—/n=—

加聲，所以211I，2m,當(dāng)且僅當(dāng)2%即2時(shí)

離

1_SAOWN_q>oI八川21+16加2|2_4+4加2

兒—7一^AOMN~乙\0B\=------—

取等號(hào).所以,故C正確；D,又1+4〃廣-1+4病，所以

4+4加21+16加2

IM+Q*=---------------------~=5

1+4加1+4〃7故D錯(cuò)誤:

故選：BC.

【點(diǎn)睛】解決直線與圓錐曲線的綜合問題時(shí)，要注意:

（1）注意觀察應(yīng)用題設(shè)中的每一個(gè)條件，明確確定直線、圓錐曲線的條件;

（2）強(qiáng)化有關(guān)直線與圓錐曲線聯(lián)立得出一元二次方程后的運(yùn)算能力，重視根與系數(shù)之間的關(guān)系、

弦長(zhǎng)、斜率、三角形的面積等問題.

三、填空題

13.已知等比數(shù)列｛""｝中，4+%，%=8,則4=

【答案】32

【分析】利用等比數(shù)列的通項(xiàng)公式及性質(zhì)求解即可.

【詳解】設(shè)等比數(shù)列S"｝的公比為

a2+a3_q（al+a2）_

則ai+a2q+%，即q=2,

所以，=%/=32

故答案為：32.

a=1+?！?/p>

14.已知數(shù)列"J滿足：4=2,'I1一%，則。加=.

【答案】-3

【分析】由遞推關(guān)系式可知數(shù)列｛"J是周期為4的周期數(shù)列，根據(jù)的。22=%可得結(jié)果.

=------=—JCl-i=----------=—1+-1—

【詳解】由題意得：■1-2,1+32,2,3

???數(shù)列也｝是周期為4的周期數(shù)列,1'-%。22=喙。5+2=%=T

故答案為：-3.

15.如圖，已知正三棱柱'8C-44G的所有棱長(zhǎng)均為］,則線段/片上的動(dòng)點(diǎn)p到直線8c的距

【答案】5##5

【分析】首先以點(diǎn)/為原點(diǎn)，建立空間直角坐標(biāo)系，然后利用點(diǎn)到直線距離的坐標(biāo)公式列式，化簡(jiǎn)

后求函數(shù)的最小值即可.

【詳解】在正三棱柱,BC-44G中，在平面/8C內(nèi)過工作顯然射線“民4v，4＜兩兩垂

直，以點(diǎn)“為原點(diǎn)，射線分別為xj,z軸建立空間直角坐標(biāo)系，如圖，

因正三棱柱"灰4及?的所有棱長(zhǎng)均為1,

則4(0,0,0),8(1,0,0),4(1,0,1),G,1)

葩=(1,0,1),西=(-：*/)

所以22,

因動(dòng)點(diǎn)P在線段AB'上，則令/P=詢=(W),oMfV1,

即有點(diǎn)尸&0J),所以麗=(-1,0/),則I即［="1)2+*=2/-21+1,

BPBC,1"

\~BC,\-272/+

從而

d=Jl^l2=^r-2t+l-^(r+2t+l)=+

因此點(diǎn)尸到直線3的距離V的1'8V848

115.3.1V53

=J—(/—)2—N---t=—

N8555,當(dāng)且僅當(dāng)5時(shí)取等號(hào)，

在

所以線段,片上的動(dòng)點(diǎn)P到直線8G的距離的最小值為5.

正

故答案為：5

16.設(shè)尸為拋物線的焦點(diǎn)，p、QR為拋物線上不同三點(diǎn),|_|FP+FQ+F7?=0°為

坐標(biāo)原點(diǎn)，若△OFP、“OF。、△。網(wǎng)的面積分別為E、邑、S"則s；+s；+s；=

【答案】3

【分析】確定拋物線/=-4了的焦點(diǎn)尸的坐標(biāo)，結(jié)合圖形分別求解E、邑、S3,可得S：+S；+S；,

利用點(diǎn)F是APQR的重心，即可求得結(jié)論.

【詳解】解：如圖，連接OPQQ，OR，PF,QF,RF

設(shè)戶、。、R三點(diǎn)的坐標(biāo)分別為a,M）,（3%）,（毛,為），則x；=-4%,*=-4%x；=-4%

,??拋物線/=Ty的焦點(diǎn)F的坐標(biāo)為（°，T）,

=￡的=；|。尸]忖=；㈤$2=S的0=；"|慟=；|引S3=SM=』。尸|慟=1闖

NN,NN,N/

-1-S：+S；+S；=；（X；+x；+x；）=-（必+必+%）

...而+而+而=6,...點(diǎn)尸是AP@?的重心.

-'-yi+y2+yj=3yF=-3

.?.s：+s；+s；=3

故答案為：3.

四、解答題

17.已知圓C的圓心在直線N=x上，圓心到x軸的距離為2,且截y軸所得弦長(zhǎng)為2，？.

（1）求圓C的方程；

（2）若圓C上至少有三個(gè)不同的點(diǎn)到直線/號(hào)=丘的距離為2及，求實(shí)數(shù)％的取值范圍.

【答案】⑴（x-2）2+3-2）2=18或（4+2）2+3+2）2=18；⑵[2-73,2+73]

VI=2

【分析】（1）設(shè)圓心為a’），由題意及圓的弦長(zhǎng)公式即可列方程組1/2+（jiz『=/,解方程組即

可；

（2）由題意可將問題轉(zhuǎn)化為圓心到直線/：夕=.的距離d4&,解不等式即可.

g

<__

【詳解】解：（1）設(shè)圓心為6'）,半徑為心根據(jù)題意得l』+（Ef=〃，

解得f=±2/=3近，

所以圓C的方程為(x-2)2+(y_2)2=18或(x+2>+(y+2)2=18

（2）由⑴知圓C的圓心為（一2,一2）或（2,2）,半徑為3亞,

由圓c上至少有三個(gè)不同的點(diǎn)到直線/：N=履的距離為2及，可知圓心到直線/：夕=乙的距離

d43歷-20=五.

即J1+二，所以1+公-4人40,

解得2一64%42+6

所以直線/斜率的取值范圍為[2-6,2+G].

18.已知數(shù)列也｝的前〃項(xiàng)和為S”，且S“=3〃2-4〃+2.

（1）求數(shù)列｛""｝的通項(xiàng)公式；

（2）取出數(shù)列｛""｝的偶數(shù)項(xiàng)，并按從小到大的順序排列構(gòu)成新數(shù)列仙"｝,寫出｛2｝的通項(xiàng)公式.

【答案】（1）““一[6，?-7,〃22；（2）b.=12〃-7

〃_S],〃=1

【分析】（1）由”[*-51，〃22可求得數(shù)列｛%｝的通項(xiàng)公式；

（2）由小到大列舉出數(shù)列｛“"｝的偶數(shù)項(xiàng)，觀察其規(guī)律，可知數(shù)列也｝是以5為首項(xiàng)，以12為公差

的等差數(shù)列，進(jìn)而可求得數(shù)列｛4｝的通項(xiàng)公式.

a=S

[詳解]解：（1）當(dāng)〃=1時(shí)，''=3xl-4xl+2=l（

當(dāng)〃22時(shí)，由4=5-5小=（3〃2-4〃+2）-[3（〃-1）2-4（〃-1）+2]=6"-7

"不適合""=6"-7,

所以數(shù)列S"｝的通項(xiàng)公式為“

（2）數(shù)列"J的偶數(shù)項(xiàng)從小到大排列為：5、17、29、41、…，

所以，數(shù)列S"｝的偶數(shù)項(xiàng)成以5為首項(xiàng)，以12為公差的等差數(shù)列，

則也｝的通項(xiàng)公式為“=5+12（〃-1）=⑵-7.

【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：求數(shù)列通項(xiàng)公式常用的七種方法:

（1）公式法：根據(jù)等差數(shù)列或等比數(shù)列的通項(xiàng)公式"”=%+（"一|）"或進(jìn)行求解；

（2）前〃項(xiàng)和法：根據(jù)”[S“_S〃T，"22進(jìn)行求解；

（3）S”與M的關(guān)系式法：由5“與?！钡年P(guān)系式，類比出ST與a“T的關(guān)系式，然后兩式作差，最后

檢驗(yàn)出《是否滿足用上面的方法求出的通項(xiàng)；

（4）累加法：當(dāng)數(shù)列."｝中有""一61=/（〃），即第〃項(xiàng)與第n-1項(xiàng)的差是個(gè)有規(guī)律的數(shù)列，就可

以利用這種方法；

it=/（〃）

（5）累乘法：當(dāng)數(shù)列伊"）中有,即第"項(xiàng)與第n-1項(xiàng)的商是個(gè)有規(guī)律的數(shù)列，就可以

利用這種方法；

（6）構(gòu)造法：①一次函數(shù)法：在數(shù)列血｝中，4二3—（k、6均為常數(shù)，且*H1,左xO）.

一般化方法：設(shè)對(duì)+加=左（*+"‘），得到b=（"i）〃?，可得出數(shù)列I'"/一1:是以

”的等比數(shù)列，可求出."；

an=—%—（it22,〃eN"）

②取倒數(shù)法：這種方法適用于m%+p"、m、。為常數(shù)，加了0）,兩邊取

倒數(shù)后，得到一個(gè)新的特殊（等差或等比）數(shù)列或類似于%=履的式子；

⑦%=b%+c“（/,、c為常數(shù)且不為零，nwN*1型的數(shù)列求通項(xiàng)為，方法是在等式的兩邊同時(shí)

除以得到一個(gè)“向=妨"+"型的數(shù)列，再利用⑥中的方法求解即可.

19.如圖，在四棱錐尸-488中，底面H2CD,AD//BC,AB=AD=AC=3,BC=4t"為

C

（1）證明：收〃/平面「49；

75

（2）若平面與平面p/。所成的銳二面角的正弦值為3,求直線MN與直線P/所成角的余

弦值.

2匹

【答案】（I）證明見解析：（2）13.

【分析】（1）取5尸的中點(diǎn)T,連接ZT,TN,先證四邊形/AW7為平行四邊形，有MN//AT,再

由線面平行的判定定理，得證；

（2）取8c的中點(diǎn)E,連接ZE,以A為原點(diǎn)，建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)尸（°,0,“）,求得平面

/MN的法向量”「，而平面的法向量為〃2=（1，°，°）,求得〃的值后，得向量方和麗，設(shè)直

線與直線P/所成角為0,由cos9=|cos<",而>|,得解.

【詳解】解；（1）證明：由已知戒=2礪得/M=2,取8尸的中點(diǎn)7,連接力7IN,由N為

PC的中點(diǎn)知TN〃8C,

TN=-BC=2

2.又ADUBC,故TN"AM,且TN=AM,

...四邊形為平行四邊形，二

???/Tu平面尸MVN平面P48,

...MV〃平面尸/8.

（2）取8c的中點(diǎn)￡連接/E,由48=ZC知4EL8C,從而4E14D,

AE=ylAB2-BE2=舊

以/為坐標(biāo)原點(diǎn)，衣的方向?yàn)閤軸的則正方向，建立如圖所示的空間坐標(biāo)系"一方性.

設(shè)尸(0,0))

C(右,2,0),M(0,2,0),N,1,~AM=(0,2,0),而=(4,1,,

則1人所以I1

設(shè)平面的法向量為〃I=(x/，z),

2y=0

'石h_n

Rx+F+yzK可取小他0._石)

則

又平面的法向量為〃2=（1，°，°）且平面/MN與平面口。所成的銳二面角的正弦值為3,

2

COS<"],”2>=

1-3,解得〃=2.

NI2切4P=(0,0,2),A/N=

所以尸（0，。，2）,,所以佟-可

AP-MN2713

cos0

\JP\-\MN\~13

設(shè)直線的與直線產(chǎn)/所成角為6,則

2Vl3

所以直線MN與直線產(chǎn)/所成角的余弦值為13.

20.已知數(shù)列｛“"｝的前〃項(xiàng)和是4,數(shù)列也｝的前〃項(xiàng)和是功，若4=l，ae=2a“+l,〃eN*,再

從三個(gè)條件：①紇=/+21〃：②紇―,4=20：③4=22-21。氏（%+1）,中任選

一組作為已知條件，完成下面問題的解答（如果選擇多組條件解答，則以選擇第一組解答記分）.

（1）求數(shù)列也｝的通項(xiàng)公式;

a,a<b

a*b=

b?>b,記c.=a_*b,,求數(shù)列匕｝的前〃項(xiàng)和9.

(2)定義：

2"”—2—1?〃W3/?\

AneN)

-n92+2山-43,〃>4

【答案】選擇見解析；（1）4=2"-1；”=22-2〃；（2）

【分析】（1）由已知可構(gòu)造等比數(shù)列即可求得選①時(shí)，利用“S,,，，法求得

4=22-2"，選②時(shí)，由己知整理可得"+「"=-2,利用等差數(shù)列通項(xiàng)公式得解，選③時(shí)，利用

已知及%=2"-1整理可得b“=22-2n

（2）對(duì)〃的大小分類，當(dāng)巾〃43時(shí)，分組求和得解，當(dāng)〃24時(shí)，利用等差數(shù)列前〃項(xiàng)和公式得解.

【詳解】解：⑴由“田=2?！?1,得。用+1=20+1）,又6=1,則卬+1=2

...數(shù)列｛處+1｝是以2為首項(xiàng)，2為公比的等比數(shù)列,

.??《，+1=2",即〃"=2=]

若選①，當(dāng)"=1時(shí)，"=B[=20,當(dāng)〃22時(shí)，"=紇-瓦1=22-2〃

.4=22—2〃

若選②由紇“一"=紇-2得%一"=-2,所以數(shù)列也｝是以20為首項(xiàng)，-2為公差的等差數(shù)列，二

b?=22-2n

則以=）

若選③,22-2log2（a“+l=22-2〃

'-MI）

a“*bn=

22-2〃,〃24'7

(2)由(1)知

=△-------^-n=2"+'-2-n

...當(dāng)1V"V3時(shí),1-2

當(dāng)”24時(shí),

2

7；=1+3+7+[14+12+?■?+(22-2n)]=-?+21/7-43(

j2n+I-2-n,l<n<3(.、

北=〈,AneN)

.-n2+2\n-43,n>4'7

21.在直角坐標(biāo)系xQy中，已知拋物線C：V=2px(p>0)的焦點(diǎn)為F,過F垂直于x軸的直線與

C相交于/、8兩點(diǎn)，△/O8的面積為2.

(1)求拋物線C的方程：

_P_

(2)若過尸(5,0)的直線與C相交于M,N兩點(diǎn)，且兩=2所，求直線/的方程.

2y[2z—2A/2z

y=------(x+1)y=--------(X+1)

【答案】⑴產(chǎn)=4x(2)-3/或3

【分析】(1)先得出直線的方程，將直線的方程與拋物線C的方程聯(lián)立，求出交點(diǎn)Z、B

的坐標(biāo)，可求出|/用，然后利用三角形的面積公式可求出p的值，即可求出拋物線的方程；

(2)設(shè)直線/的方程為1,設(shè)點(diǎn)”(々，力)、N(X2,處)，將直線/的方程與拋物線C的

方程聯(lián)立，并列出韋達(dá)定理，由麗=2所得出力=2處，并將此關(guān)系式代入韋達(dá)定理，可求出機(jī)

的值，即可得出直線/的方程.

22

X=R.y=2p--=p

【詳解】(l)易知直線Z8的方程為2,將該直線方程代入拋物線C的方程得2,

dg-p)

...[2)、12人且|/8|=2p,

S=----2p=—=2

???△/O8的面積為222..p>o,解得p=2.

因此，拋物線C的方程為產(chǎn)=4x；

x=my-1

(2)設(shè)直線"N的方程為）-4、，設(shè)點(diǎn)〃（X”力）、N5,為），>^D4ffly+4=0

△=16加汨16>0,解得機(jī)<口1或〃?>1.

麗=（網(wǎng)+1,M）,麗=&+1,%）,...屈=2而，...力=2約

4m

,%=~7~

由韋達(dá)定理得力+刃=3m=4m，則3,

,2o,4加、232加2,3A/2

7,72=2^2=2x（—）=——=4^m=+—

3,，得

.士逑…廣逑(x+1)廣-逑(x+1)

因此，直線/的方程為4-，即3'"或3

【點(diǎn)睛】本題考查直線與拋物線的綜合問題，考查韋達(dá)定理設(shè)而不求法在拋物線綜合問題中的應(yīng)用,

考查計(jì)算能力，屬于中等題.

C―+4*=l(“>Z>>0)Pr，

22.已知橢圓b2"的左、右焦點(diǎn)分別是《、F2,其長(zhǎng)軸長(zhǎng)是短軸長(zhǎng)的2倍，過

耳且垂直于x軸的直線被橢圓C截得的線段長(zhǎng)為1.

(1)求橢圓C的方程；

(2)點(diǎn)尸是橢圓C上除長(zhǎng)軸端點(diǎn)外的任一點(diǎn)，過點(diǎn)P作斜率為4的直線/,使得/與橢圓C有且

11