2022高三數(shù)學(xué)開(kāi)學(xué)摸底考試卷03文含答案

2022高三數(shù)學(xué)開(kāi)學(xué)摸底考試卷

一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題

目要求的.

1.已知集合/={xeN|K燼9},B={x\O<x<5},則=

A.{2,3,4}B.{1,2,3,4}C.{x|￡W5}D.{x|Kx<5}

B

,/集合4={x￡N|《運(yùn)9}={12,3,4,5,6,7,8,9},

5={x|0<x<5},

=2,3,4}.

故選B.

2.設(shè)復(fù)數(shù)z滿(mǎn)足匕三=i,則彳=

1-z

A.iB.-iC.1D.1+Z

B

因?yàn)閮羲詚=±=（7+'）（>i）=々

1+Z（14-0（1-02

故選B.

3.2021年4月23日是第26個(gè)世界讀書(shū)日，某市舉行以“頌讀百年路，展閱新征程”為主題的讀書(shū)大賽

活動(dòng)，以慶祝中國(guó)共產(chǎn)黨成立100周年.比賽分初賽和復(fù)賽兩個(gè)階段進(jìn)行，規(guī)定：初賽成績(jī)大于90分

的具有復(fù)賽資格，某校有1000名學(xué)生參加了初賽，所有學(xué)生的成績(jī)均在區(qū)間（30,150］內(nèi)，其頻率分

布直方圖如圖所示，則該校獲得復(fù)賽資格的人數(shù)為

A.650B.660C.680D.700

A

由頻率分布直方圖可得，學(xué)生初賽成績(jī)?cè)?30,90］分的頻率為(0.0025+0.0075+0.0075)x20=0.35,

所以學(xué)生初賽成績(jī)大于90分的頻率為1-0.35=0.65，

則該校獲得復(fù)賽資格的人數(shù)為0.65x1000=650.

故選A.

4.某新晉網(wǎng)紅一線(xiàn)城市鵝城人口模型近似為。=250024e°°⑵，其中/=0表示2020年的人口

數(shù)量，則鵝城人口數(shù)量達(dá)到的年份大約是(/〃2ao.693,打3”1.099,/〃5”1.609)

A.2040年B.2045年C.2030年D.2050年

A

令250024產(chǎn)=320000,

則eo.oi2,=320000,兩邊取對(duì)數(shù)得sola=320000

250024250024

320000

0.0120.012

過(guò)去20年或21年，，=0表示2020年的人口數(shù)量,

則鵝城人口數(shù)量達(dá)到的年份大約是2040年或2041年.

故選A.

5.已知直線(xiàn)/:任+N—岳=0與雙曲線(xiàn)=l(h>0)的一條漸近線(xiàn)平行，且這兩條平行線(xiàn)間

4

的距離為一，則雙曲線(xiàn)。的焦距為

3

A.4B.6C.25/3D.8

B

2

直線(xiàn)/與雙曲線(xiàn)C:--%?=I仍>0)的一條漸近線(xiàn)平行，

不妨設(shè)直線(xiàn)/與漸近線(xiàn)bx-y=0平行,

由云+y-正4=0可知，/過(guò)點(diǎn)(血,0),

???兩條平行線(xiàn)間的距離嗎‘

c2=9,雙曲線(xiàn)C的焦距為6.

故選B.

6.三棱錐/-3C。的四個(gè)頂點(diǎn)為正方體的四個(gè)頂點(diǎn)，正方向如圖所示，則三棱錐的左視圖為

如圖三棱錐A-BCD的四個(gè)頂點(diǎn)為正方體的四個(gè)頂點(diǎn),

則觀察可知其左視圖為

故選A.

7.設(shè)p:2x2-3x+lW0，(2a+l)x+a(a+l)W0,若「4的必要不充分條件是，則實(shí)數(shù)〃的

取值范圍是

A.[0,-]B.(0,-]

C.(-oo,0)U[p-H?)D.(-oo,0)U(1,+oo)

A

p:2x2-3x+K0,解得;令(，

q:x2-(2a+l)x+a(a+l)W0,Q令W。+1，

???可是「q的必要不充分條件，「.p是夕的充分不必要條件，

L<1

.一、2，等號(hào)不能同時(shí)成立，

區(qū)。+1

解得OWawL

2

則實(shí)數(shù)0的取值范圍[0,1].

故選A.

8.一艘海警船從港口〃出發(fā)，以每小時(shí)40海里的速度沿南偏東40。方向直線(xiàn)航行，30分鐘后到達(dá)8處,

這時(shí)候接到從。處發(fā)出的一求救信號(hào)，已知。在3的北偏東65°,港口N的東偏南20。處，那么8,

C兩點(diǎn)的距離是海里

A.1073B.10>/2C.20D.1572

B

f北

Z^5^20=?東

如圖所示，\

由題意知，ZSAC=30°,NABC=105°,/8=40x-=20,

2

所以44a5=45。：

在A48C中，由正弦定理可得8C=------xsin30°==1072；

sin450

所以8、C兩點(diǎn)的距離是10&海里.

故選B.

1+sin70°

---------------j-------=

2-2sin210°

A.2B.-1C.1D.-

2

C

1+sin70°_1+cos20。_1+（1-25療10°）_1

2-2sin210°-2-2sin210°~2-2sin2100~,

故選C.

10.把顏色分別為紅、黃、藍(lán)、白四種顏色的小球放入顏色分別為紅、黃、藍(lán)、白四種顏色的紙盒中，

則四個(gè)小球都沒(méi)有放入相同顏色的紙盒中的概率為

A.3B.mC.2D.2

8125643

B

將四種不同顏色的球放入四種不同顏色的紙盒中基本事件的總數(shù)為"=44=256,

四個(gè)球都沒(méi)有放入相同顏色的紙盒中的基本事件的總數(shù)為加=3,=81,

所以四個(gè)小球都沒(méi)有放入相同顏色的紙盒中的概率為尸=2-.

256

故選B.

11.已知三棱錐4一8。。滿(mǎn)足：AB=AC=AD,ABC。是邊長(zhǎng)為2的等邊三角形.其外接球的球心

。滿(mǎn)足：OB+OC+OD=Q,則該三棱錐的體積為

112

A.-B.-C.-D.1

633

C

因?yàn)?8=4。=40,ASCD是邊長(zhǎng)為2的等邊三角形，

所以過(guò)點(diǎn)A作AO'A.面BCD于點(diǎn)O',。'是\BCD的外心，

因?yàn)槌?反+歷=0,所以。是△BCD的外心，

則。與O'重合，

在中，CD=2,CO=OD,ZCOD=120°,

所以。。=立。=氈，

33

所以NO=8O=CO=Z）O=氈，

3

則該三棱錐的體積為［4Oxs,。叵x(chóng)正x2?=2.

3233343

故選C.

12.己知y=/(x+2)為奇函數(shù),且/(3+x)=/(3-x),當(dāng)xw[O,I]時(shí),

/(x)=2*+log4(x+1)-1,則/(2021)=

3

A.-B.2C.3+log43D.9

A

因?yàn)镹=/(x+2)為奇函數(shù)，

所以y=/(x)的圖像關(guān)于(2,0)對(duì)稱(chēng)，即/(2+x)=-/(2-x),

因?yàn)?(3+x)=/(3-x),

所以函數(shù)的圖像關(guān)于x=3對(duì)稱(chēng)，〃x+4)=/(-x+2),

/(2+x)=-/W>即/(4+x)=/(x),

故函數(shù)的周期T=4,

v

因?yàn)楫?dāng)xe[0,1]時(shí),/(x)=2+log4(x+l)-l,

則”2021)=/(1)=2+log42-l=-.

故選A.

二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.

13.設(shè)函數(shù)/(幻=由+0x2+(0+2就.若/(x)的圖象關(guān)于原點(diǎn)(0,0))對(duì)稱(chēng)，則曲線(xiàn)旦=/(?)在點(diǎn)(1,3)處的

切線(xiàn)方程為—.

5x-y-2=0

由題函數(shù)f(x)=x}+ax2+(a+2)x.，(尤)的圖象關(guān)于原點(diǎn)(0,0))對(duì)稱(chēng),

知為奇函數(shù)，可得a=0,f(x)=x3+2x.:.f'(x)=3x2+2,

f(1)=5=k.所以切線(xiàn)方程為5x-y-2=0.

故5x-y-2=0.

14.已知向量方=(3,1),6=(1,0),c=a+kb.若,則k=—

_10

因?yàn)橄蛄?=(3,1),6=(1,0),c=a+kh,

由@，^,則小伍+/)=|初2+質(zhì)石=32+12+%.(3、1+1*0)=10+3&=0,

解得左=_W.

3

故工

3

2V2

15.設(shè)耳，工分別是橢圓氏x(chóng)7+方=1(〃>6>0)的左、右焦點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)耳的直線(xiàn)交橢圓后于4,6兩點(diǎn),

|力耳|=3|8"|,若cos/Jg8=《，則橢圓E的離心率為.

V2

設(shè)|耳8|=%(%>0),則|4月|=31,|AB|=4k,

/.|AF2\=2a-3k,\BF2\=2a-k.

3

vcosZAF2B=-,

在zMBE中，由余弦定理得，|/8|2=|"；|2+|8瑪『―2|"巴卜|86|85乙優(yōu)8,

(4k)2=(2a-3k)2+(2a-k)2(2a-3Jc)(2a-k),

化簡(jiǎn)可得(a+%)(a—3左)=0,而a+%>0,故,a=3k,

AF21=|AFX|=3/:,|BF21=5k,

2

.\|BF21=|AF2『+|48『，

/.AF、_LAF2,

而是等腰直角三角形,

二.橢圓的離心率e=￡=也，

a2

故也.

2

y

(2^...

16.設(shè)函數(shù)f(x)=〃sin(x+工)+>/5bsin(x-工)(a>0),若VxeR,"(x)lW|〃O)|，則：-2b的最小值為

63

2V2

函數(shù)/(x)=asin(x+工)+聞sin(x--)

63

=asin(x+令-6bcos(x+令

=J/+3〃sin(x+二一⑶，其中tan9=^^,a>0,

6a

因?yàn)镈xwR，i/a)iwi〃o)i，

所以/(0)為函數(shù)/、a)的最值，

則有0+.一°=卜+%町丘Z,

故e=-g-A4,4wz,

所以tan°=tan(-y-ki)=tan(-y)=-V3,

故迤=-石，

a

所以8=-4,a>0,

故2b=—h2a22J—2a=2A/2，

aaVa

.B

當(dāng)且僅當(dāng)，=2Q,即。=注時(shí)取等號(hào)，

a2

所以L-2b的最小值為272.

a

故2vL

三、解答題：共70分.解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟.第17?21題為必考題，每個(gè)試題

考生都必須作答.第22、23題為選考題，考生根據(jù)要求作答.（一）必考題：共60分.

17.已知數(shù)列｛%｝滿(mǎn)足q=I,。用=用」.

見(jiàn)+2

（1）求證數(shù)列為等差數(shù)列；

（2）設(shè)a=a”4+i，求數(shù)列也｝的前〃項(xiàng)和[.

4

（1）證明見(jiàn)解析；（2）T=2-----.

n〃+2

（1）數(shù)列應(yīng)｝滿(mǎn)足q=1,a?+｝=.整理得a,?！薄?2a,-2a“+],

凡+2

故—!一一‘=!（常數(shù)），

%42

所以數(shù)列是以1為首項(xiàng)，,為公差的等差數(shù)列.

a..2

g為公差的等差數(shù)列.

（2）由于數(shù)列是以1為首項(xiàng),

2

所以'=1+，(〃-1)='+1,故an

K22n+1

9711

所以"="5右寸4（寸壬），

)=4(；--)=2-4

則:

77+2〃+277+2

18.為了解華人社區(qū)對(duì)接種新冠疫苗的態(tài)度，美中亞裔健康協(xié)會(huì)日前通過(guò)社交媒體，進(jìn)行了小規(guī)模的社

區(qū)調(diào)查，結(jié)果顯示，多達(dá)73.4%的華人受訪者擔(dān)心接種疫苗后會(huì)有副作用.為了了解接種某種疫苗后是

否會(huì)引起疲乏癥狀，某組織隨機(jī)抽取了某地200人進(jìn)行調(diào)查，得到統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)如表：

無(wú)疲乏癥狀有疲乏癥狀總計(jì)

未接種疫苗10025n

接種疫苗Xy75

總計(jì)150tn200

（1）求2x2列聯(lián)表中的數(shù)據(jù)x,y,m,〃的值，并確定能否有95%的把握認(rèn)為有疲乏癥狀與接種此

種疫苗有關(guān)；

(2)從接種疫苗的75人中按是否有疲乏癥狀，采用分層抽樣的方法抽出6人，再?gòu)倪@6人中隨機(jī)抽取

2人做進(jìn)一步調(diào)查，求這2人中恰有1人有疲乏癥狀的概率.

P7.“2n(ad-be)2,,

PIT：K=----------------------,n=a+b+c+d.

(a+b)(a+c)(c+d)(b+d)

尸(片次)0.1500.1000.0500.0250.010

2.0722.7063.8415.0246.635

(1)有；(2)—.

15

(1)由題意得，“=100+25=125,zn=200-150=50,x=150-100=50,y=75-50=25,

小200x(100x25-25x50)240-

所以K=---------------------—=——~4.44>3.841,

125x75x150x509

故有95%的把握認(rèn)為有疲乏癥狀與接種此種疫苗有關(guān).

(2)從接種疫苗的75人中按是否有疲乏癥狀，采用分層抽樣的方法抽出6人，

其中有疲乏癥狀的有紀(jì)x6=2人，記為a,b；無(wú)疲乏癥狀的有留x6=4人，記為C,D,E,F,

7575

則從這6人中隨機(jī)抽取2人的情況有"，aC,aD,aE,aF,bC,hD,bE,bF,CD,CE,

CF,DE,DF,EF,共15種，

這2人中恰有1人有疲乏癥狀的情況有“C,aD,aE,aF,bC,bD,bE,方尸，共8種.

故所求概率

15

19.如圖，在三棱柱/8C-44G中，AiA=A[B=A[C=2y/l,AB=AC=2,NA4c=90。.

(1)證明:平面4BC_L平面48G；

(2)求四棱錐4-8CC4的體積.

(1)證明：取8c的中點(diǎn)連接ZM,A.M,

■：AB=AC=2,ABAC=90°,

BC=2V2,AM=41,

'：A[B=4c=2>/2=BC,AtM±BC,AXM=&,

222

AtM+AM=A}A,g|JAtM1AM,

又8。門(mén),=”,BC、/Mu平面48C,

4M_L平面N8C,

A.Mu平面A,BC,

平面48C_L平面NBC,

平面ABC//平面4AG,

平面A、BC±平面481G.

(2)解：由(1)知，4A/_L平面4ffC,

三棱柱的高為4〃=后，

而S1Mc=；AB-AC=-^x2x2=2)

'''/梭柱=4"?S^BC~&x2=2-y6,

^A,-ABC=§4",S^BC=，

四棱錐4一BCQB、的體積V=V，梭柱-=2"-孚=乎?

20.如圖，己知橢圓C:二+《=1(。>6>0)經(jīng)過(guò)點(diǎn)(1,也)，離心率為直，直線(xiàn)/經(jīng)過(guò)橢圓C的右焦點(diǎn)

a"b22

F,交橢圓于N,B兩點(diǎn)、.

(I)求橢圓C的方程.

(II)若直線(xiàn)/交y軸于點(diǎn)M,且位=2萬(wàn)，MB=pBF,當(dāng)直線(xiàn)/的傾斜角變化時(shí)，4+〃是否為定

值？若是，請(qǐng)求出義+〃的值；否則，請(qǐng)說(shuō)明理由.

(1)y+/=1；(2)-4.

(I)設(shè)橢圓的半焦距為c,

-11

—+-7=1

a22b2

則有卜=—,解得。=夜力=1,0=1,

a2

a2=b2+c2

所以橢圓C的方程為：+/=i；

(H)由(I)知，尸(1,0),由條件得直線(xiàn)/的斜率必存在,

設(shè)方程為y=%(工一1),又M(0,-k),設(shè)4a,必),B(X2,y2)>

2

X2_]

則由'，解得(1+2戶(hù))--4人+2/_2=0,

y=k(x-\)

4k22k2-2

所以X]+&=l+2k2，X'X2~1+2k2

因?yàn)橥豬=/l簫，

則有（X[,X+左）=彳（1-再，-X），

所以行二

1—

同理可得〃=上一

—

1X2

4k24(無(wú)2-1)

―,_jj+x,-2XjX

所以彳+〃=21+2-1+2k°

1_X|1_X[1_(X)+x?)+再々[4k~+2K_2

-T+2廬1+2返

即；1+〃是定值-4.

21.已知e是自然對(duì)數(shù)的底數(shù)，函數(shù)/（x）=2ei-"2,其中“eR.

(1)當(dāng)a=l時(shí),若g(x)=/，(x),求g(x)的單調(diào)區(qū)間;

(2)若“X)在R上恰有三個(gè)零點(diǎn)，求°的取值范圍.

(1)在(fl)上單調(diào)遞減，在(1,+8)上單調(diào)遞增；⑵(1,+oo).

(1)當(dāng)1=1時(shí),f'(x)=2ex-'-2x

令g(x)=/'(x)，則g'(x)=2ex-'-2,

.,.當(dāng)X<1時(shí)，g'(x)<o,g(x)在(-8,1)上單調(diào)遞減；

當(dāng)x>l時(shí)g'(x)>0,g(x)在(1,+co)上單調(diào)遞增.

.?./'(x)=g(x)》g(1)=0.，/(x)在R上單調(diào)遞增.

2

(2)?.?/(0)=-^0,.?./(X)的零點(diǎn)xwO,

e

令/'(x)=2e、T-a/=0,可得a=」，

X

設(shè)〃(x)=B(x*0),

X

7“、2ex-'-x2-2ex-'-2x2eA-1(x-2)

???"—?—'

令〃'(x)=0,得x=2,且僦2)=1，

.,.當(dāng)xw(-8,0)時(shí)，h\x)>0,/?(x)單調(diào)遞增且〃(x)w(0,+oo)；

當(dāng)xw(0,2)時(shí)，h'(x)<0,，(x)單調(diào)遞減且Mx)eg,+8)；

當(dāng)xe(2,+oo)時(shí)，h\x)>0,〃(x)單調(diào)遞增且〃(x)e(],+8),

作圖/z(x)的大致圖象，如圖所示，

由圖象可知，當(dāng)。>1時(shí)，y=a與y=〃(x)的圖象有三個(gè)交點(diǎn)，即/(x)有三個(gè)不同的零點(diǎn),

,a的取值范圍是(],+<?).

(二)選考題：共10分.請(qǐng)考生在第22、23題中任選一題作答.如果多做，則按所做的第一題計(jì)

分.【選修4-4：坐標(biāo)系與參數(shù)方程](10分)

22.在平面直角坐標(biāo)系中，曲線(xiàn)G的參數(shù)方程為F=cos”①為參數(shù))，M是G上的動(dòng)點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)

[y=1+sina

P滿(mǎn)足。P=3OM.

(1)求動(dòng)點(diǎn)尸的軌跡C2的參數(shù)方程；

(2)在以。為極點(diǎn)，x軸的正半軸為極軸的極坐標(biāo)系中，射線(xiàn)6=三與G異于極點(diǎn)的交點(diǎn)為/,與

6

G異于極點(diǎn)的交點(diǎn)為8，求45.

⑴f=3cosaQ為參數(shù))；(2)2.

[y=3+3sina

(1)設(shè)尸(x,y),M(x0,y0),由麗=3而，得「=況①，

3

[y=y0

又M的G上，.?.(a為參數(shù))，②

[為=1+sina

將②代入①得f=3cosa(0為參數(shù))，即為C,的參數(shù)方程.

[y=3+3sma

(2)解法一：G的參數(shù)方程化為普通方程為/+/-2^=