高中數(shù)學-空間中的平行與垂直教學設計學情分析教材分析課后反思

本課題是高三二輪觀摩課課標分析高三數(shù)學第二輪的復習，是在第一輪復習的基礎上，對高考知識點進行鞏固和強化，是考生數(shù)學能力和學習成績大幅度提高的關鍵階段，針對今年高考的特點，結合一輪復習的實際情況，確定二輪復習總的指導思想是：專題復習，夯實基礎，控制難度，重在通性通法，以培養(yǎng)學生的綜合能力為重點，在努力實現(xiàn)學生學科知識的系統(tǒng)化、網(wǎng)絡化的同時，注重培養(yǎng)學生綜合能力和應考素質(zhì)。教材以人教版必修2為依據(jù)，由于本節(jié)課是高三二輪復習專題，所以教學層次要高于新學本節(jié)內(nèi)容。對于第二輪復習來說，要達到三個目的：一是從全面基礎復習轉(zhuǎn)入重點復習，對各重點、難點進行提煉和掌握；二是將第一輪復習過的基礎知識運用到實戰(zhàn)考題中去，將已經(jīng)掌握的知識轉(zhuǎn)化為實際解題能力；三是要把握高考各題型的特點和規(guī)律，掌握解題方法，初步形成應試技巧。學情分析本節(jié)課是高三下學期4月份進行了觀摩，學生越臨近高考越患得患失，太注重結果，忽視過程，心態(tài)急躁，急功近利，毛手毛腳，不知所措，并且由于我所任課班級學生是非重點校的學生，生源弱，基本功差，學生已經(jīng)學習了直線、平面垂直的判定及其性質(zhì)，復習了直線、平面平行的判定及其性質(zhì)，對空間概念有一定的基礎。但是，在考試中真拿滿分的只有幾個人，具體暴露的問題挺多，絕大多數(shù)的同學都出現(xiàn)“會而不對，對而不全”解題不規(guī)范的情況，另外改卷過程中發(fā)現(xiàn)各種不同書寫錯誤，引發(fā)教師進一步探究，但評講試卷時要全盤考慮不便展開，同時學生的抽象概括能力、空間想象力還有待提高，轉(zhuǎn)化意識還有待加強。教學設計課題：空間中的平行與垂直一、高考考情高考對本部分內(nèi)容考查主要從以下形式進行：(1)以選擇、填空題的形式考查，主要利用平面的基本性質(zhì)及線線、線面和面面的判定與性質(zhì)定理對命題真假進行判斷，屬基礎題．(2)以解答題的形式考查，主要是對線線、線面與面面平行和垂直關系交匯綜合命題，且多以棱柱、棱錐、棱臺或其簡單組合體為載體進行考查，難度中等．二、教學目標:（1）在了解直線與平面的位置關系(包括直線與直線、直線與平面、平面與平面間的位置關系)的基礎上，掌握有關平行及垂直的判定依據(jù)(定義、公理和定理)、判定方法及有關性質(zhì)定理；（2）在有關問題的解決過程中，進一步了解和掌握相關公理、定理的內(nèi)容和功能，并探索立體幾何中論證問題的規(guī)律；（3）在有關問題的分析與解決的過程中提高推理能力、運算能力、邏輯思維能力、空間想象能力及化歸和轉(zhuǎn)化的數(shù)學思想的應用．三、教學重點、難點教學重點：直線與平面、平面與平面平行及垂直的判定和性質(zhì)定理，會利用上述知識論證和解決有關問題。教學難點：線線平行、線面平行、面面平行的轉(zhuǎn)化和應用。線線垂直、線面垂直、面面垂直的轉(zhuǎn)化和應用。四、教學方法與手段結合學案與多媒體,采用“練—議—講”的課堂教學模式，調(diào)動學生參與課堂教學的主動性和積極性。五、教學設計【教師】教師板書課題“空間中的平行與垂直”（一）考試大綱【教師】（開門見山）今天我們來復習一下“空間中的平行與垂直”.首先我們來看一下高考考什么？考點考綱：（找一名學生讀考點考綱）考試大綱考綱解讀①理解空間直線、平面位置關系的定義，并了解如下可以作為推理依據(jù)的公理和定理.◆公理1：如果一條直線上的兩點在一個平面內(nèi)，那么這條直線上的所有點都在這個平面內(nèi).◆公理2：經(jīng)過不在一條直線上的三點，有且只有一個平面.◆公理3：如果兩個平面有一個公共點，那它還有其它公共點，這些公共點的集合是一條直線.◆公理4：平行于同一直線的兩條直線互相平行.◆定理：空間中如果一個角的兩邊和另一個角的兩邊分別平行，那么這兩個角相等或互補.②以立體幾何的上述定義、公理和定理為出發(fā)點，認識和理解空間中線面平行、垂直的有關性質(zhì)與判定定理.理解以下判定定理：◆如果平面外一條直線與此平面內(nèi)的一條直線平行，那么該直線與此平面平行.◆如果一個平面內(nèi)的兩條相交直線和另一個平面都平行，那么這兩個平面平行.◆如果一條直線與一個平面內(nèi)的兩條相交直線都垂直，那么該直線與此平面垂直.◆如果一個平面經(jīng)過另一個平面的垂線，那么這兩個平面互相垂直.理解以下性質(zhì)定理，并能夠證明：◆如果一條直線與一個平面平行，那么經(jīng)過該直線的任何一個平面與此平面的交線和該直線平行.◆如果兩個平行平面同時和第三個平面相交，那么它們的交線相互平行.◆垂直于同一個平面的兩條直線平行.◆如果兩個平面垂直，那么一個平面內(nèi)垂直于它們交線的直線與另一個平面垂直.③能運用公理、定理和已獲得的結論證明一些空間圖形的位置關系的簡單命題.能夠證明一些空間中的平行與垂直問題.（二）高考真題解讀空間中的平行與垂直在高考中所占分數(shù)大約在10%左右．在高考中的題型分布一般是一個選擇或填空，一個解答題，分值約17分，屬于高考重點考查內(nèi)容．【教師】請同學們看以下三個2015年高考真題，一會請一位同學給出答案，并簡要說一下每道題的做法。1、(2015·廣東卷)若直線l1和l2是異面直線，l1在平面α內(nèi)，l2在平面β內(nèi)，l是平面α與平面β的交線，則下列命題正確的是()A．l與l1，l2都不相交 B．l與l1，l2都相交C．l至多與l1，l2中的一條相交 D．l至少與l1，l2中的一條相交解析：由直線l1和l2是異面直線可知l1與l2不平行，故l1，l2中至少有一條與l相交．答案：D2、(2015·北京卷)設α，β是兩個不同的平面，m是直線且m?α，“m∥β”是“α∥β”的()A．充分而不必要條件 B．必要而不充分條件C．充分必要條件 D．既不充分也不必要條件解析：當m∥β時，過m的平面α與β可能平行也可能相交，因而m∥βeq\o(?,/)α∥β；當α∥β時，α內(nèi)任一直線與β平行，因為m?α，所以m∥β.綜上知，“m∥β”是“α∥β”的必要而不充分條件．答案：B3、(2015·卷)如圖，三棱臺DEF-ABC中，AB＝2DE，G，H分別為AC，BC的中點．(1)求證：BD∥平面FGH.(2)若CF⊥BC，AB⊥BC，求證：平面BCD⊥平面EGH.證明：(1)證法一：連接DG，CD，設CD∩GF＝M，連接OH.在三棱臺DEF-ABC中，AB＝2DE，G為AC的中點，可得DF∥GC，DF＝GC，所以四邊形DFCG為平行四邊形．則M為CD的中點，又H為BC的中點，所以MH∥BD.又MH?平面FGH，BD?平面FGH，所以BD∥平面FGH.證法二：在三棱臺DEF-ABC中，由BC＝2EF，H為BC的中點，可得BH∥EF，BH＝EF，所以四邊形BHFE為平行四邊形，可得BE∥HF.在△ABC中，G為AC的中點，H為BC的中點，所以GH∥AB.又GH∩HF＝H，所以平面FGH∥平面ABED.因為BD?平面ABED.所以BD∥平面FGH.(2)連接HE.因為G，H分別為AC，BC的中點，所以GH∥AB.由AB⊥BC，得GH⊥BC.又H為BC的中點，所以EF∥HC，EF＝HC.因此四邊形EFCH是平行四邊形．所以CF∥HE.又CF⊥BC，所以HE⊥BC.又HE，GH?平面EGH，HE∩GH＝H，所以BC⊥平面EGH.又BC?平面BCD，所以平面BCD⊥平面EGH.學生：給出自己的答案及解題思路。之后教師根據(jù)學生的回答做點評。【設計意圖】先讓學生直觀感受高考對于這部分內(nèi)容的考查，通過訓練，明確高考命題方向，結合高考大綱，讓學生在后面的學習和訓練中更有針對性。（三）知識構建網(wǎng)絡（多媒體教學展示，教師加以講解）【設計意圖】讓學生形成知識體系，初步構建空間中的平行與垂直關系的關系圖。（四）熱點題型突破熱點一空間線面位置關系的判斷【教師】教師板書（考點一空間線面位置關系的判斷）【教師】請同學們看例1及其變式，一會請一位同學給出答案，并簡要說一下每道題的做法。例1、若m、n是兩條不同的直線，α、β是兩個不同的平面，則以下命題正確的是()A．m⊥α，n?β，m⊥n?α⊥βB．α∥β，m⊥α，n∥β?m⊥nC．α⊥β，m⊥α，n∥β?m⊥nD．α⊥β，α∩β＝m，n⊥m?n⊥β【變式訓練】1．(1)(2015·蘭州市雙基過關考試)設α，β，γ為不同的平面，m，n為不同的直線，則m⊥β的一個充分條件是()A．α⊥β，α∩β＝n，m⊥nB．α∩γ＝m，α⊥γ，β⊥γC．α⊥β，β⊥γ，m⊥αD．n⊥α，n⊥β，m⊥α(2)空間四邊形ABCD中，AB＝CD，AD＝BC，AB≠AD，M、N分別是對角線AC與BD的中點，則MN與()A．AC、BD之一垂直B．AC、BD都垂直C．AC、BD都不垂直D．AC、BD不一定垂直同學：給出答案，并說出解答。解答參考：例1、由于m、n是兩條不同的直線，α、β是兩個不同的平面，則當m⊥α，n?β，m⊥n時，α、β可能平行，也可能相交，不一定垂直，故A不正確；當α∥β，m⊥α，n∥β時，m與n一定垂直，故B正確；當α⊥β，m⊥α，n∥β時，m與n可能平行、相交或異面，不一定垂直，故C不正確；當α⊥β，α∩β＝m時，若n⊥m，n?α，則n⊥β，但題目中無條件n?α，故D不正確．故選B.變式訓練：(1)A不對，m可能在平面β內(nèi)，也可能與β平行；B，C不對，滿足條件的m和β可能相交，也可能平行；D對，由n⊥α，n⊥β可知α∥β，結合m⊥α知m⊥β.(2)連接AN、CN(圖略)，因為AD＝BC，AB＝CD，BD＝BD，所以△ABD≌△CDB，則AN＝CN，在等腰△ANC中，由M為AC的中點知MN⊥AC.同理可證MN⊥BD.反思：【教師】通過例1及其變式的學習，你的收獲是什么？（請一位同學回答）學生：回答。（學生答完，用多媒體打出下面總結）判斷空間位置關系的常用方法(1)借助空間線面平行、面面平行、線面垂直、面面垂直的判定定理和性質(zhì)定理進行判斷．(2)借助空間幾何模型，如從長方體模型、四面體模型等模型中觀察線面位置關系，結合有關定理，進行肯定或否定．熱點二空間中的平行與垂直關系【教師】請同學們做一下例2及例3，思考和總結平行與垂直之間的關系。例2.(2015·江蘇卷)如圖，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，已知AC⊥BC，BC＝CC1，設AB1的中點為D，B1C∩BC1＝E.求證：(1)DE∥平面AA1C1C；(2)BC1⊥AB1.例3、如圖，在幾何體ABCDE中，AB＝AD＝2，AB⊥AD，AE⊥平面ABD，M為線段BD的中點，MC∥AE，且AE＝MC＝eq\r(2).(1)求證：平面BCD⊥平面CDE；(2)若N為線段DE的中點，求證：平面AMN∥平面BEC.（教師巡視學生們做的怎么樣，請一位學生上講臺板演。同時，解說解題思路）詳細解答：例2、證明：(1)由題意知，E為B1C的中點，又D為AB1的中點，因此DE∥AC.又因為DE?平面AA1C1C，AC?平面AA1C1C，所以DE∥平面AA1C1C.(2)因為棱柱ABC-A1B1C1是直三棱柱，所以CC1⊥平面ABC.因為AC?平面ABC，所以AC⊥CC1.又因為AC⊥BC，CC1?平面BCC1B1，BC?平面BCC1B1，BC∩CC1＝C，所以AC⊥平面BCC1B1.又因為BC1?平面BCC1B1，所以BC1⊥AC.因為BC＝CC1，所以矩形BCC1B1是正方形，因此BC1⊥B1C.因為AC，B1C?平面B1AC，AC∩B1C＝C，所以BC1⊥平面B1AC.又因為AB1?平面B1AC，所以BC1⊥AB1.例3、證明：(1)∵AB＝AD＝2，AB⊥AD，M為線段BD的中點，∴AM＝eq\f(1,2)BD＝eq\r(2)，AM⊥BD.∵AE⊥平面ABD，MC∥AE，∴MC⊥平面ABD.∵AM，BD?平面ABD.∴MC⊥AM，MC⊥BD.又MC∩BD＝M，∴AM⊥平面CBD.又AE＝MC＝eq\r(2)，∴四邊形AMCE為平行四邊形，∴EC∥AM，∴EC⊥平面CBD，∵EC?平面CDE，∴平面BCD⊥平面CDE.(2)∵M為BD的中點，N為DE的中點，∴MN∥BE.由(1)知EC∥AM且AM∩MN＝M，BE∩EC＝E，∴平面AMN∥平面BEC.反思：【教師】通過對例2及例3的研討，三種平行間的關系是如何轉(zhuǎn)化的？垂直呢？（請幾位學生總結，最后老師加以總結，得到以下結論?。┙處熢诤诎迳线M行板書，并進行講解。(1)三種平行間的轉(zhuǎn)化關系(2)三種垂直關系的轉(zhuǎn)化④④③②①線線垂直線面垂直面面垂直熱點三空間幾何中的綜合問題（提升訓練）例4、(2015·陜西卷)如圖(1)，在直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠BAD＝eq\f(π,2)，AB＝BC＝eq\f(1,2)AD＝a，E是AD的中點，O是AC與BE的交點．將△ABE沿BE折起到圖(2)中△A1BE的位置，得到四棱錐A1-BCDE.(1)證明：CD⊥平面A1OC；(2)當平面A1BE⊥平面BCDE時，四棱錐A1-BCDE的體積為36eq\r(2)，求a的值．解析：(1)證明：在圖(1)中，因為AB＝BC＝eq\f(1,2)AD＝a，E是AD的中點，∠BAD＝eq\f(π,2)，所以BE⊥AC.即在圖(2)中，BE⊥A1O，BE⊥OC，A1O∩OC＝O.從而BE⊥平面A1OC.又CD∥BE，所以CD⊥平面A1OC.(2)由已知，平面A1BE⊥平面BCDE，且平面A1BE∩平面BCDE＝BE，又由(1)可得A1O⊥BE，所以A1O⊥平面BCDE.即A1O是四棱錐A1-BCDE的高．由圖(1)知，A1O＝eq\f(\r(2),2)AB＝eq\f(\r(2),2)a，平行四邊形BCDE的面積S＝BC·AB＝a2，從而四棱錐A1-BCDE的體積為V＝eq\f(1,3)S·A1O＝eq\f(1,3)×a2×eq\f(\r(2),2)a＝eq\f(\r(2),6)a3.由eq\f(\r(2),6)a3＝36eq\r(2)，得a＝6.【教師】本題型是空間中的“翻折問題”，在解決這類題型通常有兩個關鍵點。（借助多媒體課件進行展示）求解翻折問題的兩個關鍵點(1)畫好兩個圖——翻折前的平面圖和翻折后的立體圖．(2)分析好兩個關系——翻折前后哪些位置關系和變量關系發(fā)生了變化，哪些沒有變，這些不變和變化的量反映了折疊后空間圖形的結構特征．例5、在如圖所示的幾何體中，四邊形ABCD是正方形，MA⊥平面ABCD，PD∥MA，E、G、F分別為MB、PB、PC的中點，且AD＝PD＝2MA.(1)求證：平面EFG∥平面PMA；(2)求證：平面EFG⊥平面PDC；(3)求三棱錐P-MAB與四棱錐P-ABCD的體積之比．解析：(1)證明：∵E、G、F分別為MB、PB、PC的中點，∴EG∥PM，GF∥BC.又∵四邊形ABCD是正方形，∴BC∥AD，∴GF∥AD.∵EG、GF在平面PMA外，PM，AD在平面PMA內(nèi)，∴EG∥平面PMA，GF∥平面PMA.又∵EG、GF都在平面EFG內(nèi)且相交，∴平面EFG∥平面PMA.(2)證明：由已知MA⊥平面ABCD，PD∥MA，∴PD⊥平面ABCD.又BC?平面ABCD，∴PD⊥BC.∵四邊形ABCD為正方形，∴BC⊥DC.又PD∩DC＝D，∴BC⊥平面PDC.由(1)知GF∥BC，∴GF⊥平面PDC.又GF?平面EFG，∴平面EFG⊥平面PDC.(3)∵PD⊥平面ABCD，四邊形ABCD為正方形，不妨設MA＝1，則PD＝AD＝2.∵DA⊥平面MAB，且PD∥MA，∴DA即為點P到平面MAB的距離，∴VP-MAB∶VP-ABCD＝eq\f(1,3)S△MAB·DA∶eq\f(1,3)S正方形ABCD·PD＝S△MAB∶S正方形ABCD＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)×1×2))∶(2×2)＝1∶4.即三棱錐P-MAB與四棱錐P-ABCD的體積之比為1∶4.（五）收獲與感悟(1)證線線平行常用的方法：一是利用平行公理，即證兩直線同時和第三條直線平行；二是利用平行四邊形進行平行轉(zhuǎn)換；三是利用三角形的中位線定理證線線平行；四是利用線面平行、面面平行的性質(zhì)定理進行平行轉(zhuǎn)換．(2)證線面平行常用的兩種方法：一是利用線面平行的判定定理，把證線面平行轉(zhuǎn)化為證線線平行；二是利用面面平行的性質(zhì)，把證線面平行轉(zhuǎn)化為證面面平行．(3)證線面垂直常用的方法：一是利用線面垂直的判定定理，把證線面垂直轉(zhuǎn)化為證線線垂直；二是利用面面垂直的性質(zhì)定理，把證面面垂直轉(zhuǎn)化為證線面垂直；另外還要注意利用教材中的一些結論，如：兩條平行線中的一條垂直于一個平面，則另一條也垂直于這個平面等．（4）面面平行與垂直的證明技巧：在立體幾何的平行關系問題中，“中點”是經(jīng)常使用的一個特殊點，無論是試題本身的已知條件，還是在具體的解題中，通過找“中點”，連“中點”，即可出現(xiàn)平行線，而線線平行是平行關系的根本．在垂直關系的證明中，線線垂直是問題的核心，可以根據(jù)已知的平面圖形通過計算的方式證明線線垂直，也可以根據(jù)已知的垂直關系證明線線垂直，其中要特別重視兩個平面垂直的性質(zhì)定理，這個定理已知的是兩個平面垂直，結論是線面垂直．（六）布置作業(yè)鞏固和掌握本節(jié)課所學內(nèi)容，完成課后鞏固訓練。（七）板書空間中的平行與垂直多媒體演示熱點一空間線面位置關系的判斷熱點二空間中的平行與垂直關系(1)三種平行間的轉(zhuǎn)化關系④③④③②①線線垂直線面垂直面面垂直熱點三空間幾何中綜合問題（提升訓練）收獲與感悟附：課后鞏固訓練1．已知m，n是兩條不同直線，α，β，γ是三個不同平面，下列命題中正確的有()A．若m∥α，n∥α，則m∥n B．若α⊥γ，β⊥γ，則α∥βC．若m∥α，m∥β，則α∥β D．若m⊥α，n⊥α，則m∥n2．如圖，在正方體ABCD－A1B1C1D1中，M，N，P，Q分別是AA1，A1D1，CC1，BC的中點，給出以下四個結論：①A1C⊥MN；②A1C∥平面MNPQ；③A1C與PM相交；④NC與PM異面．其中不正確的結論是()A．① B．②C．③ D．④3.如圖，在空間四邊形ABCD中，M∈AB，N∈AD，若eq\f(AM,MB)＝eq\f(AN,ND)，則直線MN與平面BDC的位置關系是________．4．如圖，PA⊥圓O所在的平面，AB是圓O的直徑，C是圓O上的一點，E、F分別是點A在PB、PC上的正投影，給出的下列結論正確的是________．eq\o\ac(○,1)AF⊥PB；②EF⊥PB；③AF⊥BC；④AE⊥平面PBC.5．如圖，在斜三棱柱ABC-A1B1C1中，側面ACC1A1與側面CBB1C1都是菱形，∠ACC1＝∠CC1B1＝60°，AC＝2.(1)求證：AB1⊥CC1；(2)若AB1＝eq\r(6)，求四棱錐A-BB1C1C的體積．6．(2015·四川卷)一個正方體的平面展開圖及該正方體的直觀圖的示意圖如圖所示．(1)請將字母F，G，H標記在正方體相應的頂點處(不需說明理由)；(2)判斷平面BEG與平面ACH的位置關系，并證明你的結論；(3)證明：直線DF⊥平面BEG.課后鞏固訓練1．已知m，n是兩條不同直線，α，β，γ是三個不同平面，下列命題中正確的有()A．若m∥α，n∥α，則m∥n B．若α⊥γ，β⊥γ，則α∥βC．若m∥α，m∥β，則α∥β D．若m⊥α，n⊥α，則m∥n2．如圖，在正方體ABCD－A1B1C1D1中，M，N，P，Q分別是AA1，A1D1，CC1，BC的中點，給出以下四個結論：①A1C⊥MN；②A1C∥平面MNPQ；③A1C與PM相交；④NC與PM異面．其中不正確的結論是()A．① B．②C．③ D．④3.如圖，在空間四邊形ABCD中，M∈AB，N∈AD，若eq\f(AM,MB)＝eq\f(AN,ND)，則直線MN與平面BDC的位置關系是________．4．如圖，PA⊥圓O所在的平面，AB是圓O的直徑，C是圓O上的一點，E、F分別是點A在PB、PC上的正投影，給出的下列結論正確的是________．eq\o\ac(○,1)AF⊥PB；②EF⊥PB；③AF⊥BC；④AE⊥平面PBC.5．如圖，在斜三棱柱ABC-A1B1C1中，側面ACC1A1與側面CBB1C1都是菱形，∠ACC1＝∠CC1B1＝60°，AC＝2.(1)求證：AB1⊥CC1；(2)若AB1＝eq\r(6)，求四棱錐A-BB1C1C的體積．6．(2015·四川卷)一個正方體的平面展開圖及該正方體的直觀圖的示意圖如圖所示．(1)請將字母F，G，H標記在正方體相應的頂點處(不需說明理由)；(2)判斷平面BEG與平面ACH的位置關系，并證明你的結論；(3)證明：直線DF⊥平面BEG.效果分析高三二輪復習專題課—空間中的平行與垂直，在班級進行了試講，通過試講，熟悉了課堂教學模式“練——議——講”的具體操作方式。首先明確學習目標，讓學生知道本節(jié)課學習要達到的目標，然后讓學生自己先做學案，讓學生初步了解本節(jié)具體內(nèi)容，在課堂上先讓學生分組討論，通過議一議，取長補短，發(fā)現(xiàn)錯誤，自己先嘗試尋找錯誤原因，改正錯誤，尋找最優(yōu)解。其次在課堂上，學生仍然未能解決的問題，教師通過分析講解，解疑答惑，幫助學生解決學習上的困惑。最后強化訓練，升華提高，讓學生掌握本節(jié)內(nèi)容，并能根據(jù)本節(jié)所學內(nèi)容靈活解決相關問題。課后反思通過本節(jié)課的試講，收獲較多，讓自己更加熟悉和從容運用“練——議——講”