2022-2023學年高中數(shù)學北師大版高一上期末總復習：不等式(附答案解析)

2022?2023學年高中數(shù)學北師大版高一上期末總復習：不等式

一.選擇題（共12小題）

17

1.（2021?重慶模擬）已知a>0,b>0,-+-=2,則a+2b的最小值為（）

ab

05

A.9B.5C.-D.巳

22

2.（2020春?昌吉市期中）若a>0,b>0,a+2b=3,則口‘的最小值為（）

ab

A.5B.6C.8D.9

3.（2021秋?駐馬店期中）“x20”是“一”的（）

x+1

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充要條件D,既不充分也不必要條件

4.（2021?松原模擬）下列函數(shù)中，y的最小值為2的是（）

A.y=x+1B.y=x—Inx-1

x

C.y=ex+l-xD?j=cosx+—!—（0<x<-）

cosx2

5.（2021秋?西城區(qū)校級月考）不等式2x2-3x+l>0的解集為（）

A.（；,1）B.（-co,g）u（1,-Foo）

C.RD.0

6.（2021秋?張家港市期中）若一元二次不等式丘2-2x+女<0的解集為{xlx,則團+女

的值為（）

A.-1B.0C.-2D.2

7.（2021?涪城區(qū)校級開學）設機+〃>0,則關于工的不等式（〃一幻（〃+式）>0的解集是（

）

A.{x\x<—n^x>m]B.{xl-H<x<m]C.{xlxc-m或

x>〃}D.[x\-m<x<n}

8.（2021?江陰市開學）已知x>l,則立^的最小值是（）

x-l

A.2s+2B.2十-2C.26D.2

9.（2021春?威寧縣期末）已知x>0,），>0,且x+y=2,則下列結論中正確的是（）

第1頁共14頁

79

A.士+上有最小值4B.孫有最小值1

xy

C.21+2、有最大值4D.J7+4有最大值4

10.（2021?浙江模擬）若x<0,則x+士的最大值為（）

X

A.-8B.-6C.-4D.-2

11.（2021秋?會寧縣校級期中）已知{dox2+W+c>o}={xl-g<x<2},則關于x的不等

式CX2+如-。>。的解集為（）

A.|xl-1<x<|-j-B.卜1一2<尢<；}C.{xIx<-2或x>；}D.{xlx<-l或

x>l）

12.（2021春?廣東期末）已知正實數(shù)x,y滿足4x+3y=4,則」—+」—的最小值為（

2x+l3y+2

二.填空題（共7小題）

13.（2021?河西區(qū)二模）函數(shù)丫="+5）>+2）作>一］）的最小值為一

X+1

14.（2021?天津一模）設a>0,b>0,且5〃〃+/;2=1,則〃的最小值為.

15.（2020秋?汕頭校級期末）當x>l時，求2x+上的最小值為___.

x-l

16.（2020秋?門頭溝區(qū)校級期中）不等式心+5'-6>0的解集是.

17.（2020秋?揚州期末）若存在實數(shù)x,使得不等式x2-ax+a<0成立，則實數(shù)。的取值

范圍為—.

18.（2021秋?新羅區(qū)校級期中）已知不等式依2-X+Z<0有解,則實數(shù)K的取值范圍為一.

19.（2021春?舟山期末）若正數(shù)a,b滿足a+b+2=",則二一+」_的最小值是___,

a-1b-1

此時〃=.

第2頁共14頁

2022-2023學年高中數(shù)學北師大版高一上期末總復習：不等式

參考答案與試題解析

選擇題（共12小題）

1o

1.（2021?重慶模擬）已知a>0,b>0,上+±=2,則a+2Z?的最小值為（）

ab

95

A.9B.5C.-D.二

22

【答案】c

【考點】基本不等式及其應用

【專題】整體思想；綜合法；不等式的解法及應用；數(shù)學運算

【分析】由已知利用乘1法，結合基本不等式即可直接求解.

【解答】解：（1+-）（?+2/7）=1+—+—+4^9,

abba

所以a+2622.

2

故選：C.

【點評】本題主要考查了基本不等式在求解最值中的應用，乘1法的應用是求解問題的關鍵,

屬于基礎題.

2.（2020春?昌吉市期中）若a>0,b>0,a+2%=3,則2+9的最小值為（）

ah

A.5B.6C.8D.9

【考點】7/：基本不等式及其應用

【專題】11：計算題；35：轉化思想；4M：構造法；5T：不等式；65：數(shù)學運算

【分析】把上+色看成（2+2x1的形式，把“1”換成，（〃+2與，整理后積為定值，然后用

abab3

基本不等式求最小值.

【解答】解：?,,3+勺」（3+3（。+2與

ab3ah

16h6a…

=（3+一++12）

3ab

48+2后耳）=9

等號成立的條件為竺="，即時取等

ab

第3頁共14頁

所以3+9的最小值為9.

ab

故選：D.

【點評】本題考查了基本不等式在求最值中的應用，解決本題的關鍵是“1”的代換，是基

礎題

3.（2021秋?駐馬店期中）“x20”是“」一句”的（）

x+\

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充要條件D.既不充分也不必要條件

【答案】A

【考點】充分條件、必要條件、充要條件；其他不等式的解法

【專題】整體思想；綜合法；不等式的解法及應用；邏輯推理

【分析】先求出分式不等式的解集，然后結合充分必要條件與集合的包含關系的轉化進行判

斷.

【解答］解：由」_@，得」--《0，

X+1元+1

解不等式得X次）或

所以x20"是“一!_0”的充分不必要條件.

X+1

故選：A.

【點評】本題主要考查了分式不等式的求解，充分必要條件的判斷，屬于基礎題.

4.（2021?松原模擬）下列函數(shù)中，y的最小值為2的是（）

A.y=x+—B.y=x-Inx-1

X

17C

C.y=ex+\-xD.y=cosx+-（0<x<—）

cosx2

【答案】C

【考點】基本不等式及其應用

【專題】整體思想；綜合法；不等式的解法及應用；邏輯推理

【分析】結合基本不等式的應用條件及基本不等式分別檢驗各選項即可判斷.

【解答】解：對于A選項，當x>0時<y=x+-^2,當且僅當xJ,即x=l時，等號成

XX

立；

當x<0時，y=x+1=-［（-*）+（-1）長-2,當且僅當-x=-l,即x=-l時，等號成立，

XXX

第4頁共14頁

故A錯誤；

對于5選項，y=x-bvc-\,y#=l--=—―,

xx

當尤>1時，yr>0；當0<工<1,y'<0，

所以當x>l,函數(shù)y=X-/〃/-1單調遞增；當0<工<1時，，(x)=x-歷式-1單調遞減，

所以當x=l,函數(shù)取得最小值為0,故3錯誤；

對于C選項，y=e^+\-x,y'=ex-l,

當x〉0時，y'>0;當元<0,y'<0,

所以當工>0,函數(shù))，=6+1-1單調遞增；當x<0,函數(shù)y=e、+17單調遞減，

即當尢=0取得最小值為2,故C正確；

對于。選項，因為0<x<巴，所以0<cosx<l,

2

Xy=cosx+--—^2Jcosx?——=2,當且僅當cosx=1，即cosx=l時，等號成立，

scosXVCOSXCOSX

但COSXH1,故。錯誤，

故選：C.

【點評】本題主要考查了利用基本不等式求解函數(shù)的最值，注意應用條件的檢驗，屬于基礎

題.

5.(2021秋?西城區(qū)校級月考)不等式2心-3彳+1>0的解集為()

A.(J,1)B.(-00,+00)

C.RD.0

【答案】B

【考點】一元二次不等式及其應用

【專題】計算題；轉化思想；綜合法；不等式的解法及應用；數(shù)學運算

【分析】利用二次不等式的解法，求解不等式2x2-3x+l>0的解集即可.

【解答】解：不等式2心-3尤+1>0,

即(x-l)(2r-l)>0,

解得：x>l^Kx<—,

2

不等式的解集為：(-8,1)U(1,+00).

故選：B.

第5頁共14頁

【點評】本題考查了一元二次不等式的解法與應用問題，是基礎題.

6.（2021秋?張家港市期中）若一元二次不等式近2-2尤+“<0的解集為{xlxw/n},則,〃+k

的值為（）

A.-1B.0C.-2D.2

【答案】C

【考點】一元二次不等式及其應用

【專題】計算題；方程思想；轉化思想；綜合法；不等式的解法及應用；數(shù)學運算

k<0

【分析】由不等式與方程的關系轉化為4-4也=0,從而解得.

2

m=-

I2k

【解答】解：：不等式履2-2x+k<0的解集為{xlxwm},

k<0

?4—4&2=0,

2

m=—

I2k

解得>k——\>m=—\,

故機+氏=-2，

故選：C.

【點評】本題考查了二次不等式與方程的關系應用，屬于基礎題.

7.（2021?涪城區(qū)校級開學）設，"+〃>0,則關于x的不等式（加-外（〃+：0>（）的解集是（

）

A.{xlx<或x>，〃}B.{x\-n<x<m]C.或

x>n]D.{x\-m<x<n}

【答案】B

【考點】一元二次不等式及其應用

【專題】轉化思想；轉化法；不等式的解法及應用；邏輯推理；數(shù)學運算

【分析】將不等式進行等價轉化為（無-相）（X+〃）<0,然后求出不等式的解集.

【解答】解:原不等式可化為（x-M（x+"）<0,

由m+”>0,可知m>-“，

第6頁共14頁

所以原不等式的解集為{xl-”<x<w}.

故選：B.

【點評】本題考查了一元二次不等式的解法，考查了運算能力，屬于基礎題.

8.(2021?江陰市開學)已知x>l,則三里的最小值是()

x-l

A.20+2B.2^3-2C.2點D.2

【答案】A

【考點】基本不等式及其應用

【專題】計算題；轉化思想；整體思想；轉化法；不等式的解法及應用；數(shù)學運算

【分析】化簡巴匚=上二生生2=》-1+2一+2,結合x>l,利用基本不等式求最值

X—1X—1X-1

即可.

【解答】解：.,?工一1>0.

X2+2X2—2x+2x+2

X2—2,x+1+2(x—1)+3

一x-1

(x-1)2+2(%—1)+3

―

=x-\+——+2226+2,

x-1

(當且僅當x-l=上，即x="+l時，等號成立).

X-1

故選：A.

【點評】本題考查了基本不等式的應用，同時考查了化簡運算能力及整體思想與轉化思想,

屬于中檔題.

9.(2021春?威寧縣期末)己知犬>0,y>0,且x+y=2,則下列結論中正確的是()

A.一+一有最小值4B.xy有最小值1

xy

C.2.,+2.v有最大值4D.J7+J7有最大值4

【答案】A

【考點】基本不等式及其應用

【專題】計算題；轉化思想；綜合法；不等式；數(shù)學運算

【分析】根據(jù)條件可得出±+±=±(x+y)(±+±),然后根據(jù)基本不等式即可求出±+

xy2yxy

第7頁共14頁

然后即可判斷選項A正確；根據(jù)x+y=2可得出孫<1從而判斷8錯誤；根據(jù)基本不等式即

可求出2、+2)》4,從而判斷選項C錯誤；根據(jù)J7+正=也+2而<2即可判斷選項D錯

誤.

【解答】解：,y>0,且x+y=2,

2=x+y^2^[xy,當且僅當%=y=l時取等號，

孫(，

二.孫有最大值1,選項3錯誤；

2+2=L(x+y)(2+2)=_L(4+在+^)=2+2+工》4,當且僅當尤=y=l時取等號，

xy2xy2yxyx

.?.*+*有最小值4,選項A正確;

xy

2x+2.v》242「2；=2H7=4,當且僅當x=y=1時取等號，

.?2+2>,有最小值4,選項C錯誤；

G+G=+tjy)2=Jx+y+=^2+2^xy^2,

.?.《+J7有最大值2,選項。錯誤.

故選：A.

【點評】本題考查了基本不等式的應用，考查了計算能力，屬于基礎題.

10.(2021?浙江模擬)若x<0,則x+￡的最大值為()

x

A.-8B.-6C.-4D.-2

【答案】C

【考點】基本不等式及其應用

【專題】整體思想；綜合法；不等式的解法及應用；數(shù)學運算

【分析】由x+±=_[(_x)+(_3)],然后結合基本不等式即可直接求解.

XX

【解答】解：因為x<0,則一x>0,

則xH—=—[(—X)+(—)]<—2^1(—x),(—)=—4,

XXVX

當且僅當r=-±,即尤=-2時取等號，此時取得最大值-4.

X

故選：C.

【點評】本題主要考查了利用基本不等式求解最值，解題中要注意對應用條件的檢驗，屬于

第8頁共14頁

基礎題.

11.（2021秋?會寧縣校級期中）已知（52+hx+c>

I—<x<2,則關于x的不等

3

式CX2+Q尤-〃>0的解集為（）

A.|xl-1<x<B.I-2<x<C.{xlx<-2或x〉；}D.{xl無<一1或

丹233

【答案】D

【考點】一元二次不等式及其應用；其他不等式的解法

【專題】轉化思想；轉化法；不等式的解法及應用；邏輯推理

【分析】利用一元二次不等式的解集與一元二次方程根之間的關系，結合根與系數(shù)的關系,

表示出力，c,再利用一元二次不等式的解法求解不等式即可.

【解答】解：由題意可知，-■!■和2為方程ax2+bx+c=0的兩個根，且。<0,

3

75

所以不等式c%2+〃工一/?>0,即——ax2+ax+—b>0

33

即2x2-3x-5>0,解得—1或x>9,

2

所以不等式的解集為或X>|}.

故選：D.

【點評】本題考查了一元二次不等式的解集與一元二次方程根之間關系的理解與應用，一元

二次不等式的解法的應用，考查了邏輯推理能力與化簡運算能力，屬于中檔題.

12.（2021春?廣東期末）已知正實數(shù)x,y滿足4x+3y=4,則一!一+—!—的最小值為（

2x+l3y+2

【答案】A

【考點】基本不等式及其應用

【專題】計算題；轉化思想；整體思想；轉化法；不等式的解法及應用；邏輯推理；數(shù)學運

算

第9頁共14頁

【分析】將4x+3y=4變形為含2x+l和3y+2的等式，即2(2元+1)+(3)，+2)=8,再將式子

換元，由基本不等式換“1”法求解即可.

【解答】解：由正實數(shù)x,y滿足4x+3y=4,可得2(2x+l)+(3y+2)=8,

令a=2x+l,b=3y+2,可得2。+〃=8,

匚匚+1111/1、八，、11c2〃0心1°C

J，T-----+-----=—+——(一+一)x(2〃+/?)x—=—x(2+—+—+1-x(3+2

2x+l3y+2abab88ba8

即，+42L(3+2向，

abS

即_L+J_23+正，當且僅當口時取等號,

。。84ha

所以答案為3+1，

84

故選：A.

【點評】本題考查基了利用基本不等式求最值，考查了推理論證和運算求解能力，屬于基礎

題.

二.填空題(共7小題)

13.(2021?河西區(qū)二模)函數(shù)y=(；±5)以的最小值為9.

x+1

【答案】9.

【考點】基本不等式及其應用

【專題】整體思想：綜合法；不等式的解法及應用；數(shù)學運算

【分析】利用換元法，然后結合基本不等式即可求解.

【解答】解：因為x>-l,設f=x+l,則f>0,

(x+5)(x+2)(Z+l)(r+4).,4,?廠才，<n

y=--------=-----=r+—+522Jf1-5=9?

x+1ttVt

當且僅當，=4,即r=2時取等號，此時取得最小值9.

t

故答案為：9.

【點評】本題主要考查了基本不等式在求解最值中的應用，屬于基礎題.

A

14.(2021?天津一模)設〃>0,b>0,旦5出?+匕2=1,則a+b的最小值為-.

一5一

【答案】

5

【考點】基本不等式及其應用

【專題】轉化思想；轉化法；不等式的解法及應用；數(shù)學運算

第10頁共14頁

【分析】由己知先用〃表示a,然后代入到所求式子后，利用基本不等式即可求解.

【解答】解：因為a>0,b>0,且5M+從=1,

\-b2

所以a

5b

因為a>0,

所以0<b<l,

a+b=------

當且僅當上=竺，即6=,，〃時取等號,

5b5210

4

則a+b的最小值一.

5

故答案為：—.

5

【點評】本題主要考查了利用基本不等式求解最值，解題的關鍵是應用條件的配湊.

15.（2020秋?汕頭校級期末）當x>l時，求2x+8的最小值為10.

x-1

【答案】10.

【考點】基本不等式及其應用

【專題】計算題；方程思想；定義法；不等式的解法及應用；邏輯推理；數(shù)學運算

【分析】將2x+8轉化為積為定值的形式后即可利用基本不等式進行求解.

X—1

【解答】解：當x>l時，2x+-^=2（x-l）+-^+2^2^2（x-l）--^-j-+2=10,

X>1

當且僅當8，即x=3時等號成立，所以2x+f-的最小值為10.

2（%-1）=---x-1

、x—1

故答案為：10.

【點評】本題主要考查基本不等式的運用，考查學生的邏輯推理和運算求解的能力，屬于基

礎題.

16.（2020秋?門頭溝區(qū)校級期中）不等式心+5工-6>0的解集是_（-8廣6）口（h+00）_.

【答案】（―℃,—6）°（1,+oo）.

【考點】一元二次不等式及其應用

【專題】轉化思想；定義法；不等式的解法及應用；邏輯推理；數(shù)學運算

【分析】利用一元二次不等式的解法求解即可.

第11頁共14頁

【解答】解：不等式X2+5.X—6>0可變形為(x+6)(x—1)>0,

解得尢<-6或x>1,

所以不等式心+5犬-6>0的解集是(-8,-6)°(1,+00).

故答案為：(-co,+oo).

【點評】本題考查了一元二次不等式的解法，考查了運算能力，屬于基礎題.

17.(2020秋?揚州期末)若存在實數(shù)x,使得不等式x2-ox+a<0成立，則實數(shù)“的取值

范圍為―

【答案】(-8,0)°(4,+OO).

【考點】一元二次不等式及其應用

【專題】轉化思想；判別式法；轉化法；不等式的解法及應用；數(shù)學運算

【分析】解法1、根據(jù)題意利用判別式>0,即可求出a的取值范圍.

解法2、討論x-l>0和x-1=0、x-l<0時，不等式轉化為a與旦的關系，構造函數(shù)

X—1

f(x)='L,求出f(x)的最值即可得出a的取值范圍.

x-l

【解答】解：解法1、存在實數(shù)X,使得不等式心+。<0成立，

所以△=(一〃)2-4〃>0,

解得。<0或a>4,

所以實數(shù)a的取值范圍是(-8,0)U(4,+00).

解法2、不等式4-以+〃<0可化為X2<a(x-1),

當x-l>0,即x>l時，不等式化為〃>心；

x-1

設/(尤)=旦，其中X>1;

x-1

所以"x)=^=a-l)；"：-l"l=(xT)+2+士221(x7).占+2=4,

當且僅當x=2時取等號；

所以實數(shù)。>4；

當x-l=0,即x=l時，不等式化為1<0,顯然不成立；

當x-l<0,即x<l時，不等式化為“<與；

X-1

設/⑴二二，其中X<1;

x-l

第12頁共14頁

FKl、l、X2(%-1)2+2(X—1)+1,、c1,?I,..1-?

所以/(x)=--=