(江蘇專用)2018-2019學(xué)年高中數(shù)學(xué)第一章常用邏輯用語13全稱量詞與存在量詞學(xué)案蘇教版選修1-1

1.3全稱量詞與存在量詞量詞含有一個量詞的命題的否認學(xué)習(xí)目標(biāo)：1.理解全稱量詞和存在量詞的意義，能正確地利用全稱量和存在量詞敘述數(shù)學(xué)內(nèi)容．(要點)2.能判斷全稱命題與存在性命題的真假．(難點)3.能正確地對含有一個量詞的命題進行否認．(要點、易混點)[自主預(yù)習(xí)·探新知]1．全稱量詞與全稱命題“全部”、“隨意”、“每一個”等表示全體的量詞在邏輯中稱為全稱量詞，往常用符號“?x”表示“對隨意x”．含有全稱量詞的命題稱為全稱命題，一般形式為：?x∈M，p(x)．2．存在量詞和存在性命題“有一個”、“有些”、“存在一個”等表示部分的量詞在邏輯中稱為存在量詞，往常用符號“?x”表示“存在x”．含有存在量詞的命題稱為存在性命題，一般形式為：?x∈M，p(x)．3．全稱命題的否認全稱命題p﹁p∈，﹁()?x?xMp(x)M存在性命題的否認

結(jié)論全稱命題的否認是存在性命題存在性命題p﹁p結(jié)論?x∈，?x∈，﹁p(x)存在性命題的否認是全稱命題Mp(x)M[基礎(chǔ)自測]1．判斷正誤：(1)“有些”“某個”“有的”等短語不是存在量詞．( )(2)全稱量詞的含義是“隨意性”，存在量詞的含義是“存在性”．()(3)全稱命題必定含有全稱量詞，存在性命題必定含有存在量詞．()(4)﹁p(x)的真假性相反．()?x∈M，p(x)與?x∈M，【分析】(1)×.“有些”“某個”“有的”都表示部分，是存在量詞．(2)√.由全稱量詞與存在量詞的定義可知(2)正確．×.有些全稱命題與存在性命題可能省略量詞．﹁(4)√.命題p與其否認p真假性相反．【答案】(1)×(2)√(3)×(4)√2．命題“?x∈R，|x|＋x2≥0”的否認是________.【導(dǎo)學(xué)號：95902036】【分析】原命題為全稱命題其否認為“?x∈R，|x20002【答案】?x0∈R，|x0|＋x0<0[合作研究·攻重難]用量詞表示命題判斷以下命題能否為全稱命題或存在性命題，假如，用符號表示．并判斷其真假．對隨意實數(shù)α，有sin2α＋cos2α＝1；存在一條直線，其斜率不存在；對全部的實數(shù)a，b，方程ax＋b＝0都有獨一解；1x－x＋102[思路研究]判斷全稱命題仍是存在性命題→用符號“?”或“?”表示【自主解答】(1)是全稱命題，用符號表示為“?α∈R，sin2x＋cos2α＝1”，是真命題．(2)是存在性命題，用符號表示為“?直線l，l的斜率不存在”，是真命題．是全稱命題，用符號表示為“?a，b∈R，方程ax＋b＝0都有獨一解”，是假命題．1(4)是存在性命題，用符號表示為“?x0∈R，2＝2”，是假命題．x0－x0＋1[規(guī)律方法]1．有些命題不是典型的全稱命題或存在性命題，卻表達了相應(yīng)的意義，這時可合適引入量詞，用量詞表示命題，正確領(lǐng)會命題的含義．2．用符號“?”“?”表示含有量詞的命題時，將存在量詞改為“?”，全稱量詞改為“?”，注意必需時需引入字母來表達命題的含義．[追蹤訓(xùn)練]1．用符號“?”與“?”表示以下命題：實數(shù)的絕對值大于等于0；存在實數(shù)對，使兩數(shù)的平方和小于1；隨意的實數(shù)a，b，c知足a2＋b2＋c2≥ab＋bc＋ac.【導(dǎo)學(xué)號：95902037】【解】(1)?x∈R，|x|≥0.?(x，y)∈R，x2＋y2＜1.?a，b，c∈R，a2＋b2＋c2≥ab＋bc＋ac.含有量詞的命題的真假判斷判斷以下命題的真假：若a＞0且a≠1，則?x0∈R，ax0＞0；1?x∈R，都有x－x＋1>2；(3)?x0，y0∈N，使2x0＋y0＝3.[思路研究]聯(lián)合全稱命題與存在性命題的含義及有關(guān)數(shù)學(xué)知識進行判斷．【自主解答】(1)∵>0，∴當(dāng)x＝1時，x＝>0，建立，∴(1)為真命題．a(chǎn)aa22－x＋1＝x－133121(2)∵x2＋4≥4>2，∴x－x＋1>2恒建立，∴(2)是真命題．(3)當(dāng)x＝0，y＝3時，2x＋y＝3知足題意，∴(3)是真命題．0000[規(guī)律方法]全稱命題與存在性命題真假判斷的方法：x∈M，px①要證明它是真命題，需對會合M中每一個元素x，證明px②要判斷它是假命題，只需在會合M中找到一個元素x0，使px0.應(yīng)的元素使命題建立，能找到，命題為真，不然為假.[追蹤訓(xùn)練]2．判斷以下命題中的真假：?x∈R,2x－1>0；(2)?x∈N*，(x－1)2>0；(3)?x0∈R，lgx0<1；(4)?x0∈R，tanx0＝2.【解】(1)命題“?x－1x－1>0恒建立，故是真命題；x∈R,2>0”是全稱命題，易知2(2)命題“?x∈N*，(x－1)2>0”是全稱命題，當(dāng)x＝1時，(x－1)2＝0，故是假命題；命題“?x0∈R，lgx0<1”是存在性命題，當(dāng)x＝1時，lgx＝0，故是真命題；(4)命題“?x0∈R，tanx0＝2”是存在性命題，依照正切函數(shù)定義，可知是真命題.含有一個量詞的命題的否認寫出以下命題的否認，并判斷真假：p：?x∈R，x2－x＋14≥0；q：全部的正方形都是矩形；(3)2x0＋2≤0；r：?x0∈R，x0＋2(4)s：起碼有一個實數(shù)3＋1＝0.00【導(dǎo)學(xué)號：95902038】[思路研究]第一弄清楚所給命題是全稱命題仍是存在性命題，而后針對量詞和結(jié)論兩個方面進行否認．【自主解答】(1)﹁p：?0∈R，02－0＋1<0，假命題．xxx4112∵∈，2－＋＝x－≥0恒建立，∴﹁p是假命題．?xRxx42﹁(2)q：起碼存在一個正方形不是矩形，假命題．(3)﹁r：?x∈R，x2＋2x＋2>0，真命題．∵?x∈R，x2＋2x＋2＝(x＋1)2＋1≥1>0恒建立，﹁∴r是真命題．(4)﹁s：?x∈R，x3＋1≠0，假命題．∵x＝－1時，x3＋1＝0，∴﹁s是假命題．[規(guī)律方法]1．寫一個命題的否認的步驟：第一判斷該命題是“全稱命題”仍是“存在性命題”，并確立相應(yīng)的量詞，其次把命題中的全稱量詞改成存在量詞，存在量詞改成全稱量詞同時否定結(jié)論．2．關(guān)于省略量詞的命題，應(yīng)先發(fā)掘命題中隱含的量詞，改寫成含量詞的完好形式，再依照規(guī)則來寫出命題的否認．[追蹤訓(xùn)練]3．寫出以下命題的否認：p：全部分數(shù)都是有理數(shù)；q：有些三角形是銳角三角形；2(3)r：?x0∈R，x0＋x0＝x0＋2;(4)s：?x∈R,2x＋4≥0.﹁【解】(1)p：有些分數(shù)不是有理數(shù)；﹁(2)q：全部的三角形都不是銳角三角形；(3)﹁r：?x∈R，x2＋x≠x＋2；(4)﹁s：?x0∈R,2x0＋4＜0.全稱命題與存在性命題的綜合應(yīng)用[研究問題]1．(1)“?x∈R，a＝x2”的含義是什么？“?x∈[1,2]，a＝x2”的含義是什么？若上述兩個命題是真命題，試分別求出a的取值范圍．【提示】(1)“?x∈R，a＝x2”的含義是方程x2－a＝0有實數(shù)根，因此其鑒別式＝4a≥0，解得a≥0；(2)“?x∈[1,2]，a＝x2”的含義是方程x2－a＝0在[1,2]內(nèi)有實數(shù)根，也就是函數(shù)y＝x2，x∈[1,2]和函數(shù)y＝a的圖象有交點，因為x∈[1,2]，因此x2∈[1,4]，因此a的取值范圍是1≤a≤4.2．(1)“?x∈[1,2]，a＜x2”的含義是什么？(2)“?x∈[1,2]，a＜x2”的含義是什么？若上述兩個命題是真命題，試分別求出a的取值范圍．【提示】(1)“?x∈[1,2]，a＜x2”的含義是關(guān)于全部的，全部在[1,2]內(nèi)的x，不等式a＜x2都恒建立，因此a要小于x2的最小值．因為x∈[1,2]，因此x2∈[1,4]，因此a＜1；(2)“?x∈[1,2]，a＜x2”的含義是在[1,2]內(nèi)起碼有一個x，使不等式a＜x2建立，此時只需a不大于x2的最大值即可．因為x∈[1,2]，因此x2∈[1,4]，因此a≤4.(1)若命題“?x∈[－1，＋∞)，x2－2＋2≥a恒建立”是真命題，則實數(shù)aax的取值范圍是__________．已知函數(shù)f(x)＝4|a|x－2a＋1，若命題：“?x0∈(0,1)使f(x0)＝0”是真命題，則實數(shù)a的取值范圍是__________.【導(dǎo)學(xué)號：95902039】[思路研究](1)因為此全稱命題是真命題，因此能夠推出a的值，求出在x∈[－1，＋∞)時，f(x)min≥，利用一元二次不等式與二次函數(shù)的關(guān)系解題．a(chǎn)(2)因為f(x)是單一函數(shù)，在(0,1)上存在零點，再由4||＞0應(yīng)有f1解不af0等式組求出a范圍．【自主解答】(1)方法一：由對隨意x∈[－1，＋∞)，令f(x)＝x2－2＋2≥a恒成ax立，因此f(x)＝(x－a)2＋2－a2可轉(zhuǎn)變?yōu)閷﹄S意x∈[－1，＋∞)，f(x)min≥a建立，即對任2－a2，a≥－1意x∈[－1，＋∞)，f(x)min＝2＋2－a2，＜－1aa由f(x)的最小值f(x)min≥a，知a∈[－3,1]方法二：由x2－2ax＋2≥a，即x2－2ax＋2－a≥0，令f(x)＝x2－2ax＋2－a因此全稱命題轉(zhuǎn)變?yōu)閷﹄S意

x∈[－1，＋∞)，f(x)≥0恒建立，＝4a2－4

a

0，因此

≤0或

a＜－1，f

1即－2≤a≤1或－3≤a＜－2，因此a∈[－3,1]．由：“?x0∈(0,1)，使f(x0)＝0”是真命題，f0－2＋1＜01且由4|a|＞0得f0即4|a|－2a＋1＞0解得a∈2，＋∞.【答案】(1)[－3,1](2)12，＋∞[規(guī)律方法]應(yīng)用全稱命題與存在性命題求參數(shù)范圍的常有題型1．全稱命題的常有題型是“恒建立”問題，全稱命題為真時，意味著命題對應(yīng)的會合中的每一個元素都擁有某種性質(zhì)，因此能夠代入，也能夠依據(jù)函數(shù)等數(shù)學(xué)知識來解決．2．存在性命題的常有題型是以合適某種條件的結(jié)論“存在”“不存在”“能否存在”等語句表達．解答這種問題，一般要先對結(jié)論作出必定存在的假定，而后從必定的假定出發(fā)，聯(lián)合已知條件進行推理證明，若推出合理的結(jié)論，則存在性隨之解決；若致使矛盾，則否認了假定．[追蹤訓(xùn)練]24．若存在x0∈R，使ax0＋2x0＋a<0，則實數(shù)a的取值范圍是________.【導(dǎo)學(xué)號：95902040】2【分析】當(dāng)a≤0時，明顯存在x0∈R，使ax0＋2x0＋a<0；當(dāng)a>0時，必需＝4－4a2>0，解得－1<a<1，故0<a<1.綜上所述，實數(shù)a的取值范圍是a<1.【答案】a<1[建立·系統(tǒng)][當(dāng)堂達標(biāo)·固雙基]1．以下命題是全稱命題的是________．有一個向量a，a的方向不可以確立；對任何實數(shù)a，b，c，方程ax2＋bx＋c＝0都有解.【導(dǎo)學(xué)號：95902041】【分析】(1)中含有量詞“有一個”，是存在性命題，(2)中含有量詞“任何”，是全稱命題．【答案】(2)2．以下全稱命題：①實數(shù)都有倒數(shù)；②自然數(shù)都是正整數(shù)；③小數(shù)都是有理數(shù)；④無理數(shù)都是無窮不循環(huán)小數(shù)．此中真命題的是________．【分析】因為0沒有倒數(shù)，故①錯誤；因為0不是正整數(shù)，故②錯誤；因為無窮不循環(huán)小數(shù)是無理數(shù)，故③錯誤，④正確．【答案】④﹁3．已知命題p：?x∈R，cosx≤1，則p是________．﹁【分析】p為全稱命題，p應(yīng)為存在性命題．【答案】?x0∈R，cosx0＞14．若命題“?x≥1，x2≥a”的否認為真命題，則實數(shù)a的取值范圍為__________.