2022衡水高考名師數(shù)學(xué)卷：14計(jì)數(shù)原理

2022衡水名師原創(chuàng)數(shù)學(xué)專題卷

專題十四《計(jì)數(shù)原理》

考點(diǎn)45：排列與組合（1-4題，9題，13,14題，17T9題）

考點(diǎn)46：二項(xiàng)式定理（5-8題，10-12題，15,16題，20-22題）

考試時(shí)間：120分鐘滿分：150分

說(shuō)明：請(qǐng)將選擇題正確答案填寫在答題卡上，主觀題寫在答題紙上

第I卷（選擇題）

一、選擇題（本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一

項(xiàng)是符合題目要求的。）

L六人并排站成一行，如果甲乙兩人必須不相鄰，那么不同的排法共有（）種

A.360B.480C.144D.120

2.從10名男生6名女生中任選3人參加競(jìng)賽，要求參賽的3人中既有男生又有女生，則不

同的選法有（）種

A.1190B.560C.420D.3360

3.6名同學(xué)到甲、乙、丙三個(gè)場(chǎng)館做志愿者，每名同學(xué)只去一個(gè)場(chǎng)館，甲場(chǎng)館安排1名，乙

場(chǎng)館安排2名，丙場(chǎng)館安排3名，則不同的安排方法共有（）

A.120種B.90種C.60種D.30種

4.如圖，給7條線段的5個(gè)端點(diǎn)涂色，要求同一條線段的兩個(gè)端點(diǎn)不能同色，現(xiàn)有4種不同的顏

色可供選擇，則不同的涂色方法種數(shù)有（）

9

"設(shè)(犬+1)(2%+1)=%+q(x+2)+%(x+2『4-----Pall(x+2)"*則%+4+a2-\-----Fa”的值

為()

A.2B..C.1D._

一1

6.在（4-2『的展開式中，X。的系數(shù)為（）

A._5B.5C._10D.10

7.（五一2j展開式中只有第六項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)最大，則展開式中的常數(shù)項(xiàng)是（）

A.180B.90C.-180D.-90

8.（》+且）（*+用5的展開式中'3）/的系數(shù)為（）

x

A.5B.10C.15D.20

二、選擇題（本題共4小題，每小題5分，共20分。在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合

題目要求。全部選對(duì)的得5分，有選錯(cuò)的得。分，部分選對(duì)的得3分。）

9.有13名醫(yī)生，其中女醫(yī)生6人，現(xiàn)從中抽調(diào)5名醫(yī)生組成醫(yī)療小組前往湖北疫區(qū)，若醫(yī)

療小組至少有2名男醫(yī)生，同時(shí)至多有3名女醫(yī)生，設(shè)不同的選派方法種數(shù)為N,則下列

等式能成為N的算式是（）.

A0-C；C：；B.+C；C"C；；

D.c；c>

10.已知（辦2+-1）"5>0）的展開式中第5項(xiàng)與第七項(xiàng)的二項(xiàng)數(shù)系數(shù)相等，且展開式的各項(xiàng)系

數(shù)之和為1024,則下列說(shuō)法正確的是（）

A.展開式中奇數(shù)項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)和為256

B.展開式中第6項(xiàng)的系數(shù)最大

C.展開式中存在常數(shù)項(xiàng)

D.展開式中含儲(chǔ)$項(xiàng)的系數(shù)為45

11.對(duì)于二項(xiàng)式（_L+x3）"（〃eN*），以下判斷正確的有（）

A?存在〃wN*，展開式中有常數(shù)項(xiàng)：

B.對(duì)任意〃eN*，展開式中沒(méi)有常數(shù)項(xiàng)：

C.對(duì)任意〃eN*，展開式中沒(méi)有X的一次項(xiàng)；

D.存在展開式中有X的一次項(xiàng).

12.若（］+加x）8=旬+%》+出/+…且6+。2+…+。8=255，則實(shí)數(shù)m的值可

以為（）

A.-3B.-lC.OD.1

第II卷（非選擇題）

三、填空題（本題共4小題，每小題5分，共20分。）

13.AB、C。四位同學(xué)站成一排照相，則48中至少有一人站在兩端的概率為

14.將編號(hào)為1,2,3,4,5的5個(gè)小球放入3個(gè)不同的盒子中，每個(gè)盒子都不空，則每個(gè)

盒子中所放小球的編號(hào)奇偶性均不同的概率為.

15.若”/+—的展開式中常數(shù)項(xiàng)為150,則的最小值為______.

IxJ

16.已知（2/+x-y）"的展開式中各項(xiàng)系數(shù)的和為32,則展開式中V丁的系數(shù)為.（用

數(shù)字作答）

四、解答題（本題共6小題，共70分。）

17.（本題滿分10分）周末老師帶領(lǐng)學(xué)生去南山公園旅游，為了留下美好的回憶，決定在

公園門口合影留念?，F(xiàn)有7名師生站成一排照相，其中老師1人，男生4人，女生2人，

在下列情況下，各有多少種不同站法？（每題都要用數(shù)字作答）

（1）兩名女生必須相鄰而站；

（2）4名男生互不相鄰；

（3）若4名男生身高都不等，從左向右看，男生按從高到低的順序站.

18.（本題滿分12分）冠狀病毒是一個(gè)大型病毒家族，己知可引起感冒以及中東呼吸綜合

征（MERS）和嚴(yán)重急性呼吸綜合征（S/RS）等較嚴(yán)重疾病?而今年出現(xiàn)在湖北武漢的新

型冠狀病毒(〃c。/)是以前從未在人體中發(fā)現(xiàn)的冠狀病毒新毒株?人感染了新型冠狀病毒

后常見體征有呼吸道癥狀、發(fā)熱、咳嗽、氣促和呼吸困難等.在較嚴(yán)重病例中，感染可導(dǎo)致

肺炎、嚴(yán)重急性呼吸綜合征、腎衰竭，甚至死亡.應(yīng)國(guó)務(wù)院要求，黑龍江某醫(yī)院選派醫(yī)生參

加援鄂醫(yī)療，該院呼吸內(nèi)科有3名男醫(yī)生，2名女醫(yī)生，其中李亮(男)為科室主任；該

院病毒感染科有2名男醫(yī)生，2名女醫(yī)生，其中張雅(女)為科室主任，現(xiàn)在院方?jīng)Q定從

兩科室中共選4人參加援鄂醫(yī)療(最后結(jié)果用數(shù)字表達(dá))

(1)若至多有1名主任參加，有多少種派法？

(2)若呼吸內(nèi)科至少2名醫(yī)生參加，有多少種派法？

(3)若至少有1名主任參加，且有女醫(yī)生參加，有多少種派法？

19.(本題滿分12分)一個(gè)正方形花圃被分成5份.

(1)若給這5個(gè)部分種植花，要求相鄰兩部分種植不同顏色的花，己知現(xiàn)有紅、黃、藍(lán)、

綠4種顏色不同的花，求有多少種不同的種植方法？

(2)若將6個(gè)不同的盆栽都擺放入這5個(gè)部分，且要求每個(gè)部分至少有一個(gè)盆栽，問(wèn)有多

少種不同的放法？

20.(本題滿分12分)在(i_3幻6的展開式中,

(1)求展開式中各項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)和：

(2)求第4項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)和第4項(xiàng)的系數(shù).

2}456

(3)設(shè)(1_3刈6=&+qx+a2x+a3x+a4x+a5x+a6x，求q+%+%+%+%+。6的

值.

21.(本題滿分12分)若卜_；"“。+平+貨+…+獷，且％=7

x

⑵求1+2%+2?%+23%+…+T~an的值

22.（本題滿分12分）設(shè)（1+；制桁=%+用工3+.?,+%￡°

TO2a

(14-；x)Og4-axx+a2x+aax++

m

(14--i)a^j+atx+++…+0mxm

，若“叫55,但成等差數(shù)

%q/

列.

a+))"v+＞尸

⑴⑴求.’’展開式的中間項(xiàng);

(1+尹

(1+-x)"(l+-x)m

求1展開式中所有含x奇次基的系數(shù)和;

(1+產(chǎn)

⑶⑶求

求］展開式中系數(shù)最大項(xiàng)

(1+y嚴(yán)5

參考答案及解析

1.答案：B

解析：???甲、乙兩人必須不相鄰.?.先排列其他4個(gè)人，共有用種排法，再在4個(gè)人形成的

5個(gè)空中選2個(gè)位置排列，共有w種排法；...不同的排法有用芯=4x3x2x1x5x4=480

(種)

2.答案：C

解析：這3人中既有男生又有女生，包括2男1女和1男2女兩種情況。

若3人中有2男1女，則不同的選法共有c2oCi=270種，

若3人中有1男2女，則不同的選法共有c：（C=150種，

根據(jù)分類計(jì)數(shù)原理，所有的不同的選法共有270+150=420種,

故選：C

3.答案：C

解析：C'c^d=60-

4.答案：C

解析：分步如下:第一步先涂ABE三點(diǎn)的顏色必須各異，不同的涂色方法種數(shù)為種;第二步

涂C,。兩點(diǎn)，假設(shè)已涂48,E的三色順序分別為0,2,3），那么C,?？赏康姆譃椋篊涂I，D

可以選擇（2,4）中的一種顏色來(lái)涂，有2種；C涂4，。可以選擇1,2中的一種顏色來(lái)涂，

有2種；所以不同的涂色方法種數(shù)有團(tuán)x（2+2）=96種.

5.答案：D

29

解析：令x+2=l,即令x=T得a。+q+a2+???+a,1=[（-I）+1]-[2x（-1）+1]=-3

6.答案：C

解析：由二項(xiàng)式定理得（4-2），的展開式的通項(xiàng)（+|=仁（人產(chǎn)（_2廠=G（-2）”~^，令

J得I,所以豈口令「心,所以一的系數(shù)為叫故選c.

7.答案：A

解析：因?yàn)椋ā?丫的展開式中只有第六項(xiàng)二項(xiàng)式系數(shù)最大，所以“=i°,則由

加=q。.（可）仔]=.2"竽，令為"=0，解得'=2,所以展開式中的常數(shù)項(xiàng)是

Gj.22=180,故正確答案選A

8.答案：C

解析：因?yàn)?x+?的展開式的第'+i項(xiàng),所以乙卜+方的展開式中

》3y3的系數(shù)為C；4-C1.=15,故選C.

9.答案：BC

解析：解：13名醫(yī)生，其中女醫(yī)生6人，男醫(yī)生7人.

利用直接法，2男3女：c2c3；3男2女：c3c2；4男1女：c4cl；5男：「5,所以

5

N=C；C：+C；C；+C：C；+C>

利用間接法：13名醫(yī)生，任取5人，減去4、5名女醫(yī)生的情況，即N=C；3_C；C：_C7

所以能成為N的算式是BC.

故選：BC.

10.答案：BCD

解析：因?yàn)?a?+小"的展開式中第5項(xiàng)與第7項(xiàng)的第二項(xiàng)式系數(shù)相等，所以C：=C

得〃=10,因?yàn)檎归_式中各項(xiàng)系數(shù)之和為1024,所以令x=1,得5+了。=1024得a=1

故給定的二項(xiàng)式為(/+)=尸展開式的系數(shù)與對(duì)應(yīng)的二項(xiàng)式系數(shù)相等，故B正確，展開式的通

yJX

2

項(xiàng)通項(xiàng)公式為c*0(x產(chǎn)*.(-!=)=卷(％=0,1,2,…10)，令20-與=15，記得'-8

yjx2

即常數(shù)項(xiàng)為第9項(xiàng)，故C正確，令20-M=15,得人=2，故展開式中含一項(xiàng)的系數(shù)為Go=45

2

故D正確

11.答案：AD

解析：設(shè)二項(xiàng)式（J+d〃eN"）展開式的通項(xiàng)公式為

則G=C；（與

x

不妨令〃=4,則尸=1時(shí)，展開式中有常數(shù)項(xiàng)，故答案A正確，答案B錯(cuò)誤；

令〃=3,則r=1時(shí)，展開式中有x的一次項(xiàng)，故C答案錯(cuò)誤，D答案正確?

故答案選AD.

12.答案：AD

8

解析：因?yàn)椋╥+〃?x）8=為+%》+的/+???+agx，

令X=1得：（1+〃?）'=,+/+。2+…+。8，

令X=0得：

因?yàn)閝+a2+■-+4=255'

所以（1+加）8—1=255，

所以（1+帆）8=256=23

所以1+加=2或1+加=—2,

解得：加=—1或加=—3,

故選：AD.

13.答案：2

6

解析：A、B、C。四位同學(xué)站成一排照相，基本事件總數(shù)〃=4=24，48中至少有

一人站在兩端包含的基本事件個(gè)數(shù)機(jī)=小一團(tuán)曷=20，故48兩人中至少有一人站在兩

端的概率尸='=型=2

n246

14.答案：《

解析：由題意知，要求每個(gè)盒子都不空，

則三個(gè)盒子中放入小球的個(gè)數(shù)可以分別為3,1,1,或2,2,1,

若要求每個(gè)盒子中小球編號(hào)的奇偶性不同，則只能是2,2,1,

且放入同一盒子中的兩個(gè)小球必須是編號(hào)為一奇一偶，

每個(gè)盒子中所放小球的編號(hào)奇偶性均不相同的概率為：

p_A3C3A2_6

15.答案：2府

解析：???的展開式的通項(xiàng)為：&1=禺?32)6'?(而T)=產(chǎn)，?/>2y.產(chǎn)一"

〃=0,1,2,3,4,5,6由12-3廠=0得，r=4〃.以=達(dá)。:.a2b2=10

-/+旌2?=2加當(dāng)且僅當(dāng)/=〃=加時(shí)等號(hào)成立，.?"+從的最小值為2M

16.答案：120

解析：令x=y=l測(cè)得(2xl+l-l)"=32,2"=2\〃=5

(2x2+x-^展開式中d/的項(xiàng)為：Cs(2x)2C\xC；(-y)2=120xsy2

所以其系數(shù)為120.

17.答案：(1)?.?兩個(gè)女生必須相鄰而站；

，把兩個(gè)女生看做一個(gè)元素，則共有6個(gè)元素進(jìn)行全排列，還有女生內(nèi)部的一個(gè)排列共有

看魅=1440?

(2)..工名男生互不相鄰；.?.應(yīng)用插空法，

要老師和女生先排列，形成四個(gè)空再排男生共有團(tuán)團(tuán)=144?

(3)根據(jù)題意，先安排老師和女生，在7個(gè)空位中任選3個(gè)即可，有另種情況,

若4名男生身高都不等，按從左向右身高依次遞減的順序站，

則男生的順序只有1種，將4人排在剩余的4個(gè)空位上即可.

則共有l(wèi)x43=210種不同站法.

解析：

18.答案：（1）直接法：若無(wú)主任：仁=35,若只有1名主任：C；C；=70,共105種.

間接法：=105

（2）直接法：c；C；+C；C：=105

間接法：C；-C：-C；C；=105

（3）張雅即是主任，也是女醫(yī)生.屬于特殊元素，優(yōu)先考慮，所以以是否有張雅來(lái)分類

第一類：若有張雅C：=56

第二類：若無(wú)有張雅，則李亮必定去：c：（C；C：+C；C：+C；）=31

共87種

解析：

19.答案：（1）先對(duì)E部分種植，有4種不同的種植方法；

再對(duì)/部分種植，又3種不同的種植方法；

對(duì)/部分種植進(jìn)行分類：

①若與Z相同，D有2種不同的種植方法，B有2種不同的種植方法，共有

4x3x2x2=48（種），

②若與/不同，C有2種不同的種植方法，。有1種不同的種植方法，8有1種不同的

種植方法，

共有4x3x2x1x1=24（種），

綜上所述，共有72種種植方法。

（2）將6個(gè)盆栽分成5組，則2-1-1-1-1,有c；種分法；

將分好的5組全排列，對(duì)應(yīng)5個(gè)部分，則一共有C：￡=18（）0（種）放法，

綜上所述，答案：1800種不同的放法。

解析：

20.答案：(1)展開式中各項(xiàng)二項(xiàng)式系數(shù)的和為：c：+C：+C京+…+或=26=64

333

(2)展開式的第四項(xiàng)是：T；=C6-1-(-3X)*第四項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)為亡=20,第四項(xiàng)的

33

系數(shù)為：C6-(-3)=-540

⑶因?yàn)?l-3x)6=/++。3丁+。4工4+。5丁+。61'所以令上式中X=。則%=1

令X=1，則他+%+出+%+。4+。5+%=(1-3)6=64

%+%+。3+。4+。5+。6=64-1=63

解析：

21.答案：1.史/2」

82

解析：1.因?yàn)椋?。?且牝二7

所以;d=qi2=7=("-8)("+7)=0,解得〃=8或〃=-7(舍)，

435

故的展開式中二項(xiàng)式系數(shù)最大的項(xiàng)為第5項(xiàng)，為=-x4

8

2.令x=0，可知%=1，

令x=2,得0=%+2%+22%+24+2%4+--+2"對(duì)，

所以2%+22%+273+274+-+2'%“=-1

3

故4+2a2+2~%+2*%+…+2"'/(2q+2~a,+2a3+2"%+…+2"a")=—5

22.答案：11依題意得r=0

r=0

r=0